Kuidas lennata?

Selle loo käsitlus on adapteeritud David C MacKay raamatust "Taastuvenergiast ilma udujututa".

Bernoulli

Tavapäraselt selgitatakse lennukite tööpõhimõtet läbi Bernoulli printsiibi. See ütleb, et

Voolava gaasi või vedeliku rõhk on suurem nendes piirkondades, kus kiirus on väiksem, ja väiksem seal, kus kiirus on suurem.

Pildikeeles näeb siis tiiva põhimõte välja selline.

Jah, tore, aga niimoodi ei saa me vastata küsimustele nagu "miks inimene ei suuda oma lihasjõul õhku tõusta?" või "kas on võimalik, et tehnoloogia arenedes hakkavad lennukid tarbima poole vähem kütust?"

Saab ka teisiti.

Lendamise "puust ja punaseks" teooria vajab kahte võrrandit, Newtoni teist seadust

j ˜ o ud = impulsi muutumise kiirus

ja Newtoni kolmandat seadust, mis ütleb, et

A poolt B-le avaldatav j ˜ o ud = - B poolt A-le avaldatav j ˜ o ud

Mina ja vanker

Vanker, loomulikult, on hõõrdevaba ja massitu. Pind ideaalselt sile. Tee mis tahad, edasi ei saa.

Väga ideaalne vanker väga horisontaalsel pinnal.

Mina, vanker ja pall

Ok, siin on mu "õng" - mul on käes pall massiga $m_{p}$ , saan seda visata. Viskan. Vanker hakkab liikuma, sest samasuguse jõuga kui ma mõjun pallile mõjub pall ka mulle. Ning kehtib impulsi jäävuse seadus. Saan iseenda kiiruseks pärast viset

v_{k} = \frac{m_{p}}{m_{k}} v_{p}

kus $m_{k}$ on minu mass, $m_{v}$ on palli kiirus pärast viset ja $v_{k}$ on minu kiirus pärast viset. Joonisel võiks seda olukorda kirjeldada niimoodi.

Viskab palli ja liigub ühele poole, pall jälle teisele poole.

Kui ei ole millelegi toetuda

Siis koristab keegi ära tee ehk toetuspunkti. Aga jätab raskusjõu alles. Kukun.

Kukkumise aeglustamiseks on nüüd mõistlik visata palli allapoole ...

aga vist on rehkendamatagi selge, et sellest ei piisa. Kui paljust piisaks?

Liikugu meie poole pallirodu, nii et me saame neid üksteise järel visata.

Proovime sellist olukorda uurida.

Raskusjõud mõjub mulle jõuga

F = m_{k} g

Raskusjõud annab mulle seega aja $Δ t$ jooksul impulsi

m_{k} g Δ t

Sama suure impulsi peaksin igas ajaühikus andma ka oma pallidele, mida allapoole viskan. Sel korral on jõud, millega pallid mulle mõjuvad, kui neid viskan, keskmistatult sama suure jõuga, kui seda on raskusjõud. Impulsi jäävuse seadus ütleb siis

m_{k} g Δ t = Δ m v_{p}

kus $v_{p}$ on endiselt kiirus, millega palle allapoole viskan ja $Δ m$ on ajaühikus allapoole visatud pallide kogumass (vahet ei ole, kas viis kilost palli või üks viis kilo kaaluv pall).

Avaldame siit alla visatavate pallide kiiruse

v_{p} = \frac{m_{k} g Δ t}{Δ m}

Kui palju energiat kulub pallidele sellise kiiruse andmiseks?

\begin{matrix} E & = \frac{Δ m v_{p}^{2}}{2} = \frac{1}{2} \frac{Δ m (m_{k} g)^{2} Δ t}{Δ m^{2}} = \frac{1}{2} \frac{(m_{k} g)^{2} Δ t}{Δ m} \end{matrix}

Nii et võimsuseks saame

P = \frac{Δ E}{Δ t} = \frac{1}{2} \frac{(m_{k} g)^{2}}{Δ m}

Näiteks kui eeldame, et sekundi jooksul viskasin allapoole $100 k g$ jagu palle, siis õhus püsimiseks tuleks seda tööd teha võimsusega

P = \frac{1}{2} \frac{(100 \cdot 10)^{2}}{100} = 5000 W

Seda on omajagu.

Kust saada palle?

Tõepoolest, näiteks $100 k g$ sekundis?

Lubame endale veel veidruseid ja eeldame, et pallid seisava paigal, aga vanker liigub edasi mööda seda lõpmatut pallirida parajasti niimoodi, et iga kord pärast viset on uus pall kohe võtta. Siis saaksime sellise pildi.

Aga ei ole ju? Kus häda kõige suurem ... sest õhku meil atmosfääris ometi on? Õhul on mass, järelikult seda visates saab viskaja vastassuunalise impulsi täpselt samamoodi, kui palle visates. Nii et unustame pallide rea ja mõtleme, et õhulaeva operaator sõidab mööda kujutletavat õhusilindrit, võtab sealt järjest õhku ja paiskab seda allapoole.

Paneme ka tähele, et siin on põhiline sisuline erinevus raketi ja lennuki vahel - kui lennukil on õhk, mida alla paisata, siis rakett peab kogu selle aine endaga kaasa võtma.

Proovime rehkendada. Selliste kujutletavate õhusilindrite massid on

Δ m = ρ_{˜ o} v_{L} t A

kus $ρ_{˜ o}$ on õhu tihedus, $v_{L}$ vankri kiirus mööda õhusilindrit liikudes, $t$ aeg, mille jooksul see õhusilinder moodustub ja $A$ silindri ristlõike pindala. Impulsi jäävuse seadus saab nüüd kuju

m_{k} g Δ t = ρ_{˜ o} v_{L} t A v_{p}

Õhu alla paiskamiseks kuluv energia on

E = \frac{(m_{k} g Δ t)^{2}}{ρ_{˜ o} v_{L} Δ t A}

Ja võimsus, mis on vajalik selliseks tegevuseks

P = \frac{1}{2} \frac{(m_{k} g)^{2}}{ρ_{˜ o} v_{L} A}

Mida raskem keha, seda suuremat võimsust on vaja. Mida suurem õhusilinder ja mida suurem vankri kiirus, seda väiksemat võimsust on vaja.

Paiskame õhku alla

Seadmel, mis õhuookeanis liikuva vankri teele ette jäävat õhku allapoole paiskab on ka nimi. Seda nimetatakse tiivaks. Tiibadega vankrit nimetatakse tavaliselt lennukiks. Järgime ka meie seda traditsiooni.

Lennukid püsivad õhus (üleval), sest paiskavad õhku alla. Kui lennuk surub õhku alla, surub õhk lennukit üles (sest Newtoni kolmas seadus ütleb seda). Lennuk ei söösta alla, kui see ülespoole suunatud jõud, mida kutsutakse tõstejõuks, tasakaalustab allapoole suunatud raskusjõu.

(Muide, tõstejõu tekitamiseks vajalikku võimsust nimetatakse tavaliselt indutseeritud takistuseks.)

Niisiis lennuk. Valemit uurides tundub kõik üsna loogiline - mida suurem tiivaulatus (suurem õhusilindri pindala $A$ ), seda väiksem minimaalne mootori võimsus. Mida suurem kiirus, seda väiksem minimaalne mootori võimsus. Õige? Siiski, veel on arvesse võtmata midagi üsna enesestmõistetavat.

Õhk takistab

Lennukid (ja linnud) liiguvad läbi õhu, nii et sarnaselt autode ja rongidega mõjub neile õhutakistus ja enamus lennukite neelatavast energiast läheb nende lükkamisele läbi õhu, ületades selleks ka õhutakistuse tekitatud jõudu. Lisaks sellele peavad lennukid erinevalt autodest ja rongidest kulutama energiat õhus püsimiseks.

Kõik kokku?

Kui lennuk paiskab õhku alla, annab ta sellele kineetilise energia. Nii et tõstejõu tekitamine nõuab energiat. Energiat annab lennukile, teadagi, mootor.

Lennuki lendamiseks vajalik koguenergia on tõstejõu tekitamiseks vajaliku energia ja tavapärase õhutakistuse ületamiseks vajaliku energia summa.

Õhutakistus sõltub lendamise kiiruse ruudust. Nii saame

\begin{matrix} P_{kogu} & = P_{takistus} + P_{t ˜ o ste} = \frac{1}{2} c_{d} ρ_{˜ o} A_{p} v_{L}^{3} + \frac{1}{2} \frac{(m g)^{2}}{ρ_{˜ o} v_{L} A} \end{matrix}

kus $A_{p}$ on lennuki esiosa pindala ja $c_{d}$ on konstant, mis määrab lennuki õhutakistuse.

Selgub, et sellel funktsioonil on miinimum ning vajalik võimsus on väikseim kiirusel, kus need kaks liidetavat on võrdsed. Väike aritmeetika annab

ρ v_{opt}^{2} = \frac{m g}{\sqrt{c_{d} A_{p} A}}

Lennuki liikumas hoidmiseks vaja minev energia sõltuvana kiirusest $v_{L}$ on takistusjõu $\frac{1}{2} c_{d} ρ_{˜ o} A_{p} v_{L}^{2}$ – mis suureneb kiiruse kasvades – ja tõstmiseks kuluva jõu (tuntud ka kui indutseeritud takistus) $\frac{1}{2} \frac{(m g)^{2}}{ρ_{˜ o} v^{2} A}$ – mis väheneb kiiruse suurenedes – summa. On olemas kirus $v_{optimaalne}$ , mille korral vajalik jõud on minimaalne. Jõud on energia teepikkuse kohta, nii et minimiseerides jõu minimiseerime me ka teepikkuse kuluva kütuse hulga. Et kütuse kasutust optimiseerida peame me lendama kiirusel $v_{optimaalne}$ . See joonis näitab kilonjuutonites meie lihtsa mudeli hinnangut, millist jõudu on erinevate kiiruste $v$ korral tarvis $317$ tonni kaaluva, $64$ meetrise tiivaulatusega, $0, 03$ takistuskoefitsiendiga ja $180 m^{2}$ esiosa pindalaga Boeing 474 lendamiseks, kui õhu tihedus on $ρ = 0, 41 k g / m^{3}$ ( $10 k m$ kõrgusel). Meie mudel pakub optimaalseks kiiruseks $v_{optimaalne} = 220 m / s$ ( $540 m p h$ ). Õhusilindriga tegeleva mudeli jaoks on see võrdluses tegelikkusega väga hea tulemus!

Miks selline käsitlus hea on? Saab vastata küsimustele, nagu:

Kas on võimalik ehitada efektiivsemaid lennukeid?
Milline saab olla lennukite, aga ka lindude maksimaalne lennuulatus?
Kas vesiniklennuk on hea mõte?
Kas lennukeid saab ehitada keskkonnasõbralikumateks?
Äkki oleks hoopis säästlikum kasutada õhutranspordiks õhulaevasid?
Kas veealuste tiibadega laevad on paremad kui lennukid?

Lõpuks, et nii saadud hinnangud lähevad üsna hästi kokku reaalsete numbritega, annab see hea tunde.

Kui tahad täpsemalt teada, siis vaata seda raamatu peatükki.

Lennukid II

Milleks kulub lennukikütuse energia? Kas lennukeid on võimalik teha kütusesäästlikemaks? Kuidas lennuki lendamist lihtsate füüsikaliste seoste kaudu uurida?

Näidisülesanne

Miks siis ikkagi on nii, et inimene ei suuda omal jõul lennata?

Lahendus

Nagu eelpool kirjeldasime, misiganes õhumasin lõppkokkuvõttes tegeleb sellega, et paiskab õhku alla ning püsib õhus sellise paiskamise "tagasilöögi" arvelt.

Impulsi jäävuse seadust kasutades näitasime eespool, et paigal seistes on õhus püsimiseks kuluv, õhu allapaiskamiseks vaja minev energia hinnatav valemist

P = \frac{1}{2} \frac{(m_{k} g)^{2}}{Δ m}

Siin $m_{k}$ on inimese mass ja $Δ m$ on ajaühikus alla paisatava õhu mass.

Rehkendus annab $5 k W$ , kui ajaühikus allapaisatava mass on $100 k g$ . Selge, et $200$ - $300 W$ , mis inimesel olemas, ei ole lihtsalt piisav.

Paneme tähele, et vajaminev võimsus väheneb, kui allapaisatav mass suureneb ja sellega võib minna kuni piirini, kus inimese võimsusest piisab. See on olukord, mida me igapäevaselt ringi kõndides tajume - saame hakkama küll. Prooviks ikkagi lennata.

Kasutame tiibu. Sellisele olukorrale hinnangu andmiseks on meil vaja esmalt arvutada optimaalne lennukiirus, selle põhjal saab kätte minimaalselt piisava võimsus.

Optimaalse kiiruse valemis on õhutakistustegur $c_{p}$ , inimlennuki esiosa pindala $A_{p}$ ja allasuunatava õhukanali pindala $A_{p}$ .

Oletame, et inimlennuk on sama voolujooneline, kui albatross $c_{p} = 0, 1$ .

Inimlennuki esiosa pindala olgu näiteks $A_{s} = 0, 5 m^{2}$ .

Õhukanali pindala hinnatakse kui lennuki tiivaulatusega määratud ruudu pindala. Kui tiivaulatus on näiteks $5 m$ , siis $A_{p} = 25 m^{2}$ .

Õhu tiheduseks võtame $1, 2 k g / m^{3}$

Inimlennuki kogumassiks arvestame $100 k g$ .

Optimaalseks kiiruseks tuleb siis

v_{opt} = \sqrt{\frac{100 k g \times 10 m / s^{2}}{1, 2 k g / m^{3} \times \sqrt{0, 1 \times 0, 5 m^{2} \times 25 m^{2}}}} = 34 \frac{m}{s}

Ja võimsuseks saame

\begin{matrix} P_{kogu} & = \frac{1}{2} c_{d} ρ A_{p} v^{3} + \frac{1}{2} \frac{(m g)^{2}}{ρ v A_{s}} = \frac{1}{2} 0, 1 \times 1, 2 \times 0, 5 \times 27, 3^{3} + \frac{1}{2} \frac{(100 \times 10)^{2}}{1, 2 \times 27, 3 \times 25} = 1221 W \end{matrix}

Ka sellist võimsust ei ole inimesel kusagilt võtta.

Jäägu igaühe koduseks ülesandeks leida, kust annaks veel võimsust kokku hoida. Näiteks suurem tiibade ulatus tähendaks ka suuremat kogumassi. Kas sellise inimlennuki esiosa pindla saab olla väiksem, kui pakutud? Kas see saab olla voolujoonelisem linnust?

Näidisülesanne

Millise kiirusega kukub ilma langevarjuta inimene maa poole? Arvestame, et inimese mass

m = 70 k g

, õhu tihedus

ρ_{˜ o} = 1, 2 k g / m^{3}

ja inimkeha tihedus

ρ_{i} = 985 k g / m^{3}

Lahendus

Vaatame olukorda, kus kukkuv inimene juba on saavutanud oma lõppkiiruse. Selles ülesandes peaksime impulsi jäävuse seaduse kirjutama üles kujul

m_{~ o} v_{~ o} = m_{i} v_{i}

Tähendab seda, et kui inimene, piltlikult, kukub vastu õhku, siis inimeselt õhule antud impulss on samasugune, kui õhult inimesele antav impulss. Aga kuidas leida suurusi selles valemis?

Kui suur on õhu mass, mis vastu inimest paiskub? Inimene kukkudes läbib igas ajaühikus õhukanali, mille ristlõike pindala on $S_{~ o}$ ja mille kõrgus on arvutatav inimese kukkumise kiirusest $v_{i}$ kujul $V_{~ o} = S_{~ o} v_{i} t$ , nii et

m_{~ o} = S_{~ o} v_{i} t

kus $t$ on suvaline ajavahemik.

Õhu kiiruse saame, kui paneme tähele, et algselt inimese poole tormanud õhk muudab oma suunda $90$ kraadi (vt joonis) $v_{~ o} = v_{i}$ .

Inimese massi kirjutame välja selle tiheduse kaudu, eeldades, et inimene on risttahukas põhjapindalaga $S_{i}$ ja kõrgusega $h_{i}$

$ $m_{i} = S_{i} h_{i} ρ_{i}$ $

Paneme veel tähele, et impulsi jäävuse seaduse paremal pool on inimese impulsi muutus, mis tuleb raskusjõu tööst, $Δ p = m_{i} g t$ .

Nii saame:

(S_{i} v_{i} t ρ_{~ o}) v_{i} = (S_{i} h_{i} ρ_{i}) g t

Pannes tähele, et niisuguses katses $S_{~ o} = S_{i}$ ning need pindalad taanduvad välja. Ka ajad taanduvad välja. Saame

v_{i} = \sqrt{\frac{ρ_{i}}{ρ_{~ o}} h_{i} g}

Oletame, et "inimese kõrgus" on keskmiselt $20 c m$ ja arvutame

v_{i} = \sqrt{\frac{985}{1, 2} 0, 2 \cdot 9, 8} = 40 m / s = 144 k m / h - -------- - - -------- -

Wikipedia ütleb, et reaalne inimese kukkumise kiirus on umbes $53 m / s$ . Nii et sellise äärmuseni lihtsustatud käsitlusega saime kätte hinnangu, mis erineb reaalsest väärtusest $25 %$ .

Kaevame edasi. Wikipedia annab vaba langemise lõppkiiruse arvutamiseks valemi

v = \sqrt{\frac{2 m g}{ρ_{~ o} C_{D} A}}

kus $m$ on langeva keha mass, $C_{D}$ on õhutakistustegur ja $A$ on langeva keha ristlõige langemissuunaga ristuvas tasandis. Eksole, meie leitud, impulsi jäävuse seadusest saadud valem on rõõmustavalt sarnane sellele, diferentsiaalarvutusest saadud valemile. Pannes meie valemisse tagasi ristlõike pindala, tuues uuesti sisse inimese massi ja valemi liikmeid ümber rühmitades saame

v_{i} = \sqrt{\frac{(ρ_{i} S_{i} h_{i}) g}{ρ_{~ o} S_{i}}}

Võrreldes nüüd neid kahte valemit näeme, et me oleme teinud rehkenduse, mis klapib, kui võtta $C_{D} = 2$ . Kui uurida wikipediat saame teade, et see vastab pika plaadi õhutakistustegurile, mis juhuslikult ongi meie mudel.