Matti Laan Optika põhikursus
 

Optika põhikursus

  1. Saateks
    1. Sissejuhatus
  2. Sissejuhatus
    1. Sissejuhatus
    2. Lähteinfo
    3. Natuke ajaloost
    4. Valguse mudelid ja õpiku ülesehitusest
  3. 1 Kiirteoptika
    1. Sissejuhatus
    2. 1.1 Kiirteoptika mõningad seaduspärasusedPraktilised tööd
  4. 2 Elektromagnetlaine
    1. Sissejuhatus
    2. 2.1 Maxwelli võrrandite süsteem
    3. 2.2 Lainevõrrand ja lainefunktsioonLisadÜlesanded
    4. 2.3 Monokromaatiline laine
    5. 2.4 Poyntingi vektor, kiiritustihedus
    6. 2.5 Polarisatsiooni liigidÜlesandedPraktilised tööd
    7. 2.6 Dipooli kiirgus
    8. 2.7 Fourier' teisendusÜlesandedPraktilised tööd
  5. 3 Optiline diapasoon
    1. Sissejuhatus
    2. 3.1 Elektromagnetlainete skaala
    3. 3.2 Elektromagnetlainete kiirus ja eksperiment
    4. 3.3 Monokromaatiline tasalaine ja valgusallikate spektrid ning lainefrondid
    5. 3.4 Polariseeritud valgus, valgusallika mudelÜlesandedPraktilised tööd
    6. 3.5 Radiomeetria
    7. 3.6 FotomeetriaÜlesandedPraktilised töödLisamaterjalid
    8. 3.7 Laineoptika versus soojuskiirgus
    9. 3.8 Kokkuvõte
  6. 4 Peegeldumine ja murdumine
    1. Sissejuhatus
    2. 4.1 Normaallangemine, α = 0
    3. 4.2 Suvalises suunas leviva tasalaine lainefunktsioon
    4. 4.3 Peegeldumis- ja murdumisseadus
    5. 4.4 Fresneli valemid juhul, kui α≠0
    6. 4.5 Analüüs: N21>1→α>γÜlesandedPraktilised töödLisamaterjalid
    7. 4.6 Analüüs: N21<1→α<γÜlesandedPraktilised tööd
    8. 4.7 Pinnalaine
    9. 4.8 Valguse neeldumine
    10. 4.9 Fresneli võrrandid peegeldumisel kadudega keskkonnalt
  7. 5 Interferents
    1. 5.1 Interferentsi kirjeldus
    2. 5.2 Interferentsi põhimõisted
    3. 5.3 Klassikalised interferentsikatsed
    4. 5.4 Koherentsus
    5. 5.5 Amplituudi jagamise meetodPraktilised töödLisamaterjalid
    6. 5.6 Interferentsi rakendusi
    7. 5.7 Michelsoni interferomeeter
    8. 5.8 Seisulaine. Lainejuht. Moodid
    9. 5.9 Mitmekiireline interferents
  8. 6 Difraktsioon
    1. Sissejuhatus
    2. 6.1 Huygens-Fresneli (H-F) printsiip
    3. 6.2 Fresneli tsoonid
    4. 6.3 Difraktsiooni klassifikatsioon
    5. 6.4 Üksikobjektide Fraunhoferi difraktsioonÜlesandedPraktilised tööd
    6. 6.5 Fraunhoferi difraktsioon N avalt (tõkkelt)ÜlesandedPraktilised tööd
    7. 6.6 Holograafia
    8. 6.7 Laineoptika ja kiirteoptika
  9. 7 Valguse levikumehhanism keskkonnas
    1. Sissejuhatus
    2. 7.1 Aine dispersioon
    3. 7.2 Valguse hajumine
  10. 8 Valgus anisotroopses keskkonnas
    1. Sissejuhatus
    2. 8.1 Kaksikmurdumine
    3. 8.2 Anisotroopse keskkonna kirjeldamine
    4. 8.3 Tasalaine levik anisotroopses keskkonnas
    5. 8.4 Valguse murdumine anisotroopsesse keskkonda
    6. 8.5 Anisotroopsete kristallide rakendusi
    7. 8.6 Polariseeritud valguse interferents
    8. 8.7 Kunstlik anisotroopia
    9. 8.8 Optiline aktiivsus
  11. 9 Relativistlik optika
    1. Sissejuhatus
    2. 9.1 Michelson-Morley katse
    3. 9.2 Valguse kiirus liikuvas aines
    4. 9.3 Sagnac'i efekt
    5. 9.4 Doppleri efekt
  12. 10 Mittelineaarne optika
    1. Sissejuhatus
    2. 10.1 Teise harmoonilise levik
    3. 10.2 Faaside sünkroniseerimine
  13. 11 Kvantoptika
    1. Sissejuhatus
    2. 11.1 Fotoefekt
    3. 11.2 Aatomi kiirgus- ja neeldumismehhanismid
    4. 11.3 Termodünaamiliselt tasakaalulise keha kiirgustihedus ρf
    5. 11.4 Valguse neeldumise, hajumise ja kiirgamise kvantkirjeldus
    6. 11.5 Neeldumiskoefitsient
    7. 11.6 Laser
    8. 11.7 Kvantoptika versus laineoptika
  14. 12 Kirjandusallikad
    1. Kirjandusallikad

Saateks

Raamatukogudes on olemas lai valik inglise- ja venekeelseid hea tasemega optika õpikuid, kuid säilitamaks eesti keelt teaduskeelena, on ilmselt vajalikud ka füüsika baaskursuste eestikeelsed versioonid.

1979. aastal ilmus I.V. Saveljevi kolmeköitelise Füüsika üldkursuse optikat sisaldava kolmanda osa tõlge eesti keelde. Nimetatud õpiku sisu rahuldas täielikult tehniliste kõrgkoolide vajadused ja kattis ligikaudu 75% ulatuses ka tollajal kehtinud füüsika eriala programmi. Paraku, tänaseks on muutunud baasfüüsika õppeaja kestus ja programmid ning Saveljevi õpik ei kajasta ka olulisi uusi optika teadussaavutusi ja rakendusi.

Uuem, 2012. aasta Halliday baasfüüsika õpiku tõlge eesti keelde katab optikas vaid osaliselt probleemide ringi, mis vastab Euroopa füüsikahariduse standarditele.

Oluliseks lisafaktoriks, mis tingib uue õpiku olemasolu, on klassikalise loengupidamisviisi asendumine lektori-tudengi aruteluga; õpik võiks olla karkassiks, millel see arutelu baseerub.

Õpiku struktuur kujunes välja aastakümnete jooksul peetud loengute alusel ja on mõjutatud minu õpetajate ning kolleegide poolt. Viimati mainituist olen eriti tänulik Hans Korgele ja Koit Timpmannile.

Jaan Kalda esimeste peatükkide detailseid sisulised, vormistuslikud ja keelelised märkused olid kasulikud ka järgnevate peatükkide kujundamisel.

Nils Austa andis joonistele esinduslikuma ilme.

Nüüd siis jõuab tehtu põhihindajate - lektorite/tudengite – kätte, kes leiavad kindlasti rea vajakajäämisi.

Tagasisidet oodates,

Matti Laan
Veebruar 2020
Matti.Laan@ut.ee

Sissejuhatus

Füüsikaline optika tegeleb valgusega seonduvate protsessidega: valguse teke, levik ja vastasmõju ainega. Optika tähtsus ei piirdu vaid füüsikaga ja erinevate tehnoloogiliste lahendustega, valgus on põhiline ühendustee meie ja maailma vahel.

Lähteinfo

Terminid ja tähistused

Tavaelus intuitiivselt mõistetavad sõnad omandavad füüsikas nii mõnigi kord teistsuguse tähenduse. Lisaks, mingi nähtuse kord juba kasutuselevõetud nimetus ei pruugi vastata tänapäevasele arusaamale sellest nähtusest. Nii et – ettevaatust!

Optikas tuleb silmas pidada järgmist.

Valguskiir ei ole matemaatiline sirge. Rääkides valguskiirest tuleb arvestada, et

  • Valguskiire ristlõige on alati lõplik, sest vastasel juhul oleks tema energiatihedus lõpmatu. Seega energeetiliste seoste leidmisel iseloomustame valguskiirt ka tema ristlõike pindalaga.
  • Valguskiir annab energia leviku suuna
  • Valguskiirest räägime ka siis, kui mängu tulevad valguse lainelised omadused nt rääkides mitmekiirelisest interferentsist peame silmas, et liituvad rohkem kui kaks lainet.

Valguse polarisatsioon ja aine polarisatsioon ei ole kokkulangevad mõisted. Valguse elektromagnetlaine mudelis iseloomustab polarisatsioon elektrivälja vektori geomeetrilist orientatsiooni. Aine polarisatsioon on aga seotud aine aatomite/molekulide dipool-momendiga, mis võib olla nii permanentne kui ka välise mõjutuse (sh valguse) poolt indutseeritud.

Tihtipeale iseloomustatakse ühte ja  sama mõistet/nähtust erinevate nimetustega nt „paralleelne kiirtekimp“ ja „tasalaine“ iseloomustavad üht ja sama valguse levikuviisi.

Erinevate suuruste tähistamisel  on püütud järgida traditsioonilist üldlevinud raamatute märgistust. Suures enamuses on tähistusteks vastava inglisekeelse sõna esitäht nt „“ – force, „“ – velocity, mõnikord on tagapõhjaks ka saksa, ladina või kreeka keel. Tabelis T 1.1 on esile tõstetud füüsikas kasutatavad kreeka tähed, nende tundmine kuulub füüsiku hariduse juurde.

T 1.1 Kreeka tähestik

Suurtäht

Väiketäht

Nimetus

Suurtäht

Väiketäht

Nimetus

Alfa

Nüü

Beeta

 

Ksii

Gamma

Omikron

Delta

Pii

Epsilon

Roo

Tseeta

Sigma

Eeta

Tau

Teeta

Üpsilon

Ioota

Fii

Kapa

Hii

Lambda

Psii

Müü

Omega

Tabelis T1.2 on toodud suurustevahelist seost väljendavad matemaatilised märgid koos kommentaaridega.

T 1.2 Matemaatilised märgid

Märk

Kommentaar

„võrdub“, nt

„defineeritud“, nt rõhu definitsioon

„põhjuslikkus“, nt kiirendus on põhjustatud jõust

ligikaudu võrdne, nt

on samas suurusjärgus nt  tähendab, et x=4000 või x=8000, mitte või

„võrdeline“, nt kiirendus on võrdeline jõuga 

ajaline keskväärtus nt

dimensiooni tähistus nt Poyntingi vektori dimensioon [S]=1Wm2

Selles õpikus kasutatakse sünonüüm-nimetuse tähistamiseks nt „… sensor ( tajur)…“

Selles õpikus kasutame SI-s sätestatud ühikuid. Praktikas on kasutusel on ka nn süsteemivälised ühikud, optikas on neist tähtsaim pikkusühik ongström, =1010m=0,1nm

Tabelis T1.3 on rahvusvaheliste lepetega kooskõlastatud erinevate ühikute eesliited.

T 1.3 Ühikute eesliited

Kordsus

Tähis

Nimetus

Kordsus

Tähis

Nimetus

Y

jota

d

detsi

Z

zeta

c

senti

E

eksa

m

milli

P

peta

μ

mikro

T

tera

n

nano

G

giga

p

piko

M

mega

f

femto

k

kilo

a

ato

h

hekto

z

zepto

da

deka

y

jokto


Tabelis T 1.4 on tähtsamad konstandid  tänaseks teadaoleva usaldusväärsete komakohtade arvuga. 

T 1.4 Tähtsamad konstandid

Konstant

Tähis

Väärtus

Valguse kiirus vaakumis

2,99792457×108ms1

Elementaarlaeng

1,602176634×1019C

Plancki konstant

6,62607015×1034Js1

Elektroni seisumass

me

9,1091×1031kg

Prootoni seisumass

Mp

1,67252×1028kg

Avogadro konstant

NA

6,02252×1023mool1

Bohri raadius

rH

5,29172×1011m

Boltzmanni konstant

kB

1,38054×1023JK1

Stefan-Boltzmanni konstant

5,6697×108Wm2K4

Rydbergi konstant

RH

1,0967758×107m1

Elektronvolt

1,602176634×1019J

Vaakumi dielektriline läbitavus

8,854×1012Fm1

Vaakumi magnetiline läbitavus

μ0

4π×107Hm1

Joonised

Tihtipeale suudab õigesti mõistetud joonis anda rohkem teavet kui mitu pikka lauset.

Kujutava geomeetria jooniste puhul püütakse võimalikult hästi edastada objekti proportsioone ja tehnilised joonised on võimalikult detailsed, kuid füüsika joonised peavad eelkõige edastama arutlus- ja/või arvutuskäigu idee. Sel põhjusel ei pruugi mingi joonise detailide proportsioonid vastata tegelikkusele ja lisaks  on joonisel kujutatud vaid antud probleemi lahendamiseks hädavajalikud detailid.

Ristkoordinaadistiku teljed valitakse nii, et nad moodustaksid parempoolse kolmiku: vaadates z-telje suunas, peab x-telje pööramine y-telje peale toimuma kellaosuti liikumissuunas, Jn 1.1.

Jn 1.1. A – koordinaatteljed moodustavad  parempoolse kolmiku. B – A tasapinnaline projektsioon, -telg on suunatud joonise sisse. C – projektsioon juhul, kui -telg on suunatud joonisest välja.

Enamikel juhtumitel on 3-mõõtmelised nähtused, Jn 1.2A, esitatud  2- mõõtmeliste  lõigete, Jn 1.2.B, või projektsioonidena, seega  horisontaalne joon sel joonisel on lahutuspinna lõikejoon langemistasandiga. Kui on võimalus mitmeti mõistmiseks, on joonisele lisatud ka koordinaattelgede orientatsioon. Joonistel kujutatakse valguse levikusuunda kiirena. 

Jn 1.2. A – ruumiline pilt murdumisest keskkondade ja lahutuspinnal  , mis vastab tasandile .  Läbi langeva valguskiire ja langemispunktist tõmmatud pinnanormaali pandud tasand abcd on langemistasand. B – joonise A-osa lõige langemistasandis .

Natuke matemaatikast, ligikaudsed arvutused

Harjumuspäraselt on nurkade mõõtühikuks kraad, kuid nii harmooniliste võnkumiste kui ka lainete  hetkväärtusi määrava  faasi puhul on füüsikas eelistatumaks ühikuks radiaan, T1.5.

T 1.5 Mõningad harmooniliste funktsioonide väärtused

Faas kraadides

Faas radiaanides

Siinus

Koosinus


Ligikaudsed arvutamised

Ligikaudsed arvutused baseeruvad funktsioonide rittaarendustel.

Kui ,  siis enamikel juhtudel saame arvutustes piisava täpsuse kasutades seoseid

1.

 

Näiteks kui , siis e0,1=1,1052  ja suhteline erinevus

2.

Kui , siis ja suhteline erinevus

võib olla ka murdarv nt 

Kui ning  , siis ja suhteline erinevus

Kui nurgad on väikesed, siis võib trigonomeetriliste funktsioonide puhul lugeda, et

Kui (), siis

NB! Viimaste seoste puhul on nurk alati radiaanides.

Kas lähendusvalemite kasutamine on õigustatud, sõltub muidugi vajaminevast täpsusest.

Natuke ajaloost

Meie õpikus puudub ülevaade füüsika ajaloost ja seda mitmel põhjusel. Esiteks jõuab guugeldamisega kergesti mingi nähtuse ajaloolise tagapõhjani ja teiseks on olemas Ivar Piiri eestikeelne füüsika ajalugu ja seda nii paberkandjal kui ka e-õpikuna. Ja kolmandaks – kursuse ülesehitus ei järgi ajaloolist teed.

Füüsika, sh optika, areng on kõike muud kui rahumeelne samm-sammult kulgev protsess. 20. sajandi füüsika superstaarile Albert Einsteinile omistatakse ütlus „füüsika on ideede draama“ ja kohati on selle draama  jälgimine võrreldav hea kriminaalromaaniga. Füüsika  ideelised kokkupõrked ei ole ainult inimestevahelised, vaid nad on ka ühe indiviidi peas. Arusaadavamaks muutub see dramaatilisus siis, kui on tekkinud arusaamine probleemist endast – see on veel üks põhjus, miks loobusime ajaloolisest ülevaatest.

Valguse mudelid ja õpiku ülesehitusest

Jn 1.5. Ülo Soosteri kujutlus valgusest.

Valgusnähtused on seletatavad, eeldades, et mikromaailmas valitseb lainelis-korpuskulaarne dualism. Loomulikult on dualism vaid meie makromaailma kogemustel baseeruvates kujutlustes, Jn 1.5, loodus ei tea sellest midagi.

Valguse dualismi ilminguks on see, et osasid eksperimentaalseid tulemusi on võimalik kirjeldada valguse lainemudelitega, osasid aga on lihtsam seletada korpuskulaarmudeliga.

Valguse lainelisi omadusi kirjeldab kõige täielikumalt elektromagnetlaine mudel, kuid paljudel juhtudel annab  tema lihtsustatud   variantide rakendamine võrdväärse tulemuse. Laineoptika lähenduses jäävad  kõrvale  valguse elektromagnetilised omadused, säilib valguse laineline iseloom. Kiirteoptika (≡ geomeetrilise optika) kirjeldab nähtusi, mille puhul  on vaja vaid energia levikusuunda.

Kvantoptika kirjeldab adekvaatselt valguse ja aine vastasmõju tuues sisse seda vastasmõju kirjeldavad fenomenoloogilised suurusedKvantväljateooria ühendab laine- ja kvantoptika, Jn 1.6.

Jn 1.6. Optilisi nähtusi kirjeldavate mudelite vahekord.

Meie optikakursuses on esiplaanil valguse lainemudel. Esmalt uurime elektromagnetlaine üldiseid  omadusi ja seejärel siirdume optika spetsiifiliste probleemide lahendamisele. Seal kus võimalik, kasutame laineoptika lähendust. Kiirteoptika selle õpiku raamidesse ei mahu. Õpiku viimane peatükk on pühendatud kvantoptikale.

Toodud näiteülesannete põhieesmärgiks on anda ettekujutus erinevate suuruste arvväärtustest.

Lisainfo põhitekstile on nelja liiki linkides.

  • Selgitavad kommentaarid (K).
  • Viited õpiku eri osadele (vt ...)
  • Matemaatilised abivalemid (M)
  • Viited persoonidele (P).

Õpiku kirjutamisel on infot hangitud paljudest allikatest, kuid praegu on võimatu taastada, mis osa millisest allikast on võetud. Sel põhjusel on loobutud korrektsest viitamisest ja peamiste kasutatud raamatute loetelu on toodud õpiku lõpus.

1 Kiirteoptika

Käesoleva kursuse konspekt tekstina kiirteoptika käsitlust ei sisalda, järgnevas anname vaid seda puudutava põhivara. Teadmised ja oskused omandame läbi praktikumide.

1.1 Kiirteoptika mõningad seaduspärasused

XVII sajandil hakkas kujunema eksperimentaalne meetod füüsikas st mingi väite tõesuse kriteeriumiks sai eksperiment.  Selleks ajaks baseerus optika neljal tulemusel, mille kirjeldamisel kasutame tänapäeva terminoloogiat.

Valguse sirgjooneline levik Homogeenses keskkonnas levib valgus mööda sirgjoonelist teed. Selle väite tõestuseks on teravate servadega varju teke esemest, mis on ekraani ja  väikeste mõõtmetega valgusallika vahel, Jn 1.3A.  

Jn 1.3. A – varju tekkimine ekraanil. B – kujutise tekkimine pimekambris.

​Teiseks valguse sirgjoonelise leviku näiteks on kujutise teke pimekambris (≡ camera obscura), 1.3B. Pimekambris on valguse teel tõke, milles on väike ava.  Valguskiir, mis lähtub eseme AB mingist punktist ja läbib ava, tekitab ekraanil E selle punkti kujutise.

Valguse kiirtekimpude sõltumatus Mingi valguse kiirtekimbu levik keskkonnas on sõltumatu sellest, kas selles ruumipiirkonnas  on teisi valguse kiirtekimpe. Sellest piirkonnast väljuv kiirtekimp ei ole mõjutatud teiste kiirtekimpude olemasolust.

Peegeldumisseadus Olgu kahe keskkonna ja   lahutuspinnaks tasapind, millele langeb kaldu valguskiir, mis osaliselt peegeldub tagasi esimesse keskkonda, Jn 1.4 A.

Jn 1.4. A – peegeldumisseadus. B – murdumisseadus.

Langemisnurgaks nimetatakse nurka langemispunktist tõmmatud pinnanormaali ja langeva kiire  vahel. Peegeldumisnurgaks nimetatakse nurka   pinnanormaali ja peegelduva kiire vahel. Langemistasand on üheselt määratud langeva kiire ja pinnanormaaliga, ta on alati risti keskkondade lahutuspinnaga.

Peegeldumisseadus koosneb kahest osast

  • Peegelduv kiir on langemistasandis
  • Peegeldumisnurk on võrdne langemisnurgaga,

Murdumisseadus Valgus, langedes kahe keskkonna lahutuspiirile, murdub osaliselt teise keskkonda, 1.4B. Murdumisnurgaks nimetatakse nurka pinnanormaali ja murduva kiire vahel.

Murdumisseadus koosneb kahest osast

  • Murduv kiir on langemistasandis
  • Langemisnurga siinuse ja murdumisnurga siinuse suhe on konstantne,  (Snelliuse seadus), kus  on teise keskkonna suhteline murdumisnäitaja esimese suhtes

Kõigil loetletud seaduspärasustel on oma piiritletud kehtivuspiirkonnad, mille paneme paika edasises kursuse käigus.

Praktilised tööd

2 Elektromagnetlaine

Selles õpikus kasutame elektrivälja iseloomustamiseks kahte vektorit E ja D ning magnetvälja jaoks vektoreid B ja H K 2.1

2.1 Maxwelli võrrandite süsteem

Elektromagnetismis jõutakse nelja Maxwelli võrrandini induktiivsel teel, lähtudes üksikjuhtudest ja neid järk-järgult üldistades. Läbime need teed kiirkorras.

Vastavalt Coulombi katsetele mõjub keskkonnas dielektrilise läbitavusega oleva kahe laengu ja vahel jõud, mis on võrdeline nende laengute korrutisega ja pöördvõrdeline nendevahelise kauguse ruuduga FqQεr2. Laengud on algebralised suurused ja samamärgiliste laengute puhul on tegemist tõukejõuga, erimärgilised laengud aga tõmbuvad. Võrdetegur jõu avaldises oleneb kasutatavast ühikute süsteemist, SI-s on võrdeteguriks ). Vastavalt lähimõju printsiibile saab punktis asuvale (proovi)laengule mõjuda jõud vaid siis, kui jõu tekitaja on ka selles ruumipunktis. Praegusel juhtumil on jõu põhjustajaks laengu poolt tekitatud elektrostaatiline elektriväli

ja seega mõjub proovilaengule jõud F=qE. Elektrostaatilist välja iseloomustavad jõujooned algavad positiivsel laengul ja lõpevad negatiivsel laengul või lõpmatuses. Coulombi seaduse üldistuse järgmine aste on Gaussi teoreem, vastavalt millele elektrivälja nihkevektori D=εε0E voog läbi suletud pinna võrdub laengute algebralise summaga selle pinna sees.

Asendades diskreetsete laengute summa laengutihedusega ja minnes üle diferentsiaalkujule, saame

Selle seose paremal poolel on põhjus ja vasemal tagajärg: elektrostaatilise välja allikaks on laeng. Selline põhjuse-tagajärje vahekord kehtib ka järgnevate võrrandite v2.2-v2.4 puhul.

Kuna magnetlaenguid ei ole , siis

ja

Kui magnetvoog läbi pinna , mida ääristab juhtiv kontuur , muutub ajas, siis vastavalt Faraday elektromagnetilise induktsiooni seadusele indutseeritakse selles kontuuris elektromotoorjõud . Kuna elektromotoorjõud on kontuuri ulatuses laengu ümberpaigutamiseks tehtav töö ja dΦM=BdS, (B – magnetiline induktsioon) omandab seadus kuju

Vastavalt Maxwelli üldistusele pole kontuuri olemasolu vajalik – kui mingis ruumipiirkonnas magnetväli muutub, siis tekib seal elektriväli, mille tsirkulatsioon on nullist erinev. Selle seaduspära diferentsiaalkuju on

ehk sõnades: pööriselise elektrivälja allikaks on ajas muutuv magnetväli.

Seda fakti, et vooluga juhtme ümber tekib magnetväli, väljendab Ampere’i seadus. Kui keskkonna magnetiline läbitavus on ja magnetvälja tugevus

siis magnetvälja tugevuse tsirkulatsioon kontuuris võrdub juhtivusvoolude   algebralise summaga läbi pinna , mida see kontuur ümbritseb

Juhul, kui piirduda vaid selle seosega, tekib vahelduvvoolu voolamisel läbi kondensaatori vastuolu: kuigi juhtivusvoolu kondensaatori plaatide vahel pole, eksisteerib ka seal magnetväli. Vastavalt Maxwellile on seal magnetvälja allikaks nihkevool tihedusega  ja me saame  täiendatud Ampere’i seaduse diferentsiaalkujul

(j –juhtivusvoolu tihedus), mis  sätestab, et pööriselise magnetvälja allikaks on nii juhtivus- kui ka nihkevool.

Maxwelli neljast võrrandist koosnev süsteem, v 2.1 – v 2.4, on kasutu seni, kuni pole teada ainevõrrandid, mis seovad omavahel elektrinihke ja elektrivälja tugevuse vektorid, D=f(E), magnetvälja tugevuse ja magnetilise induktsiooni vektorid, H=f(B), ning voolutiheduse ja elektrivälja tugevuse vektorid, j=f(E).

Neid seostepaare iseloomustavad makroskoopilised karakteristikud, dielektriline läbitavus , magnetiline läbitavus ja juhtivus , on põhimõtteliselt leitavad, kui keskmistada kiirusega u liikuvale laengule elektri- ja magnetväljas mõjuv jõud

üle aine vabade ja seotud laengukandjate.

Sõltuvalt aine karakteristikutest , võib keskkond olla

Homogeenne  või mittehomogeenne (nt sõltub koordinaatidest)

Isotroopne või anisotroopne (nt murdumisnäitaja on erinevates suundades erinev)

Lineaarne või mittelineaarne (nt valguse neeldumine sõltub tema intensiivsusest)

Statsionaarne või mittestatsionaarne (nt neeldumine sõltub  valguse toime  ajast)

Edaspidi on põhitähelepanu pööratud valgusnähtustele HILS keskkonnas, ka anisotroopiale on pühendatud üks peatükk. 

2.2 Lainevõrrand ja lainefunktsioon

Laine on mingis ruumipiirkonnas tekitatud häirituse levik ruumi.

Loengudemonstratsioonides kasutatakse tihtipeale lainete visualiseerimiseks veevanni, Jn 2.1A. Kui lainevanni läbipaistvat põhja läbiv paralleelne kiirtekimp langeb lainelisele veepinnale, siis kumerpindadel murdumise tulemusena tekivad veepinna kohal  heledamad ja tumedamad piirkonnad, mida on võimalik optilise süsteemi abil projekteerida ekraanile. Foto Jn 2.1B fikseerib veepinnal leviva lainepaketi, mille tekkepõhjuseks oli varasemal ajahetkel pipetist veepinnale langev tilk.

Jn 2.1 A – valguse murdumine veepinnal. B – punkti S langenud veetilga poolt tekitatud häirituse tulemusena levib veepinnal lainepakett. 

Kirjeldame nüüd ühe laineharja levikut lihtsaimal ühedimensionaalsel juhul.

Jn 2.2. Laine levik.

Toimugu punktis   sinusoidaalsed võnkumised s=s0sin(2πvt), Jn 2.2, ja momendil olgu tegemist laineharjaga, mille järjekorranumber on . Laine levikul korduvad need võnkumised teatud ajalise nihkega kaugemates ruumipunktides. Kui laineharjal  kulub kaugusel zP olevasse ruumipunkti P levikuks aeg , siis  võib kirjutada  sP=s0sin(2πft) kusjuures . Kui on laineharja numbriga levikukiirus (faasikiirus), saame

Alati, kui mingi suvalise  funktsiooni argument (faas) on esitatav kujul (ehk kujul z/vt, vtz või zvt), on meil tegemist lainega, mis levib z-telje positiivses suunas.  Sellist argumenti omavat funktsiooni nimetatakse lainefunktsiooniks. Kui argumendis on aja- ja ruumimuutuja mõlemad positiivse (või mõlemad negatiivse) märgiga, levib laine ruumikoordinaadi kahanemise suunas („vasakule“).

Üldjuhtumil peab lainefunktsioon rahuldama lainevõrrandit, mis on teist järku osatuletistega diferentsiaalvõrrand

Olgu konkreetsuse mõttes tegemist sinusoidaalse lainega. Võtame funktsioonist teist järku osatuletise esmalt aja järgi 

ja siis koordinaadi järgi

Asetades saadud tulemused  võrrandisse (2.5), saame oodatud samasuse. 

Näitame nüüd, et ühe järeldusena Maxwelli võrranditest peaks eksisteerima elektromagnetlaine. Algul lähtume üldistest kaalutlustest ja seejärel teeme sedasama matemaatika abil. Olgu meil juhe milles on vool voolutihedusega j(t), Jn 2.3A. Vastavalt valemile v 2.4 tekitab vool juhtme ümber magnetvälja H(t). Kuna magnetväli muutub ajas, siis indutseeritakse v 2.3 järgi lähipiirkonnas elektriväli E(t) ja pöördudes jälle v 2.4 poole, näeme muutuva magnetvälja teket. Selline korduv, iseennast alalhoidev protsess ei vaja levikuks mingisugust spetsiifilist keskkonda.

Jn 2.3. A – elektromagnetlaine levikumehhanism. B – homogeense välja samafaasipinnad hetkel t=const: tasandi z=const kõigis punktides   omavad E ja H sama väärtust.

Elektromagnetlaine eksistentsi matemaatiliseks tõestuseks eeldame, et meil on HILS keskkond ja on tegemist dielektrikuga, σ=0j=0, ning ruumlaengud puuduvad, . Kirjutame nüüd valemid v 2.3 ja v 2.4 lahti komponentide kaupa

Lihtsustamaks uuritavaid võrrandeid, olgu meil tegemist juhuga, kus antud ajahetkel   on tasandi  kõigis punktides elektri- ja magnetvälja  väärtused samad, Jn 2.3B. Järgmisel ajahetkel ja/või mingis teises tasandis  omavad elektri- ja magnetväli teisi väärtusi. Seega kõigis süsteemi v 2.6 võrrandites on tuletised x,y=0 ja seega

Saadud lihtsustunud võrrandid on piisavalt läbipaistvad, et teha  mõningaid järeldusi. Esmalt, v 2.7 kolmas rida näitab, et z-telje sihilised E ja H komponendid ja ei osale välja levikus. Esimeses ja teises reas olevad võrrandipaarid aga osundavad, et põhjuslik seos on vaid teineteise suhtes risti olevatel E ja H komponentidel, ja , kuid ei ole põhjustatud muutustest ja vastupidi. Sama kehtib muidugi ka ja Hy vahekorra kohta. See leid lubab teha täiendava lihtsustuse – olgu elektriväli orienteeritud x – telje sihis ja kuna Ey=0, siis ka Hx=0. Seega eksisteerib vaid magnetvälja y-komponent ehk EH. Järele jääb vaid kaks võrrandit

Diferentseerides neist ülemist võrrandit koordinaadi ja alumist – aja järgi , saame mõlemas võrrandis magnetvälja jaoks segatuletiste  avaldised ja  võrdsustades need, saame

Kui nüüd võtta v 2.8-s esimeses võrrandis tuletis aja järgi ja teises koordinaani järgi, saame magnetvälja jaoks võrrandiga v 2.9 identse tulemuse. Võrrelda saadud tulemust lainevõrrandi üldkujuga  v 2.5, siis näeme , et eesmärk on saavutatud: elektromagnetväli levib  z-telje suunas, kusjuures laine faasikiirus on

(K 2.5) Elektromagnetlaine (EML) faasikiirus vaakumis, , on

 

mis langeb kokku eksperimendis mõõdetud valguse kiirusega vaakumis.  Faasikiirus keskkonnas on

 

kus on keskkonna murdumisnäitaja.

LisadÜlesanded

2.3 Monokromaatiline laine

Võrrandid v 2.7 kirjeldavad lainet, mis levib z-telje positiivses suunas , kusjuures elektri- ja magnetvälja vektor on risti laine levikusuunaga, Ev, Hv. Põhjuslikus seoses olevad elektri- ja magnetvälja komponendid on risti ka omavahel, EH. Erijuhtu, kus laine levikul E (seega ka H, kuna HE) muutub vaid ühes fikseeritud tasandis, nimetatakse lineaarselt polariseeritud laineks. Elektrivälja E sihiga ja levikusuunaga määratud tasand on polarisatsioonitasand.

Pinda, millel asetsevad kõik laine samafaasi (nt laineharja ) punktid, nimetatakse lainefrondiks. Joonisel Jn2.3B on lainefrondiks tasapind, tegemist on tasalainega.

Lainet, mille hetkväärtus muutub siinus- või koosinusfunktsiooni järgi, nimetatakse harmooniliseks: funktsioonid

 ja

kirjeldavad harmoonilist elektromagnetlainet. Sagedus (täisvõngete arv sekundis) on seotud perioodiga (ühe täisvõnke sooritamise aeg), f=1/T. Optikas kasutatakse enameelistatult ringsagedust,  ω=2πf. Kui , on tegemist monokromaatilise lainega. Arvestades, et lainepikkus on vahemaa, mida laine läbib ühe perioodi jooksul, , teisendame lainefunktsiooni faasi

Tuues sisse lainearvu mõiste,  

võib nüüd monokromaatilise elektromagnetlaine elektrivälja tugevuse  lainefunktsiooni esitada kas siinusfunktsioonina või koosinusfunktsioonina

Mõlemad lainefunktsiooni trigonomeetrilised esitused oleksid samaväärsed, kui lisaksime neisse avaldistesse ka algfaasid. Magnetvälja lainefunktsioon on esitatav samuti kujul v2.13.

Faasikiirus on konstantse faasi, , edasikandumise kiirus. Diferentseerides avaldist, , saame faasikiiruse

Harmooniline laine on perioodiline nii ajas kui ka ruumis. Vastavalt seostele v2.12 näeme, et fikseeritud ruumipunktis, , muutub faas perioodiga ja fikseeritud  ajahetkel  on lainefunktsiooni ruumiliseks perioodiks lainepikkus

Näide N 2.1

Olgu meil tegemist kolme monokromaatilise elektromagnetlainega, mille sagedused on (võrgusagedus), (mobiilside diapasoon) ja 5×1014Hz (oranž valgus). Leiame nende lainete lainepikkused λ=c/f, perioodid T=1/f ja lainearvud k=2π/λ vaakumis ning faasiavaldised ajahetkel ruumipunktis .

Lahendus

Arvutades leiame:

,

, m

, s

, m1

ωtkz, rad

 

6×106

0,02

1,05×106

100πt0,02z

0,3

2π109t21z

5×1014

6×107

2×1015

1,05×107

π1015t1,05×107z

Näeme, et võrgusagedusele vastab lainepikkus , kuid valguse lainepikkus on väiksem mikromeetrist, seega  iseloomustab valgust suur lainearvu väärtus st antud ajahetkele vastav faas muutub ruumis võrra juba 300nm lõigul.

Harmoonilise laine

geomeetrilises esituses arvestatakse, et tema projektsioon vertikaalteljele, Jn 2.4A, langeb kokku nurkkiirusega vastupäeva pöörleva vektori, mille  pikkus  on , projektsiooniga. Hetkel on vektori ja x-telje vaheline nurk  (algfaas). Näitena saab Jn 2.4B abil leida  kahe sama sagedusega laine liitumisel tekkiva summaarse laine amplituudi ja faasi

Jn 2.4.  A – siinusfunktsiooni (paremal) ja ühtlase pöördliikumise (vasemal) projektsioonid vertikaalteljele on võrdsed. B – sama sagedusega, kuid erinevate algfaasidega lainete liitmine, sellist geomeetrilist võnkumiste/lainete esitamist nimetatakse vektordiagrammiks.

Kui lainete amplituudid on  ja ning algfaasid ja , siis faasivahe kahe laine vahel on ja täisnurksest kolmnurgast saame

Faas  on leitav seosest

Jn 2.5. Kompleksarvu esitamine tasandil. 

Teisenduste mõttes kõige efektiivsem laine esitusviis on kompleksesitus, Jn 2.5. Tasandil, mille horisontaalteljeks on kompleksarvu reaalosa ja vertikaalteljeks on imaginaarosa  , on kompleksarv   vektor, mille moodul on  ja faasinurga saame seosest . Kuna ja on joonise täisnurkse kolmnurga kaatetid, siis

Eksponentfunktsiooni  seob koosinus- ja siinusfunktsiooniga Euleri valem  (vt M 2.2),  seega

kusjuures , Im(z)=|z|sinϕ, ϕ=arctanIm(z)Re(z) ning  .

Eksponentfunktsiooni tuletise ja integraali leidmine on väga lihtne. Kui f(x)=exp(ax), siis ja  

Kuna , siis on lihtne leida kaks väga olulist seost

Kui me kasutame edaspidi mingi probleemi lahendamiseks lainefunktsiooni komplekskuju, tuleb lõpptulemus ikkagi  esitada reaalkujul.

Keskkonnas murdumisnäitajaga z-telje positiivses suunas leviva harmoonilise laine lainefunktsiooni võib komplekskujul kirja panna mitmel erineval viisil, nt (vt v 2.11, v 2.14):

Sellise kirjapaneku puhul me omistame füüsikalise tähenduse (tegelik väli antud punktis ja antud ajal) vaid avaldise reaalosale ja imaginaarosa on "ballastiks" kaasas.

Avaldises v 2.19 on on vastavalt amplituudi tavadefinitsioonile positiivne suurus. Kui nüüd tähistada kz=δ, saame

ja lugedes amplituudiks lainefunktsiooni ajast sõltumatut osa

näeme, et sellise amplituudi mõiste üldistuse puhul on amplituud üldjuhul kompleksne. Erijuhul, kui , siis

st selle laine amplituud on negatiivne, . Füüsikaliselt tähendab see seda, et laine amplituudiga on vastasfaasis lainega, mille amplituud on .

Kasutades harmoonilise laine kompleksesitust on lihtne leida, kuidas on omavahel seotud ja  hetkväärtused. Kuna mõlema välja faas on , siis seos v 2.8 omandab kuju

ja kuna , saame

Jn 2.6 Harmooniline elektromagnetlaine.

See tulemus sisaldab kaht olulist teabekildu vabas ruumis leviva laine ( kulgev laine) kohta: esiteks on elektromagnetlaines E ja H hetkväärtused üks-üheselt seotud ja teiseks, kui ja on reaalsed, siis elektri- ja magnetväli muutuvad faasis, Jn 2.5. Samasugust pilti näeksime, kui fikseeriksime ruumipunkti ja jälgiksime muutusi ajas.

Elektromagnetlaine levikul vaakumis on elektri- ja magnetväli võrdväärsed partnerid, ilma üheta poleks teist. Samas  on aga laine elektri- ja magnetkomponendi mõju ainele kõvasti erinev. Näitamaks seda, leiame esmalt, kuidas on elektromagnetlaines seotud ja .  Kuna B=μμ0H, siis v 2.21 saab kuju 

ehk faasikiiruse vahendusel (vt v 2.10)  ja vaakumis .

EMLi vastasmõju ainega on määratud jõuga

kus u on laengukandja kiirus, asendas suhtega E/c saame jõu mooduli maksimumväärtuse jaoks vaakumis

kus esimene liige nurksulgudes väljendab elektrivälja ja teine magnetvälja mõju laengukandjale . Seni kuni u/c1, on EML-i mõju ainele määratud elektriväljaga. See on põhjus, miks pöörame peatähelepanu elektriväljale.

Kuna ja on elektromagnetlaines omavahel üks-üheselt seotud, siis reeglina teeme teisendused vaid elektrivälja tugevusega , ka joonistel esitame eelistatult .

Näide N 2.2

Hinda, kas lähendus u/c0 peab paika, kui modelleerime aatomit Bohri mudeliga.

Lahendus

Kontrollimaks lähenduse u/c0 õigustatust, hindame Bohri aatomi mudeli järgi ümber tuuma tiirleva elektroni kiirust . Kui on tegemist vesiniku aatomiga, siis elektroni kaugus tuumast on rH5×1011m ja elektronile mõjub tuuma poolt jõud

mis põhjustab kesktõmbekiirenduse a=F/me. Kuna kiirendus avaldub elektroni joonkiiruse kaudu

siis

ehk elektroni kiirus orbiidil on rohkem kui kolm suurusjärku väiksem valguse kiirusest vaakumis.

2.4 Poyntingi vektor, kiiritustihedus

Olgu pinnatükk pindalaga risti z-teljega, mille suunas leviva tasalaine kiirus on . Leidmaks energiat, mis läbib aja jooksul pinnatükki, ehitame pinnatükile ristküliku, mille z-telje sihiliste külgede pikkused on . Ruumalas  salvestunud energia on summa elektri- ja magnetvälja energiast.

Jn 2.7. A – Ruumalasse vdtA salvestatud energia. B – vektori S suuna määramine.

Elektromagnetismi kursusest on teada, et elektrivälja ja magnetvälja energiatihedused on

ja 

Kuna

siis elektromagnetlaine energiatihedus on 

Ruumalas salvestatud energia on W=ρV=ρAvdt, Jn 2.7A.

Kiirgusvoo tihedus ( Poyntingi vektor) on ajaühikus laine levikusuunaga ristiolevat ühikulist pinda läbiv energia, tema moodul avaldub

ning

 

(K 2.11). Kuna elektrivälja tugevuse dimensioon on ja magnetvälja tugevuse dimensioon , saame kiirgusvoo tiheduse dimensiooniks definitsioonile vastava tulemuse

 

Voog omab suunda ja kuna meil on HILS keskkond, siis S ning v on samasuunalised ning risti nii elektri- kui ka magnetvälja tugevuse vektoritega (Jn 2.7B)

Kui meil on tegemist monokromaatilise tasalainega, siis

Optikas on tegemist kõrgete sagedustega ja Poyntingi vektori hetkväärtusi mõõta ei ole võimalik. Selle asemel iseloomustatakse elektromagnetlaine energeetilisi omadusi kiiritustihedusega , mis võrdub üle perioodi keskmistatud Poyntingi vektori väärtusega.

Kombineerides jällegi energiatiheduste ja faasikiiruse avaldisi, saame

Paljudel juhtumitel on meil vaja vaid võrrelda erinevaid kiirgusvoogusid, mitte aga leida kiiritustiheduse arvulisi väärtusi.Siis piisab teadmisest, et kiiritustihedus on võrdeline amplituudi ruuduga,

(K 2.13)

Näide N 2.3

Hinda, kas päikesevalgus võib atmosfääris esile kutsuda ionisatsiooninähtuseid?

Lahendus

Päikesevalguse kiiritustihedus atmosfääri ülapiiril ( solaarkonstant) integreerituna üle kõigi lainepikkuste on 1,36kWm2. Kasutades valemit v 2.24, leiame sellele kiiritustihedusele vastava laine elektrivälja tugevuse amplituudväärtuse vaakumis

Võrdleme saadud väljatugevust väljatugevusega, mida tekitab vesiniku aatomi tuum Bohri raadiuse kaugusel

Näeme, et Päikese ELMi väli on väga nõrk võrreldes tuuma väljaga elektroni asukohas. Seega võib laine mõju vaadelda kui aatomi oleku väikest häiritust ning võib lugeda, et kiiritustiheduse poolt esilekutsutud muutused on võrdelised kiiritustiheduse endaga st meil on tegemist lineaarsete protsessidega. Laine-aine vastasmõju mittelineaarsed efektid on esitatud peatükis 10.

Magnetvälja amplituudväärtuse leiame v 2.21 abil

Õhus atmosfäärirõhul algavad ionisatsiooninähtused ( läbilöök) väljatugevusel 3×106Vm1, seega päikesevalguse toimel õhu elektrijuhtivus ei muutu. Valgusele vastavatel sagedustel, vt pt. 3, on läbilöögiks vajalikke väljatugevusi võimalik saavutada laserkiirguse abil.

Genereerigu impulss-režiimis töötav laser nelinurkse kujuga impulsi, mille kestus on t=10ns ja energia W=1J. Kui laserkiirguse ristlõige on A=1cm2, siis saame kiiritustiheduse väärtuseks

Rakendades nüüd valemit (*), saame väljatugevuseks

mis on piisav õhu ioniseerimiseks.

2.5 Polarisatsiooni liigid

(K 2.14) Seni oli meil tegemist lihtsaima z-telje suunas leviva monokromaatilise lainega, kus . Selline vektor „joonistab“ tasandis perioodi jooksul sirglõigu pikkusega , siit ka nimetus „lineaarselt polariseeritud“. Laine jääb lineaarselt polariseerituks ka siis, kui , kuid faasivahe ja vahel on null, Jn 2.8A.

Joonis 2.8. A – Kui faasivahe kahe ristkomponendi vahel, , on valgus lineaarselt polariseeritud.  B – kahe ristkomponendi vahel faasinihe , valgus on elliptiliselt polariseeritud.

Kui ja vahel on konstantne (ajas muutumatu ) faasinihe , siis  tasandis on elektrivälja x- ja y komponendid kujul:

st x-komponent on y-komponendist võrra faasis ees, Jn 2.8B. Nüüd muutub perioodi jooksul peale pikkuse ka tema siht. trajektoori leidmiseks tasandis z=const tuleb komponentide avaldistest elimineerida aeg, teisendame

Asendades avaldises (**) aega sisaldavad liikmed seostega (*), saame

Pärast vasaku ja parema poole ruutu võtmist ja liikmete ümbergrupeerimist saame teist järku kõvera võrrandi

Kuna ja muutumispiirkond on piiratud, on tasandis tegemist suletud kõveraga – ellipsiga, Jn 2.8B.

Elliptiliselt polariseeritud valguse detailsemaks uurimiseks koostame tabeli, lähtudes valemitest v 2.25.

Jooni 2.9. Vasakpoolselt elliptiliselt polariseeritud valgus.

Olgu näitena ja seega ning  . Vektori  otspunkti trajektoori graafiliseks esitamiseks z-teljega ristiolevas tasandis joonistame ristküliku, mille külgede pikkused on võrdelised amplituudidega ja  ning kanname joonisele tabeli alusel erinevatele ajahetkedele vastavad punktid, Jn 2.9. Kui vaatlejasuunas leviva laine E-vektor liigub vastupäeva nagu praegusel juhul, on tegemist vasakpoolselt elliptiliselt polariseeritud lainega. Kui on vastasmärgiline, siis muutub ka liikumissuund ja valgus on parempoolselt elliptiliselt polariseeritud.

Muutes faasivahet , muutub ellipsi pooltelgede orientatsioon ja nende suhe. Kui , siis v 2.26 omandab kuju

ehk

saame sirge võrrandi

st valgus on lineaarselt polariseeritud. Seega on lineaarne polarisatsioon elliptilise polarisatsiooni erijuht. Üldjuhul, kui  () on valgus lineaarselt polariseeritud. Kui on null või paarisarv, muutub  veerandites I ja III; kui on paaritu, toimub võnkumine II ja IV veerandis.

Kui faasivahe , saab v.2.26 kuju  

st tegemist on ellipsiga, mille teljed ühtivad koordinaattelgedega. Kui lisaks sellele on võrdsed ka x- ja y-komponendi amplituudid, , siis vektor E liigub tasandis mööda ringjoont. Üldjuhtumil, kui faasivahe δ=(m+1/2)π  () ja ristkomponentide amplituudid on võrdsed, , on valgus ringpolariseeritud. Nii nagu elliptiliselt polariseeritud valgus, on ka ringpolariseeritud valgus kas parem- või vasakpoolselt polariseeritud.

Joonisel 2.10 on kokkuvõte erinevatest polarisatsiooniliikidest.

Jooni 2.10. Elliptiliselt polariseeritud laine näited,

Näide N 2.4

Kuidas on EML polariseeritud, kui tema ristkomponendid on kujul Ex=Ex0sinωt ja Ey=Ey0cosωt?

Lahendus

Kuna cosωt=sin(ωt+π/2), siis praegusel juhul on laine y-komponent x-komponendist faasis ees st üldjuhtumil kirjeldavad need komponendid parempoolselt elliptiliselt polariseeritud valgust, kusjuures ellipsi teljed on koordinaattelgede sihis. Kui Ex0=Ex0, on tegemist parempoolse ringpolarisatsiooniga.

ÜlesandedPraktilised tööd

2.6 Dipooli kiirgus

Vastavalt Maxwelli võrranditele on ajas muutuv juhtivusvool elektromagnetlaine allikaks, Jn 2.2. Kuna aga voolutiheduse definitsiooni järgi , siis elektromagnetlaine tekkeks peab  laeng liikuma  kiirendusega. Leiame nüüd seose vaakumis kiirendusega liikuva laengu ja tema poolt kaugusel tekitatud elektromagnetlaine vahel. Seose tuletamisel eeldame, et vaatluspunkt on liikuvast laengust väga kaugel.  Lisaks olgu nii laengukandja kiirendus kui ka kiirus väikesed st relativistlikke efekte pole vaja arvestada. Kuna laine levikukiirus on lõplik, siis ja väärtused hetkel  on määratud laengu kiirendusega varasemal ajahetkel, (tr/c). Teiste sõnadega: laengu kiirendusega liikumise mõju kaugusel oleva väljale „hilineb“.

Kui laeng on paigal, siis tema välja iseloomustab radiaalsete jõujoonte parv mille tihedus kahaneb pöördvõrdeliselt kauguse ruuduga st eksisteerib vaid elektriväli 

Liikugu nüüd algselt paigal olnud laeng aja jooksul kiirendusega  ja seejärel olgu liikumine ühtlane kiirusega . Kui alghetkest on möödunud aeg , siis selle aja jooksul toimus laengukandja nihe    võrra. Joonisel Jn 2.9A on laengu liikumisele vastav jõujoonte pilt. Kaugusele (K 2.16) vastav jõujoonte pilt on selline nagu oleks laeng algasendis ja kuna vc,  siis kaugusele vastav jõujoonte pilt on selline nagu oleks laeng kaugusel .

Jn. 2.11. A – alt üles kiirendusega liikuva laengu jõujoonte pilt. B – dipooli kiirgus. 

Näeme, et suvalisele vaatesihile vastav jõujoonte paar on nihkes. Kuna kahe sfäärilise samafaasipinna vahel laenguid ei ole, siis vastavalt Gaussi teoreemile jõujooned ei katke ja seega laengu kiireneva liikumise tulemusena tekkis lisaks elektrivälja radiaalkomponendile ka ristkomponent .

Viirutatud kolmnurgad joonisel on sarnased , seega

kus on nurk laengu liikumissuuna ja vaatesuuna vahel. Ristkomponendi avaldises

teeme asendused  ja  ning esitades elektrivälja tugevuse ja kiirenduse koos nende argumentidega, saame