Füüsika olümpiaadide ülesannete kogumik

Saatesõna

Füüsika olümpiaadideks on läbi aastate koostatud hulgaliselt ülesandeid. Kõik nad on omaette meistriteosed - originaalseid ja häid, samas riikliku õppekava raamidesse jäävaid ülesandeid ei ole lihtne välja mõelda.

Käesolev kogumik üritab need ülesanded tuua lähemale õpetajatele, õpilastele ja igapäevasele õppetööle. Ülesanded jagatakse õpikute teemade vahel, nii et neid on lihtne leida. Ülesandeid saab ka oma õppematerjalidesse integreerida, nagu ka kõiki teisi füüsika e-õpiku materjale.

Kogumiku tegime avalikuks 2016.a. alguses, ülesanded lisanduvad siia järk-järgult. Esimeses järjekorras tegeleme põhikooli ülesannetega, aluseks on siin Erkki Templi koond avalikult kättesaadavatest olümpiaadimaterjalidest.

Ülesanded on koostanud Füüsikaolümpiaadi žürii praegused ja endised liikmed, Nimeliselt neid kõiki kohe üles lugeda ei oska ... aga ehk saame ühel ilusal päeval ka selle nimekirja kokku.

Füüsika e-õpiku toimkond

Põhikooli teooriaülesanded

Tihedus

1. Keha tihedus

Keha kaalub vees kolm korda vähem, kui õhus. Määrata keha tihedus, kui vee tihedus on

1000 k g / m^{3}

Lahendus

$ρ_{V} = 1000 k g / m^{3}$ - vedeliku tihedus;
$ρ_{K}$ - keha tihedus;
$g$ - vaba langemise kiirendus;
$m$ - keha mass;
$V$ - keha ruumala.

Kehale õhus mõjub raskusjõud $F_{G} = m g$ ja õhu üleslükkejõud, mida me loeme nulliks, järelikult

F_{˜ O} = F_{G} - 0 = m g

Vees mõjub kehale samuti raskusjõud

F_{G}

ja sedapuhku nullist erinev vee üleslükkejõud

F_{¨ U} = ρ_{V} g V

, seega

F_{V} = m g - F_{¨ U} = m g - ρ_{V} g V

Ülesande tekstis antud fakt, et keha kaalub õhus kolm korda rohkem, kui vees tähendab, et

\frac{F_{˜ O}}{F_{V}} = 3 \Rightarrow \frac{m g}{m g - ρ_{V} g V} = 3 \Rightarrow

m g = 3 m g - 3 ρ_{V} g V \Rightarrow

3 ρ_{V} g V = 2 m g

ρ_{K} = \frac{m}{V} = \frac{3 ρ_{V}}{2} = 1, 5 \cdot 1000 = 1500 k g / m^{3}

Vastus: Keha tihedus on $1500 k g / m^{3}$ .

2. Liumägi

Tüdruk rajab mäenõlvale liumäge, kastes seda mäe otsast veega, mis mäe külge mööda

l = 1 m

laiuse ribana alla voolab. Sekundis tuleb voolikust

v = 1 l

vett, jääkiht kasvab paksusega

u = 0, 05 m m / s

. Kui pika liuraja saab selliselt jääga katta? Vee tihedus

ρ_{v} = 1, 00 g / c m^{3}

, jää tihedus

ρ_{j} = 0, 92 g / c m^{3}

Lahendus

Liu pikkus $s$ on määratav tingimusest, et pinnal $s l$ külmub ajaühikus sama palju vett kui tuleb voolikust, s.t. $s l u ρ_{j} = v ρ_{v}$ , millest $s = v ρ_{v} / l u ρ_{j} = 22 m$ . Valemi võib kirja panna ka kujul $V_{j} ρ_{j} = V_{v} ρ_{v}$ . Kus $V_{j}$ on ajas muutuv jääkihi ruumala (ruumala on saadud liumäe pikkuse, laiuse ja kõrguse muutumise kiiruse korrutisena st. $V_{j} = s l u$ ) ja $V_{v}$ vastavalt vee ajas muutuv ruumala.

3. Vedelikud

Laborisse toodi kolm erinevat vedelikku. Esimese vedelikukoguse ruumala oli

V_{1} = 100 m L

, kolmanda vedeliku tihedus oli

ρ_{3} = 1270 k g / m^{3}

. Teise ja esimese vedeliku tiheduste suhe oli

\frac{ρ_{2}}{ρ_{1}} = 1, 27

. Teise ja esimese vedeliku ruumalade suhe oli

\frac{V_{2}}{V_{1}} = 1, 27

. Kolmanda ja teise vedeliku ruumalade suhe oli

\frac{V_{3}}{V_{2}} = 1, 27

. Kolmanda ja teise vedeliku tiheduste vahe oli

ρ_{3} - ρ_{2} = 270 k g / m^{3}

. Leida vedelikukoguste massid

m_{1}

m_{2}

m_{3}

Lahendus

Kõik tihedused tuleb avaldada $ρ_{3} = 1270 k g / m^{3}$ kaudu ja kõik ruumalad $V_{1} = 100 m L$ kaudu.

ρ_{2} = ρ_{3} - 270 k g / m^{3} = 1000 k g / m^{3}

ρ_{1} = \frac{ρ_{2}}{1, 27} = \frac{1000}{1, 27} k g / m^{3}

V_{2} = 1, 27 \cdot V_{1} = 127 m L

V_{3} = 1, 27 V_{2} = 1, 27 \cdot 127 m L

Teades valemit $m = ρ V$ jääb nüüd üle ainult tihedused ja massid omavahel korrutada: $m_{1} = 0, 0787 k g$ $m_{2} = 0, 127 k g$ ja $m_{3} = 0, 205 k g$ .

4. Sõrmus

On kaks ühesuguse massiga kuldsõrmust, mõlemad prooviga 585 ehk kummaski sõrmuses on 585 promilli kulda. Ülejäänu on, näiteks, hõbe või vask. Kumb sõrmus on ruumalalt suurem ja mitu korda: kas see, mis on valmistatud sulamist kuld-vask, või see, mis on valmistatud sulamist kuld-hõbe? Kulla tihedus

ρ_{k} = 19300 k g / m^{3}

, hõbeda tihedus

ρ_{h} = 10500 k g / m^{3}

ja vase tihedus

ρ_{v} = 8900 k g / m^{3}

. Märkus: eeldada, et sulami ruumala on komponentide ruumalade summa.

Lahendus

Olgu $m$ sõrmuste mass. Metallide ruumalad leiame valemist $V = \frac{m}{ρ}$ :

V_{k} = \frac{0, 585 m}{ρ_{k}} V_{h} = \frac{(1 - 0, 585) m}{ρ_{h}} V_{v} = \frac{(1 - 0, 585) m}{ρ_{v}}

Seega kuld-hõbe sõrmuse ruumala on

V_{k - h} = V_{k} + V_{h} = m (\frac{0, 585}{ρ_{k}} + \frac{0, 415}{ρ_{h}})

ja kuld-vask sõrmuse ruumala

V_{k - v} = V_{k} + V_{v} = m (\frac{0, 585}{ρ_{k}} + \frac{0, 415}{ρ_{v}})

Nende suhe

\frac{V_{k - h}}{V_{k - v}} = \frac{\frac{0, 585}{ρ_{k}} + \frac{0, 415}{ρ_{h}}}{\frac{0, 585}{ρ_{k}} + \frac{0, 415}{ρ_{v}}} \approx 0, 91

5. Kullaotsija

Kullaotsija leidis kvartskristalli, milles oli tükk puhast kulda. Ta lootis kristalli eest saada head hinda ja ei hakanud kulda sellest välja võtma. Kullassepp mõõtis kristalli ära. Kristalli mass oli

m = 100 g

ja selle ruumala

V = 12, 5 c m^{3}

. Kullassepp otsustas maksta siiski vaid puhta kulla eest. Peale mõningaid arvutusi ütles kullassepp, et kulda on

m_{k}^{'} = 64 g

. Mitme grammiga pettis kullassepp kullaotsijat? Kulla tihedus

ρ_{k} = 19, 3 g / c m^{3}

ja kvartsi tihedus

ρ_{k v} = 2, 7 g / c m^{3}

Lahendus

Kristalli mass on kulla ja kvartsi masside summa: $m = m_{k} + m_{k v}$ , siit kulla mass on $m_{k} = m - m_{k v}$ . Aine tihedus on aine massi ja ruumala suhe: $ρ = \frac{m}{V}$ , järelikult kvartsi massi leiame valemist $m_{k v} = ρ_{k v} V_{k v}$ . Kristalli ruumala on kvartsi ja kulla ruumalade summa $V = V_{k} + V_{k v}$ , seega kvartsi ruumala avaldub kui

V_{k v} = V - V_{k} = V - \frac{m_{k}}{ρ_{k}}

Tehes asendused, saame:

m_{k} = m - m_{k v} = m - ρ_{k v} V_{k v} = m - ρ_{k v} (V - \frac{m_{k}}{ρ_{k}}) = m - ρ_{k v} V + \frac{ρ_{k v} m_{k}}{ρ_{k}}

m_{k} - \frac{ρ_{k v} m_{k}}{ρ_{k}} = m - ρ_{k v} V \Rightarrow m_{k} (\frac{ρ_{k} - ρ_{k v}}{ρ_{k}}) = m - ρ_{k v} V

Järelikult on kvartskristallis kulda

m_{k} = \frac{ρ_{k} (m - ρ_{k v} V)}{ρ_{k} - ρ_{k v}} \approx 77 g

Vastus: Kullassepp pettis kullaotsijat

Δ m_{k} = m_{k} - m_{k}^{'} = 13 g r a m m i g a

Kiirus

1. Vihmapiisk

Leida vihmapiisa langemise kiirus

v

õhus sõltuvalt piisa raadiusest

R

, kui õhu takistus on

k S v^{2}

, kus

S

on piisa ristlõike pindala ja

k

on konstant.

Lahendus

Tähistused: $m$ , $V$ , $R$ , $ρ$ - vihmapiisa mass, ruumala, raadius ja tihedus; $S$ - vihmapiisa ristlõikepindala; $g$ - vaba langemise kiirendus; $v$ - vihmapiisa langemise kiirus; $k$ - konstant; $F_{R}$ - vihmapiisale mõjuv raskusjõud; $F_{T}$ - vihmapiisale mõjuv takistusjõud õhu poolt.
Teame, et

m = ρ V, V = \frac{4}{3} \cdot π R^{3}, S = π R^{2}

Vabal langemisel oleks tilgale mõjub jõud null. Järelikult õhutakistuse mõjudes võrdub takistav jõud tilgale mõjuva raskusjõuga:

m g = k S v^{2}

Avaldades sellest valemist kiiruse saame:

\frac{4}{3} \cdot π R^{3} ρ g = k π R^{2} v^{2} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{4 ρ R g}{3 k}}

2. Kiirendus

Ühtlaselt kiireneva liikumise korral kasutatakse teepikkuse leidmiseks seoseid

s = \frac{a t^{2}}{2}

s = \frac{v^{2}}{2 a}

. Toodud seostest on näha, et ühel juhul on teepikkus võrdeline kiirendusega, teisel juhul pöördvõrdeline. Kuidas näivat vastuolu seletada?

Lahendus

Kiirus oleneb ka kiirendusest: $v = a t$ .

3. Matk

Turist käis ühepäevasel matkal. Hommikul kella

7.00

-st kuni

7.30

-ni sõitis ta bussiga, mille keskmine kiirus oli

40 km/h

, edasi matkas ta jalgsi

18 km

kuni kella

12.00

-ni. Kella

12.00

-st kuni

13.00

-ni ta puhkas. Kella

13.00

-st jätkas ta matka keskmise kiirusega

5 km/h

ja jõudis koju tagasi kell

18.00

. Milline oli kogu matka keskmine kiirus ja kui pika tee turist läbis?

Lahendus

Selle ülesande lahendust on mugav illustreerida tabelina, kuhu on kantud matka erinevate etappide kohta käivad andmed.

Matka etapidIIIIIIIV

KokkuKestus, t0,5 h4,5 h1 h5 h11 hLäbitud tee, s?18 km0 km??Kiirus, v40 km/h?0 km/h5 km/h?

Kiirused ja läbitud teepikkused leiame keskmise kiiruse valemi järgi: $v = s / t$ . Kogu läbitud tee arvutame valemist $s = s_{1} + s_{2} + s_{3} + s_{4}$ . Kaido

Matka etapidIIIIIIIVKokkuKestus, t0,5 h4,5 h1 h5 h11 hLäbitud tee, s20 km18 km0 km25 km63 kmKiirus, v40 km/h4 km/h0 km/h5 km/h5,7 km/h

Vastus: Kogu matka jooksul läbis turist $63 k m$ , keskmise kiirusega $5, 7 k m / h$ .

4. Teekond

Teekonna esimese poole läbis auto 8 korda suurema kiirusega kui teise poole. Auto keskmine kiirus kogu teekonna vältel oli $16 km/h$ . Milline oli auto kiirus teekonna mõlemal poolel?

Lahendus

Teekonna esimese poole läbis auto aja $t_{1} = \frac{s}{2 v_{1}}$ , teise poole aja $t_{2} = \frac{s}{2 v_{2}}$ jooksul. Kuna $v_{1} = 8 v_{2}$ , siis $t_{1} = \frac{s}{16 v_{2}}$ . Definitsiooni kohaselt on keskmise kiirus

v = \frac{s}{t_{1} + t_{2}} = \frac{s}{s / (16 v_{2}) + s / (2 v_{2})}

v = \frac{16 v_{2}}{9} = 16 k m / h \Rightarrow v_{2} = 9 k m / h

ning järelikult

v_{1} = 8 v_{2} = 72 k m / h

5. Buss

Buss läbis esimese poole teest 8 korda suurema kiirusega kui teise poole. Bussi keskmine kiirus kogu teekonna läbimisel oli $16 km/h$ . Milline oli bussi kiirus mõlemal teelõigul?

Lahendus

Keskmine kiirus võrdub läbitud teepikkus jagatud läbimiseks kulutatud ajaga. Tähistame kogu tee pikkuse $2 L$ . Esimese poole teest läbis buss ajaga $t_{1}$ , teise poole aga ajaga $t_{2}$ . Kuna tee pooled on võrdsed, siis vastavalt ülesande tingimustele $\frac{v_{1}}{v_{2}} = 8$ tuleneb $\frac{t_{2}}{t_{1}} = 8$ ehk $t_{2} = 8 t_{1}$ . Kogu tee läbimiseks kulus $t_{2} + t_{1} = 9 t_{1}$ ning keskmine kiirus on $\frac{2 L}{9 t_{1}} = 16$ , millist kiirus esimesel poolel teel $\frac{L}{t_{1}} = 72 k m / h$ ning kiirus teisel poolel teel

\frac{L}{t_{2}} = \frac{L}{8 t_{1}} = \frac{72}{8} = 9 k m / h

6. Paat

Paat liigub vastuvoolu mööda jõge ja kohtab veevooluga kaasaliikuvat puupilbast. Paat jätkab liikumist samas suunas veel 30 minuti jooksul pärast kohtumist ning pöördub siis tagasi. Liikudes vee suhtes sama kiirusega kui varemgi, jõuab paat pilpale järele $3 km$ kaugusel nende kohtumispaigast. Milline on jõe voolu kiirus?

Lahendus

Lihtsaim lahendus on vaadelda paadi liikumist jõega seotud taustsüsteemis. Sel juhul on selge, et paat eemaldus pilpast $30 m i n$ , ning pidi kulutama sama aja, et tulla tagasi pilpa juurde. Seega kulus paadil pilpale järelejõudmiseks $60 m i n = 1 h$ . Vesi liikus koos pilpaga sama aja jooksul edasi $3 k m$ , mistõttu voolu kiirus on

v = \frac{3 k m}{1 h} = 3 k m / h .

7. Vihm

Vihm sajab nii, et vihmapiisad langevad vertikaalselt alla ühtlase kiirusega $u$ . Mööda teed veereb pall kiirusega $v$ . Mitu korda langeb ajaühikus piisku veerevale pallile rohkem kui seisvale pallile? Kas vastus muutub, kui pall pole kerakujuline?

Lahendus

Paigalseisvale pallile langevad ajaühikus vihmapiisad silindrilisest õhu piirkonnast, mille ristlõikepindala on võrdne palli vertikaalse ristlõikepindalaga $S_{1}$ ning pikkus on arvuliselt võrdne vihmapiiskade langemise kiirusega $u$ .\\
Liikumise suhtelisuse pärast võib liikuvat palli pidada paigalseisvaks, millele vihm langeb nurga all kiirusega $ω = \sqrt{u^{2} + v^{2}}$ . Seetõttu langevad liikuvale pallile piisad silindrilisest õhu piirkonnast pikkusega $\sqrt{u^{2} + v^{2}}$ .\\
Lugedes vihmapiiskade jaotust õhus ühtlaseks, saame, et paigalseisvale pallile langev piiskade arv on $N_{1} \sim u S_{1}$ ning liikuvale pallile langev piiskade arv on $N_{2} \sim \sqrt{u^{2} + v^{2}}$ , kus $S_{2}$ on palli ristlõikepindala resultantkiiruse $ω$ suunas. Järelikult on piiskade arvu suhe

\frac{N_{2}}{N_{1}} = \frac{S 2 \cdot \sqrt{v^{2} + u^{2}}}{S_{1} u} = \frac{S_{2}}{S_{1}} \cdot \sqrt{1 + \frac{v^{2}}{u^{2}}}

Kui pall on kerakujuline, siis on tema ristlõige kõikides suundades ühesugune, järelikult

S_{1} = S_{2}

ning

\frac{N_{2}}{N_{1}} = \sqrt{1 + v^{2} / u^{2}}

8. Jõgi

Jõe voolukiirus on $0,8 m/s$ ja laius $45 m$ . Kui kiiresti peab paat liikuma, et ta jõuaks $30 s$ jooksul teisele kaldale liikudes kogu aeg risti kaldaga?

Lahendus

Selleks, et liikuda risti kaldaga, peab paadi kiiruse $v$ kaldasuunaline komponent olema võrdne jõevoolu kiirusega: $v_{k} = u$ . Paadi kiiruse kaldaga risti oleva komponendi $v_{r}$ leiame valemist $v_{r} = \frac{d}{t}$ . Pythagorase teoreemist leiame paadi kogu kiiruse, teades kiiruse vektori mõlemaid komponente:

v = \sqrt{v_{k}^{2} + v_{r}^{2}} = \sqrt{u^{2} + (\frac{d}{t})^{2}} = 1, 7 m / s

9. Kärbes

Kärbes lendab kahe teineteisele vastu liikuva inimese vahel kiirusega $15 km/h$ . Kui ta jõuab ühe inimeseni, siis ta pöördub ja lendab teise inimese suunas. Mõlemad inimesed liiguvad sirgel teelõigul ühtlase kiirusega $5 km/h$ . Kui suure vahemaa jõuab kärbes läbida enne inimeste kohtumist, kui ta tõuseb lendu ühe inimese peast siis, kui inimeste vaheline kaugus oli $20 km$ .

Lahendus

Inimesed lähenevad üksteisele kiirusega $v + v = 2 v$ . Vahemaa $s$ läbivad nad ajaga $t = \frac{s}{2 v}$ . Sama palju aega lendab ka kärbes inimeste vahel. Selle aja jooksul läbib kärbes vahemaa $l = u t = u \cdot \frac{s}{2 v} = 30 k m$ .

10. Bussid

Bussid sõidavad tänava ühest otsast teise ja tagasi. Tänav on $s = 6 km$ pikk. Bussid väljuvad tänava kummastki otsast iga $t = 5 min$ järel ja sõidavad keskmise kiirusega $v = 20 km/h$ . Reisija läheb bussi peale tänava ühes otsas ja sõidab tänava teise otsa. Mitu bussi tuleb talle teel vastu?

Lahendus

Buss reisijaga sõidab keskmise kiirusega $v = 20 k m / h$ . Vastusõitvate busside vahelised kaugused on $Δ s = v Δ t$ , järelikult sõidab tänaval ühes suunas $n_{1} = s / v Δ t$ bussi. Reisija kohtab oma teekonnal kõik need bussis ning lisaks veel bussid, mis väljuvad tänava teisest otsast reisija bussisõidu ajal. Kuna iga buss läbib tänavapikkuse $s = 6 k m$ aja $t = s / v$ jooksul, siis nende lisabusside arv on $n_{2} = t / Δ t = s / v Δ t$ . Järelikult näeb reisija oma sõidu ajal $n = n_{1} + n_{2} = 2 s / v Δ t$ busse. Asendades kõik suurused nende arvväärtustega, saame $n = 7, 2$ , mis tähendab, et reisija kohtas 7 bussi.

11. Rong

Rong läbis esimese poole teest $1,5$ korda suurema kiirusega kui teise poole teest. Keskmine kiirus teel oli $v$ . Millise kiirusega läbis rong kummagi poole teest?

Lahendus

Olgu $v_{1}$ rongi kiirus esimesel poolel teest ja $v_{2}$ selle kiirus teisel poolel teest. Kogu läbitud tee pikkus olgu $2 s$ . Selle tee läbimiseks kulub ajavahemik $t = s / v_{1} + s / v_{2}$ . Teiselt poolt, vastavalt keskmise kiiruse definitsioonile $v = 2 s / t$ . Võttes arvesse, et $v_{1} = 1, 5 v_{2}$ , saame

\frac{s}{1, 5 v_{2}} + \frac{s}{v_{2}} = \frac{2 s}{v}

s

taandub välja ja saame

v_{2} = \frac{5}{6} v

ning

v_{1} = 1, 5 v_{2} = \frac{5}{4} v

12. Film

Filmis näidatakse, kuidas poiss sõidab jalgrattaga. Kui poiss hakkab sõitma, veerevad rattad õiget pidi. Kiiruse kasvades paistavad rattad pöörlevat tagurpidi. Veel suurema kiiruse $v = v_{0}$ puhul näib, nagu ei pöörleks rattad üldse. Leidke kiirus $v_{0}$ , kui on teada, et ratta ümbermõõt on $p = 2,5 m$ ning rattal on $N = 36 kodarat$ . Filmis vahetuvad kaadrid sagedusega $f = 24 Hz$ (kaadrit sekundis).

Lahendus

Ratas näib seisvat, kui järgmise kaadri ajaks on järgmine kodar jõudnud sama koha peale, kus eelmise kaadri ajal oli eelmine kodar. Kahe kaadri vahelise ajavahemiku $1 / f$ jooksul pöördub ratas ühe kodara võrra edasi ning $N$ korda pikema aja $N / f$ jooksul teeb ta täispöörde. Täispöördega liigub ratas edasi vahemaa $p$ , seega on ratta kiirus $v_{0} = p \cdot \frac{f}{N}$ , numbriliselt $v_{0} = 2, 5 \cdot \frac{24}{36} \approx 1, 7 m / s = 6 k m / h$ . Pilt kordub kui jalgratta kiirus on $v = n v_{0}$ , kus $n$ on täisarv.

13. Laevad

Kaks laeva liiguvad samas suunas. Esimese laeva kiirus on $20 km/h$ ja tagumisel $4 m/s$ . Laevade vaheline kaugus on $3 km$ . Esimeselt laevalt tõuseb õhku kajakas ja lendab tagumisele laevale. Kui kaua lind lendab, kui tema kiirus on $7 km/h$ ?

Lahendus

Tagumise laeva kiirus on $4 \cdot 3, 6 = 14, 4 k m / h$ . Kajakas ja tagumine laev lähenevad teineteisele kiirusega $u = 14, 4 + 7 = 21, 4 k m / h$ . Järelikult jõuab kajakas tagumise laevani aja $t = \frac{3}{21, 4} \approx 0, 14 h = 8, 4 m i n$ jooksul.

14. Buss

Tallinna ja Tartu vahemaa $s = 185 km$ . Ühel ja samal hetkel hakkavad bussid Tallinnast ja Tartust teineteisele vastu sõitma. Tallinnast väljuva bussi keskmine kiirus $v_{1} = 64 km/h$ . Pärast busside kohtumist suurenes Tallinnast väljunud bussi keskmise kiiruseni $v_{2} = 81 km/h$ . Sihtkohtadesse jõudsid bussid üheaegselt. Leidke sõiduaeg, kui Tartust väljunud buss sõidab kogu aeg ühesuguse kiirusega.

Lahendus

Olgu teepikkus Tallinnast kohtumispaigani $s_{1}$ ja Tartust kohtumispaigani $s_{2}$ ning
Tartust väljunud bussi kiirus $v$ . Saame võrrandisüsteemi

\frac{s_{1}}{v_{1}} = \frac{s_{2}}{v}, \frac{s_{1}}{v} = \frac{s_{2}}{v_{2}}

Selle lahendamisel leiame kiiruse

v = \sqrt{v_{1} v_{2}}

. Kogu sõiduks kulunud aeg on siis

t = \frac{s}{v} = \frac{s}{\sqrt{v_{1} v_{2}}} = 2 h 34 m i n

15. Põhupallid

Punase ja sinise autoga veetakse põhupalle põllult lauta. Punane auto sõidab sinisest iga $12 minuti$ järel mööda (``teeb ringiga pähe'') ning iga $4 minuti$ järel sõidab sinine auto punasele vastu. Kui kaua kulub kummalgi autol ühe täisringi tegemiseks? Maha- ja pealelaadimise aeg lugeda tühiselt väikseks (autosse mahub ainult üks põhupall).

Lahendus

Olgu edasi-tagasi tee pikkus $s$ , punase auto kiirus $v_{p}$ ja sinise auto kiirus $v_{s}$ . Siis punane auto läheneb sinisele autole tagantpoolt kiirusega $v_{p} - v_{s}$ ning $t_{1} = 12 m i n u t i g a$ ``süüakse ära'' täisringine edumaa $s$ , st $s = (v_{p} - v_{s}) t_{1}$ . Eestpoolt läheneb punane auto sinisele autole kiirusega $v_{p} + v_{s}$ , peale kohtumist hakkab sellise kiirusega kahanema täisring, mis tuleb punase auto ninast ühte teeotsa, sealt teise teeotsa ning lõpuks sinise auto ninani: $s = (v_{p} + v_{s}) t_{2}$ , kus $t_{2} = 4 m i n$ . Otsime suurusi $t_{s} = s / v_{s}$ ja $t_{p} = s / v_{p}$ . Paneme tähele, et eespooltoodud võrrandid võib ümber kirjutada kujul

\frac{1}{t_{p}} - \frac{1}{t_{s}} = \frac{1}{t_{1}}, \frac{1}{t_{p}} + \frac{1}{t_{s}} = \frac{1}{t_{s}}

Liites need võrrandid omavahel leiame

t_{p} = 2 (\frac{1}{t_{2}} + \frac{1}{t_{1}})^{- 1} = 6 m i n

ja lahutades:

t_{s} = 2 (\frac{1}{t_{2}} - \frac{1}{t_{1}})^{- 1} = 12 m i n

16. Liikuv rada

Kiirusega $u = 1 m/s$ liikuva raja ühele otsale astuvad Henn ja Kalev. Henn jääb rajale seisma, Kalev aga liigub raja suhtes kiirusega $w = 1,2 m/s$ . Samal hetkel hakkab liikuva raja teisest otsast lendama vastupidises suunas sääsk. Sääsk lendab Hennuni ja pöörab tagasi. Millise minimaalse kiirusega $v$ peab lendama sääsk, et jõuda Kalevini enne kui Kalev raja lõppu jõuab?

Lahendus

Olgu liikuva raja pikkus $S$ , selle kiirus $u$ , sääse kiirus $v$ ning Kalevi kiirus $ω$ . Sääsk liigub Hennu suhtes kiirusega $v + u$ , seega jõuab sääsk Hennuni ajaga $t_{0} = \frac{S}{u + v}$ . Tagasi jõuab sääsk ajaga $t = 2 t_{0} = \frac{2 S}{u + v}$ . Kalev jõuab liikuva raja lõppu ajaga $t_{1} = \frac{S}{u + w}$ . Et sääsk jõuaks Kalevini enne seda, peab kehtima $t \leq t_{1}$ . Piirjuhul saame võrrandi:

\frac{2 S}{u + v} = \frac{S}{u + ω} \Rightarrow v = u + 2 ω = 3, 4 m / s

17. Rong

Mööda raudteega paralleelset maanteed sõidab jalgrattur kiirusega $v = 12 km/h$ . Mingil hetkel jõuab talle järele rong, mille pikkus on $l = 140 m$ ja möödub jalgratturist $Δ t = 8 sekundiga$ . Kui suur on rongi kiirus $u$ ?

Lahendus

Rongi kiirus jalgratturi suhtes on

v^{'} = \frac{l}{Δ t} = \frac{140 m}{8 s} = 17, 5 m / s = 63 k m / h

Rongi tegelik kiirus on rongi suhtelise kiiruse

v^{'}

ja jalgratturi kiiruse

v_{1}

summa:

v = v^{'} + v_{1} = 63 k m / h + 12 k m / h = 75 k m / h

18. Eskalaator

Mikk ja Mann astuvad üheskoos eskalaatorile, mis sõidab ühes suunas kiirusega $u = 3 km/h$ . Kui nad on jõudnud eskalaatori keskele, pöördub Mann ümber ja hakkab tagasi kõndima kiirusega $v = 6 km/h$ . Mikk aga seisab eskalaatoril rahulikult lõpuni, pöördub siis ümber ja hakkab mööda eskalaatorit tagasi kõndima kiirusega $v = 6 km/h$ . Kui Mann on kõndinud eskalaatori algusesse, pöördub ta ümber ja jääb eskalaatorile seisma. Kui kaugel eskalaatori algusest kohtuvad Mikk ja Mann, kui eskalaatori pikkus on $l = 18 m$ ?

Lahendus

Tähistame Miku ja Manni kohtumispaiga kauguse eskalaatori algusest tähisega $x$ . Alates hetkest, mil Mann hakkab eskalaatori keskelt algusesse kõndima, läbib Mikk kohtumispaigani jõudmiseks teepikkuse

s_{1} = \frac{l}{2} + l - x

milleks kulub aeg

t_{1} = \frac{l}{2 u} + \frac{l}{v - u} - \frac{x}{v - u}

Mann läbib kohtumispaigani jõudmiseks teepikkuse

s_{2} = \frac{l}{2} + x

, milleks kulub aeg

t_{2} = \frac{l}{2 (v - u)} + \frac{x}{u}

Kuna

t_{1} = t_{2}

, siis saame:

\frac{l}{2 u} + \frac{l}{v - u} - \frac{x}{v - u} = \frac{l}{2 (v - u)} + \frac{x}{u} \Rightarrow \frac{l}{2} (\frac{1}{u} + \frac{1}{v - u}) = x (\frac{1}{u} + \frac{1}{v - u})

millest

x = \frac{l}{2} = \frac{18 m}{2} = 9 m

. Järelikult kohtuvad Mikk ja Mann uuesti eskalaatori keskel ehk kaugusel

x = 9 m

eskalaatori algusest.

Alternatiivne lahendus:
Eskalaatori keskelt lõpuni kulub Mikul aeg

t_{1} = \frac{l}{2 u}

Mannil eskalaatori alguseni aga aeg

t_{2} = \frac{l}{2 (v - u)}

Lõpust keskele tagasi kulub Mikul aeg

t_{1}^{'} = \frac{l}{2 (v - u)}

ja Mannil aeg

t_{2}^{'} = \frac{l}{2 u}

Paneme tähele, et

t_{1} + t_{1}^{'} = t_{2} + t_{2}^{'}

, seega kohtuvad nad uuesti eskalaatori keskel.

19. Laev

Väike Peeter mängis kausis laevaga. Laeva tekil olid vasest traadijupid. Kogemata ajas ta laeva kausis ümber ja traadijupid kukkusid vette; laev jäi ise siiski pinnale ulpima. Kas veetase kausis tõusis või langes? Põhjendage vastust. Vee tihedus $ρ_{H_{2} O} = 1, 00 g / c m^{3}$ , vase tihedus $ρ_{C u} = 8, 92 g / c m^{3}$ .

Lahendus

Kui traadijupid on laeva tekil, on traadijuppide poolt väljatõrjutud vee ruumala

V_{1} = \frac{m_{C u}}{ρ_{H_{2} O}}

aga kui traadijupid on kausi põhjas, siis nende poolt väljatõrjutud vee ruumala on

V_{2} = \frac{m_{C u}}{ρ_{C u}}

Võrdleme ruumalasid

V_{1}

V_{2}

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{ρ_{C u}}{ρ_{H_{2} O}} = \frac{8, 92 g / c m^{3}}{1, 00 g / c m^{3}} = 8, 92 \Rightarrow V_{1} = 8, 92 V_{2}

Sellest järeldub, et veetase kausis langeb.

20. Laev kanalis

Laev, mille kiirus seisva vee suhtes $v = 10 km/h$ läbib $L = 10 km$ pikkuse kanali pärivoolu. Kanali alguses on vee voolamise kiirus $v_{0} = 5 km/h$ . Kanali teine pool on esimesest kaks korda kitsam. Vee sügavus kanalis on kõikjal ühesugune. Kui palju aega kulub laeval kanali läbimiseks?

Lahendus

Oluline on aru saada, et kanali teises pooles on vee voolamise kiirus kaks korda suurem (vooluhulga jäävusest), seega

t = \frac{L}{2 (v + v_{0})} + \frac{L}{2 (v + 2 v_{0})}

Asendades suurused võrrandisse saame, et laeval kulub kanali läbimiseks

t = 35 m i n

21. Buss

Linnaliinil sõitvad bussid saabuvad lõpp-peatusse, seisavad ühe minuti ja sõidavad seejärel tuldud teed tagasi. Bussid väljuvad lõpp-peatusest iga $10 minuti$ järel. Juku jõudis lõpp-peatusse hetkel, kui buss sealt ära sõitis. Seejärel hakkas Juku kõndima järgmisse peatusse kiirusega $v_{1} = 5 km/h$ . Poolel teel tuli Jukule vastu järgmine liinibuss. Edasi Juku jooksis kiirusega $v_{2} = 10 km/h$ . Juku jõudis bussipeatusse samal ajal talle varem vastu tulnud bussiga. Leidke vahemaa peatuste vahel, kui buss sõitis konstantse kiirusega.

Lahendus

Olgu $t$ aeg (minutites), mis kulub bussil poole vahemaa läbimiseks peatuste vahel. Peale Jukust möödasõitmist pidi buss läbima poole teed lõpp-peatuseni (selleks kulus $t$ minutit aega), seisma ühe minuti lõpp-peatuses ja veel läbima terve vahemaa kahe peatuse vahel (selleks kulus aeg $2 t$ ). Selle ajaga (kokku $3 t + 1$ minutit) jõudis Juku joosta poole teekonnast peatuste vahel. Et esimese poole tuli ta kaks korda väiksema kiirusega, siis selleks kulus tal aega $6 t + 2$ minutit ning kogu teekonna läbimine võttis tal seega $9 t + 3$ minuitit aega. Järgmine buss alustas lõpp-peatusest sõitu $10 m i n u t i t$ peale eelmise bussi lahkumist, lisaks oli ta teel järgmisesse peatusesse $2 t$ minutit. Et Juku ja buss jõudsid peatusesse üheaegselt, siis saame $9 t + 3 = 10 + 2 t$ , kust $t = 1$ . Seega esimese poole läbimiseks kulus Jukul aega $6 t + 2 = 8 m i n u t i t$ , tema kiirus oli $5 k m / h = \frac{1}{12} k m / m i n$ . Selle ajaga kõndis ta $8 \cdot \frac{1}{12} = \frac{2}{3} k m / m i n$ , seega kogu teepikkus oli $2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \approx 1, 33 k m$ .

22. Ringrada

Võidusõiduautod sõidavad ringrajal. Esikohta hoidva auto kiirus on $v_{1} = 250 km/h$ ja viimase auto kiirus on $v_{2} = 230 km/h$ . Mitu ringi peab esimene auto sõitma, et viimasele autole ``ring sisse teha''?

Lahendus

Olgu ringraja pikkus $s$ . Esikohal oleval autol kulub ringi läbimiseks aega $t_{1} = \frac{s}{v_{1}}$ ja viimasel autol - $t_{2} = \frac{s}{v_{2}}$ . Jõudku esimene auto
viimasele järgi siis, kui esimene on sõitnud $n$ ringi. Viimane auto on siis sõitnud $n - 1$ ringi. Mõlemad autod on sõitnud ühekaua.

n t_{1} = (n - 1) t_{2} \Rightarrow n \frac{s}{v_{1}} = (n - 1) \frac{s}{v_{2}} \Rightarrow \frac{n}{v_{1}} = \frac{n}{v_{2}} - \frac{1}{v_{2}} \Rightarrow

\Rightarrow n (\frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{v_{1}}) = \frac{1}{v_{2}} \Rightarrow n = \frac{\frac{1}{v_{2}}}{\frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{v_{1}}} = 12, 5

Esikohal olev auto peab sõitma

12, 5

ringi, et viimasele autole järele jõuda.

23. Sprinter

Sprinter saavutas aja $τ = 1,80 s$ jooksul kiiruse $u = 11,2 m/s$ ja hoidis sellist kiirust $s = 100 m$ distantsi lõpuni. Milline oli tema $100 m$ aeg? Stardist väljudes kasvas jooksukiirus võrdeliselt jooksu ajaga.

Lahendus

Kogu distantsi läbis jooksja ajaga $t = t_{1} + t_{2}$ , kus $t_{1} = τ = 1, 8 s$ on kiirenduseks kulunud aeg ja $t_{2}$ on püsiva kiirusega jooksmiseks kulunud aeg.

Distantsi pikkus $s = s_{1} + s_{2} = 100 m$ , kus $s_{1}$ on kiirendades joostud distantsi osa ja $s_{2}$ - püsiva kiirusega $v_{2} = u = 11, 2 m / s$ joostud distantsi osa. Leiame keskmise kiiruse, millega jooksja läbis esimese osa distantsist: $s_{1} = v_{k} t_{1}$ . Teades, et kiirendamine toimus ühtlaselt, võime kirjutada

v_{k} = \frac{u}{2} = 5, 6 m / s

Kiirendades joostud distantsiosa pikkus

s_{1} = v_{k} t_{1} = 5, 6 m / s \cdot 1, 8 s = 10, 08 m

ja ühtlaselt joostud distantsi osa pikkus

s_{2} = s - s_{1} = 100 m - 10, 08 m = 89, 92 m

mille läbimise aeg on

t_{2} = \frac{s_{2}}{v_{2}} = \frac{89, 92 m}{11, 2 m / s} \approx 8, 03 s

Sprinteri saja meetri aeg on

t = t_{1} + t_{2} = 1, 8 s + 8, 03 s = 9, 83 s .

24. Rongid

Kahesuunalisel raudteel lähenevad teineteisele vastassuundadest kaks rongi. Reisirong sõidab kiirusega $v_{1} = 25 m/s$ , kaubarong aga kiirusega $v_{2} = 20 m/s$ . Reisirong on $s_{1} = 100 m$ pikk, kaubarong $s_{2} = 200 m$ pikk. Kui palju võtab aega rongide möödumine teineteisest?

Lahendus

Seome taustsüsteemi ühe rongiga ehk loeme ühe rongidest paigalseisvaks. Teineteisest möödumisel on rongide pikkus kokku

s = s_{1} + s_{2} = 100 m + 200 m = 300 m

Liikuva rongi kiirus uues taustsüsteemis on seega

v = v_{1} + v_{2} = 25 m / s + 20 m / s = 45 m / s

Teineteisest möödasõiduks kulub seega

t = \frac{s}{v} = \frac{300 m}{45 m / s} \approx 6, 7 s .

25. Autod

Auto väljus linnast $A$ linna $B$ suunas kell $12.00$ , sõites keskmise kiirusega $v_{1} = 75 km/h$ . Linnast $B$ väljus 10 minutit hiljem auto linna $A$ suunas, mis sõitis keskmise kiirusega $v_{2} = 80 km/h$ . Autod kohtusid kell $13.16$ . Kell $12.20$ väljus linnast $A$ auto, mis sõitis terve tee keskmise kiirusega $v_{3} = 90 km/h$ . Kui kaugel linnast $B$ jõuab kolmas auto esimesele autole järele?

Lahendus

Määrame autode kohtumise järgi linnadevahelise kauguse, $s = v_{1} t_{1} + v_{2} t_{2}$ .
Linnas $A$ väljunud auto oli teel $76 m i n$ , linnast $B$ väljunud auto $66 m i n$ , seega

s = 75 k m / h \cdot \frac{76}{60} h + 80 k m / h \cdot \frac{66}{60} h = 183 k m

Teine auto, mis alustab sõitu

Δ t = 20 m i n = \frac{1}{3} h

hiljem, jõuab esimesele järele siis, kui on täidetud tingimus

s_{1} = v_{1} t = v_{3} (t - Δ t)

, kust

t = \frac{v_{3} Δ t}{v_{3} - v_{1}}

. Kohtumine toimub 2 tundi pärast esimese auto väljasõitu. Kohtumiskoht on seega

s_{1} = v_{1} t

kaugusel linnast

A

. Linnast

B

on kohtumiskoht

Δ s = s - s_{1}

. Tehes arvutused saame, et

s_{1} = 150 k m

ja kaugus linnast

B

33 k m

26. Autod

Kaks autot, mis lähenevad täisnurksele teeristile mööda erinevaid teid, asuvad alghetkel $t = 0$ teeristist kaugustel $L_{1}$ ja $L_{2}$ . Autod liiguvad jäävate kiirustega $v_{1}$ ja $v_{2}$ . Leida autodevaheline minimaalne kaugus.

Lahendus

Seome paigalseisva taustsüsteemi autoga $A$ , siis auto $B$ kiirus auto $A$ suhtes on $v$ . Minimaalne kaugus autode vahel avaldub järgmiselt:

x = \frac{(L_{1} - L)}{sin α}, sin α = \frac{v_{2}}{\sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}}, \frac{L_{2}}{v_{2}} = \frac{L}{v_{1}}

x = \frac{L_{1} v_{2} - L_{2} v_{1}}{\sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}}

27. Rattasõit

Miku sõitis jalgrattaga. Maksimaalse kiiruse $v = 10 m/s$ saavutas ta paigalseisust ühtlaselt kiirendades $t = 12 s$ jooksul. Edasi sõitis Miku teatud aja muutumatu kiirusega. Ühtlaseks pidurdamiseks täieliku seismajäämiseni kulus tal $τ = 8 s$ . Kui pika tee $s$ läbis Miku, kui ta keskmine kiirus sõidu ajal oli $u = 8 m/s$ ?

Lahendus

Miku sõit jaguneb kolmeks etapiks: esimene - ühtlane kiirenemine, teine - liikumine muutumatu kiirusega ja kolmas - ühtlane pidurdamine. Tähistame nende kohta käivaid suurusi vastavalt indeksitega 1, 2 ja 3. Ühtlase kiirenemise ja ühtlase pidurdamise puhul kehtib valem keskmise kiiruse leidmiseks:

v_{k} = \frac{v_{0} + v_{m a x}}{2}

Esimese ja kolmanda etapi keskmised kiirused olid võrdsed:

v_{1} = v_{3} = \frac{v_{2}}{2} = \frac{10 m / s}{2} = 5 m / s

Veel teame me suurusi:

t_{1} = t

t_{3} = τ

. Kogu teekonna pikkus oli:

s = v_{1} t_{1} + v_{2} t_{2} + v_{3} t_{3} = u (t_{1} + t_{2} + t_{3})

Siit leiame teise etapi kestuse:

5 \cdot 12 + 10 t_{2} + 5 \cdot 8 = 8 \cdot (12 + t_{2} + 8)

100 + 10 t_{2} = 160 + 8 t_{2} \Rightarrow t_{2} = 30 s

Järelikult:

s = 8 \cdot (12 + 30 + 8) = 400 m

28. Buss ja jalakäija

Rohelise tule süttides alustas ristmikult kõndimist inimene ja sõitmist liinibuss. Inimese keskmine kiirus oli $v_{i} = 5 km/h$ . Järgmise ristmiku juurde jõudsid buss ja inimene korraga, kuid buss oli vahepeal teinud peatuse. Bussi keskmine kiirus väljaspool peatust oli $v_{b} = 30 km/h$ . Kui kaua buss peatus, kui ristmike vahemaa oli $s = 300 m$ ?

Lahendus

Kuna inimene ja buss alustasid ja lõpetasid liikumise koos, siis kulub neil sama maa läbimiseks võrdne aeg. Kestku bussi peatus ajavahemiku $Δ t$ . Inimesel kulus teise ristmikuni jõudmiseks $t_{i} = \frac{s}{v_{i}}$ .
Buss läbis sama vahemaa ajaga $t_{b} = \frac{s}{v_{b}} + Δ t$ .
Võrdsustame omavahel $t_{i}$ ja $t_{b}$ : $\frac{s}{v_{i}} = \frac{s}{v_{b}} + Δ t$ . Avaldame võrrandist aja $Δ t$ :

Δ t = \frac{s}{v_{i}} - \frac{s}{v_{b}} = \frac{0, 3 k m}{5 k m / h} - \frac{0, 3 k m}{30 k m / h} = 0, 05 h = 3 m i n .

29. Putukad

Ühtlase massijaotusega varda keskpunkt asub väikese kivi peal. Varda ühe otsa juures istub sipelgas massiga $m_{s} = 40 mg$ , teise otsa juures aga lepatriinu massiga $m_{l} = 0,1 g$ . Kuskil nende vahel istub veel põrnikas massiga $m_{p} = 0,6 g$ . Varras on alguses tasakaalus. Ühel hetkel hakkab sipelgas roomama põrnika poole kiirusega $v_{s} = 7,5 mm/s$ , samaaegselt hakkab seda tegema ka lepatriinu kiirusega $v_{l} = 3,0 mm/s$ . Põrnikas annab omakorda endast kõik, et varras jääks kogu aeg tasakaalu. Kellega ja millisel ajahetkel saab põrnikas varem kokku, kas sipelga või lepatriinuga? Varda pikkus on $l = 20 cm$ .

Lahendus

Kuna sipelgas on kergem kui lepatriinu, aga nad asuvad varda keskpunkist sama kaugel, peab põrnikas tasakaalu saavutamiseks paiknema sipelgale lähemal.
Olgu $x$ põrnika kaugus varda keskpunktist. Kirjutame välja putukate jõumomendid varda keskpunkti suhtes:

M_{s} = m_{s} g \cdot \frac{l}{2}, M_{l} = - m_{l} g \cdot \frac{l}{2}, M_{p} = m_{p} g \cdot x

Lepatriinu jõumoment on võetud miinusmärgiga, kuna tema asub tasakaalu keskpunktist teisel pool. Tasakaalu korral on jõumomentide summa

M_{s} + M_{p} + M_{p} = 0

. Seda võrdust kasutades leiame, et

x = 1, 0 c m

. Seega lepatriinu asub

d = 9, 0 c m

kaugusel sipelgast.
Paneme tähele, et roomamise käigus sipelga ja lepatriinu summaarne jõumoment keskpunkti suhtes jääb samaks: aja

Δ t

jooksul muutub siplega jõumoment

m_{s} g v_{s} Δ t

võrra, lepatriinu jõumoment aga

- m_{l} g v_{l} Δ t

võrra. Kuna aga

m_{s} v_{s} = m_{l} v_{l}

, siis saamegi, et nende summaarne jõumoment ei muutu.Järelikult tasakaalu hoidmiseks ei pea põrnikas midagi ette võtma. Kuna sipelgas asub algselt põrnikale lähemal ja ta liigub lepatriinust kiiremini, saab sipelgas esimesena põrnikaga kokku. See juhtub

τ = \frac{d}{v_{s}} = 12 s

pärast roomamise algust.

30. Laserpointer

Vaatleme hüpoteetilist olukorda, kus valguse kiirus on väike, $c = 100 km/h$ . Juku asetseb raadiusega $R = 10 m$ silindrilise ekraani teljel. Tal on käes lasepointer, mida ta keerutab ümber silindri telje (pointeri telg on risti silindri teljega). Millise vähima sagedusega peaks Juku keerutama laserpointerit, et täpp ekraanil paistaks talle asuvat täpselt pointeri sihil?

Lahendus

Sagedus on vähim siis, kui valguse leviaaeg edasi-tagasi võrdub ühe täispööre ajaga. Seega

T = \frac{2 R}{c} \Rightarrow f = \frac{c}{2 R} \approx 1, 4 H z .

31. Parvetaja

Aurik läbib linnade vahelise veetee mööda jõge pärivoolu 3 tunniga ja vastuvoolu 5 tunniga. Mitme tunniga jõuaks parvega allavoolu kulgedes ühest linnast teise?

Lahendus

Olgu teepikkus $s$ , jõevoolu kiirus $v$ ja auriku enda kiirus $u$ . Saame, et

\frac{s}{u + v} = 3 h, \frac{s}{u - v} = 5 h

Teisendades, saame

\frac{u}{s} + \frac{v}{s} = \frac{1}{3 h}, \frac{u}{s} - \frac{v}{s} = \frac{1}{5 h}

Lahutades esimesest võrrandist teise, leiame et

\frac{v}{s} = \frac{1}{15} h

. Aeg, mis kulub parvega allavoolu liikumiseks on seega

t = \frac{s}{v} = 15 h

32. Ralli

Le Mans'i 24 tunni rallit sõidetakse ringrajal. Sõit kestab ühe ööpäeva ja ralli võidab enim ringe läbinud osaleja. Ühe ringi pikkus on $L = 13,5 km$ . Kui palju erinesid esimese ja teise koha saanute keskmised kiirused, kui teise koha omanik sõitis võitjast kümme ringi vähem?

Lahendus

Läbigu võitja $n$ ringi. Siis sõidab teise koha omanik $n - 10$ ringi. Võitja keskmine kiirus on $\frac{L n}{τ}$ , kus $τ = 24 h$ . Teise koha saanu keskmine kiirus on: $\frac{L (n - 10)}{τ}$ . Keskmiste kiiruste vahe on:

\frac{L n}{τ} - \frac{L (n - 10)}{τ} = \frac{10 L}{τ} = 5, 6 k m / h

Teadmiseks: 2007. aastal läbis Le Mans’i ralli võitja 369 ringi, teise koha omanik kümme ringi vähem ja kolmanda koha saaja teiseks tulnust ühe ringi vähem. Võitja läbis

5029 k m

ja tema keskmine kiirus oli

210 k m / h

33. Pagas

Lennujaama ruudukujulise pagasilindi ühe nurga juures seisab Janno. Ühel hetkel märkab ta lindi naabernurgas oma eemalduvat kohvrit. Kuidas jõuaks Janno oma kohvrini kiiremini: kas minnes talle järele või vastu? Pagasilindi kiirus $u = 1 m/s$ , Janno liikumise kiirus $w = 6 km/h$ .

Lahendus

Kilomeetrites tunnis on pagasilindi kiirus $u = 3, 6 k m / h$ . Olgu $s$ ruudu küljepikkus. Minnes kohvrile järele on Janno ja kohvri esialgne vahekaugus $s$ ja lähenemise kiirus $v_{1} = w - u = 2, 4 k m / h$ . Minnes kohvrile vastu on Janno ja kohvri esialgne vahekaugus $3 s$ ja lähenemise kiirus $v_{2} = w + u = 9, 6 k m / h$ . Teisel juhul on lähenemise kiirus $\frac{v_{2}}{v_{1}} = 4$ korda suurem kui esimesel juhul, samas vahemaa on suurem ainult 3 korda. Järelikult minnes kohvrile vastu saab Janno ta varem kätte.

34. Möödasõit

Mööda teed sõidavad teineteisele vastu veoauto ja buss. Veoauto kiirus on $v_{1} = 20 m/s$ , bussi kiirus $v_{2} = 25 m/s$ . Veoauto taga sõidab sõiduauto. Kui suure minimaalse keskmise kiirusega peab sõitma sõiduauto, et mööduda ohutult veoautost, kui möödasõidu algul on veoauto ja bussi kaugus ninast ninani $s = 400 m$ , sõiduauto on veoautost $s_{0} = 15 m$ kaugusel ja veoauto pikkus on $l = 15 m$ ? Ohutu on möödasõit, mille sõiduauto lõpetab $s_{1} = 20 m$ kaugusel veoautost ja $s_{2} = 80 m$ kaugusel vastutulevast bussist.

Lahendus

Möödasõidu lõpul on veoauto ja bussi vaheline kaugus $20 m + 80 m = 100 m$ . Möödasõit kestab seega

t = \frac{400 m - 100 m}{25 k m / h + 20 k m / h} = 6, 7 s

Möödasõidul sõidab sõiduauto

15 m + 15 m + 20 m = 50 m

rohkem kui veoauto. Sõiduauto kiirus peab veoauto suhtes olema

v = \frac{50 m}{6, 7 s} = 7, 5 m / s

.
Sõiduauto minimaalne kiirus maantee suhtes on seega

20 m / s + 7, 5 m / s = 27, 5 m / s

35. Sillad

Mööda teed sõidavad vastassuundades ühtlase kiirusega auto ja jalgrattur. Auto liigub kiirusega $v = 25 m/s$ , jalgrattur kiirusega $u = 10 m/s$ . Mingil hetkel sõidab auto üle silla, üks minut hiljem sõidab üle teise silla jalgrattur. Auto kohtub jalgratturiga $s = 3 km$ kaugusel jalgratturi poolt ületatud sillast. Kui kaugel asuvad teineteisest sillad?

Lahendus

Pärast oma silla ületamist sõidab jalgrattur kohtumispaika

t_{j} = \frac{s}{u}

Auto sõidab kohtumispaika

t_{a} = t_{j} + Δ t

kus

Δ t = 60 s

. Sildade vaheline kaugus on seega

s_{0} = v (t_{j} + Δ t) + s

Saame sildade vaheliseks kauguseks

12 k m

36. Rongid tunnelis

Rongi sõit läbi tunneli kestis $t = 1 min$ . Rongi kiirus oli $v = 80 km/h$ ja tunneli pikkus oli $s = 1 km$ . Kui pikk oli rong?

Lahendus

Rong läbis ühe minutiga vahemaa $L = t v = \frac{1}{60} h \cdot 80 k m / h = \frac{4}{3} k m$ . Kuna rong läbib minutiga pikema vahemaa, kui on tunneli pikkus, siis võrdub läbitud vahemaa ja tunneli pikkuse erinevus rongi pikkusega. Rongi pikkus oli $Δ L = L - s = \frac{1}{3} k m$ .

37. Jalgratturid

Kaks jalgratturit läbivad $1000 m$ pikkuse distantsi. Üks jalgratturitest kasutab pedaalide juures 51 hambaga ja tagarattal 15 hambaga hammasratast, teine ees 48 hambaga ja taga 13 hambaga hammasratast. Mitu sekundit hilineb finišis aeglasem jalgrattur, kui kiirema jalgratturi keskmine kiirus distantsil on $36 k m / h$ ja mõlemad ratturid väntavad täpselt sama sagedusega? Jalgrataste tagumised rattad on ühesugused.

Lahendus

Arvutame kummagi jalgratta ülekandearvu:

Z_{1} = \frac{51}{15} = 3, 4, Z_{2} = \frac{48}{13} = 3, 7

Jalgratturid teevad distantsi läbimiseks pedaalipöördeid vastavalt

n_{1} = \frac{1000}{3, 4 c} n_{2} = \frac{1000}{3, 7 c}

kus

c

tähistab tagumise ratta ümbermõõtu.
Kuivõrd mõlemad jalgratturid väntavad sama sagedusega, siis jõuab enne kohale see, kes teeb vähem vändapöördeid, seega teine jalgrattur. Esimene rattur teeb

n = \frac{n_{1}}{n_{2}} = \frac{3, 7}{3, 4} = 1, 088

korda rohkem pöördeid, järelikult kulutab ta ka aega

1, 088

korda rohkem.
Teisel ratturil kulub distantsi läbimiseks

t_{2} = \frac{1000 m}{10 m / s} = 100 s

. Esimesel kulub distantsi läbimiseks

t_{1} = 100 s \cdot 1, 088 = 108, 8 s

, seega

8, 8

sekundit rohkem kui teisel ratturil.

38. Lennukid

Kaks hävituslennukit, lennates samal kõrgusel vastas- suundades, mööduvad teineteisest, lennates kiirustega vastavalt $v_{1} = 1200 k m / h$ ja $v_{2} = 1000 k m / h$ . Esimesest lennukist tulistatakse teist risti liikumissuunaga. Kui pika vahemaa tagant tekivad teise lennuki keresse kuuliaugud, kui kuulipilduja tulistab $n = 4200 l a s k u$ minutis? Kas ja kuidas sõltub kuuliaukude vaheline kaugus lennukite kaugusest teineteisest?

Lahendus

Teisendame kiirused: $v_{1} = 330 m / s$ ja $v_{2} = 280 m / s$ .
Lennukite kiirus teineteise suhtes on $v = v_{1} + v_{2} = 610 m / s$ .
Kuulipilduja teeb sekundis 70 lasku ja kahe lasu vaheline aeg on $t = \frac{1}{70} s$ .
Teine lennuk liigub esimese lennuki suhtes kahe kuuli vahelisel ajal $s = v t$ .
Kuuliaukude vahe lennuki keres on seega $s = 610 \cdot \frac{1}{70} = 8, 7 m$ .
Vastus ei sõltu lennukite kaugusest teineteisest.

39. Koer

Tarmo ja Taivo sõitsid jalgratastega kodust poodi ( $s = 1 k m$ ). Nad alustasid kodust samal ajal, kusjuures Tarmo sõitis ühtlase kiirusega $v_{1} = 5 \frac{m}{s}$ ja Taivo kiirusega $v_{2} = 6 \frac{m}{s}$ . Poe juures jäi Taivo Tarmot järgi ootama. Nende koer jooksis algusest peale nende vahel kiirusega $v_{3} = 10 \frac{m}{s}$ , kuni mõlemad olid kohale jõudnud. Koer jooksis muudkui otse ühe juurest teiseni ja tagasi esimese juurde, ja nii kogu aeg. Mis oli koera poolt läbitud teepikkus $l$ ? Võib eeldada, et koeral kulus ümberpööramiseks väga vähe aega.

Lahendus

Paneme tähele, et koer jookseb kiirusega $v_{3} = 10 \frac{m}{s}$ täpselt nii kaua kui Tarmol kulub kohale jõudmiseks aega. Tarmol kulub aega $t = \frac{s}{v_{1}} = 200 s$ . Seega $l = v_{3} \cdot t = 10 \frac{m}{s} \cdot 200 s = 2 k m$ .

40. Auto

On antud auto kiiruse graafik (vt. joonis). Leida läbitud tee pikkus.

Lahendus

Teepikkus on leitav valemist $v = \frac{s}{t} ⟹ s = v \cdot t$ , kuna graafik on antud teljestikus $v$ ja $s$ , siis otsitav teepikkus on graafiku joonealune pindala. Seetõttu on hea jagada läbitud teepikkus kolmeks osaks: $s = s_{1} + s_{2} + s_{3}$ , kus $s_{1}$ on kiireneva liikumise käigus läbitud tee, $s_{2}$ ühtlase kiirusega läbitud tee ja $s_{3}$ aeglustuva liikumise käigus läbitud tee.

s_{1} = \frac{30 \frac{m}{s} \cdot 120 s}{2} = 1800 m

s_{2} = 30 \frac{m}{s} \cdot 180 s = 5400 m

s_{3} = \frac{30 \frac{m}{s} \cdot 180 s}{2} = 2700 m

s = 1800 + 5400 + 2700 = 9900 m

41. Kauboid

Kauboid Bill ja Frank ratsutasid mööda teed teineteisele vastu, kui märkasid ühtäkki postitõllalt mahakukkunud kullakotti ning hakkasid selle poole kappama. Kullani jõudmiseks peab Bill ületama teega ristuva raudtee, mida mööda sõitev rong on joonisel kujutatud hetkel jõudnud ristteeni. Rongi kiirus on $72 \frac{k m}{h}$ . Täpselt sama kiiresti suudavad liikuda ka mõlema kauboi hobused. Billil on kaks võimalust: 1) jääda teele ja oodata rongi möödumist, 2) üritada rongist ringiga mööda ratsutada. Vaadelge mõlemat juhtu ja leidke nii Billil kui Frankil kullani jõudmiseni kulunud aeg, alates joonisel kujutatud hetkest. Kumb kauboi saab kulla endale? Kiirendamise ja pidurdamisega arvestama ei pea, ehk võib eeldada, et hobune hakkab kohe liikuma tippkiirusega.

Lahendus

Rongi ja kauboide kiirus on $72 \frac{k m}{h} = \frac{72 \cdot 1000 m}{3600 s} = 20 \frac{m}{s}$ . Frankil kullani
jõudmiseks kulunud aeg on leitav valemi $t = \frac{s}{v}$ järgi:

t_{F} = \frac{280 m}{20 \frac{m}{s}} = 14 s

Esimesel juhul peab Bill ootama kuni rong läbib oma pikkuse jagu maad ning seejärel ratsutama ristteest kullani. Kokku kulub seega

t_{B 1} = \frac{200 m}{20 \frac{m}{s}} + \frac{100 m}{20 \frac{m}{s}} = 15 s

Aega, mis kulub Billil raudteeni jõudmiseks siin eraldi arvestama ei pea, sest see on ilmselgelt väiksem alghetkest rongi möödumiseni kuluvast ajast. Teisel juhul ei saa Bill rongi eest mööda ratsutada, sest võrdsete kiiruste tõttu ei jõuaks ta kunagi rongist ette. Jääb üle rongist tagantpoolt mööda sõita. Vähim aeg kulub juhul, kui tühjal maal liikuda sirgjooneliselt ja tagumisest vagunist mööduda võimalikult lähedalt ehk Bill ja rongi tagumine ots jõuavad punkti $C$ täpselt samal ajal (vaata joonist). Võrdsete kiiruste tõttu on võrdsed ka lõigud $A C$ ja $B C$ , mille pikkust tähistame $x$ -ga. Tekib täisnurkne kolmnurk, mille külgede pikkused meetrites on: hüpotenuus $x$ , üks kaatet