Füüsika olümpiaadide ülesannete kogumik

Saatesõna

Füüsika olümpiaadideks on läbi aastate koostatud hulgaliselt ülesandeid. Kõik nad on omaette meistriteosed - originaalseid ja häid, samas riikliku õppekava raamidesse jäävaid ülesandeid ei ole lihtne välja mõelda.

Käesolev kogumik üritab need ülesanded tuua lähemale õpetajatele, õpilastele ja igapäevasele õppetööle. Ülesanded jagatakse õpikute teemade vahel, nii et neid on lihtne leida. Ülesandeid saab ka oma õppematerjalidesse integreerida, nagu ka kõiki teisi füüsika e-õpiku materjale.

Kogumiku tegime avalikuks 2016.a. alguses, ülesanded lisanduvad siia järk-järgult. Esimeses järjekorras tegeleme põhikooli ülesannetega, aluseks on siin Erkki Templi koond avalikult kättesaadavatest olümpiaadimaterjalidest.

Ülesanded on koostanud Füüsikaolümpiaadi žürii praegused ja endised liikmed, Nimeliselt neid kõiki kohe üles lugeda ei oska ... aga ehk saame ühel ilusal päeval ka selle nimekirja kokku.

Füüsika e-õpiku toimkond

1 Põhikooli teooriaülesanded

1.1 Tihedus

1.1.1 Mida peab tiheduse ülesannete lahendamiseks teadma ja oskama?

Tiheduse definitsioon.
Algebraliste teisenduste süsteemne kasutamine lõppvalemi saamiseks.
Ülesande teksti põhjal võrrandite ja võrrandisüsteemide koostamine.
Kehale mõjuva üleslükkejõu ja keha tiheduse vaheline seos.

Ülesanded

Keha tihedus

Keha kaalub vees kolm korda vähem, kui õhus. Määrata keha tihedus, kui vee tihedus on

1000 k g / m^{3}

Lahendus

$ρ_{V} = 1000 k g / m^{3}$ - vedeliku tihedus;
$ρ_{K}$ - keha tihedus;
$g$ - vaba langemise kiirendus;
$m$ - keha mass;
$V$ - keha ruumala.

Kehale õhus mõjub raskusjõud $F_{G} = m g$ ja õhu üleslükkejõud, mida me loeme nulliks, järelikult keha kaal õhus avaldub kui

F_{˜ O} = F_{G} - 0 = m g

Vees mõjub kehale samuti raskusjõud $F_{G}$ , aga sedapuhku on vee üleslükkejõud nullist erinev, $F_{¨ U} = ρ_{V} g V$ , seega

F_{V} = m g - F_{¨ U} = m g - ρ_{V} g V

Ülesande tekstis antud fakt, et keha kaalub õhus kolm korda rohkem, kui vees tähendab, et

\frac{F_{˜ O}}{F_{V}} = 3

Teisendades saame

\frac{m g}{m g - ρ_{V} g V} = 3 \Rightarrow

m g = 3 m g - 3 ρ_{V} g V \Rightarrow

3 ρ_{V} g V = 2 m g

Avaldame siit keha massi $m$ ja asendame selle keha tiheduse $ρ_{K}$ avaldisse ja arvutame

ρ_{K} = \frac{m}{V} = \frac{3 ρ_{V}}{2} = 1, 5 \cdot 1000 = 1500 k g / m^{3}

Vastus: Keha tihedus on $1500 k g / m^{3}$ .

Liumägi

Tüdruk rajab mäenõlvale liumäge, kastes seda mäe otsast veega, mis mäe külge mööda

l = 1 m

laiuse ribana alla voolab. Sekundis tuleb voolikust

v = 1 l

vett, jääkiht kasvab paksusega

u = 0, 05 m m / s

. Kui pika liuraja saab selliselt jääga katta? Vee tihedus

ρ_{v} = 1, 00 g / c m^{3}

, jää tihedus

ρ_{j} = 0, 92 g / c m^{3}

Lahendus

Liu pikkus $s$ on määratav tingimusest, et pinnal $s l$ külmub ajaühikus sama palju vett kui tuleb voolikust, s.t.

s l u ρ_{j} = v ρ_{v}

millest

s = v ρ_{v} / l u ρ_{j} = 22 m

Valemi võib kirja panna ka kujul $V_{j} ρ_{j} = V_{v} ρ_{v}$ . Kus $V_{j}$ on ajas muutuv jääkihi ruumala (ruumala on saadud liumäe pikkuse, laiuse ja kõrguse muutumise kiiruse korrutisena st. $V_{j} = s l u$ ) ja $V_{v}$ vastavalt vee ajas muutuv ruumala.

3.

Laborisse toodi kolm erinevat vedelikku. Esimese vedelikukoguse ruumala oli

V_{1} = 100 m L

, kolmanda vedeliku tihedus oli

ρ_{3} = 1270 k g / m^{3}

. Teise ja esimese vedeliku tiheduste suhe oli

\frac{ρ_{2}}{ρ_{1}} = 1, 27

. Teise ja esimese vedeliku ruumalade suhe oli

\frac{V_{2}}{V_{1}} = 1, 27

. Kolmanda ja teise vedeliku ruumalade suhe oli

\frac{V_{3}}{V_{2}} = 1, 27

. Kolmanda ja teise vedeliku tiheduste vahe oli

ρ_{3} - ρ_{2} = 270 k g / m^{3}

. Leida vedelikukoguste massid

m_{1}

m_{2}

m_{3}

Lahendus

Kõik tihedused tuleb avaldada $ρ_{3} = 1270 k g / m^{3}$ kaudu ja kõik ruumalad $V_{1} = 100 m L$ kaudu.

ρ_{2} = ρ_{3} - 270 k g / m^{3} = 1000 k g / m^{3}

ρ_{1} = \frac{ρ_{2}}{1, 27} = \frac{1000}{1, 27} k g / m^{3}

V_{2} = 1, 27 \cdot V_{1} = 127 m L

V_{3} = 1, 27 V_{2} = 1, 27 \cdot 127 m L

Teades valemit $m = ρ V$ jääb nüüd üle ainult tihedused ja massid omavahel korrutada: $m_{1} = 0, 0787 k g$ $m_{2} = 0, 127 k g$ ja $m_{3} = 0, 205 k g$ .

4. Sõrmus

On kaks ühesuguse massiga kuldsõrmust, mõlemad prooviga 585 ehk kummaski sõrmuses on 585 promilli kulda. Ülejäänu on, näiteks, hõbe või vask. Kumb sõrmus on ruumalalt suurem ja mitu korda: kas see, mis on valmistatud sulamist kuld-vask, või see, mis on valmistatud sulamist kuld-hõbe? Kulla tihedus

ρ_{k} = 19300 k g / m^{3}

, hõbeda tihedus

ρ_{h} = 10500 k g / m^{3}

ja vase tihedus

ρ_{v} = 8900 k g / m^{3}

. Märkus: eeldada, et sulami ruumala on komponentide ruumalade summa.

Lahendus

Olgu $m$ sõrmuste mass. Metallide ruumalad leiame valemist $V = \frac{m}{ρ}$ :

V_{k} = \frac{0, 585 m}{ρ_{k}} V_{h} = \frac{(1 - 0, 585) m}{ρ_{h}} V_{v} = \frac{(1 - 0, 585) m}{ρ_{v}}

Seega kuld-hõbe sõrmuse ruumala on

V_{k - h} = V_{k} + V_{h} = m (\frac{0, 585}{ρ_{k}} + \frac{0, 415}{ρ_{h}})

ja kuld-vask sõrmuse ruumala

V_{k - v} = V_{k} + V_{v} = m (\frac{0, 585}{ρ_{k}} + \frac{0, 415}{ρ_{v}})

Nende suhe

\frac{V_{k - h}}{V_{k - v}} = \frac{\frac{0, 585}{ρ_{k}} + \frac{0, 415}{ρ_{h}}}{\frac{0, 585}{ρ_{k}} + \frac{0, 415}{ρ_{v}}} \approx 0, 91

5. Kullaotsija

Kullaotsija leidis kvartskristalli, milles oli tükk puhast kulda. Ta lootis kristalli eest saada head hinda ja ei hakanud kulda sellest välja võtma. Kullassepp mõõtis kristalli ära. Kristalli mass oli

m = 100 g

ja selle ruumala

V = 12, 5 c m^{3}

. Kullassepp otsustas maksta siiski vaid puhta kulla eest. Peale mõningaid arvutusi ütles kullassepp, et kulda on

m_{k}^{'} = 64 g

. Mitme grammiga pettis kullassepp kullaotsijat? Kulla tihedus

ρ_{k} = 19, 3 g / c m^{3}

ja kvartsi tihedus

ρ_{k v} = 2, 7 g / c m^{3}

Lahendus

1.2 Kiirus

1. Vihmapiisk

Leida vihmapiisa langemise kiirus

v

õhus sõltuvalt piisa raadiusest

R

, kui õhu takistus on

k S v^{2}

, kus

S

on piisa ristlõike pindala ja

k

on konstant.

Lahendus

Tähistused: $m$ , $V$ , $R$ , $ρ$ - vihmapiisa mass, ruumala, raadius ja tihedus; $S$ - vihmapiisa ristlõikepindala; $g$ - vaba langemise kiirendus; $v$ - vihmapiisa langemise kiirus; $k$ - konstant; $F_{R}$ - vihmapiisale mõjuv raskusjõud; $F_{T}$ - vihmapiisale mõjuv takistusjõud õhu poolt.
Teame, et

m = ρ V, V = \frac{4}{3} \cdot π R^{3}, S = π R^{2}

Vabal langemisel oleks tilgale mõjub jõud null. Järelikult õhutakistuse mõjudes võrdub takistav jõud tilgale mõjuva raskusjõuga:

m g = k S v^{2}

Avaldades sellest valemist kiiruse saame:

\frac{4}{3} \cdot π R^{3} ρ g = k π R^{2} v^{2} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{4 ρ R g}{3 k}}

2. Kiirendus

Ühtlaselt kiireneva liikumise korral kasutatakse teepikkuse leidmiseks seoseid

s = \frac{a t^{2}}{2}

s = \frac{v^{2}}{2 a}

. Toodud seostest on näha, et ühel juhul on teepikkus võrdeline kiirendusega, teisel juhul pöördvõrdeline. Kuidas näivat vastuolu seletada?

Lahendus

Kiirus oleneb ka kiirendusest: $v = a t$ .

3. Matk

Turist käis ühepäevasel matkal. Hommikul kella

7.00

-st kuni

7.30

-ni sõitis ta bussiga, mille keskmine kiirus oli

40 km/h

, edasi matkas ta jalgsi

18 km

kuni kella

12.00

-ni. Kella

12.00

-st kuni

13.00

-ni ta puhkas. Kella

13.00

-st jätkas ta matka keskmise kiirusega

5 km/h

ja jõudis koju tagasi kell

18.00

. Milline oli kogu matka keskmine kiirus ja kui pika tee turist läbis?

Lahendus

Selle ülesande lahendust on mugav illustreerida tabelina, kuhu on kantud matka erinevate etappide kohta käivad andmed.

Matka etapidIIIIIIIV

KokkuKestus, t0,5 h4,5 h1 h5 h11 hLäbitud tee, s?18 km0 km??Kiirus, v40 km/h?0 km/h5 km/h?

Kiirused ja läbitud teepikkused leiame keskmise kiiruse valemi järgi: $v = s / t$ . Kogu läbitud tee arvutame valemist $s = s_{1} + s_{2} + s_{3} + s_{4}$ . Kaido

Matka etapidIIIIIIIVKokkuKestus, t0,5 h4,5 h1 h5 h11 hLäbitud tee, s20 km18 km0 km25 km63 kmKiirus, v40 km/h4 km/h0 km/h5 km/h5,7 km/h

Vastus: Kogu matka jooksul läbis turist $63 k m$ , keskmise kiirusega $5, 7 k m / h$ .

4. Teekond

Teekonna esimese poole läbis auto 8 korda suurema kiirusega kui teise poole. Auto keskmine kiirus kogu teekonna vältel oli $16 km/h$ . Milline oli auto kiirus teekonna mõlemal poolel?

Lahendus

Teekonna esimese poole läbis auto aja $t_{1} = \frac{s}{2 v_{1}}$ , teise poole aja $t_{2} = \frac{s}{2 v_{2}}$ jooksul. Kuna $v_{1} = 8 v_{2}$ , siis $t_{1} = \frac{s}{16 v_{2}}$ . Definitsiooni kohaselt on keskmise kiirus

v = \frac{s}{t_{1} + t_{2}} = \frac{s}{s / (16 v_{2}) + s / (2 v_{2})}

v = \frac{16 v_{2}}{9} = 16 k m / h \Rightarrow v_{2} = 9 k m / h

ning järelikult

v_{1} = 8 v_{2} = 72 k m / h

5. Buss

Buss läbis esimese poole teest 8 korda suurema kiirusega kui teise poole. Bussi keskmine kiirus kogu teekonna läbimisel oli $16 km/h$ . Milline oli bussi kiirus mõlemal teelõigul?

Lahendus

Keskmine kiirus võrdub läbitud teepikkus jagatud läbimiseks kulutatud ajaga. Tähistame kogu tee pikkuse $2 L$ . Esimese poole teest läbis buss ajaga $t_{1}$ , teise poole aga ajaga $t_{2}$ . Kuna tee pooled on võrdsed, siis vastavalt ülesande tingimustele $\frac{v_{1}}{v_{2}} = 8$ tuleneb $\frac{t_{2}}{t_{1}} = 8$ ehk $t_{2} = 8 t_{1}$ . Kogu tee läbimiseks kulus $t_{2} + t_{1} = 9 t_{1}$ ning keskmine kiirus on $\frac{2 L}{9 t_{1}} = 16$ , millist kiirus esimesel poolel teel $\frac{L}{t_{1}} = 72 k m / h$ ning kiirus teisel poolel teel

\frac{L}{t_{2}} = \frac{L}{8 t_{1}} = \frac{72}{8} = 9 k m / h

6. Paat

Paat liigub vastuvoolu mööda jõge ja kohtab veevooluga kaasaliikuvat puupilbast. Paat jätkab liikumist samas suunas veel 30 minuti jooksul pärast kohtumist ning pöördub siis tagasi. Liikudes vee suhtes sama kiirusega kui varemgi, jõuab paat pilpale järele $3 km$ kaugusel nende kohtumispaigast. Milline on jõe voolu kiirus?

Lahendus

Lihtsaim lahendus on vaadelda paadi liikumist jõega seotud taustsüsteemis. Sel juhul on selge, et paat eemaldus pilpast $30 m i n$ , ning pidi kulutama sama aja, et tulla tagasi pilpa juurde. Seega kulus paadil pilpale järelejõudmiseks $60 m i n = 1 h$ . Vesi liikus koos pilpaga sama aja jooksul edasi $3 k m$ , mistõttu voolu kiirus on

v = \frac{3 k m}{1 h} = 3 k m / h .

7. Vihm

Vihm sajab nii, et vihmapiisad langevad vertikaalselt alla ühtlase kiirusega

u

. Mööda teed veereb pall kiirusega

v

. Mitu korda langeb ajaühikus piisku veerevale pallile rohkem kui seisvale pallile? Kas vastus muutub, kui pall pole kerakujuline?

Lahendus

Paigalseisvale pallile langevad ajaühikus vihmapiisad silindrilisest õhu piirkonnast, mille ristlõikepindala on võrdne palli vertikaalse ristlõikepindalaga $S_{1}$ ning pikkus on arvuliselt võrdne vihmapiiskade langemise kiirusega $u$ .
Liikumise suhtelisuse pärast võib liikuvat palli pidada paigalseisvaks, millele vihm langeb nurga all kiirusega $ω = \sqrt{u^{2} + v^{2}}$ . Seetõttu langevad liikuvale pallile piisad silindrilisest õhu piirkonnast pikkusega $\sqrt{u^{2} + v^{2}}$ .
Lugedes vihmapiiskade jaotust õhus ühtlaseks, saame, et paigalseisvale pallile langev piiskade arv on $N_{1} \sim u S_{1}$ ning liikuvale pallile langev piiskade arv on $N_{2} \sim \sqrt{u^{2} + v^{2}} S_{2}$ , kus $S_{2}$ on palli ristlõikepindala resultantkiiruse $ω$ suunas. Järelikult on piiskade arvu suhe

\frac{N_{2}}{N_{1}} = \frac{S_{2} \cdot \sqrt{v^{2} + u^{2}}}{S_{1} u} = \frac{S_{2}}{S_{1}} \cdot \sqrt{1 + \frac{v^{2}}{u^{2}}}

Kui pall on kerakujuline, siis on tema ristlõige kõikides suundades ühesugune, järelikult

S_{1} = S_{2}

ning

\frac{N_{2}}{N_{1}} = \sqrt{1 + v^{2} / u^{2}}

8. Jõgi

Jõe voolukiirus on $0,8 m/s$ ja laius $45 m$ . Kui kiiresti peab paat liikuma, et ta jõuaks $30 s$ jooksul teisele kaldale liikudes kogu aeg risti kaldaga?

Lahendus

Selleks, et liikuda risti kaldaga, peab paadi kiiruse $v$ kaldasuunaline komponent olema võrdne jõevoolu kiirusega: $v_{k} = u$ . Paadi kiiruse kaldaga risti oleva komponendi $v_{r}$ leiame valemist $v_{r} = \frac{d}{t}$ . Pythagorase teoreemist leiame paadi kogu kiiruse, teades kiiruse vektori mõlemaid komponente:

v = \sqrt{v_{k}^{2} + v_{r}^{2}} = \sqrt{u^{2} + (\frac{d}{t})^{2}} = 1, 7 m / s

9. Kärbes

Kärbes lendab kahe teineteisele vastu liikuva inimese vahel kiirusega $15 km/h$ . Kui ta jõuab ühe inimeseni, siis ta pöördub ja lendab teise inimese suunas. Mõlemad inimesed liiguvad sirgel teelõigul ühtlase kiirusega $5 km/h$ . Kui suure vahemaa jõuab kärbes läbida enne inimeste kohtumist, kui ta tõuseb lendu ühe inimese peast siis, kui inimeste vaheline kaugus oli $20 km$ .

Lahendus

Inimesed lähenevad üksteisele kiirusega $v + v = 2 v$ . Vahemaa $s$ läbivad nad ajaga $t = \frac{s}{2 v}$ . Sama palju aega lendab ka kärbes inimeste vahel. Selle aja jooksul läbib kärbes vahemaa $l = u t = u \cdot \frac{s}{2 v} = 30 k m$ .

10. Bussid

Bussid sõidavad tänava ühest otsast teise ja tagasi. Tänav on $s = 6 km$ pikk. Bussid väljuvad tänava kummastki otsast iga $t = 5 min$ järel ja sõidavad keskmise kiirusega $v = 20 km/h$ . Reisija läheb bussi peale tänava ühes otsas ja sõidab tänava teise otsa. Mitu bussi tuleb talle teel vastu?

Lahendus

Buss reisijaga sõidab keskmise kiirusega $v = 20 k m / h$ . Vastusõitvate busside vahelised kaugused on $Δ s = v Δ t$ , järelikult sõidab tänaval ühes suunas $n_{1} = s / v Δ t$ bussi. Reisija kohtab oma teekonnal kõik need bussis ning lisaks veel bussid, mis väljuvad tänava teisest otsast reisija bussisõidu ajal. Kuna iga buss läbib tänavapikkuse $s = 6 k m$ aja $t = s / v$ jooksul, siis nende lisabusside arv on $n_{2} = t / Δ t = s / v Δ t$ . Järelikult näeb reisija oma sõidu ajal $n = n_{1} + n_{2} = 2 s / v Δ t$ busse. Asendades kõik suurused nende arvväärtustega, saame $n = 7, 2$ , mis tähendab, et reisija kohtas 7 bussi.

11. Rong

Rong läbis esimese poole teest $1,5$ korda suurema kiirusega kui teise poole teest. Keskmine kiirus teel oli $v$ . Millise kiirusega läbis rong kummagi poole teest?

Lahendus

Olgu $v_{1}$ rongi kiirus esimesel poolel teest ja $v_{2}$ selle kiirus teisel poolel teest. Kogu läbitud tee pikkus olgu $2 s$ . Selle tee läbimiseks kulub ajavahemik $t = s / v_{1} + s / v_{2}$ . Teiselt poolt, vastavalt keskmise kiiruse definitsioonile $v = 2 s / t$ . Võttes arvesse, et $v_{1} = 1, 5 v_{2}$ , saame

\frac{s}{1, 5 v_{2}} + \frac{s}{v_{2}} = \frac{2 s}{v}

s

taandub välja ja saame

v_{2} = \frac{5}{6} v

ning

v_{1} = 1, 5 v_{2} = \frac{5}{4} v

12. Film

Filmis näidatakse, kuidas poiss sõidab jalgrattaga. Kui poiss hakkab sõitma, veerevad rattad õiget pidi. Kiiruse kasvades paistavad rattad pöörlevat tagurpidi. Veel suurema kiiruse $v = v_{0}$ puhul näib, nagu ei pöörleks rattad üldse. Leidke kiirus $v_{0}$ , kui on teada, et ratta ümbermõõt on $p = 2,5 m$ ning rattal on $N = 36 kodarat$ . Filmis vahetuvad kaadrid sagedusega $f = 24 Hz$ (kaadrit sekundis).

Lahendus

Ratas näib seisvat, kui järgmise kaadri ajaks on järgmine kodar jõudnud sama koha peale, kus eelmise kaadri ajal oli eelmine kodar. Kahe kaadri vahelise ajavahemiku $1 / f$ jooksul pöördub ratas ühe kodara võrra edasi ning $N$ korda pikema aja $N / f$ jooksul teeb ta täispöörde. Täispöördega liigub ratas edasi vahemaa $p$ , seega on ratta kiirus $v_{0} = p \cdot \frac{f}{N}$ , numbriliselt $v_{0} = 2, 5 \cdot \frac{24}{36} \approx 1, 7 m / s = 6 k m / h$ . Pilt kordub kui jalgratta kiirus on $v = n v_{0}$ , kus $n$ on täisarv.

13. Laevad

Kaks laeva liiguvad samas suunas. Esimese laeva kiirus on $20 km/h$ ja tagumisel $4 m/s$ . Laevade vaheline kaugus on $3 km$ . Esimeselt laevalt tõuseb õhku kajakas ja lendab tagumisele laevale. Kui kaua lind lendab, kui tema kiirus on $7 km/h$ ?

Lahendus

Tagumise laeva kiirus on $4 \cdot 3, 6 = 14, 4 k m / h$ . Kajakas ja tagumine laev lähenevad teineteisele kiirusega $u = 14, 4 + 7 = 21, 4 k m / h$ . Järelikult jõuab kajakas tagumise laevani aja $t = \frac{3}{21, 4} \approx 0, 14 h = 8, 4 m i n$ jooksul.

14. Buss

Tallinna ja Tartu vahemaa $s = 185 km$ . Ühel ja samal hetkel hakkavad bussid Tallinnast ja Tartust teineteisele vastu sõitma. Tallinnast väljuva bussi keskmine kiirus $v_{1} = 64 km/h$ . Pärast busside kohtumist suurenes Tallinnast väljunud bussi keskmise kiiruseni $v_{2} = 81 km/h$ . Sihtkohtadesse jõudsid bussid üheaegselt. Leidke sõiduaeg, kui Tartust väljunud buss sõidab kogu aeg ühesuguse kiirusega.

Lahendus

Olgu teepikkus Tallinnast kohtumispaigani $s_{1}$ ja Tartust kohtumispaigani $s_{2}$ ning
Tartust väljunud bussi kiirus $v$ . Saame võrrandisüsteemi

\frac{s_{1}}{v_{1}} = \frac{s_{2}}{v}, \frac{s_{1}}{v} = \frac{s_{2}}{v_{2}}

Selle lahendamisel leiame kiiruse

v = \sqrt{v_{1} v_{2}}

. Kogu sõiduks kulunud aeg on siis

t = \frac{s}{v} = \frac{s}{\sqrt{v_{1} v_{2}}} = 2 h 34 m i n

15. Põhupallid

Punase ja sinise autoga veetakse põhupalle põllult lauta. Punane auto sõidab sinisest iga $12 minuti$ järel mööda (``teeb ringiga pähe'') ning iga $4 minuti$ järel sõidab sinine auto punasele vastu. Kui kaua kulub kummalgi autol ühe täisringi tegemiseks? Maha- ja pealelaadimise aeg lugeda tühiselt väikseks (autosse mahub ainult üks põhupall).

Lahendus

Olgu edasi-tagasi tee pikkus $s$ , punase auto kiirus $v_{p}$ ja sinise auto kiirus $v_{s}$ . Siis punane auto läheneb sinisele autole tagantpoolt kiirusega $v_{p} - v_{s}$ ning $t_{1} = 12 m i n u t i g a$ ``süüakse ära'' täisringine edumaa $s$ , st $s = (v_{p} - v_{s}) t_{1}$ . Eestpoolt läheneb punane auto sinisele autole kiirusega $v_{p} + v_{s}$ , peale kohtumist hakkab sellise kiirusega kahanema täisring, mis tuleb punase auto ninast ühte teeotsa, sealt teise teeotsa ning lõpuks sinise auto ninani: $s = (v_{p} + v_{s}) t_{2}$ , kus $t_{2} = 4 m i n$ . Otsime suurusi $t_{s} = s / v_{s}$ ja $t_{p} = s / v_{p}$ . Paneme tähele, et eespooltoodud võrrandid võib ümber kirjutada kujul

\frac{1}{t_{p}} - \frac{1}{t_{s}} = \frac{1}{t_{1}}, \frac{1}{t_{p}} + \frac{1}{t_{s}} = \frac{1}{t_{s}}

Liites need võrrandid omavahel leiame

t_{p} = 2 (\frac{1}{t_{2}} + \frac{1}{t_{1}})^{- 1} = 6 m i n

ja lahutades:

t_{s} = 2 (\frac{1}{t_{2}} - \frac{1}{t_{1}})^{- 1} = 12 m i n

16. Liikuv rada

Kiirusega $u = 1 m/s$ liikuva raja ühele otsale astuvad Henn ja Kalev. Henn jääb rajale seisma, Kalev aga liigub raja suhtes kiirusega $w = 1,2 m/s$ . Samal hetkel hakkab liikuva raja teisest otsast lendama vastupidises suunas sääsk. Sääsk lendab Hennuni ja pöörab tagasi. Millise minimaalse kiirusega $v$ peab lendama sääsk, et jõuda Kalevini enne kui Kalev raja lõppu jõuab?

Lahendus

Olgu liikuva raja pikkus $S$ , selle kiirus $u$ , sääse kiirus $v$ ning Kalevi kiirus $ω$ . Sääsk liigub Hennu suhtes kiirusega $v + u$ , seega jõuab sääsk Hennuni ajaga $t_{0} = \frac{S}{u + v}$ . Tagasi jõuab sääsk ajaga $t = 2 t_{0} = \frac{2 S}{u + v}$ . Kalev jõuab liikuva raja lõppu ajaga $t_{1} = \frac{S}{u + w}$ . Et sääsk jõuaks Kalevini enne seda, peab kehtima $t \leq t_{1}$ . Piirjuhul saame võrrandi:

\frac{2 S}{u + v} = \frac{S}{u + ω} \Rightarrow v = u + 2 ω = 3, 4 m / s

17. Rong

Mööda raudteega paralleelset maanteed sõidab jalgrattur kiirusega $v = 12 km/h$ . Mingil hetkel jõuab talle järele rong, mille pikkus on $l = 140 m$ ja möödub jalgratturist $Δ t = 8 sekundiga$ . Kui suur on rongi kiirus $u$ ?

Lahendus

Rongi kiirus jalgratturi suhtes on

v^{'} = \frac{l}{Δ t} = \frac{140 m}{8 s} = 17, 5 m / s = 63 k m / h

Rongi tegelik kiirus on rongi suhtelise kiiruse

v^{'}

ja jalgratturi kiiruse

v_{1}

summa:

v = v^{'} + v_{1} = 63 k m / h + 12 k m / h = 75 k m / h

18. Eskalaator

Mikk ja Mann astuvad üheskoos eskalaatorile, mis sõidab ühes suunas kiirusega $u = 3 km/h$ . Kui nad on jõudnud eskalaatori keskele, pöördub Mann ümber ja hakkab tagasi kõndima kiirusega $v = 6 km/h$ . Mikk aga seisab eskalaatoril rahulikult lõpuni, pöördub siis ümber ja hakkab mööda eskalaatorit tagasi kõndima kiirusega $v = 6 km/h$ . Kui Mann on kõndinud eskalaatori algusesse, pöördub ta ümber ja jääb eskalaatorile seisma. Kui kaugel eskalaatori algusest kohtuvad Mikk ja Mann, kui eskalaatori pikkus on $l = 18 m$ ?

Lahendus

Tähistame Miku ja Manni kohtumispaiga kauguse eskalaatori algusest tähisega $x$ . Alates hetkest, mil Mann hakkab eskalaatori keskelt algusesse kõndima, läbib Mikk kohtumispaigani jõudmiseks teepikkuse

s_{1} = \frac{l}{2} + l - x

milleks kulub aeg

t_{1} = \frac{l}{2 u} + \frac{l}{v - u} - \frac{x}{v - u}

Mann läbib kohtumispaigani jõudmiseks teepikkuse

s_{2} = \frac{l}{2} + x

, milleks kulub aeg

t_{2} = \frac{l}{2 (v - u)} + \frac{x}{u}

Kuna

t_{1} = t_{2}

, siis saame:

\frac{l}{2 u} + \frac{l}{v - u} - \frac{x}{v - u} = \frac{l}{2 (v - u)} + \frac{x}{u} \Rightarrow \frac{l}{2} (\frac{1}{u} + \frac{1}{v - u}) = x (\frac{1}{u} + \frac{1}{v - u})

millest

x = \frac{l}{2} = \frac{18 m}{2} = 9 m

. Järelikult kohtuvad Mikk ja Mann uuesti eskalaatori keskel ehk kaugusel

x = 9 m

eskalaatori algusest.

Alternatiivne lahendus:
Eskalaatori keskelt lõpuni kulub Mikul aeg

t_{1} = \frac{l}{2 u}

Mannil eskalaatori alguseni aga aeg

t_{2} = \frac{l}{2 (v - u)}

Lõpust keskele tagasi kulub Mikul aeg

t_{1}^{'} = \frac{l}{2 (v - u)}

ja Mannil aeg

t_{2}^{'} = \frac{l}{2 u}

Paneme tähele, et

t_{1} + t_{1}^{'} = t_{2} + t_{2}^{'}

, seega kohtuvad nad uuesti eskalaatori keskel.

19. Laev

Väike Peeter mängis kausis laevaga. Laeva tekil olid vasest traadijupid. Kogemata ajas ta laeva kausis ümber ja traadijupid kukkusid vette; laev jäi ise siiski pinnale ulpima. Kas veetase kausis tõusis või langes? Põhjendage vastust. Vee tihedus $ρ_{H_{2} O} = 1, 00 g / c m^{3}$ , vase tihedus $ρ_{C u} = 8, 92 g / c m^{3}$ .

Lahendus

Kui traadijupid on laeva tekil, on traadijuppide poolt väljatõrjutud vee ruumala

V_{1} = \frac{m_{C u}}{ρ_{H_{2} O}}

aga kui traadijupid on kausi põhjas, siis nende poolt väljatõrjutud vee ruumala on

V_{2} = \frac{m_{C u}}{ρ_{C u}}

Võrdleme ruumalasid

V_{1}

V_{2}

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{ρ_{C u}}{ρ_{H_{2} O}} = \frac{8, 92 g / c m^{3}}{1, 00 g / c m^{3}} = 8, 92 \Rightarrow V_{1} = 8, 92 V_{2}

Sellest järeldub, et veetase kausis langeb.

20. Laev kanalis

Laev, mille kiirus seisva vee suhtes $v = 10 km/h$ läbib $L = 10 km$ pikkuse kanali pärivoolu. Kanali alguses on vee voolamise kiirus $v_{0} = 5 km/h$ . Kanali teine pool on esimesest kaks korda kitsam. Vee sügavus kanalis on kõikjal ühesugune. Kui palju aega kulub laeval kanali läbimiseks?

Lahendus

Oluline on aru saada, et kanali teises pooles on vee voolamise kiirus kaks korda suurem (vooluhulga jäävusest), seega

t = \frac{L}{2 (v + v_{0})} + \frac{L}{2 (v + 2 v_{0})}

Asendades suurused võrrandisse saame, et laeval kulub kanali läbimiseks

t = 35 m i n

21. Buss

Linnaliinil sõitvad bussid saabuvad lõpp-peatusse, seisavad ühe minuti ja sõidavad seejärel tuldud teed tagasi. Bussid väljuvad lõpp-peatusest iga $10 minuti$ järel. Juku jõudis lõpp-peatusse hetkel, kui buss sealt ära sõitis. Seejärel hakkas Juku kõndima järgmisse peatusse kiirusega $v_{1} = 5 km/h$ . Poolel teel tuli Jukule vastu järgmine liinibuss. Edasi Juku jooksis kiirusega $v_{2} = 10 km/h$ . Juku jõudis bussipeatusse samal ajal talle varem vastu tulnud bussiga. Leidke vahemaa peatuste vahel, kui buss sõitis konstantse kiirusega.

Lahendus

Olgu $t$ aeg (minutites), mis kulub bussil poole vahemaa läbimiseks peatuste vahel. Peale Jukust möödasõitmist pidi buss läbima poole teed lõpp-peatuseni (selleks kulus $t$ minutit aega), seisma ühe minuti lõpp-peatuses ja veel läbima terve vahemaa kahe peatuse vahel (selleks kulus aeg $2 t$ ). Selle ajaga (kokku $3 t + 1$ minutit) jõudis Juku joosta poole teekonnast peatuste vahel. Et esimese poole tuli ta kaks korda väiksema kiirusega, siis selleks kulus tal aega $6 t + 2$ minutit ning kogu teekonna läbimine võttis tal seega $9 t + 3$ minuitit aega. Järgmine buss alustas lõpp-peatusest sõitu $10 m i n u t i t$ peale eelmise bussi lahkumist, lisaks oli ta teel järgmisesse peatusesse $2 t$ minutit. Et Juku ja buss jõudsid peatusesse üheaegselt, siis saame $9 t + 3 = 10 + 2 t$ , kust $t = 1$ . Seega esimese poole läbimiseks kulus Jukul aega $6 t + 2 = 8 m i n u t i t$ , tema kiirus oli $5 k m / h = \frac{1}{12} k m / m i n$ . Selle ajaga kõndis ta $8 \cdot \frac{1}{12} = \frac{2}{3} k m / m i n$ , seega kogu teepikkus oli $2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \approx 1, 33 k m$ .

22. Ringrada

Võidusõiduautod sõidavad ringrajal. Esikohta hoidva auto kiirus on $v_{1} = 250 km/h$ ja viimase auto kiirus on $v_{2} = 230 km/h$ . Mitu ringi peab esimene auto sõitma, et viimasele autole ``ring sisse teha''?

Lahendus

Olgu ringraja pikkus $s$ . Esikohal oleval autol kulub ringi läbimiseks aega $t_{1} = \frac{s}{v_{1}}$ ja viimasel autol - $t_{2} = \frac{s}{v_{2}}$ . Jõudku esimene auto
viimasele järgi siis, kui esimene on sõitnud $n$ ringi. Viimane auto on siis sõitnud $n - 1$ ringi. Mõlemad autod on sõitnud ühekaua.

n t_{1} = (n - 1) t_{2} \Rightarrow n \frac{s}{v_{1}} = (n - 1) \frac{s}{v_{2}} \Rightarrow \frac{n}{v_{1}} = \frac{n}{v_{2}} - \frac{1}{v_{2}} \Rightarrow

\Rightarrow n (\frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{v_{1}}) = \frac{1}{v_{2}} \Rightarrow n = \frac{\frac{1}{v_{2}}}{\frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{v_{1}}} = 12, 5

Esikohal olev auto peab sõitma

12, 5

ringi, et viimasele autole järele jõuda.

23. Sprinter

Sprinter saavutas aja $τ = 1,80 s$ jooksul kiiruse $u = 11,2 m/s$ ja hoidis sellist kiirust $s = 100 m$ distantsi lõpuni. Milline oli tema $100 m$ aeg? Stardist väljudes kasvas jooksukiirus võrdeliselt jooksu ajaga.

Lahendus

Kogu distantsi läbis jooksja ajaga $t = t_{1} + t_{2}$ , kus $t_{1} = τ = 1, 8 s$ on kiirenduseks kulunud aeg ja $t_{2}$ on püsiva kiirusega jooksmiseks kulunud aeg.

Distantsi pikkus $s = s_{1} + s_{2} = 100 m$ , kus $s_{1}$ on kiirendades joostud distantsi osa ja $s_{2}$ - püsiva kiirusega $v_{2} = u = 11, 2 m / s$ joostud distantsi osa. Leiame keskmise kiiruse, millega jooksja läbis esimese osa distantsist: $s_{1} = v_{k} t_{1}$ . Teades, et kiirendamine toimus ühtlaselt, võime kirjutada

v_{k} = \frac{u}{2} = 5, 6 m / s

Kiirendades joostud distantsiosa pikkus

s_{1} = v_{k} t_{1} = 5, 6 m / s \cdot 1, 8 s = 10, 08 m

ja ühtlaselt joostud distantsi osa pikkus

s_{2} = s - s_{1} = 100 m - 10, 08 m = 89, 92 m

mille läbimise aeg on

t_{2} = \frac{s_{2}}{v_{2}} = \frac{89, 92 m}{11, 2 m / s} \approx 8, 03 s

Sprinteri saja meetri aeg on

t = t_{1} + t_{2} = 1, 8 s + 8, 03 s = 9, 83 s .

24. Rongid

Kahesuunalisel raudteel lähenevad teineteisele vastassuundadest kaks rongi. Reisirong sõidab kiirusega $v_{1} = 25 m/s$ , kaubarong aga kiirusega $v_{2} = 20 m/s$ . Reisirong on $s_{1} = 100 m$ pikk, kaubarong $s_{2} = 200 m$ pikk. Kui palju võtab aega rongide möödumine teineteisest?

Lahendus

Seome taustsüsteemi ühe rongiga ehk loeme ühe rongidest paigalseisvaks. Teineteisest möödumisel on rongide pikkus kokku

s = s_{1} + s_{2} = 100 m + 200 m = 300 m

Liikuva rongi kiirus uues taustsüsteemis on seega

v = v_{1} + v_{2} = 25 m / s + 20 m / s = 45 m / s

Teineteisest möödasõiduks kulub seega

t = \frac{s}{v} = \frac{300 m}{45 m / s} \approx 6, 7 s .

25. Autod

Auto väljus linnast $A$ linna $B$ suunas kell $12.00$ , sõites keskmise kiirusega $v_{1} = 75 km/h$ . Linnast $B$ väljus 10 minutit hiljem auto linna $A$ suunas, mis sõitis keskmise kiirusega $v_{2} = 80 km/h$ . Autod kohtusid kell $13.16$ . Kell $12.20$ väljus linnast $A$ auto, mis sõitis terve tee keskmise kiirusega $v_{3} = 90 km/h$ . Kui kaugel linnast $B$ jõuab kolmas auto esimesele autole järele?

Lahendus

Määrame autode kohtumise järgi linnadevahelise kauguse, $s = v_{1} t_{1} + v_{2} t_{2}$ .
Linnas $A$ väljunud auto oli teel $76 m i n$ , linnast $B$ väljunud auto $66 m i n$ , seega

s = 75 k m / h \cdot \frac{76}{60} h + 80 k m / h \cdot \frac{66}{60} h = 183 k m

Teine auto, mis alustab sõitu

Δ t = 20 m i n = \frac{1}{3} h

hiljem, jõuab esimesele järele siis, kui on täidetud tingimus

s_{1} = v_{1} t = v_{3} (t - Δ t)

, kust

t = \frac{v_{3} Δ t}{v_{3} - v_{1}}

. Kohtumine toimub 2 tundi pärast esimese auto väljasõitu. Kohtumiskoht on seega

s_{1} = v_{1} t

kaugusel linnast

A

. Linnast

B

on kohtumiskoht

Δ s = s - s_{1}

. Tehes arvutused saame, et

s_{1} = 150 k m

ja kaugus linnast

B

33 k m

26. Autod

Kaks autot, mis lähenevad täisnurksele teeristile mööda erinevaid teid, asuvad alghetkel $t = 0$ teeristist kaugustel $L_{1}$ ja $L_{2}$ . Autod liiguvad jäävate kiirustega $v_{1}$ ja $v_{2}$ . Leida autodevaheline minimaalne kaugus.

Lahendus

Seome paigalseisva taustsüsteemi autoga $A$ , siis auto $B$ kiirus auto $A$ suhtes on $v$ . Minimaalne kaugus autode vahel avaldub järgmiselt:

x = \frac{(L_{1} - L)}{sin α}, sin α = \frac{v_{2}}{\sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}}, \frac{L_{2}}{v_{2}} = \frac{L}{v_{1}}

x = \frac{L_{1} v_{2} - L_{2} v_{1}}{\sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}}

27. Rattasõit

Miku sõitis jalgrattaga. Maksimaalse kiiruse $v = 10 m/s$ saavutas ta paigalseisust ühtlaselt kiirendades $t = 12 s$ jooksul. Edasi sõitis Miku teatud aja muutumatu kiirusega. Ühtlaseks pidurdamiseks täieliku seismajäämiseni kulus tal $τ = 8 s$ . Kui pika tee $s$ läbis Miku, kui ta keskmine kiirus sõidu ajal oli $u = 8 m/s$ ?

Lahendus

Miku sõit jaguneb kolmeks etapiks: esimene - ühtlane kiirenemine, teine - liikumine muutumatu kiirusega ja kolmas - ühtlane pidurdamine. Tähistame nende kohta käivaid suurusi vastavalt indeksitega 1, 2 ja 3. Ühtlase kiirenemise ja ühtlase pidurdamise puhul kehtib valem keskmise kiiruse leidmiseks:

v_{k} = \frac{v_{0} + v_{m a x}}{2}

Esimese ja kolmanda etapi keskmised kiirused olid võrdsed:

v_{1} = v_{3} = \frac{v_{2}}{2} = \frac{10 m / s}{2} = 5 m / s

Veel teame me suurusi:

t_{1} = t

t_{3} = τ

. Kogu teekonna pikkus oli:

s = v_{1} t_{1} + v_{2} t_{2} + v_{3} t_{3} = u (t_{1} + t_{2} + t_{3})

Siit leiame teise etapi kestuse:

5 \cdot 12 + 10 t_{2} + 5 \cdot 8 = 8 \cdot (12 + t_{2} + 8)

100 + 10 t_{2} = 160 + 8 t_{2} \Rightarrow t_{2} = 30 s

Järelikult:

s = 8 \cdot (12 + 30 + 8) = 400 m

28. Buss ja jalakäija

Rohelise tule süttides alustas ristmikult kõndimist inimene ja sõitmist liinibuss. Inimese keskmine kiirus oli $v_{i} = 5 km/h$ . Järgmise ristmiku juurde jõudsid buss ja inimene korraga, kuid buss oli vahepeal teinud peatuse. Bussi keskmine kiirus väljaspool peatust oli $v_{b} = 30 km/h$ . Kui kaua buss peatus, kui ristmike vahemaa oli $s = 300 m$ ?

Lahendus

Kuna inimene ja buss alustasid ja lõpetasid liikumise koos, siis kulub neil sama maa läbimiseks võrdne aeg. Kestku bussi peatus ajavahemiku $Δ t$ . Inimesel kulus teise ristmikuni jõudmiseks $t_{i} = \frac{s}{v_{i}}$ .
Buss läbis sama vahemaa ajaga $t_{b} = \frac{s}{v_{b}} + Δ t$ .
Võrdsustame omavahel $t_{i}$ ja $t_{b}$ : $\frac{s}{v_{i}} = \frac{s}{v_{b}} + Δ t$ . Avaldame võrrandist aja $Δ t$ :

Δ t = \frac{s}{v_{i}} - \frac{s}{v_{b}} = \frac{0, 3 k m}{5 k m / h} - \frac{0, 3 k m}{30 k m / h} = 0, 05 h = 3 m i n .

29. Putukad

Ühtlase massijaotusega varda keskpunkt asub väikese kivi peal. Varda ühe otsa juures istub sipelgas massiga $m_{s} = 40 mg$ , teise otsa juures aga lepatriinu massiga $m_{l} = 0,1 g$ . Kuskil nende vahel istub veel põrnikas massiga $m_{p} = 0,6 g$ . Varras on alguses tasakaalus. Ühel hetkel hakkab sipelgas roomama põrnika poole kiirusega $v_{s} = 7,5 mm/s$ , samaaegselt hakkab seda tegema ka lepatriinu kiirusega $v_{l} = 3,0 mm/s$ . Põrnikas annab omakorda endast kõik, et varras jääks kogu aeg tasakaalu. Kellega ja millisel ajahetkel saab põrnikas varem kokku, kas sipelga või lepatriinuga? Varda pikkus on $l = 20 cm$ .

Lahendus

Kuna sipelgas on kergem kui lepatriinu, aga nad asuvad varda keskpunkist sama kaugel, peab põrnikas tasakaalu saavutamiseks paiknema sipelgale lähemal.
Olgu $x$ põrnika kaugus varda keskpunktist. Kirjutame välja putukate jõumomendid varda keskpunkti suhtes:

M_{s} = m_{s} g \cdot \frac{l}{2}, M_{l} = - m_{l} g \cdot \frac{l}{2}, M_{p} = m_{p} g \cdot x

Lepatriinu jõumoment on võetud miinusmärgiga, kuna tema asub tasakaalu keskpunktist teisel pool. Tasakaalu korral on jõumomentide summa

M_{s} + M_{p} + M_{p} = 0

. Seda võrdust kasutades leiame, et

x = 1, 0 c m

. Seega lepatriinu asub

d = 9, 0 c m

kaugusel sipelgast.
Paneme tähele, et roomamise käigus sipelga ja lepatriinu summaarne jõumoment keskpunkti suhtes jääb samaks: aja

Δ t

jooksul muutub siplega jõumoment

m_{s} g v_{s} Δ t

võrra, lepatriinu jõumoment aga

- m_{l} g v_{l} Δ t

võrra. Kuna aga

m_{s} v_{s} = m_{l} v_{l}

, siis saamegi, et nende summaarne jõumoment ei muutu.Järelikult tasakaalu hoidmiseks ei pea põrnikas midagi ette võtma. Kuna sipelgas asub algselt põrnikale lähemal ja ta liigub lepatriinust kiiremini, saab sipelgas esimesena põrnikaga kokku. See juhtub

τ = \frac{d}{v_{s}} = 12 s

pärast roomamise algust.

30. Laserpointer

Vaatleme hüpoteetilist olukorda, kus valguse kiirus on väike, $c = 100 km/h$ . Juku asetseb raadiusega $R = 10 m$ silindrilise ekraani teljel. Tal on käes lasepointer, mida ta keerutab ümber silindri telje (pointeri telg on risti silindri teljega). Millise vähima sagedusega peaks Juku keerutama laserpointerit, et täpp ekraanil paistaks talle asuvat täpselt pointeri sihil?

Lahendus

Sagedus on vähim siis, kui valguse leviaaeg edasi-tagasi võrdub ühe täispööre ajaga. Seega

T = \frac{2 R}{c} \Rightarrow f = \frac{c}{2 R} \approx 1, 4 H z .

31. Parvetaja

Aurik läbib linnade vahelise veetee mööda jõge pärivoolu 3 tunniga ja vastuvoolu 5 tunniga. Mitme tunniga jõuaks parvega allavoolu kulgedes ühest linnast teise?

Lahendus

Olgu teepikkus $s$ , jõevoolu kiirus $v$ ja auriku enda kiirus $u$ . Saame, et

\frac{s}{u + v} = 3 h, \frac{s}{u - v} = 5 h

Teisendades, saame

\frac{u}{s} + \frac{v}{s} = \frac{1}{3 h}, \frac{u}{s} - \frac{v}{s} = \frac{1}{5 h}

Lahutades esimesest võrrandist teise, leiame et

\frac{v}{s} = \frac{1}{15} h

. Aeg, mis kulub parvega allavoolu liikumiseks on seega

t = \frac{s}{v} = 15 h

32. Ralli

Le Mans'i 24 tunni rallit sõidetakse ringrajal. Sõit kestab ühe ööpäeva ja ralli võidab enim ringe läbinud osaleja. Ühe ringi pikkus on $L = 13,5 km$ . Kui palju erinesid esimese ja teise koha saanute keskmised kiirused, kui teise koha omanik sõitis võitjast kümme ringi vähem?

Lahendus

Läbigu võitja $n$ ringi. Siis sõidab teise koha omanik $n - 10$ ringi. Võitja keskmine kiirus on $\frac{L n}{τ}$ , kus $τ = 24 h$ . Teise koha saanu keskmine kiirus on: $\frac{L (n - 10)}{τ}$ . Keskmiste kiiruste vahe on:

\frac{L n}{τ} - \frac{L (n - 10)}{τ} = \frac{10 L}{τ} = 5, 6 k m / h

Teadmiseks: 2007. aastal läbis Le Mans’i ralli võitja 369 ringi, teise koha omanik kümme ringi vähem ja kolmanda koha saaja teiseks tulnust ühe ringi vähem. Võitja läbis

5029 k m

ja tema keskmine kiirus oli

210 k m / h

33. Pagas

Lennujaama ruudukujulise pagasilindi ühe nurga juures seisab Janno. Ühel hetkel märkab ta lindi naabernurgas oma eemalduvat kohvrit. Kuidas jõuaks Janno oma kohvrini kiiremini: kas minnes talle järele või vastu? Pagasilindi kiirus $u = 1 m/s$ , Janno liikumise kiirus $w = 6 km/h$ .

Lahendus

Kilomeetrites tunnis on pagasilindi kiirus $u = 3, 6 k m / h$ . Olgu $s$ ruudu küljepikkus. Minnes kohvrile järele on Janno ja kohvri esialgne vahekaugus $s$ ja lähenemise kiirus $v_{1} = w - u = 2, 4 k m / h$ . Minnes kohvrile vastu on Janno ja kohvri esialgne vahekaugus $3 s$ ja lähenemise kiirus $v_{2} = w + u = 9, 6 k m / h$ . Teisel juhul on lähenemise kiirus $\frac{v_{2}}{v_{1}} = 4$ korda suurem kui esimesel juhul, samas vahemaa on suurem ainult 3 korda. Järelikult minnes kohvrile vastu saab Janno ta varem kätte.

34. Möödasõit

Mööda teed sõidavad teineteisele vastu veoauto ja buss. Veoauto kiirus on $v_{1} = 20 m/s$ , bussi kiirus $v_{2} = 25 m/s$ . Veoauto taga sõidab sõiduauto. Kui suure minimaalse keskmise kiirusega peab sõitma sõiduauto, et mööduda ohutult veoautost, kui möödasõidu algul on veoauto ja bussi kaugus ninast ninani $s = 400 m$ , sõiduauto on veoautost $s_{0} = 15 m$ kaugusel ja veoauto pikkus on $l = 15 m$ ? Ohutu on möödasõit, mille sõiduauto lõpetab $s_{1} = 20 m$ kaugusel veoautost ja $s_{2} = 80 m$ kaugusel vastutulevast bussist.

Lahendus

Möödasõidu lõpul on veoauto ja bussi vaheline kaugus $20 m + 80 m = 100 m$ . Möödasõit kestab seega

t = \frac{400 m - 100 m}{25 k m / h + 20 k m / h} = 6, 7 s

Möödasõidul sõidab sõiduauto

15 m + 15 m + 20 m = 50 m

rohkem kui veoauto. Sõiduauto kiirus peab veoauto suhtes olema

v = \frac{50 m}{6, 7 s} = 7, 5 m / s

.
Sõiduauto minimaalne kiirus maantee suhtes on seega

20 m / s + 7, 5 m / s = 27, 5 m / s

35. Sillad

Mööda teed sõidavad vastassuundades ühtlase kiirusega auto ja jalgrattur. Auto liigub kiirusega $v = 25 m/s$ , jalgrattur kiirusega $u = 10 m/s$ . Mingil hetkel sõidab auto üle silla, üks minut hiljem sõidab üle teise silla jalgrattur. Auto kohtub jalgratturiga $s = 3 km$ kaugusel jalgratturi poolt ületatud sillast. Kui kaugel asuvad teineteisest sillad?

Lahendus

Pärast oma silla ületamist sõidab jalgrattur kohtumispaika

t_{j} = \frac{s}{u}

Auto sõidab kohtumispaika

t_{a} = t_{j} + Δ t

kus

Δ t = 60 s

. Sildade vaheline kaugus on seega

s_{0} = v (t_{j} + Δ t) + s

Saame sildade vaheliseks kauguseks

12 k m

36. Rongid tunnelis

Rongi sõit läbi tunneli kestis $t = 1 min$ . Rongi kiirus oli $v = 80 km/h$ ja tunneli pikkus oli $s = 1 km$ . Kui pikk oli rong?

Lahendus

Rong läbis ühe minutiga vahemaa $L = t v = \frac{1}{60} h \cdot 80 k m / h = \frac{4}{3} k m$ . Kuna rong läbib minutiga pikema vahemaa, kui on tunneli pikkus, siis võrdub läbitud vahemaa ja tunneli pikkuse erinevus rongi pikkusega. Rongi pikkus oli $Δ L = L - s = \frac{1}{3} k m$ .

37. Jalgratturid

Kaks jalgratturit läbivad $1000 m$ pikkuse distantsi. Üks jalgratturitest kasutab pedaalide juures 51 hambaga ja tagarattal 15 hambaga hammasratast, teine ees 48 hambaga ja taga 13 hambaga hammasratast. Mitu sekundit hilineb finišis aeglasem jalgrattur, kui kiirema jalgratturi keskmine kiirus distantsil on $36 k m / h$ ja mõlemad ratturid väntavad täpselt sama sagedusega? Jalgrataste tagumised rattad on ühesugused.

Lahendus

Arvutame kummagi jalgratta ülekandearvu:

Z_{1} = \frac{51}{15} = 3, 4, Z_{2} = \frac{48}{13} = 3, 7

Jalgratturid teevad distantsi läbimiseks pedaalipöördeid vastavalt

n_{1} = \frac{1000}{3, 4 c} n_{2} = \frac{1000}{3, 7 c}

kus

c

tähistab tagumise ratta ümbermõõtu.
Kuivõrd mõlemad jalgratturid väntavad sama sagedusega, siis jõuab enne kohale see, kes teeb vähem vändapöördeid, seega teine jalgrattur. Esimene rattur teeb

n = \frac{n_{1}}{n_{2}} = \frac{3, 7}{3, 4} = 1, 088

korda rohkem pöördeid, järelikult kulutab ta ka aega

1, 088

korda rohkem.
Teisel ratturil kulub distantsi läbimiseks

t_{2} = \frac{1000 m}{10 m / s} = 100 s

. Esimesel kulub distantsi läbimiseks

t_{1} = 100 s \cdot 1, 088 = 108, 8 s

, seega

8, 8

sekundit rohkem kui teisel ratturil.

38. Lennukid

Kaks hävituslennukit, lennates samal kõrgusel vastas- suundades, mööduvad teineteisest, lennates kiirustega vastavalt $v_{1} = 1200 k m / h$ ja $v_{2} = 1000 k m / h$ . Esimesest lennukist tulistatakse teist risti liikumissuunaga. Kui pika vahemaa tagant tekivad teise lennuki keresse kuuliaugud, kui kuulipilduja tulistab $n = 4200 l a s k u$ minutis? Kas ja kuidas sõltub kuuliaukude vaheline kaugus lennukite kaugusest teineteisest?

Lahendus

Teisendame kiirused: $v_{1} = 330 m / s$ ja $v_{2} = 280 m / s$ .
Lennukite kiirus teineteise suhtes on $v = v_{1} + v_{2} = 610 m / s$ .
Kuulipilduja teeb sekundis 70 lasku ja kahe lasu vaheline aeg on $t = \frac{1}{70} s$ .
Teine lennuk liigub esimese lennuki suhtes kahe kuuli vahelisel ajal $s = v t$ .
Kuuliaukude vahe lennuki keres on seega $s = 610 \cdot \frac{1}{70} = 8, 7 m$ .
Vastus ei sõltu lennukite kaugusest teineteisest.

39. Koer

Tarmo ja Taivo sõitsid jalgratastega kodust poodi ( $s = 1 k m$ ). Nad alustasid kodust samal ajal, kusjuures Tarmo sõitis ühtlase kiirusega $v_{1} = 5 \frac{m}{s}$ ja Taivo kiirusega $v_{2} = 6 \frac{m}{s}$ . Poe juures jäi Taivo Tarmot järgi ootama. Nende koer jooksis algusest peale nende vahel kiirusega $v_{3} = 10 \frac{m}{s}$ , kuni mõlemad olid kohale jõudnud. Koer jooksis muudkui otse ühe juurest teiseni ja tagasi esimese juurde, ja nii kogu aeg. Mis oli koera poolt läbitud teepikkus $l$ ? Võib eeldada, et koeral kulus ümberpööramiseks väga vähe aega.

Lahendus

Paneme tähele, et koer jookseb kiirusega $v_{3} = 10 \frac{m}{s}$ täpselt nii kaua kui Tarmol kulub kohale jõudmiseks aega. Tarmol kulub aega $t = \frac{s}{v_{1}} = 200 s$ . Seega $l = v_{3} \cdot t = 10 \frac{m}{s} \cdot 200 s = 2 k m$ .

40. Auto

On antud auto kiiruse graafik (vt. joonis). Leida läbitud tee pikkus.

Lahendus

Teepikkus on leitav valemist $v = \frac{s}{t} ⟹ s = v \cdot t$ , kuna graafik on antud teljestikus $v$ ja $s$ , siis otsitav teepikkus on graafiku joonealune pindala. Seetõttu on hea jagada läbitud teepikkus kolmeks osaks: $s = s_{1} + s_{2} + s_{3}$ , kus $s_{1}$ on kiireneva liikumise käigus läbitud tee, $s_{2}$ ühtlase kiirusega läbitud tee ja $s_{3}$ aeglustuva liikumise käigus läbitud tee.

s_{1} = \frac{30 \frac{m}{s} \cdot 120 s}{2} = 1800 m

s_{2} = 30 \frac{m}{s} \cdot 180 s = 5400 m

s_{3} = \frac{30 \frac{m}{s} \cdot 180 s}{2} = 2700 m

s = 1800 + 5400 + 2700 = 9900 m

41. Kauboid

Kauboid Bill ja Frank ratsutasid mööda teed teineteisele vastu, kui märkasid ühtäkki postitõllalt mahakukkunud kullakotti ning hakkasid selle poole kappama. Kullani jõudmiseks peab Bill ületama teega ristuva raudtee, mida mööda sõitev rong on joonisel kujutatud hetkel jõudnud ristteeni. Rongi kiirus on $72 \frac{k m}{h}$ . Täpselt sama kiiresti suudavad liikuda ka mõlema kauboi hobused. Billil on kaks võimalust: 1) jääda teele ja oodata rongi möödumist, 2) üritada rongist ringiga mööda ratsutada. Vaadelge mõlemat juhtu ja leidke nii Billil kui Frankil kullani jõudmiseni kulunud aeg, alates joonisel kujutatud hetkest. Kumb kauboi saab kulla endale? Kiirendamise ja pidurdamisega arvestama ei pea, ehk võib eeldada, et hobune hakkab kohe liikuma tippkiirusega.

Lahendus

Rongi ja kauboide kiirus on $72 \frac{k m}{h} = \frac{72 \cdot 1000 m}{3600 s} = 20 \frac{m}{s}$ . Frankil kullani
jõudmiseks kulunud aeg on leitav valemi $t = \frac{s}{v}$ järgi:

t_{F} = \frac{280 m}{20 \frac{m}{s}} = 14 s

Esimesel juhul peab Bill ootama kuni rong läbib oma pikkuse jagu maad ning seejärel ratsutama ristteest kullani. Kokku kulub seega

t_{B 1} = \frac{200 m}{20 \frac{m}{s}} + \frac{100 m}{20 \frac{m}{s}} = 15 s

Aega, mis kulub Billil raudteeni jõudmiseks siin eraldi arvestama ei pea, sest see on ilmselgelt väiksem alghetkest rongi möödumiseni kuluvast ajast. Teisel juhul ei saa Bill rongi eest mööda ratsutada, sest võrdsete kiiruste tõttu ei jõuaks ta kunagi rongist ette. Jääb üle rongist tagantpoolt mööda sõita. Vähim aeg kulub juhul, kui tühjal maal liikuda sirgjooneliselt ja tagumisest vagunist mööduda võimalikult lähedalt ehk Bill ja rongi tagumine ots jõuavad punkti $C$ täpselt samal ajal (vaata joonist). Võrdsete kiiruste tõttu on võrdsed ka lõigud $A C$ ja $B C$ , mille pikkust tähistame $x$ -ga. Tekib täisnurkne kolmnurk, mille külgede pikkused meetrites on: hüpotenuus $x$ , üks kaatet $100$ ja teine kaatet $200 - x$ . Täisnurkses kolmnurgas kehtib Pythagorase teoreem: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , kus $a$ ja $b$ on kaatetite ning $c$ hüpotenuusi pikkus. Seega saame kirjutada võrrandi $100^{2} + (200 - x)^{2} = x^{2}$ Pärast sulgude avamist koonduvad $x$ -i ruutliikmed välja ja saame lihtsa lineaarvõrrandi, mille lahendiks on $x = 125 m$ . Kullani jõudmiseks peab Bill läbima vahemaa $2 x$ ja selleks kulub

t_{B 2} = \frac{2 \cdot 125 m}{20 \frac{m}{s}} = 12, 5 s

Eraldi võib vaadelda vahepealset juhtu, kus Bill jõuab raudteeni punktis

A^{'}

, mis jääb punkti

A

ja risttee vahele. Seal ootab ta rongi möödumist ja kappab siis otsejoones kullani. Ajaliselt on see võrdväärne juhuga, kus Bill punktis

A^{'}

ootamise asemel ratsutaks raudteega paralleelselt rongi otsale vastu ja selleni jõudes koos rongiga tagasi punkti

A^{'}

, pärast mida ta eemalduks raudteest ja sööstaks otse kulla poole. See võtaks aga kauem aega, kui pärast rongi lõpuni jõudmist kohe kulla poole liikumisel, mis tähendab, et igasugune ootamine ei ole mõistlik ja

t_{B 2}

on vähim võimalikest.

42. Keskmine kiirus

Graafikul on kujutatud auto kiiruse sõltuvus ajast. Arvutage auto keskmine kiirus.

Lahendus

Keskmine kiirus on läbitud vahemaa ja selle läbimiseks kulunud aja suhe. Leiame jooniselt, kui suure vahemaa läbis auto $20 s$ jooksul läbitud. Selleks tuleb leida graafikualune pindala. Jaotame graafiku kolmnurkadeks ja trapetsiteks. Leiame üksikute kujundite pindalad ja liidame kokku. Kolmnurga ja trapetsi pindala saame leida valemitest

S_{kolmnurk} = \frac{a h}{2}

S_{trapets} = \frac{a + b}{2} \cdot h

Ajavahemik	Kiiruse vahemik	Kujund	Pindala
$0 s - 2 s$	$0 m / s - 10 m / s$	Kolmnurk	$(10 m / s \cdot 2 s) / 2 = 10 m$
$2 s - 8 s$	$10 m / s - 25 m / s$	Trapets	$(10 m / s + 25 m / s) / 2 \cdot 6 s = 10 m$
$8 s - 10 s$	$25 m / s - 0 m / s$	Kolmnurk	$(25 m / s \cdot 2 s) / 2 = 25 m$
$10 s - 12 s$	$0 m / s$	Kolmnurk	$0 m$
$12 s - 17 s$	$0 m / s - 15 m / s$	Kolmnurk	$(15 m / s \cdot 5 s) / 2 = 37, 5 m$
$17 s - 20 s$	$25 m / s - 0 m / s$	Kolmnurk	$(15 m / s \cdot 3 s) / 2 = 22, 5 m$

Kokku läbis auto teepikkuse $s = 200 m$ . Selleks kulus autol $t = 20 s$ . Auto keskmine kiirus on $v = \frac{s}{t} = 10 m / s$

43. Koer

Poiss on koos oma koeraga rannas. Joonisel kujutatud hetkel kutsub ta koera enda juurde, kuid koer soovib teel poisi juurde korraks ka veest läbi hüpata. Millise minimaalse ajaga jõuab ta sel juhul poisini? Koer jookseb kiirusega $v = 4, 0 \frac{m}{s}$ .

Lahendus

Oletame, et koer hüppab veest läbi punktis $O$ (vt joonis). Peegeldame poisi $P$ veepiiri suhtes, saame punkti $P$ . Paneme tähele, et $P O = P O^{'}$ , seega on teekond koera $K$ juurest punkti $P^{'}$ läbi punkti $O$ sama pikk, kui teekond punkti $P$ läbi punkti $O$ . Lühim on see teekond juhul, kui tegemist on sirgega, mille korral koer hüppab veest läbi punktis $O^{'}$ . Täisnurkses kolmnurgas $△ K L P^{'}$ on $K L = 11 m + 7 m = 18 m$ ning $L P^{'} = 24 m$ . Niisiis $K P^{'} = \sqrt{K L^{2} + L P^{' 2}} = 30 m$ . Selle teekonna läbimiseks kulub aeg $\frac{K P^{'}}{v} = 7, 5 s$ . Märkus: Sama tulemuseni oleksime jõudnud siis, kui kasutaksime Fermat’ printsiipi, mille kohaselt valguskiir ühest punktist teise läbib mööda teed, mille läbimiseks kulunud aeg on minimaalne, ja peegeldumisseadust, mille kohaselt langemis-ja peegeldumisnurgad on võrdsed.

44. Konn

Kolm paralleelset linttransportööri laiusega $1 m$ liiguvad kiirustega $2, 4 ja 2 \frac{m}{s}$ nagu kujutatud joonisel. Risti üle nende hüppab konn. Konna hüppe pikkus (lähtepunkti suhtes) on $65 c m$ ja hüppeks kuluv aeg $0, 5 s$ . Millise vahemaa võrra lintide liikumise sihis on konn edasi liikunud maandumisel maapinnale pärast lintide ületamist? Eeldage, et konn alustab hüppamist vahetult esimese transportöörilindi servast, hüpete vahel aega ei kuluta ja maandumisel lindile ei libise.

Lahendus

Teades hüppe pikkust ja lintide laiusi, näeme, et konn ületab lindid $5$ hüppega. Neist esimesel stardib ta maapinnalt (lindisuunaline kiiruse komponent $v_{1} = 0$ ), teisel - esimeselt lindilt (lindisuunaline kiiruse komponent $v_{2} = 2 \frac{m}{s}$ ), kahel järgmisel - keskmiselt lindilt (lindisuunaline kiiruse komponent $v_{3} = 4 \frac{m}{s}$ ) ja viimasel hüppel - viimaselt lindilt (lindisuunaline kiiruse komponent $v_{2} = 2 \frac{m}{s}$ ). Tähistades hüppe kestvust $t$ , saame kõrvalekaldeks

x = v_{1} t + v_{2} t + v_{3} t + v_{3} t + v_{2} t = (0 + 2 + 4 + 4 + 2) \cdot 0, 5 = 6 m

45. Kuulid

Horisontaalses lauas on lohk ja samasuguse suurusega ning kujuga muhk. Üle laua veerevad kuulid. Kuul $A$ läheb läbi lohust, kuul $B$ läheb üle muhu. Kuulid on vaatluse alghetkel laua vasakpoolsest servast ühekaugusel (vt. joonis) ja liiguvad ühesuguse kiirusega. Kumb kuulidest jõuab laua teise ääreni kiiremini? Põhjendage vastust. Hõõrdumist ei arvestata.

Lahendus

Kuul $A$ jõuab laua teise servani väiksema ajaga kui kuul $B$ . Kuna kuulide kiirus $v$ on ühesugune, siis need jõuavad samaaegselt laua ebatasasuseni. Kuul $A$ laskub lohku ja kiirus suureneb $Δ v$ võrra. Kuul $B$ tõuseb muhule ja kiirus väheneb $Δ v$ võrra. Kuuli $A$ kiirus lohu põhjas on $v + Δ v$ .

Kuuli $B$ kiirus muhu harjal on $v - Δ v$ . Kuul $A$ jõuab lohu põhja väiksema ajaga kui kuul $B$ muhu harjale. Et kuul $A$ läbis sama teepikkuse väiksema ajaga kui kuul $B$ , siis on kuuli $A$ keskmine kiirus lohku laskumisel suurem kuuli $B$ keskmisest kiirusest muhu harjale tõusmisel.

Ka tõusmisel lohu põhjast laua horisontaalsele osale on kuuli $A$ keskmine kiirus suurem muhu harjalt laskuva kuuli $B$ keskmisest iirusest. Seega, kuul $A$ läbib lohu väiksema ajaga kui kuul $B$ muhu.

Ülejäänud tee liiguvad kuulid jälle võrdse kiirusega. Kuul $A$ jõuab laua servani lühema ajaga kui kuul $B$ . Öeldud on hea llustreerida joonisega, kuhu on kantud kuulide kiirused kolmes erinevas punktis. Alguses ja lõpus on kuulide kiirused võrdsed, lohu läbimisel aga kuuli $A$ kiirus on kogu aeg suurem, kui $v$ , muhu läbimisel kuuli $B$ kiirus on kogu aeg väiksem, kui $v$ .

Järelikult kuuli $B$ keskmine kiirus kogu tee jooksul on väiksem, kui kuulil $A$ .

46. Lennukid

Kaks lennukit lendavad samal kõrgusel kiirustega $v_{1} = 800 \frac{k m}{h}$ ja $v_{2} = 600 \frac{k m}{h}$ . Vaadeldaval hetkel on lennukite liikumise sihid omavahel risti ning kumbki lennuk paikeb sihtide ristumispunktist kaugusel $a = 20 k m$ . Leidke, milline on lennukite vähim vahekaugus järgneva liikumise jooksul, kui eeldada, et kumbki lennuk kurssi ei muuda.

Lahendus

Lahendus muutub lihtsaks, kui vaatleme ühe lennuki
suhtelist liikumist teise suhtes.

Nimelt, lähme mõtteliselt punase lennukiga $B$ kaasaliikuvasse taustsüsteemi. Sel juhul paistab lennuk $B$ paigal püsivat, kuid lennuk $A$ näib liikuvat kiirusega $\to v$ , mille komponendid on joonisel välja toodud. Kiiruse mooduli leiame Pythagorase teoreemist

v = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = 1000 \frac{k m}{h}

. Vähim kaugus kahe lennuki vahel kogu liikumise jooksul on mõistagi trajektoorini tõmmatud ristlõik

B X

, mille pikkuse järgnevalt leiamegi. Punkti

C

jõudes oli lennuk

A

ida-lääne sihis liikunud vahemaa

| A O | = a = 20 k m

ning põhja-lõuna sihis järelikult

| O C | = v_{2} \cdot \frac{a}{v_{1}} = 15 k m

. Järelikult

| B C | = a - | O C | = 5 k m

Kolmnurga $△ B C X$ ning
kiirusvektorite kolmikust moodustatud kolmnurga küljepikkuste võrdelisusest leiame meid huvitava pikkuse

| B X | = \frac{v_{1} \cdot | B C |}{v} = 4 k m

. Märkus: Võib arvutada ka pikkuse

| A C |

ning kasutada kolmnurkade

△ B C X

△ A C O

sarnasust.

47. Liikumine

Graafikul on kujutatud liikuva keha kiiruse sõltuvust ajast. Kui suur oli vaadeldava aja jooksul keha suurim kaugus algasendist? Kui kaugel oli keha algasendist vaadeldava ajavahemiku lõpus?

Lahendus

Ülevalpool ajatelge olev graafiku joon kirjeldab liikumist positiivses suunas, allpool ajatelge olev joon negatiivses suunas. Kuna liikumise iseloom igal etapil on erinev, tuleb arvutada iga etapi jooksul läbitud teepikkus arvestades ka liikumise suunda. Teepikkust võib arvutada graafiku joone ja ajatelje vahelise pindala kaudu. Kuna enamjaolt on tegemist ühtlaselt muutuva liikumisega, võib teepikkuse leida ka seosest

s = \frac{v + v_{0}}{2} t

Keha on algpunktist kõige kaugemal neljanda sekundi lõpus, s.o.

4 m

kaugusel. Keha lõpetab liikumise samas punktis, kus alustas.

48. Liikuv latt

Miku konstrueeris seadme, mis koosneb kahest teineteise suhtes liikuvast latist. Alumises latis on iga $30 c m$ tagant avaused, ülemise lati küljes ripuvad ühtlase vahemaa tagant elektromagnetite pooluste küljes raudkuulikesed, mille läbimõõt on veidi väiksem avause läbimõõdust. Latid asuvad vertikaalsuunas teineteisest $45 c m$ kaugusel (vt. joonis). Miku pani latid samas suunas liikuma ja vabastas kuulid järgemööda sobivatel hetkel, et need kukuksid läbi avauste alumise lati all olevasse kaussi. On teada, et alumine latt liigub ühtlaselt kiirusega $1 \frac{m}{s}$ ja ülemine latt ühtlaselt kiirusega $0, 5 \frac{m}{s}$ . Kukkumisel on kuulikese keskmine kiirus vertikaalsuunas $1, 5 \frac{m}{s}$ . Kui kaugel horisontaalsuunas peaks asuma kuulikese keskpunkt avause keskpunktist hetkel, kui kuulike vabastatakse elektromagneti küljest? Millise ajavahemiku tagant tuleks vabastada kuulikesed ja kui kaugel üksteisest peaksid ülemise lati küljes asuma kuulikesed, et seade töötaks?

Lahendus

Kuulikese kukkumise aeg

t = \frac{s}{v_{k}} = 0, 3 s

Alumine latt liigub

0, 5 \frac{m}{s}

kiiremini kui ülemine latt. Kujutades ülemist latti seisvana, saame kauguse, mille ulatuses peab kuul kukkumise hetkel eespool avaust olema

Δ s = 0, 5 \frac{m}{s} \cdot 0, 3 s = 0, 15 m = 15 c m

Kuulikeste vabastamine sõltub sellest, millal alumise lati auk jõuab kausi kohale. Kuna alumise lati kiirus on

1 \frac{m}{s}

ja avauste vahemik latis on

0, 3 m

, siis tuleb kuulikesi vabastada iga

t = \frac{0, 3 m}{1 \frac{m}{s}} = 0, 3 s

möödudes. Ülemine latt liigub

0, 3 s

jooksul

s = 0, 5 \frac{m}{s} \cdot 0, 3 s = 0, 15 m

. Järelikult, kuulikesed peavad ülemisele latile olema kinnitatud

15 c m

kaugusele.

49. Litter

Joonisel on kujutis, mille jättis pealtvaates pika säriajaga tehtud fotole lambike, mis oli kinnitatud jääl hõõrdevabalt libisevale ja pöörlevale kettakujulisele litrile. Lambi kinnituskoht asub $a = 4, 5 c m$ kaugusel litri püstteljest. Lamp põleb tuhmilt siniselt, kuid vilgatab iga $t = 0, 10 s$ järel heledamalt punaselt. Fotole on lisatud tundmatu sammuvahega ruudustik. Leidke litri edasiliikumiskiirus.

Lahendus

Esmalt paneme tähele, et trajektoori madalaima ja kõrgeima punkti vahe vertikaalsuunas peab olema $2 a$ , joonisel loeme selleks kuus ruutu, seega on ruudustiku sammuvahe $Δ = \frac{2 a}{6} = 1, 5 c m$ .

Teiseks paneme tähele, et iga pöörlemisperioodi järel kordub küll trajektoori kuju, kuid see nihkub horisontaalsuunas nelja ruudu võrra. Seega läbib litter pöörlemisperioodi jooksul vahemaa $s = 4 Δ = 6, 0 c m$ .

Kolmandaks märkame, et pöörlemisperioodi sisse mahub täpselt kolm punaste vilgatuste vahelist intervalli, seega on pöörlemisperioodi kestus $T = 3 t = 0, 30 s$ .

Neist andmeist saame litri edasiliikumiskiiruseks $v = \frac{s}{T} = 20 \frac{c m}{s}$ .

50. Paadid

Laial jõel sõidavad kaks paati, mõlema kiirused ja kiiruste suunad on konstantsed. Veevoolu kiirus on jões samuti kõikjal üks ja sama ning paralleelne kallastega. Juuresolev foto on tehtud õhust, otse ülevalt alla; paatide asukohad on tähistatud ruudu ja kolmnurgaga, paatidelt vette kukkunud praht aga tähekestega. üks paat alustas teekonda punktist $A$ ; on teada, et paadid kohtusid. Milisest jõekalda punktist alustas teekonda teine paat? Lahendus leidke geomeetrilise konstrueerimise teel.

Lahendus

Leiame paatide trajektoorid veega seotud taustsüsteemis - need on sinised jooned joonisel (kolmnurkne paat on kahe prügiga ühel joonel, seetõttu pidid need sellest paadist olema kukkunud).

Paadid kohtusid siniste joonte lõikepunktis. Kolmnurkse paadi trajektoor maaga seotud taustsüsteemis läheb läbi punkti $A$ (punane joon). Paatide kohtumispunkt maaga seotud taustsüsteemis peab olema samuti punasel joonel ning siniste joonte lõikepunktiga samal kõrgusel (lillal joonel).

Ühendades lilla ja punase joone lõikepunkti teise paadi asukohaga, leiame teise paadi trajektoori maaga seotud taustsüsteemis ning selle lähtepunkti $B$ .

51. Auto ja jalgrattur

Mööda teed sõidavad samas suunas jääva kiirusega auto ja jalgrattur. Auto liigub kiirusega $v = 25 \frac{m}{s}$ , jalgrattur kiirusega $u = 10 \frac{m}{s}$ . Mingil hetkel ületab auto esimese ristmiku, $t = 2 m i n$ hiljem ületab jalgrattur teise ristmiku. Auto möödub jalgratturist $s = 5 k m$ kaugusel teisest ristmikust. Kui suur on ristmike vaheline kaugus?

Lahendus

Auto ja jalgratta kiirused on vastavalt $v = 25 \frac{m}{s}$ ja $u = 10 \frac{m}{s}$ . Ajahetkel $t_{1} = 0$ ületab auto esimese ristmiku. Ajahetkel $t_{2} = 160 s$ ületab jalgratas teise ristmiku. Auto on ajahetkeks $t_{2}$ läbinud vahemaa

s_{1} = v t_{2} = 25 \frac{m}{s} \cdot 160 s = 4000 m = 4 k m

. Ajahetkel

t_{3}

on nii auto kui ka jalgratas

s_{2} = 5 k m

kaugusel teisest ristmikust. Jalgratas läbis vahemaa

s_{2}

ajavahemiku

t_{3} - t_{2} = \frac{s_{2}}{u} = \frac{5000 m}{10 \frac{m}{s}} = 500 s

jooksul. Auto oli sama ajavahemiku jooksul läbinud vahemaa

s_{3} = v \cdot (t_{3} - t_{2}) = 25 \frac{m}{s} \cdot 500 s = 12500 m = 12, 5 k m

Ristmike vahelise kauguse saab leida nii: kõigepealt leida vahemaa $s_{1} + s_{3}$ , mille auto läbis ajavahemiku $t_{3} - t_{1}$ jooksul, ja siis lahutada sellest vahemaa $s_{2}$ , mille jalgratas läbis ajavahemiku $t_{3} - t_{2}$ jooksul:

s = s_{1} + s_{3} - s_{2} = 3 k m + 12, 5 k m - 5 k m = 10, 5 k m

52. Pall

Avatud akna kaudu lendas tuppa väike pall. Palli ja lae vaheline kaugus vähenes kiirusega $v_{1} = 10 \frac{m}{s}$ , palli ja vastasseina vaheline kaugus - kiirusega $v_{2} = 20 \frac{m}{s}$ , palli ja kõrvalseina vaheline kaugus - kiirusega $v_{3} = 20 \frac{m}{s}$ . Pärast $t = 0, 1 s$ lendu sattus pall lae ja kõrvalseina vahelisse nurka. Toa kõrgus on $h = 2, 5 m$ , laius $d = 4 m$ ja pikkus $l = 4 m$ . Aken on mõõtmetega $a = 2 m$ ruut, mis asub seina keskel. Põrkumine toimub peegeldumisseaduse järgi ning põrkel kiiruse arvväärtus ei muutu. Palli liikumist lugeda sirgjooneliseks. Leida a) punkt akna tasapinnas, mida läbis pall tuppa sisenedes; b) punkt akna tasapinnas, mida läbib pall toast väljudes pärast mitme põrke sooritamist seintega.

Lahendus

a) Aja $t = 0, 1 s$ jooksul läbis pall vahemaa laeni $Δ h = v_{1} t = 10 \cdot 0, 1 = 1 m$ ja vahemaa kõrvalseinani $Δ d = v_{3} t = 20 \cdot 0, 1 = 2 m$ . Järelikult punkt $A$ akna tasapinnas, mida läbis pall tuppa sisenedes, asus kaugusel $1 m$ laest ja $2 m$ kõrvalseinast ehk $0, 75 c m$ akna ülemisest servast ja $1 m$ akna kõrvalservast (vt. joonis).

b) Pall saab väljuda toast kui ta jõuab tagasi akna tasapinnani, milleks ta peab läbima kauguse $2 l$ aknaga risti olevas sihis. Selleks kulub tal aeg $t_{1} = \frac{2 l}{v_{2}} = \frac{8 m}{20 \frac{m}{s}} = 0, 4 s$ . Selle aja jooksul läbib ta kõrvalseinaga risti olevas sihis kauguse $d_{1} = v_{3} t_{1} = 20 \frac{m}{s} \cdot 0, 4 s = 8 m$ ning laega risti olevas sihis kauguse $h_{1} = v_{1} t_{1} = 10 \frac{m}{s} \cdot 0, 4 s = 4 m$ .

Joonisel on näidatud palli põhimõtteline liikumisskeem seinte vahel (see ei vasta palli reaalsele trajektoorile, kuid õigesti näitab põrkumiste arvu ja trajektoori lõpp-punkti $B$ ). Järelikult punkt $B$ akna tasapinnas, mida läbis pall toast väljudes, asus kaugusel $Δ h_{1} = 0, 5 m$ põrandast ja $Δ d_{1} = 2 m$ kõrvalseinast ehk $0, 25 c m$ akna alumisest servast ja $1 m$ akna kõrvalservast (vt. joonis).

53. Rong

Auto sõidab sirgel teel jääva kiirusega $v_{A} = 72 \frac{k m}{h}$ . Paralleelselt autoteega kulgeb raudtee. Auto kaugus raudteest on $l = 35 m$ . Autojuht märkab sõitvat rongi auto küljepeeglis. Rongi kujutis liigub peeglis vasakult paremale, kusjuures iga rongi kujutise punkt jõuab peegli vasakust servast paremasse serva ajaga $t = 2, 4 s$ . Peegli laius on $d = 20 c m$ , autojuhi pea paikneb peegli suhtes nii, nagu joonisel näidatud. Millises suunas ja missuguse kiirusega sõidab rong?

Lahendus

Vaatleme situatsiooni liikuva auto suhtes. Asugu autojuht punktis $C$ . Peeglile vastab lõik KL. Jooniselt on tähistatud $C D = l$ , $K L = F G = d$ , $K F = L G = b$ , $G C = a$ , $F C = a + d$ . Autojuht näeb igal ajahetkel peegli vasakpoolses servas $K$ liikuva rongi punkti $A$ kujutist $A^{'}$ ja peegli parempoolses servas $L$ liikuva rongi punkti $B$ kujutist $B^{'}$ .

Kuna autojuht näeb peeglis rongi kujutise liikumist vasakult paremale, siis see vastab joonisel rongi punkti $A$ kujutise $A^{'}$ liikumisele joonisel üles ehk autoga samas suunas. Iga rongi punkti kujutis läbib lõigu $A^{'} B^{'}$ aja $t$ jooksul. Sarnastest kolmnurkadest $△ L G C$ ja $△ B^{'} D C$ leiame, et $B^{'} D = \frac{l b}{a} = 28 m$ , sarnastest kolmnurkadest $△ K F C$ ja $△ A^{'} D C$ leiame, et $A^{'} D = \frac{l b}{b + a} = 20 m$ , millest nüüd $s = A^{'} B^{'} = 8 m$ . Seega leiame, et rongi peegelduse kiirus on auto suhtes $v_{0} = \frac{s}{t} = 3, 33 \frac{m}{s} = 12 \frac{k m}{h}$ . Et rongi peegeldus liigub joonisel üles ehk autoga samas suunas, siis rong liigub auto suhtes kiirusega $v_{0}$ vastupidises suunas.

See tähendab, et rongi kogukiirus maapinna suhtes on $v_{R} = v_{A} - v_{0} = 60 \frac{k m}{h}$ ning rong sõidab autoga samas suunas.

54. Satelliit

Kerakujuline satelliit läbimõõduga $d = 10 m$ tiirleb orbiidil ümber Maa kõrgusel $h = 600 k m$ kiirusega $v = 8 \frac{k m}{s}$ . Kui suur on satelliidi nurkläbimõõt $φ$ (nurk, mille all satelliit paistab mapinnal asuvale vaatlejale)? Mingil ajahetkel fikseeriti Maa pealt tähe $A$ varjutuse algus satelliidi poolt (vt. joonis). Jooniselt on näha, et sellel hetkel on satelliidi keskpunkti $O$ näiva asukoha ja tähe vaheline nurkkaugus $\frac{φ}{2}$ (nurk vaatesuundade vahel tähele ja satelliidi keskpunktile). Kui suur on sellel hetkel satelliidi keskpunkti tegeliku asendi ja tähe vaheline nurkkaugus? Valguse kiirus on $c = 300000 \frac{k m}{s}$ .

Lahendus

Tähe ja satelliidi tsentri vaheline nurkkaugus vastavalt joonisele on

φ_{1} = \frac{d}{2 h}

Kuid selleks ajaks, kui Maa peal fikseeriti joonisel kujutatud hetk, oli satelliit liikunud edasi teepikkuse

s

võrra:

s = \frac{v h}{c}

Seega asub satelliidi tsenter tegelikult juba tähest paremal ning tähe ja satelliidi tsentri vaheline nurkkaugus on:

φ_{2} = \frac{\frac{v h}{c} - \frac{d}{2}}{h}

Ülaltoodud valemitest avalduvad nurgad

φ_{1}

φ_{2}

radiaanides. Kui me tahaksime avaldada need nurgad kraadides, siis peaksime korrutama tulemused avaldisega

\frac{180^{\circ}}{π}

55. Sprint

Poistest ja tüdrukutest moodustatud kooli võistkond jookseb $4 \times 400 m$ teatejooksu. Võistlejate kiiruse sõltuvus võistkonna poolt läbitud teepikkusest on toodud graafikul. Leidke võistkonna keskmine kiirus kogu distantsi läbimisel.

Lahendus

Keskmise kiiruse arvutame kogu teepikkuse ning selle läbimiseks kujunud aja kaudu. Tähistame ringi pikkuse $s$ . Jooksjate ringide ajad on vastavalt: $\frac{s}{v_{1}}$ , $\frac{s}{v_{2}}$ , $\frac{s}{v_{3}}$ ja $\frac{s}{v_{4}}$ . Summaarne aeg on mõistagi nende summa. Kogu distantsi pikkus on $4 s$ . Siit saame keskmiseks kiiruseks

v_{k e s k} = \frac{4}{\frac{1}{v_{1}} + \frac{1}{v_{2}} + \frac{1}{v_{3}} + \frac{1}{v_{4}}} = \frac{1680}{319} = 5, 3 \frac{m}{s}

56. Valguse kiirus

Esimese hinnangu valguse kiirusele andis Rømer 1675. a., uurides Jupiteri kaaslase Io liikumist. Io orbiit asetseb ligikaudu Maa orbiidi tasapinnas, nii et kaaslane kaob periooditi Jupiteri varju. Mõõtmised näitavad, et intervall kahe järjestikuse hetke vahel, kui Io ilmub nähtavale Jupiteri varjust, kõigub maksimaalselt $15 s$ ulatuses teatava keskväärtuse ( $\approx 42, 5 h$ ) ümber sõltuvalt Päikese, Maa ja Jupiteri vastastikusest asendist (vt. joonis). Teades, et Maa kaugus Päikesest on $1, 5 \cdot 10^{8} k m$ , hinda valguse kiirust. Eeldada, et Jupiteri orbitaalkiirus ümber Päikese on palju väiksem kui Maal.

Lahendus

Io tiirlemisperioodi jooksul muutub Maa ja Jupiteri vahekaugus. Kaugus muutub kõige kiiremini, kui Maad ja Jupiteri ühendav sirge on Maa orbiidile puutujaks. Aja jooksul, mis Iol kulub ühe tiiru tegemiseks, muutub Maa ja Jupiteri vahekaugus

2 π \cdot 1, 5 \cdot 10^{8} k m \cdot \frac{42, 5 h}{1 a} \approx 4, 6 \cdot 10^{6} k m

võrra. Selle täiendava vahemaa läbib valgus $15 s$ jooksul, seega valguse kiirus avaldub:

c = \frac{4, 6 \cdot 10^{6} k m}{15 s} \approx 3, 0 \cdot 10^{8} m / s

57. Veevool

Jaak otsustas katseliselt määrata veevoolu kiiruse jões. Selleks pani ta vette puutüki ja sõudis ise paadiga pärivoolu $10$ minutiga $500$ meetri kaugusel oleva märgi juurde ning pöördus sealt tagasi. Jõudnud puutükini pööras ta paadi uuesti ja $6$ minutit pärast puutükiga kohtumist jõudis ta jälle sama märgi juurde. Kui suur oli veevoolu kiirus jões ja paadi kiirus vee suhtes, kui eeldada, et puutükk liikus muutumatu kiirusega ja Jaak sõudis kogu aeg ühesuguselt? Paadi pööramiseks kulunud aega mitte arvestada.

Lahendus

Olgu $v$ - paadi kiirus ja $u$ - veevoolu kiirus. Pärivoolu sõites oli paadi kiirus kalda suhtes

v + u = \frac{500 m}{10 m i n} = 50 \frac{m}{m i n}

Kuna puutüki suhtes liigub paat nii päri- kui vastuvoolu sama kiirusega, siis pärast pööret kulus Jaagul puutükini jõudmiseks samuti

10

minutit. Seega liikus puutükk kohtumiseni paadiga

20

. Kuna pärast puutükiga kohtumist sõitis paat märgini veel

6

minutit, siis asus kohtumispaik märgist

50 \frac{m}{m i n} \cdot 6 m i n = 300 m

kaugusel. Paadi ja puutüki kohtumiskoht oli seega

500 m - 300 m = 200 m

allpool stardipaigast. Seega on veevoolu kiirus jões

u = \frac{200 m}{20 m i n} = 10 \frac{m}{m i n}

Paadi kiirus vee suhtes aga

v = 50 - 10 = 40 \frac{m}{m i n}

Teine lahendus: Seda ülesannet võib ka teistmoodi lahendada (vt. joonis). Olgu $A B = l$ - kaugus stardipunkti ja märgi vahel. Poiss ja puutükk stardivad üheaegselt punktist $A$ , kuid liiguvad erinevate kiirustega. Puutükk liigub kiirusega $u$ , poiss aga kiirusega $v + u$ . Aja $t_{1}$ möödumisel jõuab poiss punkti $B$ , läbides vahemaa $l = (v + u) t_{1}$ . Puutükk selleks ajaks läbis vahemaa $d_{1} = u t_{1}$ . Poiss pöörab tagasi ja nüüd liigub ta kiirusega $v - u$ . Kohtumishetkel puutükiga läbib ta veel vahemaa $l_{1} = (v - u) t_{2}$ , puutükk aga $d_{2} = u t_{2}$ . Nüüd pöörab poiss teist korda ja läbib veel kauguse $l_{1}$ aja $t_{3}$ jooksul kiirusega $v + u$ . Võime panna kirja järgmise võrrandisüsteemi:

t_{1} = \frac{l}{v + u}, t_{2} = \frac{l - u (t_{1} + t_{2})}{v - u}, t_{3} = \frac{l - u (t_{1} + t_{2})}{v + u}

Selles võrrandisüsteemis tuntud on

t_{1} = 10 m i n

t_{3} = 6 m i n

, tundmatud on

v

u

t_{2}

. Järelikult on see süsteem täielikult lahenduv. Avaldame

t_{2}

teisest võrrandist ja asendame

t_{1}

teises võrrandis selle avaldisega esimesest võrrandist:

v t_{2} - u t_{2} = l - u t_{1} - u t_{2}

t_{2} = \frac{l - u t_{1}}{v} = \frac{l - u l / (v + u)}{v} = \frac{v l + u l - u l}{v (v + u)} = \frac{l}{v + u} = t_{1}

Nüüd lihtsustub meie võrrandisüsteem kahe võrrandini:

t_{1} = \frac{l}{v + u}, t_{3} = \frac{l - 2 u t_{1}}{v + u}

Avaldades esimesest võrrandist

v + u

ja asendades see teises võrrandis, saame

t_{3} = \frac{l - 2 u t_{1}}{\frac{l}{t_{1}}} \Rightarrow u = \frac{l (t_{1} - t_{3})}{2 t_{1}^{2}} = 10 \frac{m}{m i n}

v = \frac{l}{t_{1}} - u = 40 \frac{m}{m i n}

58. Autod

Maanteel paiknevad valgusfoorid iga $l = 1 k m$ tagant. Iga valgusfoori punane tuli põleb $t = 30$ sekundit, siis süttib kohe roheline tuli ja põleb samuti $t = 30$ sekundit; seejärel tsükkel kordub. Kõik kiirusega $v = 40 \frac{k m}{h}$ liikuvad autod, mis mööduvad ühest valgusfoorist rohelise tulega, mööduvad ka kõigist teistest valgusfooridest rohelise tulega. Milliste teiste kiirustega võiksid autod liikuda, et möödudes ühest valgusfoorist rohelise tulega mööduksid nad ka kõikidest teistest fooridest rohelise tulega?

Lahendus

Joonistame auto liikumise graafiku. Tähistame graafikul fooride punase tule põlemise perioode pideva joonega ja rohelise tule perioode lüngaga. Kuna kiirusega $v = 40 \frac{k m}{h}$ liikuv auto läbib ühe kilomeetri $\frac{1}{40} h = 90 s e k u n d i$ jooksul, siis võivad fooride punased ja rohelised tuled jaotuda ainult nii, nagu joonisel näidatud.

Graafikult on näha, et autod suudavad läbida kõiki foore peatuseta, kui nad suudavad läbida ühe kilomeetri $30$ , $90$ , $150$ $\dots$ , $30 + 60 n$ sekundi jooksul, kus $n$ on täisarv. Seega sobiv kiirus võib omada väärtusi $V_{n} = \frac{1 k m}{(30 + 60 n) s} = \frac{120}{2 n + 1} \frac{k m}{h}$ , ehk $120 \frac{k m}{h}$ , $40 \frac{k m}{h}$ , $24 \frac{k m}{h}$ jne.

59. Autod

Punktist $A$ sõitis välja auto konstantse kiirusega $50 \frac{k m}{h}$ . $2$ tunni pärast väljus punktist $A$ samas suunas teine auto ka konstantse kiirusega. Teine auto jõudis esimesele järele punktis $B$ , mis asub punktist $A$ $200 k m$ kaugusel. Milline oli teise auto kiirus? Esitada a) teepikkuste graafikud; b) kiiruste graafikud.

Lahendus

Tähistused: $v_{1}$ - esimese auto kiirus; $v_{2}$ - teise auto kiirus; $t$ - aeg, mille pärast punktist $A$ väljus teine auto; $S$ - punktide $A$ ja $B$ vaheline kaugus.

Esimene auto sõitis aja $t_{1} = \frac{S}{v_{1}} = \frac{200}{50} = 4 h$ . Teine auto sõitis aja $t_{2} = t_{1} - t = 4 - 2 = 2 h$ . Teise auto kiirus on $v_{2} = \frac{S}{t_{2}} = \frac{200}{2} = 100 \frac{k m}{h}$ .

60. Bussiliin

Tartu-Tallinn bussiliini pikkus on $l = 185 k m$ . Buss sõidab läbi Põltsamaa ja Mäo. Tallinnast Mäoni on $l_{1} = 85 k m$ , Tartust Põltsamaani $l_{2} = 60 k m$ (vt. joonis). Tallinnast väljub Tartu poole buss kell $19.00$ ja sõidab Mäoni keskmise kiirusega $v_{1} = 75 \frac{k m}{h}$ . Mäos teeb buss $Δ t = 2 m i n$ pikkuse peatuse ja sõidab edasi Tartu poole keskmise kiirusega $v_{2} = 80 \frac{k m}{h}$ . Tartust väljub teine buss Tallinna poole kell $19.30$ . Buss sõidab Põltsamaale keskmise kiirusega $u_{1} = 80 \frac{k m}{h}$ . Seal teeb buss $Δ τ = 10 m i n$ pikkuse peatuse ja jätkab sõitu sama keskmise kiirusega Tallinna poole. Mis kell kohtuvad bussid ja kui kaugel on nende kohtumiskoht Tartust?

Lahendus

Mäost Põltsamaale on $l - l_{1} - l_{2} = 40 k m$ . Tallinna buss jõuab Mäosse $\frac{l_{1}}{v_{1}} = 1, 133 h$ pärast (kell $20.08$ ) ja väljub sealt kell $20.10$ . Tartu buss jõuab Põltsamaale $\frac{l_{2}}{u_{1}} = 45 m i n$ pärast (kell $20.15$ ) ja väljub sealt kell $20.25$ . Selleks hetkeks on Tallinna buss jõudnud Mäost juba $80 \frac{k m}{h} \cdot 0, 25 h = 20 k m$ kaugusele ja busside vahemaa on $40 k m - 20 k m = 20 k m$ . Bussid sõidavad teineteisele vastu suhtelise kiirusega $v_{2} + u_{1} = 160 \frac{k m}{h}$ . Nad kohtuvad

\frac{20 k m}{160 \frac{k m}{h}} = 0, 125 h = 7, 5 m i n

pärast ehk kell

20.32, 5

. Kohtumispunkt asub Tartust

60 k m + 0, 125 h \cdot 80 \frac{k m}{h} = 70 k m

kaugusel.

61. Golfilöök

Sarivõttega pildistati golfimängijat nii, et iga kahe pildi vahel oli ajavahemik $τ = 16 m s$ . Hinnake golfipalli algkiirust joonise abil. Pall liigub risti vaatesuunaga.

Lahendus

Lendu läinud golfipall on pildile jäädvustunud kolmes punktis. Paneme tähele, et heledaim valge täpp meile aga infot ei anna, sest see näitab vaid golfipalli algasendit enne seda, kui kepp teda lõi! Kahele järjestikkusele pildile on jäädvustunud heledast pallist paremale jäävad kaks tuhmimat valget palli kujutist. Nende ajaline vahe on $τ$ . Mõõdame pallide vahekauguse $L_{1}$ joonlauaga. Samuti mõõdame golfimängija pikkust märkivat skaalat või golfimängija pikkust $L_{2}$ . Teades, et skaalajoone pikkusele vastab $h = 1, 8 m$ saame, et golfipalli nihke pikkus kahe pildi vahel on

s = \frac{h L_{1}}{L_{2}} .

Selleks nihkeks kulunud aeg oli

τ

. Kuna golfipalli kiirus on suur, siis raskuskiirendusega me ei arvesta, loeme, et tegu on kulgliikumisega. Kiiruseks saame

v = \frac{s}{τ} = \frac{h L_{1}}{τ L_{2}} \approx 150 \frac{k m}{h}

62. Jalgratas

Graafikul (vt. joonis) on kujutatud jalgratturi kiiruse sõltuvus ajast. Millistel ajavahemikel liikus jalgrattur kiirenevalt? Milline oli jalgratturi poolt läbitud teepikkus graafikul kujutatud ajavahemiku jooksul?

Lahendus

Jalgratas liigub kiirenevalt seal, kus kiirus ei ole konstantne ja parasjagu ei vähene. Ehk ajavahemikel $2 - 3 s$ ja $4 - 5 s$ (vt. joonis). Kuna teepikkus $s = v t$ , siis jalgratturi poolt läbitud teepikkus meetrites on arvuliselt võrdne graafikul värvitud ruutude arvuga: $s = 29 m$ .

63. Jalgrattur

Joonisel on kujutatud jalgratturi liikumise graafik. Millisel teelõigul oli jalgratturi kiirus suurim? Leida selle kiiruse väärtus. Mitu peatust tegi jalgrattur? Kui kaua kestsid peatused? Kui suur oli jalgratturi keskmine kiirus tee läbimisel?

Lahendus

$a)$ Jalgratturi kiirus oli suurim lõigul $B C$ . Kiirus oli siis $v_{m a x} = \frac{s}{t} = \frac{100 m}{20 s} = 5 \frac{m}{s}$ .
$b)$ Jalgrattur tegi kaks peatust. Üks kestis $10$ ja teine $20$ sekundit.
$c)$ Jalgratturi keskmine kiirus oli $v_{k e s k} = \frac{s_{k o g u}}{t_{k o g u}} = 2, 2 \frac{m}{s}$ .

64. Kaks kuuli

Kaks kuuli (must ja valge) alustavad võrdsete kiirustega liikumist punktist $A$ mööda joonisel näidatud pindu (vt. joonis). Kummal kuulil on punkti B jõudes kiirus suurem, kas mustal või valgel? Kummal kulub kohalejõudmiseks rohkem aega? Hõõrdejõudu mitte arvestada.

Lahendus

Energia jäävuse seadusest tuleneb, et mõlema kuuli kiirused punktis $B$ on ühesugused ( $m g h = \frac{m v^{2}}{2} ⟹ v = \sqrt{2 g h}$ ).

Liikumisaja arvutamiseks paneme tähele, et kui valge ja must kuul on sooritanud võrdse kaldpinna suunalise nihke, siis valge kuul on mustast kõrgemal (kaldpinna normaali mööda ülespoole) ja energia jäävuses johtuvalt väiksema kiirusega. Valge kuuli kaldpinna-sihilise kiiruse leidmiseks tuleb niigi väiksem kiirusmoodul korrutada teatava nurga koosinusega, samal ajal kui must kuul liigub koguaeg kaldpinna sihis.

Niisiis on võrdsete kaldpinna-sihiliste nihete juures musta kuuli kiiruse kaldpinna-sihiline komponent alati suurem ning seepärast jõuab ta ka esimesena kohale.

65. Jõe ületamine

Paat sõitis üle jõe, mille laius oli $d = 120 m$ , nii, et paadi siht oli kogu aeg risti jõega. Kui suur pidi olema paadi keskmine kiirus jõevoolu suhtes, kui on teada, et paadi maabumiskoht teisel kaldal asetses $s = 12 m$ lähtekohast allavoolu? Vee voolukiirus jões oli $u = 0, 8 \frac{m}{s}$ ?

Lahendus

Paat võtab osa kahest liikumisest: sõidab risti jõge ning liigub allavoolu. Jõe laius
$d = 120 m$ ; allavoolu liikumine $s = 12 m$ .
Sõidu aeg $t = \frac{s}{u}$ .

Paadi kiirus $v_{p} = \frac{d}{t} = \frac{d u}{s}$ .

Pannes arvandmed asemele, saame

v_{p} = \frac{120 m \cdot 0, 8 \frac{m}{s}}{12 m} = 8 \frac{m}{s}

66. Püstolkuulipilduja

Korraldati katse, milles mõõdeti püstolkuulipilduja kuulide keskmist kiirust ja laskude arvu minutis. Selleks sõitsid kahel paralleelsel raudteel vastassuunas rongid. Rong, millest tulistati, sõitis katse ajal muutumatu kiirusega $72 \frac{k m}{h}$ ja rong, mis oli märklauaks, muutumatu kiirusega $36 \frac{k m}{h}$ . Rongide kaugus teineteisest oli $60 \frac{k m}{h}$ . Esimene lask tehti hetkel, kui rongiga risti oleva püstolkuulipilduja toru ots oli täpselt vastakuti teisele rongile joonistatud märgiga. Kuuliaukude asukohtade mõõtmisel täheldati, et esimene kuul oli tabanud rongi $2, 25 m$ märgist eemal ja kõikide teiste kuuliaukude kaugus üksteisest oli $2, 5 m$ . Kui suur on püstolkuulipilduja kuuli lennukiirus ja mitu lasku teeb püstolkuulipilduja minutis?

Lahendus

Kuuli lennuaeg võrdub kõrvalekalle märgist jagatud rongide suhtelise kiirusega.

t = \frac{2, 25 \frac{m}{s}}{20 \frac{m}{s} + 10 \frac{m}{s}} = 0, 075 s

Kuuli kiirus $v = \frac{60 m}{0, 075 s} = 800 \frac{m}{s}$ .

Kahe järgneva lasu vaheline aeg

T = \frac{2, 5 \frac{m}{s}}{20 \frac{m}{s} + 10 \frac{m}{s}} = 0, 0833 s

Laskude sagedus

n = \frac{60 \frac{s}{m i n}}{0, 0833 s} = 720 \frac{l a s k u}{m i n}

67. Ringrada

Juhan, Kalle ning Lauri sõidavad ringrajal jalgratastega võidu. Kõik kolm stardivad korraga ühest kohast ning iga rattur sõidab muutumatu kiirusega. On teada, et Kalle teeb Juhanile ringi sisse siis, kui Kalle on just lõpetanud viienda ringi. Lauri teeb Kallele ringi sisse siis, kui Lauri on just lõpetanud kuuenda ringi. Mitu ringi oli Juhan sõitnud, kui Lauri temast esimest korda ringiga möödus?

Lahendus

Kui Lauri lõpetas kuuenda ringi, pidi Kalle lõpetama viienda ringi ning seega Juhan neljanda. Näeme, et Lauri läbib kolm ringi selle ajaga, mis Juhanil kulub kahe läbimiseks, järelikult mööduti Juhanist esimest korda ringiga siis, kui ta oli lõpetanud oma teise ringi.

68. Liiklusummik

Autod seisavad punase fooritule taga tiheda kolonnina, kus kahe järjestikuse auto esiotste vaheline kaugus on keskmiselt $l_{0} = 6 m$ ning autode rivi pikkus $L_{0} = 150 m$ . Peale rohelise tule süttimist hakkavad autod järjest liikuma ning saavutavad kiiruse $v = 50 \frac{k m}{h}$ . Kiiruse $v$ saavutanud autode esiotste vaheline kaugus $l = 30 m$ . Lihtsuse mõttes jätke arvestamata autode kiirendamisele kuluv aeg. Kui kaua alates rohelise tule süttimisest peab viimane auto ootama, enne kui saab liikuma hakata? Kas ta jõuab üle ristmiku juba esimese rohelise tulega või peab uuesti punase tule taha ootama jääma? Rohelise tule kestus on $t = 1 m i n$ .

Lahendus

Selleks hetkeks, kui liikuma hakkab viimane auto, on autoderivi pikkuseks kujunenud ligikaudu $L = \frac{l}{l_{0}} L_{0}$ . Järelikult esimene auto pidi läbima selleks hetkeks vahemaa $s = L - L_{0} = L_{0} (\frac{l}{l_{0}} - 1)$ , milleks kulub aega

Δ t = \frac{s}{v} = \frac{L_{0}}{v} (\frac{l}{l_{0}} - 1) = 43, 2 s .

Viimane auto peab läbima vahemaa $L_{0}$ , et jõuda ristmikuni, milleks kulub tal aega $t_{s ˜ o it} = L_{0} / v = 10, 8 s$
Kogu aeg ristmikuni jõudmiseks on seega $Δ t + t_{s ˜ o it} = 54 s$ . Seega jõuab ka viimane auto rohelise tulega üle ristmiku.

69. Rong

Kaubarong läbis kahe jaama vahelise teelõigu keskmise kiirusega $36 \frac{k m}{h}$ . Kogu sõiduajast esimese $\frac{2}{3}$ vältel liikus rong ühtlaselt kiirenevalt ja saavutanud maksimaalse kiiruse, hakkas kohe pidurdama liikudes pidurdamise ajal ühtlaselt aeglustuvalt. Kui suur oli rongi maksimaalne kiirus kahe jaama vahelisel teel?

Lahendus

Idee asendada muutuvate kiirustega liikumine keskmiste kiirustega liikumistega. Kiireneva või aeglustuva liikumise korral alg- ja lõppkiiruse asendamine keskmise kiirusega $v = \frac{v_{0} + v_{m a x}}{2}$ .

Mõlemal juhul üks kiirustest on võrdne nulliga $v_{0} = 0 \frac{k m}{h}$ . Jaamadevahelise teepikkuse avaldamine lõikude ja kogu keskmiste kiiruste kaudu seosega $s = \frac{v_{m a x}}{2} \frac{2 t}{3} + \frac{v_{m a x}}{2} \frac{t}{3} = v_{k e s k m} t$ . Maksimaalse kiiruse avaldamine $v_{m a x} = 2 v_{k e s k m}$ ehk $72 \frac{k m}{h}$ .

70. Jõgi

Jõel vastuvoolu sõitev mootorpaat möödub kaldal olevast suurest kivist ja kohtab kivi juures allavoolu liikuvat parve. $10$ minutit pärast kohtumist hakkab mootorpaat sõitma pärivoolu ja jõuab parvele järele siis, kui see on kivist $500 m$ kaugusel. Kui suur on voolukiirus jões? Mootorpaat liigub üles- ja allavoolu vee suhtes sama kiirusega.

Lahendus

Lähme üle taustsüsteemi, kus vesi ei voola. Sel juhul kuluks mootorpaadil tagasisõiduks $10$ minutit ning kogu süiduaeg oleks $20 m i n$ . Seega ujub parv kivi juurest allajõge $20$ minutit ning siis möödub parvest mootorpaat. Jõevoolukiirus avaldub

v = \frac{s}{t} = \frac{\frac{1}{2} k m}{\frac{1}{3} h} = 1, 5 \frac{k m}{h}

71. Bussid

72. Kolksatused

Raudteerööbas on $25 m$ pikk. Kui pika aja vältel tuleks lugeda vaguni ühe telje rataste kolksatusi, et nende arv võrduks vaguni kiirusega kilomeetrites tunnis?

Lahendus

Vaguniratta kolksatus toimub ratta üleminekul ühelt rööpalt järgmisele rööpale. Teatud arvu kolksatuste jooksul läbib vagun vahemaa $n s$ , kus $n$ on kolksatuste arv ja $s$ rööpa pikkus.

Kuna $s = v t$ , saab panna kirja seose $n s = v t$ . Teisendades kiiruse $v = \frac{n \cdot 1000}{3600}$ , saab seose avaldada kujul $n \cdot 25 = \frac{n \cdot 1000}{3600} \cdot t$ , millest $t = 90 s$ .

73. Võidusõiduautod

Võidusõiduauto keskmine kiirus ringrajal peetud treeningu jooksul oli $v = 50 \frac{m}{s}$ . Kui arvutati peale esimese ja teise kõikide ülejäänud sõidetud ringide keskmine kiirus, leiti, et see oli täpselt sama, $50 \frac{m}{s}$ . Esimese ringi läbimiseks kulus aega $t_{1} = 107 s$ . Kui palju aega kulus teise ringi läbimiseks? Ühe ringi pikkus oli $l = 5150 m$ .

Lahendus

Paneme tähele, et võidusõiduauto keskmine kiirus esimese kahe ringi jooksul peab samuti olema $v = 50 \frac{m}{s}$ , ehk siis $v = \frac{2 l}{t_{1} + t_{2}}$ . Sellest saame, et $t_{2} = \frac{2 l}{v} - t_{1}$ , $t_{2} = 99 s$ .

74. Orav

Orav kasutab liikumiseks reisirongide katuseid. Istudes jaamas peatunud rongi katusel, märkab orav, et kõrvalteel liigub rong kiirusega $v = 36 \frac{k m}{h}$ . Kui rongid on kohakuti, hüppab orav mööduva rongi katusele, püüdes maanduda vaguni lähemast servast võimalikult kaugele. Teisest rongist üle hüpata ta siiski ei suuda. õhus on orav $t_{1} = 0, 5 s$ . Uues asukohas talle aga ei meeldi ja $t_{2} = 2 s$ pärast hüppab ta maandumiskohast samamoodi tagasi. Kui suur on orava endise ja uue asukoha vahekaugus esimese rongi katusel? Maandumisel orav ei libise.

Lahendus

Vaatleme orava liikumist seisva rongiga seotud taustsüsteemis piki raudteed suunatud koordinaattelje sihis ( $x$ -telg).

Jõudmaks maksimaalsele kaugusele vaguni servast, peab orav esimene hüpe toimuma risti valitud koordinaattelje sihiga, tema kiirus piki $x$ -telge on null ja $x$ -koordinaadi väärtus ei muutu. Teise rongi vaguni katusel liigub orav valitud (seisva rongiga seotud) taustsüsteemis kiirusega $v$ ja läbib vahemaa $v t_{1}$ .

Tagasihüppel, mis toimub nüüd risti $x$ -teljega aga teise rongiga seotud taustsüsteemis (see tagab jälle maandumiskoha maksimaalse kauguse vaguni servast) on orava kiirus seisva vaguniga seotud taustsüsteemis $v$ (teise rongi kiirus) ja ta läbib selles tausüsteemis piki $x$ -telge vahemaa $v t_{2}$ .

Seega on orava endise ja uue asukoha vahe seisva vaguni katusel $s = v (t_{1} + t_{2}) = 10 (2 + 0, 5) = 25 m$ .

75. Mootorpaat

Hetkel, mil sadamast möödus parv, alustas sealt pärivoolu mööda jõge liikumist mootorpaat, mis suundus allavoolu $s_{1} = 15 k m$ kaugusel olevasse asulasse. Paat jõudis asulani $t = 45$ minutiga ning pöördus kohe tagasiteele. Asulast $s_{2} = 9 k m$ ülesvoolu kohtas paat parve. Kui suur on voolu kiirus jões ja paadi kiirus seisvas vees?

Lahendus

Vaatleme paadi liikumist parvega seotud taustsüsteemis. Allavoolu sõites viib jõe vool mõlemat kaasa ning paat eemaldub parvest kauguse $Δ s = s_{1} - s_{2} = v_{p} t$ võrra. Kuivõrd ka paadi ülesvoolu sõites viib vool mõlemat võrdselt allavoolu, tuleb sama vahemaa paadil parvega seotud taustsüsteemis läbida ka tagasisõites. Seega kulub tagasisõidule parvega kohtumiseni samuti 45 minutit.
Parv läbib selle ajaga vahemaa $s = s_{1} - s_{2}$ , mis on $6 k m$ . Vee voolukiirus jões on seega

v_{j} = \frac{s_{1} - s_{2}}{2 t} = 4 \frac{k m}{h}

Paadi kiiruse saame arvutada seosest

s_{1} = (v_{p} + v_{j}) t

, millest

v_{p} = 16 \frac{k m}{h}

76. Trepp

Juku kõndis vanaema Juulaga trepist üles. Juku kõndis trepist üles kiirusega $v_{1}$ (korrust/minutis). Kui ta jõudis viiendale korrusele, siis hakkas ta alla tulema kiirusega $v_{2}$ . Juku ja vanaema kohtusid teisel korrusel. Mitmendale korrusele jõuaks Juku ajaga, mis vanaemal kulub viiendale korrusele minekuks? Juku liigub trepist alla kaks korda kiiremini kui üles. Maja esimene korrus asus maapinnal.

Lahendus

Kui esimene korrus asub maapinnal, siis teisele korrusle jõudmiseks tuleb tõusta ühe korruse võrra ja viiendale korrusele jõudmiseks on vaja tõusta $4$ korrust. Olgu Juula kiirus $v_{3}$ . Juulal ja Jukul kulus teise korruseni jõudmiseks sama aeg:

\frac{4}{v_{1}} + \frac{3}{2 v_{1}} = \frac{1}{v_{3}}

kust leiame

v_{1} = 5, 5 v_{3}

Kui Juula jõuab viiendale korrusele, siis oleks Juku tõusnud $\frac{4}{v_{3}} \cdot 5, 5 v_{3} = 22$ korrust, seega jõuaks ta $23.$ korrusele.

77. Liiklushuligaan

Liiklushuligaan sõidab Tartust Tallinnasse ja tagasi. Tavaliselt sõidab ta teel kiirusega $v_{1} = 120 \frac{k m}{h}$ , kuid $s = 1 k m$ enne kiiruskaamerat sõidab ta kiirusega $v_{2} = 80 \frac{k m}{h}$ . Teel Tallinnast Tartusse on kaks kiiruskaamerat rohkem kui vastassuunas. Mitu minutit sõidab liiklushuligaan Tallinnast Tartusse kauem kui vastassuunas? Eeldage, et kiiruskaamerate vahemaad linnadest ja omavahel on suuremad kui $s = 1 k m$ .

Lahendus

Liiklushuligaan sõidab Tallinnast Tartusse kauem, sest sel sõidusuunal on kaks kiiruskaamerat rohkem kui vastassuunas.

Teel Tallinnast Tartusse sõitis liiklushuligaan kiirusega $v_{1} = 80 \frac{k m}{h}$ kaks kilomeetrit rohkem kui vastassuunas.

Vastassuunas sõites läbis liiklushuligaan need kaks kilomeetrit kiirusega $v_{2} = 120 \frac{k m}{h}$ . Leiame, kui palju erinevad vahemaa $2 s = 2 k m$ läbimiseks kulunud ajad, sõites kiirusega $v_{1}$ ja sõites kiirusega $v_{2}$ :

t = \frac{2 s}{v_{1}} - \frac{2 s}{v_{2}}

kust

t = 0, 5 m i n

Seega sõitis liiklushuligaan Tallinnast Tartusse $0, 5$ minutit kauem kui Tartust Tallinnasse.

1.3 Jõud

1.3.1 Mida peab nende ülesannete lahendamiseks teadma ja oskama

Kehade liikumine

Teab, et igal kehal on massikese ja et kehade takistuseta liikumisel see liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt, sõltumata keha kujust.

Jõud. Jõudude liitmine. Vektorid.

Ülesannetes esinevad jõud: veojõud, hõõrdejõud, toeraektsioon. üleslükkejõud (Archimedese seadus).
Reaktiivjõud selles kontekstis on ...
Jõudude liitmine ühel teljel.
Koostab ülesannete lahendamisel jooniseid, kuhu on märgitud jõud, samuti nende vertikaal- ja horisontaalprojektsioonid.
Arusaamine, et jõudusid, mis mõjuvad erinevates suundades, ei saa aritmeetiliselt kokku liita, isegi kui arvestada nende suundi. Kui jõud mõjuvad erinevates suundades, siis tuleb see jagada komponentideks nii, et ühes sihis mõjuvaid komponente on võimalik liita ja lahutada.

Matemaatiline analüüs. Algebralised teisendused.

Arvu ruut ja ruutjuur kui pöördtehted.
Võib esineda ülesandeid, kus lahenduseks on vajalik võrrandisüsteemi koostamine.

Kangi seadus. Jõumoment

Oskab kasutada kangi tasakaalu tingimust F1l1=F2l2 kangi ülesannete lahendamisel.
Teab, et Fl on jõumoment.
Oskab taandada suvaliste kujudega kehade ja jõudude ülesandeid kangi ülesanneteks, kui need sisaldavad endas kehade pöördliikumist ümber mingi telje. Kujutab neid suvalisi kehasid joonisel kui kange.
Teab, et kangi tasakaalu tingimust saab rakendada ka kangi korral, mis ei ole tasakaalus, st millele mõjuvad jõud ei ole risti kangi õlgadega.
Saab aru, et kui kang (üldistatud) ei ole tasakaalus, siis tekib pöördliikumine. Pöördliikumise kiiruse kohta me ei oska ega saa midagi öelda.

Ülesanded

1. Aerosaan

Aerosaan veab kahte võrdse massiga kelku (vt. joonis). Kelgu mass võrdub aerosaani massiga. Kelkude ja aerosaani suuskade ehitused ja hõõrdeomadused on ühesugused. Mingil kiirusel $v_{1}$ näitab kahe kelgu vahele rakendatud dünamomeeter jõudu $F$ . Kui suurt veojõudu $T$ peab avaldama aerosaani propeller kiirusel $v_{2} = 2 v_{1}$ , kui $m g = 4000 N$ ( $g$ väärtus on $10 m / s^{2}$ ). Suuruse $χ = \frac{F}{m g}$ sõltuvus kiirusest on esitatud graafikul.

Lahendus

Tuleb taibata, et propelleri tõmme $T$ ei võrdu aerosaani poolt kelkudele avaldatud tõmbega. Tõmme $T$ jaguneb kolme sarnaste hõõrdeomadustega keha vahel, seega alati

F = \frac{T}{3}

Leiame jõu $F$ kiiruse $v_{2}$ jaoks graafikult - see on:

F_{v_{2}} = 0, 35 \cdot 4000 N = 1400 N

Seega propelleri tõmbejõud avaldub:

T = 3 \cdot 1400 N = 4200 N

Kitsa põhjaga anumas on vesi (vt joonis). Anuma külgedest ühekaugusel ujub puidust keha. Kas anum läheb ümber, kui keha sujuvalt nihutada anuma ääre suunas? Vastust põhjendada.

Lahendus

Anum ei lähe ümber. Archimedese seaduse põhjal keha ujumisel on klotsile mõjuvad jõud tasakaalus, ükskõik kas ta asetseb vedeliku keskel või ääres.

Väike Joosep nägi vanas teadusajakirjas juhendit munakoorest aurulaeva ehitamiseks. Munasse tuleb torgata väike auk, sisu välja imeda ja asemele panna veidi vett. Küünla kohal kuumutades läheb vesi keema ning august väljuv aurujuga panebki laeva liikuma.

Joosepi vanem vend Juhan oli aga koolis juba füüsikat õppinud ning otsustas eksperimentaalselt mõõta niisuguse seadme reaktiivjõudu. Muna mudelina kasutas ta õhukeste, kuid tugevate seintega hermeetilist, tundmatu massiga kuubikut, mille vertikaalse külje sisse puuris augu. Kuubiku ühendas ülemistest tippudest $L = 2 m$ pikkuste vertikaalsete nööridega lae külge rippuma (et takistada kuubiku pöörlemahakkamist ning ühtlasi tagada kuubi külgede horisontaalsus/vertikaalsus kõrvalekaldumisel tasakaaluasendist). Kuubikusse pani $m_{v e s i} = 75 g$ vett ning hakkas kuubiku põhja piirituslambi ühtlase leegiga kuumutama (hoides leeki kogu eksperimendi kestel kuubiku põhja all).

Alates vee keema hakkamisest registreeris Juhan ühtlaste intervallidega kuubiku horisontaalsihilise kõrvalekalde $x$ algasendist. Graafiku viimane punkt vastab ligikaudu hetkele, mil kogu vesi oli ära keenud. Leidke reaktiivjõud $F$ , mida avaldab väljuv aurujuga kuubikule.

Lahendus

Joonistame välja kuubile mõjuvad jõud. Võrdelistest täisnurksetest kolmnurkadest saame tingimuse

\frac{F}{M g} = \frac{x}{\sqrt{L^{2} - x^{2}}},

kus liikme

\sqrt{L^{2} - x^{2}}

võime lihtsuse mõttes asendada konstantse väärtusega

L

, kuna eksperimendis registreeritud suurima kõrvalekalde korral oleks sel juhul tehtav suhteline viga vaid

1 - \frac{2000}{\sqrt{2000^{2} - 35^{2}}} \approx 0, 01 %

Niisiis lähtume ülesande lahendamisel seosest

\frac{x}{L} \approx \frac{F}{M g} ⟹ x \approx \frac{F L}{M g}

Ilmselt aja jooksul mass väheneb ning kõrvalekaldenurk suureneb. Graafikult hindame, et keema hakkamise hetkel on nihe

x_{a l g} \approx 8 m m

, millele vastab kogumass

M_{a l g} = m_{k u u p} + m_{v e s i}

. Lõpphetkel aga

x_{l ˜ o p p} \approx 34 m m

ning kuna nüüdseks on kogu vesi aurustunud, tuleb arvesse vaid kuubi enda mass

M_{l ˜ o p p} = m_{k u u p}

. Lugedes jõu

F

protsessi vältel konstantseks, saame võrrandi:

\frac{x_{l ~ o p p}}{x_{a l g}} = \frac{\frac{F L}{g M_{l ~ o p p}}}{\frac{F L}{g M_{a l g}}} = \frac{M_{a l g}}{M_{l ~ o p p}} = \frac{m_{k u u p} + m_{v e s i}}{m_{k u u p}} = 1 + \frac{m_{v e s i}}{m_{k u u p}}; \frac{m_{v e s i}}{m_{k u u p}} = \frac{34}{8} - 1 \approx 3, 2

mistõttu

m_{k u u p} \approx 23 g

ning reaktiivjõuks saame

F = \frac{g x_{l ~ o p p} m_{k u u p}}{L} \approx 3, 9 m N .

Üksteise kohale on seinale liigenditega kinnitatud kaks horisontaalset varrast, mõlemad pikkusega 2 $l$ . Ülemisel on liigend keskel, alumisel aga vasakpoolsest otsast kaugusel $a$ , kusjuures $a > l$ . Varraste kohakuti paiknevaid otsi ühendavad venimatud nöörid. Ülemise varda vasakpoolse otsa peale kinnitatakse raske muna massiga $m$ . Leidke nööride tõmbejõud - vasakpoolsel $T_{1}$ ja parempoolsel $T_{2}$ . Varraste masse mitte arvestada.

Lahendus

Käsitleme vardaid kangidena ja kirjutame neile mõjuvate jõumomentide tasakaalud vastavate liigendite suhtes (ehk kangide harilikud tasakaalutingimused).

(m g + T_{1}) l = T_{2} l \Rightarrow T_{2} = T_{1} + m g = ⇑ m g (\frac{2 l - a}{2 (a - l)} + 1) = \frac{m g a}{2 (a - l)} T_{1} a = T_{2} (2 l - a) \Rightarrow T_{1} ⇓ = \frac{m g}{\frac{a}{2 l - a} - 1} = \frac{m g (2 l - a)}{2 (a - l)}

Joonisel toodud kangi tumedam pool on tehtud materjalist tihedusega $ρ_{2} = 4, 5 g / c m^{3}$ , heledam pool aga materjalist tihedusega $ρ_{1} = 2, 5 g / c m^{3}$ . Alguses on kang tasakaalus. Siis asetatakse punkti $C$ keha massiga $M = 60 g$ . Leidke, millise massiga keha tuleks asetada punkti $A$ , et kang jääks tasakaalu.

Lahendus

Leiame kangi toetuspunkti asukoha. Kuna alguses oli kang tasakaalus, siis asub toetuspunkt seal, kus kangi massikesegi. Olgu kangi pikkus $l$ . Tema poolte massikeskmed asuvad kaugusel $\frac{1}{4} l$ ja $\frac{3}{4} l$ punktist $A$ . Kuna varda mõlemad pooled on sama ruumalaga, siis võime kangi enda massikeskme leidmisel asendada massi tihedusega, kuna ruumalad taanduksid välja. Mass ja tihedus on seotud:

ρ = \frac{m}{V}

Punktist

A

asub siis kangi enda massikese kaugusel

l_{A} = \frac{\frac{l ρ_{1}}{4} + \frac{3 l ρ_{2}}{4}}{ρ_{1} + ρ_{2}} = \frac{ρ_{1} + 3 ρ_{2}}{ρ_{1} + ρ_{2}} \frac{l}{4}

Punktist

C

asub see siis kaugusel

l_{C} = \frac{3 ρ_{1} + ρ_{2}}{ρ_{1} + ρ_{2}} \frac{l}{4} ⟹ \frac{l_{C}}{l_{A}} = \frac{3 ρ_{1} + ρ_{2}}{ρ_{1} + 3 ρ_{2}}

Kui me asetame kaks keha kangi otsadele, siis on nende tekitatud jõumomendid võrdsed. Kuna keha massiga

M

asetati kangi tumedamale otsale, siis kehtib võrdus

m l_{A} = M l_{C}

, kus

m

on teise keha mass. Siit

m = \frac{l_{C}}{l_{A}} M = 45 g

Alumiiniumvarda ühte otsa on riputatud koormis massiga $m_{1} = 100 g$ ja sellest $d = 20 c m$ kaugusele koormis massiga $m_{2} = 200 g$ (vt. joonis). Kust tuleks toetada varrast, et see oleks tasakaalus, kui varda pikkus on $l = 1 m$ , varda ristlõikepindala $S = 1 c m^{2}$ ja alumiiniumi tihedus on $ρ = 2700 \frac{k g}{m^{3}}$ ? Tehke joonis.

Lahendus

Leiame varda massi:

M = V ρ = l \cdot S \cdot ρ = 1 m \cdot 0, 0001 m^{2} \cdot 2700 k g / m^{3} = 0, 27 k g

Me võime lugeda vardale mõjuva raskusjõu koondunuks tema masskeskmesse, mis asub varda koormatud otsast kaugusel

l / 2

. Olgu tasakaalustamiseks vajaliku toetuspunkti kaugus varda koormatud otsast

L

. Summaarne jõumoment, millega varrast sel juhul ümber toetuspunkti pööratakse, peab võrduma nulliga:

m_{1} g (L - 0) + m_{2} g (L - d) + M g (L - l / 2) = 0

Siit saame avaldada

L = \frac{m_{2} d + M l / 2}{m_{1} + m_{2} + M} = 0, 30 m

Ühtlase kangi pikkus $l = 2 m$ ja mass $m = 10 k g$ . Tema parempoolsele otsale mõjub jõud $F_{1} = 50 N$ (vt. joonis). Kui suurt ja mis suunas mõjuvat jõudu $F$ tuleb rakendada kangi vasakpoolsele otsale, et kang oleks tasakaalus?

Lahendus

Kangi $l = 2 m$ parempoolse osa pikkus ja mass avalduvad:

l_{1} = 1, 2 m

m_{1} = 10 \cdot \frac{1, 2}{2} = 6 k g

Kangi vasakpoolse osa pikkus ja mass avalduvad:

l_{2} = l - l_{1} = 2 - 1, 2 = 0, 8 m

m_{2} = 10 - m_{1} = 4 k g

Kangi paremale ja vasakule osale mõjuvad raskusjõud:

P_{1} = m_{1} g = 6 \cdot 10 = 60 N

P_{2} = m_{2} g = 4 \cdot 10 = 40 N

Raskusjõu rakenduspunkt on massikeskme asukohas, ehk mõlemale kangi poolele mõjuva raskusjõu õlg on pool pikkusest. Kang on tasakaalus kui tema otsdele mõjuvad jõumomendid on võrdsed. Kangi tasakaaluvõrrand avaldub:

F_{1} \cdot l_{1} - P_{1} \cdot \frac{l_{1}}{2} = F \cdot l_{2} - P_{2} \cdot \frac{l_{2}}{2}

50 \cdot 1, 2 - 60 \cdot 0, 6 = F \cdot 0, 8 - 40 \cdot 0, 4 \Rightarrow 60 - 36 = F \cdot 0, 8 - 16

F = \frac{60 - 36 + 16}{0, 8} = 50 N

Kangi paremale ja vasakule osale mõjuvate raskusjõudude

P_{1}

P_{2}

asemel võib võtta kogu kangi raskusjõu

P

, mis mõjub kangi raskuskeskmele kaugusel

l_{k} = 1 m

kangi mõlemast servast. Sel juhul on raskusjõu õlg

l_{P} = 0, 2 m

ja kangi tasakaalu võrrand on selline:

F_{1} \cdot l_{1} - P \cdot l_{P} = F \cdot l_{2}

50 \cdot 1, 2 - 100 \cdot 0, 2 = F \cdot 0, 8 \Rightarrow 60 - 20 = F \cdot 0, 8

F = \frac{60 - 20}{0, 8} = 50 N

Poiss veab enda järel köit, mille pikkus on $L = 8 m$ . Mööda maad lohiseva osa pikkus on $l = 6 m$ , köie kogumass on $m = 2 k g$ . Millise jõuga peab poiss köit tirima? Hõõrdetegur köie ja maapinna vahel $μ = 0, 6$ . Hõõrdeteguriks nimetatakse hõõrdejõu ja raskusjõu suhet.

Lahendus

Kiirenduseta liikumise puhul on jõud tasakaalus ning seetõttu peab poiss tõmbama jõuga $\to F =_{h} + \frac{L - l}{L} m \to g$ , kus maapinna toereaktsioon $\to N = - \frac{m l \to g}{L}$ ja horisontaalse hõõrdejõu $_{h}$ moodul $F_{h} = μ N$ . Kui suunata $x$ -telg poisi liikumise suunas ja $y$ telg üles, siis on $\to F$ projektsioon horisontaalteljele $F_{x} = - \frac{μ m g l}{L}$ ning vertikaalteljele $F_{y} = \frac{m g (L - l)}{L}$ . Mooduli leiame Pythagorase teoreemist:

F = m g \sqrt{{(1 - \frac{l}{L})}^{2} + {(μ \frac{l}{L})}^{2}} \approx 10 N

Milline horisontaalsuunaline jõud $F$ on vaja rakendada homogeensele rullile punktis $A$ , et veeretada ta üle klotsi kõrgusega $h$ ? Rulli mass on $m$ .

Lahendus

$F$ - rullile rakendatud väline jõud;

$R$ - rulli raadius;

$h$ - klotsi kõrgus;

$L$ - välise jõu õlg punkti $B$ suhtes;

$d$ - raskusjõu õlg punkti $B$ suhtes;

$m$ - rulli mass;

$g$ - vabalangemise kiirendus.

Jõumoment paneb keha pöörlema. Rull hakkab pöörlema, kui välise jõu tõttu tekkinud jõumoment saab suuremaks kui raskusjõu tõttu tekkinud jõumoment. Jõud on alati risti jõuõlaga. Kuna on vaja saada üle klotsi parema tipu (joonisel punkt $B$ ), siis jõuõlgu vaadataksegi punkti $B$ suhtes.

L = 2 R - h, d = \sqrt{R^{2} - (R - h)^{2}} = \sqrt{2 R h - h^{2}} = \sqrt{h \cdot (2 R - h)}

F L = m g d \Rightarrow F \cdot (2 R - h) = m g \cdot \sqrt{h \cdot (2 R - h)} \Rightarrow F = m g \cdot \sqrt{\frac{h}{2 R - h}}

Sõudja tõmbab aerusid 20 korda minutis. Ühe tõmbe jooksul liigub paat edasi $1, 5 m$ , kusjuures sõudja rakendab kummagi käega jõudu $250 N$ . Aeru pikkus tullidest (aeru kinnituskoht) labani on $1, 5 m$ ja tullidest kinnihoidmiskohani on $0, 5 m$ . Arvuta sõudja keskmine võimsus. Tõmbe ajal on aerulaba vee suhtes paigal.

Sõudja tõmbab aerusid 20 korda minutis. Ühe tõmbe jooksul liigub paat edasi $1, 5 m$ , kusjuures sõudja rakendab kummagi käega jõudu $250 N$ . Aeru pikkus tullidest (aeru kinnituskoht) labani on $1, 5 m$ ja tullidest kinnihoidmiskohani on $0, 5 m$ . Arvuta sõudja keskmine võimsus. Tõmbe ajal on aerulaba vee suhtes paigal.

Lahendus

$n = 20$ - aerutõmmete arv aja $t$ jooksul;

$t = 1 m i n$ - vaatlusalune ajavahemik;

$s_{1}$ = ühe tõmbe jooksul aeru kinnihoidmiskoha poolt läbitud kaugus;

$s_{2} = 1, 5 m$ - ühe tõmbe jooksul aeru laba poolt läbitud kaugus;

$L_{1} = 0, 5 m$ - kaugus aeru kinnihoidmiskohast tullideni;

$L_{2} = 1, 5 m$ - kaugus tullidest labani;

$k = 2$ - aerude arv.

Kaks kolmnurka joonisel on sarnased, järelikult $s_{1} = s_{2} \cdot L_{1} / L_{2}$ . Inimese poolt aja $t$ jooksul tehtav töö on

A = k F s_{1} n = \frac{k F n s_{2} L_{1}}{L_{2}}

Inimese poolt arendatav võimsus on

N = \frac{A}{t} = \frac{k F n s_{2} L_{1}}{L_{2} t} \approx 83 W

Kuidas tuleks joonisel näidatud kolm tellist nihutada, et kõige peal asuva tellise horisontaalne nihe kõige alumise tellise suhtes oleks maksimaalne? Kui suur see nihe on? Põhjendage vastust.

Lahendus

Vaatleme kõiki alumisele telliskivile asetatud telliskive kui ühte tervikut ning uurime saadud süsteemi masskeskme vertikaalprojektsiooni horisontaalsele pinnale. Süsteem on tasakaalus kui see projektsioon ei ületa alumise telliskivi serva.

Kuna tegemist on ühtlase tihedusega telliskividega, siis ühe telliskivi massikese asub täpselt tellise keskel ehk kõige ülemist kivi saab keskmise suhtes nihutada $\frac{1}{2} l$ võrra. Nüüd tuleb leida kahe ülemise kivi ühine massikese nõnda, et kõige ülemine kivi on keskmise suhtes $\frac{1}{2} l$ võrra nihkunud ehk nende kahe kivi kokkupuutepind on ka $\frac{1}{2} l$ . Nii ülemisel kui ka alumisel telliskivil on kokkupuutepinnast kummalgil pool võrdne osa massi.Seega kahe kivi massikese asub kokkupuutuva pinna keskel ehk keskmise kivi paremast servast kaugusel $\frac{1}{4} l$ .

Homogeenne telliskivi pikkusega $L$ on asetatud horisontaalsele pinnale. Selle telliskivi peale pannakse samasuguseid telliskive nii, et iga järgmise telliskivi serv on nihutatud eelmise suhtes $\frac{L}{4}$ võrra. Mitu telliskivi võib niiviisi paigutada, et konstruktsioon jääks püsivaks?

Lahendus

Olgu alumise telliskivi järjekorranumber 0, järgmise - 1 jne. Vaatleme kõiki alumisele telliskivile asetatud telliskive kui ühte tervikut ning uurime saadud süsteemi masskese vertikaalprojektsiooni horisontaalsele pinnale. Süsteem on tasakaalus kui see projektsioon ei ületa alumise telliskivi serva. Kui me suuname $x$ -telje horisontaalselt ning nullpunktiks valime alumise telliskivi keskpunkti koordninaadi $x_{0}$ , siis peab ülejäänud telliskivide masskeskme projektsioon $x$ -teljele olema väiksem kui $\frac{L}{2}$ . Tehtud eelduste puhul on esimese telliskivi masskeskme koordinat $x_{1} = \frac{L}{4}$ , teise - $x_{2} = 2 \frac{L}{4}$ , kolmanda - $x_{3} = 3 \frac{L}{4}$ , neljanda - $x_{4} = 4 \frac{L}{4}$ jne.
Kahe esimese telliskivi summaarne masskese asub punktis

x_{12} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{\frac{L}{4} + 2 \frac{L}{4}}{2} = 3 \frac{L}{8}

Kuna

3 \frac{L}{8} < \frac{L}{2}

, siis kahest telliskivist koosnev süsteem püsib alumisel telliskivil. Kolmest telliskivist koosneva süsteemi masskeskme koordinaat on

x_{123} = \frac{\frac{L}{4} + 2 \frac{L}{4} + 3 \frac{L}{4}}{3} = 6 \frac{L}{12} = \frac{L}{2}

Näeme, et saadud arv võrdub eelnevalt arvutatud kriitilise väärtusega ja järelikult 3 ongi maksimaalne telliskivide arv, mida saab asetada alumisele telliskivile. Koos alumise telliskiviga annab see kokku

N = 4

$2 m$ kõrge ja $1 m$ lai uks püsib uksehingedel, mis on $10 c m$ kaugusel ukse ülemisest ja alumisest äärest. Ukse mass on $36 k g$ . Kui suure jõuga tõmbab uks ülemist hinge horisontaalsuunas?

Lahendus

Uks on kui kang, mis saab pöörelda ukse tasandis, mille paneb pöörlema jõumoment. Kuna tahame leida ülemisele uksehingele mõjuvat jõudu, siis kujutame ette, et uks tahab hakata pöörlema ümber alumise uksehinge. Kuna uks on stabiilselt paigal ehk ta ei pöörle, siis peab raskusjõu poolt tekitatud jõumoment võrduma ülemise uksehinge poolt tekitatud jõumomendiga. Raskusjõud on rakendatud ukse keskpunkti ja tema jõuõlg on seega $l_{1} = \frac{1}{2} m$ . Ülemine uksehing takistab pöörlemist ja mõjub uksele vastassuunalise jõuga, tema jõuõlg on kaugus alumise kinnituskohani ehk $l_{2} = 2 - 0.2 = 1.8 m$ .

Kangi reeglist
$F_{1} l_{1} = F_{2} l_{2}$ , kus $F_{1} = m g = 360 N$ . Siit $F_{2} = F_{1} \frac{l_{1}}{l_{2}} = 100 N$ .

Sirge ühtlane varras on ühest otsast jäigalt kinnitatud. Kui varda vabale otsale rakendatakse risti vardaga jõud $F_{0}$ , murdub varras kinnituskohast. Nüüd asetatakse kaks korda pikema varda mõlemad otsad tugedele ning varda keskkohale hakatakse risti vardaga jõudu rakendama. Millise jõu $F$ korral ja kustkohast murdub varras seekord?

Lahendus

Paneme tähele, et sümmeetria tõttu on uues olukorras kumbki varda pool eraldi võetuna justkui esimeses situatsioonis: üks ots (varda keskkoht) jäigalt kinnitatud, teisele otsale (varda otspunkt) mõjub jõud $\frac{F}{2}$ . Seega murdub varras seekord keskelt. Murdumiseks vajalik jõud $\frac{F}{2} = F_{0}$ , seega $F = 2 F_{0}$ .

1.4 Vedelikud ja jõud

1. Õhupall

Õhupall, mille ruumala on $V = 2 m^{3}$ , täideti $m = 200 g$ heeliumiga. Õhupalli kesta mass on $M = 180 g$ . Kui kõrgele tõuseb õhupall? Õhu tiheduse sõltuvus kõrgusest maapinnalt $ρ = ρ (h)$ on toodud graafikul ja lihtsuse mõttes loeme palli ruumala konstantseks.

Lahendus

Gaasis (antud juhul õhus) asuvale kehale (õhupallile) mõjub üleslükkejõud. Õhupall tõuseb maapinnast kõrgusele, kus raskusjõud parajasti tasakaalustab üleslükkejõu. Pallile mõjuv raskusjõud avaldub

F_{r} = (m + M) g = (0, 2 k g + 0, 18 k g) \cdot 9, 8 N / k g \approx 3, 72 N

Õhu üleslükkejõud avaldub

F_{¨ u} = ρ_{˜ o hk} V g

. Tingimusest

F_{r} = F_{¨ u}

saame, et õhupall peatub kõrgusel, kus õhu tihedus on võrdne

ρ_{˜ o hk} = \frac{F_{r}}{V g} = \frac{3, 72 N}{2 m^{3} \cdot 9, 8 N / k g} \approx 0, 19 k g / m^{3}

Graafikult saame, et selline on õhu tihedus kõrgusel

15, 1 k m

2. Allveelaev

Allveelaeva mass on $m$ ja selle ruumala on $V$ . Allveelaeva mootorid ei tööta ja allveelaev vajub muutumatu kiirusega $v$ . Kui palju tuleb vähendada allveelaeva massi, et allveelaev hakkaks tõusma pinnale sama suure kiirusega $v$ ? Allveelaeva vaadelda silindrina, mille telg on horisontaalne. Vee takistus allveelaevale on võrdeline kiirusega. Vee tihedus on $ρ$ .

Lahendus

Allveelaeva vajumisel kiirusega $v$ kehtib seos

m g = ρ V g + F_{T}

, kus

ρ

on merevee tihedus ja

F_{T}

takistusjõud.

Allveelaeva tõusmisel kiirusega $v$ kehtib seos

ρ V g = (m - m_{1}) g + F_{T}

kus

m_{1}

on väljavisatud koormise mass.

Avaldades mõlemast seosest $F_{T}$ ja võrdsustades tulemused, saame

m g - ρ V g = ρ V g - (m - m_{1}) g

, millest väljavisatud koormise mass

m_{1}

on:

m_{1} = 2 (m - ρ V)

3. Kaal

Kangkaalu vasakpoolsele kaalukausile oli asetatud rauast, parempoolsele kaalukausile alumiiniumist keha, kumbki massiga $1 k g$ . Kangkaal sukeldatakse vette, mille tulemusena ei ole kaal enam tasakaalus. Kas kaalu tasakaalustamiseks tuleks lisaraskus asetada vasak- või parempoolsele kaalukausile? Kummast ainest lisaraskus oleks väiksema massiga? Alumiiniumi tihedus on raua tihedusest väiksem.

Lahendus

Kangkaalu tasakaalustmiseks on vaja lisaraskust, sest vees mõjub kehale üleslükkejõud $F_{¨ u} = ρ_{v} g V$ , kus $ρ_{v}$ on vee tihedus. Keha ruumala $V = \frac{m}{ρ}$ . Kaaluvihile mõjub vees jõud

F = m g - F_{¨ u} = m g - \frac{ρ_{v} m g}{ρ} = m g (1 - \frac{ρ_{v}}{ρ})

Kuna

ρ_{A l} < ρ_{F e}

, siis rauast kaaluvihile mõjub suurem jõud, sest

m g (1 - \frac{ρ_{v}}{ρ_{A l}}) < m g (1 - \frac{ρ_{v}}{ρ_{F e}}) \Rightarrow F_{A l} < F_{F e}

Vajalik lisaraskus tuleb asetada alumiiniumist kaaluvihiga samale kaalukausile ehk parempoolsele kaalukausile. Vajalik lisajõud kangkaalu tasakaalustamiseks vees on

F_{l} = F_{F e} - F_{A l} = m_{l} g (1 - \frac{ρ_{v}}{ρ_{l}})

kus indeksiga

l

oleme tähistanud kõik lisaraskuse kohta käivad suurused. Vajaliku lisaraskuse hulk ehk mass ei sõltu jõu

F_{l}

suurusest ehk siis

F_{l} = m_{l} g (1 - \frac{ρ_{v}}{ρ_{l}}) = const.

m_{l}

on minimaalne, kui avaldis sulgudes on suurima võimaliku väärtusega. Arvestades, et

ρ_{v e s i} < ρ_{A l} < ρ_{F e}

, saame

1 - \frac{ρ_{v}}{ρ_{A l}} < 1 - \frac{ρ_{v}}{ρ_{F e}}

Seega raust lisaraskuse mass on väiksem.

4. Tünn

Vees ujuva tühja plekktünni ruumalast on $1 / 10$ vee sees. Pärast tünni täitmist tundmatu vedelikuga jääb tünn vee peale ujuma, kuid nüüd on vee sees $9 / 10$ tünni ruumalast. Kui suur on tünni valatud vedeliku tihedus? Vee tihedus on $1000 k g / m^{3}$ .

Lahendus

Tühja tünni korral kehtib seos $m g = \frac{ρ_{v} V g}{10}$ .
Vedelikku täis tünni korral kehtib seos $(m + ρ V) g = \frac{9 ρ_{v} V g}{10}$ .
Taandades ruumala $V$ ja $g$ saame $\frac{ρ_{v}}{10} + ρ = \frac{9 ρ_{v}}{10}$ ,
millest $ρ = \frac{8}{10} ρ_{v}$
Vastus: $ρ = 800 k g / m^{3}$ .

5. Küünal purgis

Mari näitas trikki. Ta vajutas küünla vastu silindrilise klaasi põhja ning valas sinna $V_{v} = 150 m l$ vett. Kuigi küünla tihedus $ρ_{k} = 0, 90 g / c m^{3}$ on väiksem kui vee tihedus $ρ_{v} = 1, 0 g / c m^{3}$ , jäi küünal anuma põhja. Juku oli katsest üllatunud. Ta liigutas klaasi ning küünal tõusis pinnale ujuma. "Rikkusid katse!" ütles Mari, "Arvuta nüüd, kui palju muutus rõhk põhjale küünla algses asukohas!". Aita Jukut! Klaasi läbimõõt on $d = 6, 0 c m$ . Küünla ruumala on $V_{k} = 21 c m^{3}$ ja kõrgus $h = 3, 0 c m$ .

Lahendus

1. Arvutame rõhu anuma põhjale küünla all.
Leiame vedelikusamba kõrguse, mille määravad vedeliku ja küünla ruumalad.

V = V_{v e d e l i k} + V_{k ¨ u ¨ u nal} = 150 c m^{3} + 21 c m^{3} = 171 c m^{3}

Põhja pindala:

S = \frac{π d^{2}}{4} = \frac{3, 14 \cdot 6^{2} c m^{2}}{4} = 28, 3 c m^{2}

Veetaseme kõrgus:

h = \frac{V}{S} = \frac{171 c m^{3}}{28, 3 c m^{2}} = 6, 0 c m

Veesamba kõrgus küünla kohal:

h_{v e s i} = h - h_{k ¨ u ¨ u nal} = 6 c m - 3 c m = 3 c m

Rõhk põhjale küünla all ja teisendused ning rõhu väärtus:

p_{1} = ρ_{k ¨ u ¨ u nal} g h_{k ¨ u ¨ u nal} + ρ_{v e s i} g h_{v e s i}

p_{1} = 900 \frac{k g}{m^{3}} \cdot 10 \frac{N}{k g} \cdot 0, 03 m + 1000 \frac{k g}{m^{3}} \cdot 10 \frac{N}{k g} \cdot 0, 03 m = 570 P a

2. Arvutame rõhu põhjale kui küünal ujub $p_{2} = \frac{F}{S} = \frac{m_{v e s i} g + m_{k ¨ u ¨ u nal} g}{S}$ .
Küünla massi saame seosest

ρ = m \Rightarrow m = ρ V = 0, 9 \frac{g}{c m^{3}} \cdot 21 c m^{3} = 19 g

Teisendame ühikud ja arvutame rõhu põhjale

p_{2} = \frac{(0, 15 k g + 0, 019 k g) \cdot 10 \frac{N}{k g}}{28, 3 \cdot 10^{- 4} m^{2}} = 597 P a

3. Arvutame rõhu muutuse $Δ p = p_{2} - p_{1} = 597 P a - 570 P a = 27 P a$ .
Vastus: Kui küünal oli põhjas oli küünla all rõhk põhjale $27 P a$ väiksem kui siis, kui küünal ujus.

6. Allveelaev

Esimene allveelaev "Torpeedo'' (ehitatud 1780 aastal) oli kujult külili asetatud tünn, milles istusid kapten ja tüürimees ning lisaks neile 6 meest, kes ajasid ringi väntvõlli. Kui palju vett on vaja hoida laevas, et laev saaks vee all heljuda? Meeste keskmine mass oli $80 k g$ ning tünni välisläbimõõt $d = 1 m$ ja pikkus $l = 6, 40 m$ ning laeva tühimass $m_{l} = 3000 k g$ .

Lahendus

Allveelaev hulbib veepinnal siis kui tema keskmine tihedus on väiksem vee tihedusest, $ρ_{l a e v} < ρ_{v e s i}$ .On teada, et laeva keskmise tiheduse saab arvutada:

ρ_{l a e v} = \frac{m_{k o g u} + m_{p a a k}}{V_{l a e v}}

kus

m_{k o g u} = 3000 + 8 \cdot 80 = 3640 k g

on laeva kere mass ja inimeste mass kokku,

m_{p a a k}

on vee mass laevas ja

V_{l a e v} = \frac{π d^{2} l}{4} = 5, 02 m^{3}

on laeva ruumala. Lubatud veehulga

V_{p a a k} = \frac{m_{p a a k}}{ρ_{v e s i}}

leidmiseks lähtume eelnimetatud võrratusest, mis annab

V_{p a a k} = \frac{V_{l a e v} - m_{k o g u}}{ρ_{v e s i}} = 1, 38 m^{3}

Õige on ka vastus massiühikutes.

7. Anum vees

Ühes vedelikus ujub anum massiga $M = 100 g$ (vt. joonis). Anum sisaldab teist vedelikku, mille taseme kõrgus on $h = 15 c m$ . Anuma põhi asetseb $H = 20 c m$ sügavusel. Anumasse pandi ujuma keha massiga $m = 30 g$ . Selle tulemusel vajus anum veel $Δ H = 3 c m$ võrra sügavamale esimesse vedelikku. Kui palju tõusis teise vedeliku tase anumas?

Lahendus

Olgu $S$ anuma aluse pindala, $ρ_{1}$ ja $ρ_{2}$ vastavalt esimese ja teise vedeliku tihedused. Algolekus anuma ning teise vedeliku raskusjõud tasakaalustavad anumale mõjuvat esimese vedeliku ülestõukejõudu: $M g + ρ_{2} S h g = ρ_{1} S H g$ . Keha lisamisel toimub mõlema vedeliku väljatõrjumine massi $m$ poolt . Saame tingimuse $m = ρ_{2} S Δ h = ρ_{1} S Δ H$ . Avaldame siit $ρ_{2} S$ ja $ρ_{1} S$ :

ρ_{2} S = \frac{m}{Δ h}, ρ_{1} S = \frac{m}{Δ H}

ning asendame esimesse võrrandisse:

M g + \frac{m g h}{Δ h} = \frac{m g H}{Δ H} \Rightarrow Δ h = \frac{m h Δ H}{m H - M Δ H} = 4, 5 c m

Alternatiivlahendus:

Anumale mõjuva Archimedese jõu suhteline muutus on võrdne anuma bruto-massi suhtelise muuduga: $\frac{M + m_{v}}{m} = \frac{H}{Δ H}$ , kus $m_{v}$ tähistab vedeliku massi anumas. Rõhu suhteline muutus anuma põhjas on võrdne anuma sisu massi suhtelise muuduga: $\frac{m_{v}}{m} = \frac{h}{Δ h}$ . Asnedades teise võrrandi esimesse leiame

\frac{M}{m} = \frac{H}{Δ H} - \frac{h}{Δ h} \Rightarrow Δ h = \frac{h}{\frac{H}{Δ H} - \frac{h}{Δ h}} = 4, 5 c m

8. Homogeenne keha

Homogeenne keha riputatakse dünamomeetri külge. Kui keha sukeldatakse vedelikku tihedusega $ρ_{1}$ , on dünamomeetri näit $P_{1}$ , kui aga vedelikku tihedusega $ρ_{2}$ , on dünamomeetri näit $P_{2}$ . Määrake keha tihedus.

Lahendus

Dünamomeetri näit vees on

P_{1} = P - F_{1}

kus

P

on dünamomeetri näit õhus ja

F_{1}

üleslükkejõud vees.

Et $P = m g = ρ V g$ , $F_{1} = ρ_{1} V g$ ja $F_{2} = ρ_{2} V g$ , kus $ρ$ ja $V$ on vastavalt keha tihedus ja ruumala, siis

P_{1} = ρ V g - ρ_{1} V g = (ρ - ρ_{1}) \cdot V g

P_{2} = ρ V g - ρ_{2} V g = (ρ - ρ_{2}) \cdot V g

Avaldame mõlemast valemist ruumala:

V = \frac{P_{1}}{(ρ - ρ_{1}) \cdot g}, V = \frac{P_{2}}{(ρ - ρ_{2}) \cdot g} \Rightarrow ρ = \frac{ρ_{1} P_{2} - ρ_{2} P_{1}}{P_{2} - P_{1}}

9. Jää ja liiv

Silindrilises anumas on vesi; vee horisontaallõike pindala $S = 200 c m^{2}$ . Anumasse visatakse jäätükke, millesse on külmunud teatud hulk liiva. Alguses ükski jäätükk põhja ei vaju ning vee pind kerkib $h_{1} = 10 c m$ võrra. Tasapisi sulab ära kogu jää, liiv vajub põhja ning veepind langeb vahepealse (kõrgeima) taseme suhtes $h_{2} = 0, 5 c m$ võrra allapoole. Kui suur oli vette visatud jää ja liiva mass? Liivaterade materjali tihedus $ρ_{l} = 2500 k g / m^{3}$ ja vee tihedus $ρ_{v} = 1000 k g / m^{3}$ .

Lahendus

Liiva ja jää kogumass on leitav välja tõrjutud vee massina

m_{t o t} = ρ_{v} S h_{1} = 2 k g

kus

ρ_{v}

on vee tihedus.

Kui liiv sadeneb põhja, siis mõjutab mannergu põhi liivateri jõuga

V_{l} (ρ_{l} - ρ_{v}) g

kus

V_{l}

on liivaterade koguruumala.

Kui jaotada leitud jõud üle mannergu põhja, saame sellele vastava keskmise rõhu

p_{l} = V_{l} (ρ_{l} - ρ_{v}) g / S

mis peab olema võrdne veetaseme langusest tingitud rõhu muutusega (süsteemi ``vesi+liiv'' kaal ju ei muutu). Seega

V_{l} (ρ_{l} - ρ_{v}) g / S = ρ_{v} g h_{2}

ning järelikult

m_{l} = V_{l} ρ_{l} = \frac{ρ_{l} ρ_{v} h_{2} S}{ρ_{l} - ρ_{v}} \approx 170 g

Jää mass oli niisiis $m_{j} = m_{t o t} - m_{l} \approx 1830 g$ .

10. Jääkaru

Keset merd jääpangal triiviv jääkaru (massiga $M = 700 k g$ ) tapab käpalöögiga tema lähedal meres ujunud hülge (mass $m = 70 k g$ ). Hüljest söömiseks pangale tirides avastab jääkaru, et jääpank kipub hülge peale vinnamisel viimasel hetkel vee alla vajuma. Teades, et enne hülgepüüki oli $99 %$ jääpangast vee all, hinnake jää tihedust. Vee tihedus olgu $ρ_{v} = 1 g / c m^{3}$ .

Lahendus

Olgu panga ruumala $V$ ja jää tihedus $ρ_{j}$ . Raskusjõu ja üleslükkejõu tasakaalust (ujumise tingimusest) saame

0, 99 ρ_{v} V = V ρ_{j} + M

Hülge massi lisamisel vajub kogu pank vee alla. Siit saame tingimuse:

V ρ_{v} = V ρ_{j} + M + m

Lahendades võrrandid

ρ_{j}

suhtes, saame

ρ_{j} = ρ_{v} (0, 99 - (1 - 0, 99) \frac{M}{m}) \approx 0, 9 g / c m^{3}

11. Kaalud

Ühele kaalukausile on asetatud veega ääreni täidetud pang. Teisele kaalukausile asetatakse samasugune ääreni veega täidetud pang, milles ujub puutükk. Millise asendi võtavad kaalud? Põhjenda vastust.

Lahendus

Kaalud on tasakaalus. Kuna puutükk ujub, siis tõrjub see enda alt välja vee koguse, mille mass võrdub puutüki massiga. Kui pang oli enne katset vett täis, siis puutüki asetamisel pange voolas väljatõrjutud vesi üle panga serva maha koguses, mille mass on võrdne puutüki massiga, järelikult pange mass ei ole muutunud.

12. Kang

Kraana trossi külge on kinnitatud kang, mille kummaski otsas on sama ruumalaga koormis (vt. joonis). Kang on tasakaalus. Kraana laseb koormised vette nii, et kang ise vette ei lähe. Selle tulemusel kangi tasakaal kaob. Kangi ülestõusnud otsale ronib töömees ja kang läheb uuesti tasakaalu. Leidke koormiste ruumala. Töömehe mass on $80 k g$ ja vee tihedus on $1000 k g / m^{3}$ . Kas kangi massi arvestamine mõjutab vastust?

Lahendus

Õhus kehtib seos: $m_{1} g l = m g l + m_{2} g \cdot 3 l$ , millest $m_{1} = m + 3 m_{2}$ .

Vees mõjub koormistele üleslükkejõud. Kangi vasakule pöörav jõumoment on: $(m_{1} g - ρ_{v} g V) l$ .

Kangi paremale pöörav jõumoment on: $m g l + (m_{2} g - ρ_{v} g V) \cdot 3 l$ Asendades $m_{1}$ seosega $m_{1} = m + 3 m_{2}$ ja võrreldes jõumomente selgub, et koormiste vette sukeldamise korral tõuseb üles kangi parempoolne ots.

Seega kang on vettesukeldatud koormiste korral tasakaalus siis, kui paremale otsale ronib mees massiga $Δ m$ . Pärast teisendust saame

V = \frac{3 Δ m}{2 ρ_{v}} = 0, 12 m^{3}

13. Kangkaal

Kangkaalu kaussidele asetatakse kaks ühesugust klaasi. Üks klaasidest on ääreni täidetud veega, teine samuti, kui selles ujub puitklots. Kas kaal jääb tasakaalu?

Lahendus

Jääb küll, sest klotsi ujumise korral klotsi poolt anumast välja tõrjutud vee mass võrdub klotsi massiga.

14. Klapp

Vett täis anumas asub vetikaalselt õhukeste seintega toru, mille sisemine läbimõõt on $d = 2 c m$ . Toru alumine ots on $70 c m$ sügavusel vees ja selle vastu on surutud tihedalt õhukene ruudukujuline plaat küljepikkusega $a = 3 c m$ . Plaadi pindtihedus (massi ja pindala suhe) $δ = 4, 5 k g / m^{2}$ . Torusse valatakse õli tihedusega $ρ = 900 k g / m^{3}$ . Kui kõrge õlisamba võib torusse valada, enne kui plaat eraldub toru otsast? Plaadi ja toru paksust ei ole vaja arvestada. Vee tihedus $ρ = 1000 k g / m^{3}$ .

Lahendus

Plaadile mõjub alt üles vee rõhumisjõud, ülevalt alla vee rõhumisjõud ja õlisamba rõhumisjõud. Kuna väljaspool toru mõjuvad vee rõhumisjõud kompenseerivad üksteist, arvestame arvutustes ainult seda plaadi osa, mis on vahetult toru otsa all. Alt üles mõjub jõud

F_{¨ u les} = p S = ρ_{v e s i} g h_{v e s i} \frac{π d^{2}}{4}

ülevalt alla mõjub plaadile raskusjõud

F_{a l l a} = m g = δ \frac{π d^{2}}{4} g

ja õlisamba rõhumisjõud

F_{a l l a} = ρ_{˜ o li} g h ˜ o li \frac{π d^{2}}{4}

õlisammas on kõrgeim siis, kui alt üles ja ülevalt alla mõjuvad jõud on võrdsed

δ S g + ρ_{˜ o li} g h_{˜ o li} S = ρ_{v e s i} g h_{v e s i} S

millest

h_{˜ o li} = \frac{ρ_{v e s i} h_{v e s i} - δ}{ρ_{˜ o li}} = 77, 3 c m

15. Kolmnurk

Võrdkülgse kolmnurga $A B C$ tippudes $A$ , $B$ ja $C$ asuvad võrdse ruumalaga kerad tihedustega vastavalt $0, 5$ , $1$ ja $1, 2 g / c m^{3}$ , mis on omavahel ühendatud kaalutute jäikade varrastega. Missuguse nurga moodustab külg $A B$ veepinnaga, kui konstruktsioon visata sügavasse veevanni?

Lahendus

Kolmnurga keskmine tihedus on väiksem kui $1 g$ milliliitri kohta ja seega konstruktsioon tervikuna asub veepinnal. Tipus $B$ asuvale kerale mõjuv resultantjõud on 0 (sest ta tihedus on võrdne vee tihedusega) ja seega võib seda kera vaadelda kui kangi pöörlemiskeskpunkti.

Kehale $C$ mõjuv resultantjõud on võrdne ja vastassuunaline kerale $A$ mõjuva resultantjõuga.

Uurides nüüd kolmnurga pöörlemist ümber tipu $B$ on näha, et jõud kerale $A$ ja kerale $C$ mõjuvad mooda ühte ja sama sirget, kui külg $A C$ on risti veepinnaga. See vastab tasakaalulisele olukorrale, sest nihkel sellest asendist hakkab üks kera pöörlemispunktile lähenema ja teine kaugenema ja pöördemomendid pole sellel juhul enam võrdsed.

Lihtsast geomeetriast on näha, et külje $A B$ nurk veepinnaga on tasakaaluasendis $30$ kraadi.

16. Konteiner

Kraanaga tõsteti laevalt kaile tühja risttahukakujulist kaubakonteinerit, mille kesta (seinamaterjali) ruumala on $V_{k}$ . Kraana tross katkes ja konteiner kukkus vette. Vahetult pärast vettekukkumist oli konteineri vee all oleva osa ruumala $V_{1}$ . Kuna konteiner polnud täielikult hermeetiline, pääses õhk konteinerist välja ja vesi voolas sisse. Kui konteineri ülemine tahk oli vajunud veekogu tasapinnani, oli konteineri ülemisse ossa moodustunud õhupadi. Avaldage selle õhupadja ruumala $V\widetilde{o}$ .

Lahendus

Olgu konteineri materjali tihedus $ρ_{k}$ ja vee tihedus $ρ$ . Vahetult vette kukkumise järel mõjus konteinerile üleslükkejõud $F\ddot{u}=ρV1g$ ja raskusjõud $F_{g} = m g = ρ_{k} V_{k} g$ . Kuna konteiner ujus, siis $ρ V_{1} g = ρ_{k} V_{k} g$ .

Olgu äsja vee alla vajunud konteineris õhupadja ruumala $V\widetilde{o}$ . Konteineri sisemuse ruumala oli $V_{s} = V - V_{k}$ ja konteineris oleva vee ruumala oli $Vv=V−Vk−V\widetilde{o}$ . Konteinerile mõjub raskusjõud $F_{g 1} = ρ_{k} V_{k} g$ ja konteineris olevale veele mõjub raskujõud $Fg2=Vvρg=(V−Vk−V\widetilde{o})ρg$ . Konteinerile ja selles olevale veele mõjub summaarne üleslükkejõud $F\ddot{u}2=Vρg$ .

Kuna keha heljub, siis konteineri ja selles oleva vee raskusjõudude summa võrdub üleslükkejõuga.

F_{g 1} + F_{g 2} = F_{¨ u 2} \Rightarrow ρ_{k} V_{k} g + (V - V_{k} - V_{˜ o}) ρ g = V ρ g

Asendame sellesse valemisse konteineri raskusjõu:

ρ V_{1} g + (V - V_{k} - V_{˜ o}) ρ g = V ρ g

Avame sulud, taandame ja koondame:

ρ V_{1} g + V ρ g - V_{k} ρ g - V_{˜ o} ρ g = V ρ g \Rightarrow V_{1} + V - V_{k} - V_{˜ o} = V \Rightarrow V_{˜ o} = V_{1} - V_{k}

17. Koormis vees

Kaalu peal on anum veega. Selle kohal on vedrukaal, mille külge on riputatud koormis massiga $m$ . Kaaalude näidud on võrdsed. Kui palju erinevad kaalude näidud, kui koormis lastakse üleni vette? Koormis ei puutu anuma põhja. Vee tihedus on $ρ_{V}$ ja koormise tihedus on $ρ_{K}$ .

Lahendus

Olgu kaalude näidud algselt $F$ . Kui koormis lasti vette, hakkas koormisele mõjuma üleslükkejõud $F_{y}$ . Seega koormise kaal vähenes.

Sama palju aga anuma kaal suurenes. Koormise kaal on nüüd $F_{1} = F - F_{y}$ ja anuma kaal on $F_{2} = F + F_{y}$ .

Kaalude näidud erinevad $Δ F = F_{2} - F_{1} = 2 F$ võrra. Koormisele mõjuv üleslükkejõud on $F = ρ V g$ , kus koormise ruumala

V = \frac{m}{ρ_{K}}

. Seega

Δ F = 2 ρ V g = 2 m g \frac{ρ_{V}}{ρ_{K}}

18. Korgitükk

Korgitükk massiga $1, 2 g$ on seotud tüki raua külge, mille mass on $4, 4 g$ . Kui panna need seotud kehad vette, siis nad heljuvad seal (ei tõuse pinnale ega vaju põhja). Millega võrdub korgi tihedus, kui raua tihedus on $7, 8 g / c m^{3}$ ?

Lahendus

Heljuvate kehade keskmine tihedus on võrdne vee tihedusega. Kui korgi tihedus ja mass on vastavalt $ρ_{k}$ ja $m_{k}$ , rauatüki tihedus ja mass - $ρ_{r}$ ja $m_{r}$ , vee tihedus - $ρ_{v}$ , siis

\frac{m_{k} + m_{r}}{V_{k} + V_{r}} = ρ_{v}

kus

V_{k}

V_{r}

on korgitüki ja rauatüki ruumalad. Võrdusest leiame kasutades asendust

V = m / ρ

ρ_{k} = \frac{ρ_{v} m_{k}}{m_{k} + m_{r} + ρ_{v} m_{r} / ρ_{r}} =\approx 0, 24 g / c m^{3}

19. Õhupallid

Pikkusega $d_{1} = 49, 4 c m$ peenikese varda keskpunkt on kinnitatud vertikaalselt rippuva niidi otsa nii, et tasakaaluasendis on varras horisontaalne. Varda otsa kinnitatakse hapnikuga täidetud õhupall. Millisel kaugusel selle õhupalli kinnituspunktist tuleb kinnitada teine sama ruumalaga, kuid heeliumiga täidetud õhupall, et varras jääks horisontaalasendisse? Hapniku ja heeliumi tihedused on vastavalt $ρ_{1} = 1, 54 k g / m^{3}$ ja $ρ_{2} = 0, 19 k g / m^{3}$ , õhu tihedus $ρ_{0} = 1, 16 k g / m^{3}$ . Õhupallide materjali massi lugeda tühiseks.

Lahendus

Mõlemale õhupallile mõjub raskusjõud ja üleslükkejõud. Hapnikuga täidetud pallile mõjub summaarne jõud

F_{1} = m_{1} g - ρ_{0} g V = (ρ_{1} - ρ_{0}) g V

mis on suunatud allapoole. Heeliumiga täidetud pallile mõjub aga jõud

F_{2} = ρ_{0} g V - m_{2} g = (ρ_{0} - ρ_{2}) g V

mis on suunatud ülespoole. Järelikult tasakaalu hoidmiseks tuleb hapnikuga ja heeliumiga pall kinnitada samale poole niidi kinnituspunktist vardaga. Olgu hapnikuga täidetud palli kinnituspunkti kaugus niidi kinnituspunktist

d_{2}

. Kirjutame välja kangi reegli:

F_{1} l_{1} = F_{2} l_{2}

kus

l_{1} = \frac{d_{1}}{2}

l_{2} = d_{2}

on jõuõlad (niidi kinnituspunkti suhtes). Asendades jõu väärtused, saame

\frac{(ρ_{1} - ρ_{0}) g V d_{1}}{2} = (ρ_{0} - ρ_{2}) g V d_{2}

\frac{(ρ_{1} - ρ_{0}) d_{1}}{2} = (ρ_{0} - ρ_{2}) d_{2}

Nüüd saame avaldada

d_{2}

d_{2} = \frac{ρ_{1} - ρ_{0}}{ρ_{0} - ρ_{2}} \cdot \frac{d_{1}}{2} = 9, 7 c m

Järelikult tuleb heeliumiga täidetud õhupall kinnitada

\frac{d_{1}}{2} - d_{2} = 15, 0 c m

kaugusele hapnikuga täidetud õhupallist.

20. Part

Part laskus veetünni. Selle tulemusel tõusis veepind $12 m m$ võrra. Seejärel sukeldus ta tünni põhjas siputava ussikese järele. Nüüd tõusis veepind veel $10 m m$ võrra. Vaba vee pindala tünnis oli $0, 80 m^{2}$ . Kui suur on pardi tihedus ja mass?

Lahendus

Pardi laskumisel vette osa pardist jääb vee alla, kusjuures Archimedese seaduse järgi on pardi poolt välja tõrjutud vee mass võrdne pardi massiga, seega on pardi mass $m = ρ S d_{1}$ ,

M = 1000 \frac{k g}{m^{3}} \cdot 0, 8 m^{2} \cdot 0, 012 m = 0, 96 k g

Pardi sukeldumisel tõrjub ta välja vett vastavalt oma ruumalale, järelikult on pardi ruumala

V = S \cdot (d_{1} + d_{2})

. Seega on pardi tihedus

ρ_{P} = \frac{m}{V} = \frac{0, 96 k g}{0, 8 m^{2} \cdot 0, 022 m} \approx 550 k g / m^{3}

Rõhutame, et see on pardi tihedus koos sulgedevahelise õhuga.

21. Parv

Milline peab olema $d = 40 c m$ paksuse puitparve pindala, et ta suudaks vee peal hoida koormust, mille kaal on $P = 400 N$ ? Parv võib vette vajuda $h = 38 c m$ sügavusele. Puidu tihedus on $ρ_{p} = 0, 9 g / c m^{3}$ , vee tihedus on $ρ_{v} = 1 g / c m^{3}$ .

Lahendus

Arvutame kui sügavale vajub tühi parv. Olgu parve vee all asuv osa $d_{1}$ ja parve ristlõikepindala $S$ . Siis peab kehtima võrdus: $ρ_{p} d S = ρ_{v} d_{1} S$ , mis tähendab, et parve poolt välja tõrjutud vee mass on võrdne parve massiga. Sellest võrdusest saame, et $d_{1} = ρ_{p} d / ρ_{v} = 0, 9 \cdot 40 / 1 = 36 c m$ . Kuna on öeldud, et parv saab vajuda vee alla vaid $h = 38 c m$ võrra, siis tähendab see, et parve peal asuv koormus võib parve vee alla suruda vaid $h - d_{1} = 2 c m$ võrra. Järelikult võib panna kirja teise võrduse

\frac{P}{g} = ρ_{v} S (h - d_{1}) \Rightarrow S = \frac{P}{ρ_{v} g (h - d_{1})} = 2 m^{2}

22. Plekkkuubid

Õhukesest plekist valmistatakse kaks kaaneta kuupi (st üks tahk on kummalgi puudu), kusjuures nende mahud erinevad 8 korda. Kuubid ujuvad vees ja mõlemasse hakatakse aeglaselt vett lisama. Üks kuup läheb põhja, kui $90 %$ tema ruumalast on veel veest tühi. Mitu protsenti teisest kuubist on tühi tema uppuma hakkamise hetkel?

Lahendus

Olgu selle kuubi, mis upub, kui temast $α = 90 %$ on tühi, seinte mass $m$ ja ruumala $V$ . Archimedese seaduse põhjal hakkab objekt uppuma, kui ta tihedus saab suuremaks vee tihedusest $ρ_{v}$ (piirjuhul võrdseks):

\frac{m + ρ_{v} (1 - α) V}{V} = ρ_{v} \Rightarrow \frac{m}{V} = α ρ_{v} (*)

Teine kuup võiks olla nii väiksem kui suurem. Oletame algul, et ta on väiksem. Siis on selle kuubi ruumala

\frac{1}{8} V

. Kuubi seinte mass on võrdeline nende pindalaga, mis on omakorda võrdeline küljepikkuse ruuduga. Et teise kuubi küljepikkus on esimese omast

\sqrt[3]{8} = 2

korda väiksem, on ta pindala

2^{2} = 4

korda väiksem ning seinte mass seega

\frac{1}{4} m

. Kirjutame analoogiliselt uppumahakkamise tingimuse, kus

β

tähistagu otsitavat õhu osa teises kuubis.

\frac{\frac{1}{4} m + ρ_{v} (1 - β) \frac{1}{8} V}{\frac{1}{8} V} = ρ_{v} \Rightarrow \frac{2 m}{V} = β ρ_{v}

Võrrandist

(*)

ρ_{v} = \frac{m}{α V}

, seega

β = 2 α = 180 % > 100 %

, mis on võimatu. Järelikult upuks teine kuup väiksemana juba ilma vett lisamatagi, vastuolus öelduga, et kuubid ujuvad.

Oletame nüüd, et teine kuup on suurem, ruumalaga $8 V$ ja massiga $4 m$ . Uppumahakkamise tingimus on siis

\frac{4 m + ρ_{v} (1 - β) 8 V}{8 V} = ρ_{v} \Rightarrow \frac{m}{2 V} = β ρ_{v}

Siit

β = \frac{1}{2} α = 45 %

, mis jääbki ainsaks, üheseks vastuseks.

23. Praam

Praami pikkus on $15 m$ ja laius $4 m$ . Kui sügavale vajub praam, kui sellele sõidab $3$ tonni raskune auto? Praam on risttahuka kujuline.

Lahendus

Vastavalt Archimedese seadusele auto poolt välja tõrjutud vee mass peab võrduma auto massiga. Järelikult välja tõrjutud vee mass on $3000 k g$ . Selle vee ruumala on

Δ V = M / ρ = \frac{3000 k g}{1000 k g / m^{3}} = 3 m^{3} .

Praami ristlõikepindala on

S = 15 m \cdot 4 m = 60 m^{2}

. Järelikult vajub praam

Δ h = \frac{Δ V}{S} = \frac{3 m^{3}}{60 m^{2}} = 0, 05 m = 5 c m

võrra sügavamale.

On võimalik ka teine, veidi erinev, lahenduskäik. Tühja praami kaalu $P$ tasakaalustab Archimedese jõud $F_{A 1} = ρ g L d h = P$ , kus $ρ = 1000 k g / m^{3}$ on vee tihedus, $L = 15 m$ ja $d = 4 m$ on praami mõõtmed, ning $h$ on praami veealuse osa esialgne kõrgus. Praami koos autoga tasakaalustab Archimedese jõud

F_{A 2} = ρ g L d \cdot (h + Δ h) = P + M g,

kus

M

on auto mass. Lahutades teisest võrrandist esimese, saame

ρ g L d Δ h = M g

, kust

Δ h = \frac{M}{ρ L d} = \frac{3000}{1000 \cdot 15 \cdot 4} = 0, 05 m

24. Teraskera

Seest tühi teraskera ujub veepinnal nii, et täpselt pool sellest on vees. Kui suure osa kera ruumalast moodustab kera sees oleva õõnsuse ruumala? Terase tihedus on $7800 k g / m^{3}$ ja vee tihedus $1000 k g / m^{3}$ . Kera õõnsuses oleva õhu massi võib arvutustes jätta arvestamata.

Lahendus

See, et täpselt pool ujuvast teraskerast on vees, tähendab, et teraskera tihedus on täpselt kaks korda vee tihedusest väiksem ehk $ρ_{k} = ρ_{v} / 2$ .

Tähistades kera massi $m$ , kera ruumala $V_{k}$ ning terase ruumala $V_{t}$ , saame panna kirja kaks seost: ühelt poolt $m = ρ_{k} V_{k}$ , teisest küljest $m = ρ_{t} V_{t}$ , kust avaldame $V_{t} / V_{k} = ρ / ρ_{t} = ρ_{v} / 2 ρ_{t} \approx 0, 06 = 6 %$ .

Järelikult moodustab õõnsus $94 %$ teraskera ruumalast.

25. Ujuk

Anumas olevas vees tihedusega $ρ_{v} = 1, 0 k g / d m^{3}$ ujub kuubikujuline ujuk, mille alumine pool on jääst tihedusega $ρ_{j} = 0, 9 k g / d m^{3}$ ja ülemine pool vahtplastist tihedusega $ρ_{p} = 0, 3 k g / d m^{3}$ . Kuubi serva pikkus $a = 4 c m$ . Ujuki jääst osa sulab. Kui palju muutub ujuki ülemise tahu kaugus veepinnast?

Lahendus

Ujuki kummagi osa ruumala $V = 32 c m^{3}$ . Ujuki jäätüki mass $m_{j} = V \cdot 0, 9 ρ_{v}$ ja ujuki vahtplasti mass $m_{p} = V \cdot 0, 3 ρ_{v}$ . Ujuki kogumass $m_{j} + m_{p} = 1, 2 V ρ_{v}$ .

Teame, et

m g = ρ_{v} g V_{v}

millest ujuki veealuse osa ruumala

V_{v} = V \cdot \frac{1, 2 ρ_{v}}{ρ_{v}} = 38, 4 c m^{3}

Vees oleva osa kõrgus $h = 2, 4 c m$ ja veepealse osa kõrgus $1, 6 c m$ . Pärast jää sulamist on ujuki veealuse osa ruumala on

V_{v 1} = V \cdot \frac{0, 3 ρ_{v}}{ρ_{v}} = 9, 6 c m^{3}

Nüüd on vees oleva osa kõrgus

h_{1} = 0, 6 c m

ja veepealse osa kõrgus

1, 4 c m

Seega ujuk vajub allapoole võrreldes esisalgse olukorraga $h - h_{1} = 0, 2 c m$

26. Ujumine

Millise oma keha suhtes mahult väikseima puitklotsi peaksite võtma, et hoides sellest kinni võiksite hoida ennast veepinnal nii, et pea ja õlad (1/8 teie ruumalast) oleks veest väljas? Puidu tihedus on $0, 6 g / c m^{3}$ , inimese tiheduseks võtke $1, 075 g / c m^{3}$ .

Lahendus

Olgu $V_{1}$ - klotsi ruumala, $V_{2}$ - inimese ruumala, $ρ_{1}$ - puidu tihedus, $ρ_{2}$ - inimese tihedus, $ρ$ - vee tihedus, $g$ - raskuskiirendus.

(ρ_{1} V_{1} + ρ_{2} V_{2}) g = ρ g (V_{1} + (7 / 8) V_{2}) \Rightarrow 0, 4 V_{1} = 0, 2 V_{2} \Rightarrow V_{1} = 0, 5 V_{2}

ehk klotsi ruumala peaks olema pool inimese ruumalast.

27. Ujuv anum

Risttahukakujulisse anumasse põhja pindalaga $S_{1}$ asetatakse ujuma väiksem risttahukakujuline anum põhjapindalaga $S_{2}$ . Selle tulemusel tõusis veetase suures anumas kõrguse $Δ h$ võrra. Siis hakati väiksemasse anumasse vett valama. Milline on minimaalne kaugus väiksemas anumas oleva vee pinna ja väikese anuma ääre vahel nii, et see veel ei upuks?

Lahendus

Anuma jaoks ilma veeta: $m g = ρ g V$ , kus $m$ on anuma mass, $ρ$ on vee tihedus ja $V$ on anuma vee alla jääva osa ruumala. Kuna vesi on kokkusurumatu, siis selle sama ruumala võrra surutakse vett ka välja:

V = Δ h (S_{1} - S_{2})

Avaldame anuma massi:

m = ρ Δ h (S_{1} - S_{2})

. Väiksem anum upub, kui ta vajub piisavalt sügavale, et vesi saaks hakata sisse voolama. Tasakaalutingimuse saab kirja panna nii:

m g + ρ V_{s} g = ρ V g

, kus

V_{s}

on anumas oleva vee ruumala ja

V

on kogu anuma ruumala. Piirjuhul on meil

V_{s} = S_{2} h

V = S_{2} H

, kus

h

on veetaseme kõrgus anumas ja

H

on anuma kõgus. otsitav minimaalne kaugus avaldub:

Δ l = H - h

. Eelnevat arvesse võttes saame:

ρ (V - V_{s}) = m

H - h = \frac{m}{ρ S_{2}}

Δ l = \frac{(S 1 - S 2)}{S_{2}} Δ h

28. Uppuv klots

Vees ujub vahtrapuust kuup servapikkusega $a = 10 c m$ tihedusega $ρ_{v a h e r} = 700 k g / m^{3}$ . Kuubi sees on silindriline õõnsus läbimõõduga $b = 4, 5 c m$ (vt joonist). Õõnsus on alt suletud õhukese korgiga. $a)$ Arvutage, kas kuup upub, kui õõnsus täita liivaga? Liiva tihedus on $ρ_{l i i v} = 2700 k g / m^{3}$ ja vee tihedus on $ρ_{v e s i} = 1000 k g / m^{3}$ . $b)$ Kui korgile mõjuv summaarne jõud on suurem kui $1, 8 N$ , läheb kork katki. Mis on maksimaalne liiva kõrgus, mida saab õõnsusesse valada?

Lahendus

$a)$ Leiame maksimaalse raskusjõu ja üleslükkejõu ning vaatame kas üleslükkejõud on väiksem kui raskusjõud.

F_{r} = F_{k l o t s} + F_{l i i v} = (ρ_{v a h e r} (a^{3} - \frac{π b^{2} a}{4}) + \frac{ρ_{l i i v} π b^{2} a}{4}) g = 9, 975 N

F_{y} = ρ_{v e s i} g a^{3} = 9, 8 N

Seega klots on võimalik ära uputada.

$b)$ Korgile mõjub liiva raskusjõud ning altpoolt surub seda vesi. Kork kannatab nende jõudude vahet.

1, 8 N = ρ_{l i i v} S h g - ρ_{v e s i} g A S

kus

S = π b^{2} / 4

- augu põhja pindala,

h

- liivasamba kõrgus,

A

- klotsi vee alla ulatuva osa kõrgus. Teise seose saame panna kirja klotsi ujumise tingimustest

F_{r} = F_{y}

(ρ_{v a h e r} (a^{3} - S a) + ρ_{l i i v} S h) g = ρ_{v e s i} g a^{2} A

Lahendades need võrrandid, saame, et

A = 0, 092 m = 9, 2 c m

ning

h = 0, 0768 m = 7, 68 c m

. Ehk kork eemaldub enne kuubiku uppumist ja seega ei saa kuubikut sellel viisil uputada.

29. Äpardus plokiga

Silindrilises anumas põhjapindalaga $S$ on vesi tihedusega $ρ$ . Anuma põhjas on plokk ja üle hõõrdevabalt pöörleva plokiratta on tõmmatud nöör. Nööri otste külge on kinnitatud kaks veest väiksema tihedusega keha. Plokk takistab nende kehade veepinnale kerkimist (vt joonis). Kummagi keha ruumala on $V$ . ühe keha tihedus on $ρ_{1}$ ja teise keha tihedus $ρ_{2}$ , kusjuures $ρ_{1} < ρ_{2} < ρ$ . Plokinöör on nii pikk, et kumbki kehadest ei puuduta plokki ning nii lühike, et üks keha on tõmmatud üleni vee alla. Kui palju muutub anumas oleva vee tase kui plokinöör katkeb ja mõlemad kehad kerkivad vee pinnale?

Lahendus

Arvutame anuma põhja poolt süsteemile ``vesi pluss kehad'' mõjuva jõu muutuse: \vspace{-5pt}

Δ F = - 2 T = S ρ g Δ h,

\vspace{-25pt} kus

T

on nööri pinge. Tõepoolest, nimetatud jõud tasakaalustab kõikide ülejäänud jõudude resultandi, milleks on raskusjõudude summa (ei muutu) pluss nööri poolt mõjuv jõud. Et nööri pinge hoiab teist keha vee all, siis

T = (ρ - ρ_{2}) g V

, millest

Δ h = - \frac{2 (ρ - ρ_{2}) V}{S ρ} .

1.5 Plokid

1. Kannatanu päästmine

Alpinismis kasutatakse kannatanu tõstmiseks joonisel toodud polüspasti. Põhiköiele lisatakse köiejupid mille ühes otsas on rullik ja teises haarav sõlm. a) Kui mitu korda annab selline süsteem võitu jõus? b) Kui suur on tõmbejõud igas polüspasti osas kui tõstetakse massi $m$ ? Kõrvalekaldeid vertikaalsihist, polüspasti massi ja hõõrdumist mitte arvestada.

Lahendus

Võttes tõmbejõu $F$ -ks saab leida polüspasti ülekandeteguri. Rullikul mõlemad põhiköieosad on sama tõmbejõuga, rullikut hoidev köis aga topelt tõmbejõuga.

Haaravates sõlmedes on alla ja ülespoole suunatud jõudude summa tasakaalus. Jõus saavutatakse kolmekordne võit.

Massi $m$ tõstmisel on tõmbejõud $F = \frac{m g}{3}$ ning leitav iga osa kohta vastavalt joonisele.

2. Plokid

Liikuva ploki abil on võimalik saavutada jõus kahekordne võit (vt joonis). Joonistage sellised plokkide süsteemid, mille kasutamisel koorma tõstmiseks on jõu võit: $a)$ 5-kordne; $b)$ $2, 5$ -kordne.

Lahendus

Lahendused on ära toodud joonistel.


Lahendus joonis

3. Plokid

Liitplokk koosneb seitsmest plokist (vt. joonist). Liikuvate plokkide külge on riputatud koormised massiga $m$ . Missuguse massiga $m_{x}$ peavad olema nööri otstesse riputatud äärmised koormised, et süsteem oleks tasakaalus? Plokkide ja nööri mass jätta arvestamata ning nöör lugeda venimatuks.

Lahendus

Vaatleme jõudude tasakaalu koormiste jaoks. Ühe äärmise klotsi puhul peab raskusjõud tasakaalustama nööri tõmbejõu: $m_{x} g = T$ .

Igale vahelmisele koormisele mõjuv raskusjõud peab tasakaalustama nööri kahekordse tõmbejõu:

m g = 2 T

Siit järeldub, et

m_{x} = \frac{m}{2}

4. Plokk

Kui suure jõuga peab tüdruk nöörist tõmbama, et hoida üleval lauda, millel ta ise seisab (vt. joonist)? Tüdruku mass on $m = 60 k g$ ; laua, plokkide ja nööri massi mitte arvestada.

Lahendus

Tasakaalutingimusest laua jaoks

2 F + F = m g - F

saame, et

F = \frac{m g}{4} = 150 N

1.6 Rõhk

1. Rehvid

Kui palju vajub sõiduauto madalamale oma kaalu tõttu? Sõiduauto mass $m = 1, 5 t$ , rehvide laius $d = 18 c m$ , õhu rõhk rehvides $p = 3, 0 p_{0}$ , kus $p_{0} = 10^{5} P a$ on atmosfäärirõhk, rehvide välisraadius $R = 25 c m$ . Vedrustuse tõttu tekkivat vajumist mitte arvestada.

Lahendus

2. Redel

Redelile on pandud pikk laud. Laua vasakpoolses otsas ripub koormis massiga $m$ . Laua parempoolses otsas on varras, mis ulatub laeni ja hoiab lauda ümber kukkumast. Kui rõhk vardas on suurem kui $p$ , siis varras puruneb. Varda ristlõikepindala on $S$ . Redelist vasakul oleva laua osa pikkus on $l_{1}$ . Kui kaugele toetuspunktist tuleb varras panna, et rõhk vardas oleks $p$ ? Kas varras puruneb siis, kui varras on kriitilisest kaugusest lähemal või kaugemal? Laua massi mitte arvestada.

Lahendus

Kasutame kangi reeglit: $m g l_{1} = p S l_{2}$ . Siit avaldame kauguse $l_{2}$ :

l_{2} = \frac{m g l_{1}}{S p}

Varras puruneb, kui varras asetada redelile lähemale kui kaugus

l_{2}

3. Risttahukad

Olgu meil kaks mõõtmetelt identset, kuid eri tihedusega ja eri värvi risttahukat. Kui must risttahukas asetati tahule "A'', siis tema rõhk alusele oli $p_{m} = 100 k P a$ (arvestamata õhurõhku). Kui mõlemad kehad pandi vett täis basseini põhja nii, et must risttahukas toetus tahule "A'' ja valge risttahukas asetati musta peale, siis nende kehade poolt põhjale avaldatav rõhk oli $p = 110 k P a$ (ilma vee- ja õhu rõhku arvestamata). Leida valge risttahuka tihedus $ρ_{v}$ , kui on teada, et musta keha tihedus $ρ_{m} = 2 ρ_{v}$ . Vee tihedus $ρ = 1 g / c m^{3}$ .

Lahendus

Et tegemist on kahe identse risttahukaga, siis on ka nende ruumalad võrdsed. Tähistame seda $V$ . Musta risttahuka rõhk:

p_{m} = \frac{F_{m}}{S} = \frac{ρ_{m} V g}{S}

Kehade süsteem avaldab vee all rõhku:

p = \frac{F_{v} + F_{m} - F_{¨ u}}{S} = \frac{(ρ_{v} + ρ_{m} - 2 ρ) V g}{S}

Avaldades

V

mõlemast valemist, saame:

\frac{p_{m} S}{ρ_{m} g} = \frac{p S}{(ρ_{v} + ρ_{m} - 2 ρ) g} \Rightarrow \frac{p_{m}}{ρ_{m}} = \frac{p}{ρ_{v} + ρ_{m} - 2 ρ}

Kuna

ρ_{m} = 2 ρ_{v}

, saame:

\frac{p_{m}}{2 ρ_{v}} = \frac{p}{ρ_{v} + 2 ρ_{v} - 2 ρ} = \frac{p}{3 ρ_{v} - 2 ρ}

2 ρ_{v} p = p_{m} (3 ρ_{v} - 2 ρ) = 3 ρ_{v} p_{m} - 2 ρ p_{m}

ρ_{v} = \frac{2 ρ p_{m}}{3 p_{m} - 2 p} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 100}{3 \cdot 100 - 2 \cdot 110} = \frac{200}{80} = 2, 5 g / c m^{3}

1.7 Vedelikud ja rõhk

1. U-toru

U-toru ühe haru ristlõikepindala on $S_{1} = 5 c m^{2}$ , teise haru ristlõikepindala $S_{2} = 2 c m^{2}$ . U-torus on vesi. Mitu grammi bensiini valati U-toru jämedamasse harusse, kui selle tulemusena tõusis vee nivoo peenemas torus $h_{2} = 25 c m$ võrra? Vee tihedus on $ρ_{v} = 1000 k g / m^{3}$ ja bensiini tihedus $ρ_{b} = 710 k g / m^{3}$ .

Lahendus

Peenikesse torusse tuli vesi jämedast torust. Kuna peenikeses torus vesi tõusis, siis jämedas torus langes veetase seose $h_{1} S_{1} = h_{2} S_{2}$ kohaselt, sest U-torus vee ruumala on jääv. Veetaseme langus jämedas torus on

h_{1} = \frac{h_{2} S_{2}}{S_{1}} = 10 c m

Bensiinisamba rõhu jämedas torus tasakaalustab

h_{v} = 10 c m + 25 c m = 35 c m

kõrguse veesamba rõhk peenikeses torus, seega kehtib seos

ρ_{b} g h_{b} = ρ_{v} g h_{v}

. Leiame bensiinisamba kõrguse.

h_{b} = \frac{h_{v} ρ_{v}}{ρ_{b}} = 49, 3 c m

Bensiini ruumala on seega

V = h_{b} S_{1} = 246, 5 c m^{3}

. Bensiini mass on leitav seosest

ρ = \frac{m}{V}

, kust

m = 175 g

2. U-toru

Kolmeosalises U-torus (vt. joonis) on vesi. Kui palju tõuseb veenivoo keskmises torus, kui parempoolsesse torusse valada $h_{˜ o} = 10 cm$ kõrgune õlisammas ja vasakpoolsesse torusse $h_{b} = 20 c m$ kõrgune bensiinisammas? Õli tihedus on $ρ_{˜ o} = 840 k g / m^{3}$ , bensiini tihedus $ρ_{b} = 720 k g / m^{3}$ ja vee tihedus $ρ_{v} = 1000 k g / m^{3}$ . Torude läbimõõdud on võrdsed.

Lahendus

Vedelikud on tasakaalus, kui kõikides torudes vedelike rõhud on uuele nivoole võrdsed. Eelneva hinnangu kohaselt on parempoolses torus lisaks õlile ka veesammas.

Veesamba keskmises torus saame seosest

ρ_{b} g h_{b} = ρ_{v} g h_{v 2}

Veesamba kõrgus keskmises torus on

h_{v 2} = \frac{ρ_{b} g h_{b}}{ρ_{v} g} = 14, 4 c m

Parempoolses torus on õli ja vesi, seega

ρ_{b} g h_{b} = ρ_{˜ o} g h_{˜ o} + ρ_{v} g h_{v 3}

Seosest saame, et kolmandas torus on lisaks õlile üle uue nivoo veesammas

h_{v 3} = \frac{ρ_{b} g h_{b} - ρ_{˜ o} g h_{˜ o}}{ρ_{v} g} = 6 c m

Uue nivoo veesammas keskmises ja parempoolses torus kogupikkusega

20, 4 c m

. Enne valamist jaotus see sammas kolme toru vahel, seega

6, 8 c m

igasse torusse.

Järelikult vee nivoo tõus keskmises torus on

14, 4 c m - 6, 8 c m = 7, 6 c m

3. Tamm

Paisjärve üheks küljeks on risttahukakujuline tamm pikkusega $l = 50 m$ . Kui suure kogujõuga surub vesi tammi, kui vee sügavus tammi juures $h = 10 m$ ? Vee tihedus $ρ = 1000 k g / m^{3}$ .

Lahendus

Sügavusel $x$ veepinnast on veesamba põhjustatud rõhk $p = ρ g x$ . Kitsale tammiribale väga väikese kõrgusega $Δ x$ ja pikkusega $l$ mõjub jõud

Δ F = p l Δ x = ρ l g x Δ x

. Näeme, et see jõud

Δ F

on võrdeline sügavusega, olles 0 kui

x = 0

ρ l g h Δ x

kui

x = h

, keskmine on

\frac{1}{2} ρ l g h Δ x

. Kogujõud on summa kõikidest

Δ F

-idest, seega kokku

F = \frac{1}{2} ρ l g h^{2} = 2, 45 \cdot 10^{7} N

4. Vedelikud

Kaks ühesugust silindrilist anumat on põhja lähedalt ühendatud peenikese horisontaalse toru abil ristlõikepindalaga $S = 1 c m^{2}$ . Esimeses anumas on vedelik tihedusega $ρ_{1} = 0, 9 g / c m^{3}$ , teises $ρ_{2} = 1, 1 g / c m^{3}$ . Ühendavas torus eraldab vedelikke vabalt liikuv kolb, mis asub algselt paigal toru keskel. Üheaegselt tehakse lahti kraanid, nii et esimesse anumasse voolab juurde esimest vedelikku ning teisse anumasse teist vedelikku, kumbagi kiirusega $v_{0} = 50 c m^{3} / s$ . Mis suunas ja millise kiirusega hakkab liikuma kolb?

Lahendus

Kuna kolb seisab algul paigal, tähendab, et talle mõjuvad jõud on võrdsed ehk rõhud, mida vedelikud talle mõlemalt poolt avaldavad, peavad olema võrdsed.

F_{1} = p_{1} S_{k o l b} = F_{2} = p_{2} S_{k o l b} ⟹ p_{1} = p_{2}

Vedelikusamba rõhk avaldub valemiga:

p = ρ g h,

kus

ρ

on vedeliku tihedus,

g

on raskuskiirendus Maal ja

h

on vedelikusamba kõrgus.
Algselt on vedelikusammaste kõrgused ühendatud anumas vastavad:

ρ_{1} g h_{1} = ρ_{2} g h_{2} ⟹ ρ_{1} h_{1} = ρ_{2} h_{2}

Et kolb püsiks paigal ehk, et rõhud kolvi mõlemal pool oleksid võrdsed, peab kehtima seos:

h_{1} = \frac{ρ_{2}}{ρ_{1}} h_{2}

Kuna mõlemasse silindrilisse anumasse hakkab võrdses koguses erinevate tihedustega vedelikku juurde tulema, muutub

h_{1}

h_{2}

suhe ning kolb hakkab liikuma anuma poole, milles oleva vedeliku tihedus on väiksem.

Olgu $S_{0}$ anumate aluse pindala ning $v$ vaheseina liikumise kiirus. Aja $t$ jooksul tõuseb esimeses anumas vedeliku nivoo kõrgus

Δ h_{1} = \frac{Δ t v_{0}}{S_{0}} + \frac{Δ t v S}{S_{0}}

võrra, teises anumas aga

Δ h_{2} = \frac{Δ t v_{0}}{S_{0}} - \frac{Δ t v S}{S_{0}}

võrra. Kuna hüdrostaatiline rõhk nii algselt kui ka pärast peab olema mõlemas anumas toru kõrgusel ühesugune, siis kehtib võrdus

ρ_{1} g Δ h_{1} = ρ_{2} g Δ h_{2}

. Seega

ρ_{1} (\frac{Δ t v_{0}}{S_{0}} + \frac{Δ t v S}{S_{0}}) = ρ_{2} (\frac{Δ t v_{0}}{S_{0}} - \frac{Δ t v S}{S_{0}})

ρ_{1} (v_{0} + v S) = ρ_{2} (v_{0} - v S)

kust kolb hakkab liikuma kiirusega

v = \frac{v_{0} (ρ_{2} - ρ_{1})}{S (ρ_{2} + ρ_{1})} = 5 c m / s

esimese anuma suunas.

5. U-toru

Ühesuguste harudega U-torusse on valatud vesi. U-toru ühte harusse valatakse õli, nii et tekib

10 c m

kõrgune õlisammas. U-toru teise harusse valatakse petrooleumi, nii et mõlemas harus on lõpuks vedelike ülemine nivoo samal kõrgusel. Petrooleum ja õli ei segune veega. Kui kõrge on U-torusse valatud petrooleumi sammas? Vee tihedus on

1000 k g / m^{3}

, õli tihedus on

900 k g / m^{3}

ja petrooleumi tihedus on

800 k g / m^{3}

Lahendus

Lähtume tasakaalutingimusest: õlisammas kõrgusega $h_{˜ o} = 10 cm$ peab avaldama sama rõhku, kui petrooliumi sammas kõrgusega $h_{p}$ pluss veesammas kõrgusega $h_{v} = h_{˜ o} - h_{p}$ . See viib meid võrrandisüsteemini:

ρ_{˜ o} g h_{˜ o} = ρ_{v} g h_{v} + ρ_{p} g h_{p}

h_{˜ o} = h_{v} + h_{p}

kust saame avaldada petrooliumi samba kõrguse:

h_{p} = \frac{ρ_{v} - ρ_{˜ o}}{ρ_{v} - ρ_{p}} h_{˜ o} = 5 c m

6. Koonilised anumad

Kaks pealt lahtist koonilist anumat on omavahel ühendatud ja osaliselt veega täidetud (vt. joonis). a) Kas ja millises suunas voolab vesi voolikus, kui soojendada vett anumas A? b) Kas ja millises suunas voolab vesi voolikus, kui soojendada vett anumas B? Märkus: Anumate soojuspaisumisega pole vaja arvestada.

Lahendus

Mõlemas koonilises anumas on tegemist sama vedelikuga. Kui soojendada neid võrdselt, siis nende ruumala suureneb sama palju soojuspaisumise tõttu. Kui rõhud, mida vedelikusambad tekitavad ühendustoru juures kooniliste anumate põhjas, on võrdsed, siis vedelik kahe koonilise anuma vahel ei hakka voolama, kui aga ei ole, siis hakkab vedelik voolama anuma suunas, kus vedelikusamba rõhk on väiksem.
Vedelikusamba rõhk avaldub:

p = ρ g h,

kus

ρ

on vedeliku tihedus,

g

on raskuskiirendus Maal ning

h

on vedelikusamba kõrgus, mida mõõdame meie ülesandes ühendustoru keskpaigast, kuni vedeliku pinnani vertikaalselt.

a) Kui soojendada anumat $A$ , siis vedeliku tihedus väheneb ja vedeliku kõrgus anumas kasvab ruumala suurenemise tõttu. Kuid kuna kogu ruumala suurenemine ei jää kohakuti ühendustoruga (õhu ja vee piirpind on suurem kui ühendustoru pindala), siis kokkuvõttes vedelikusamba rõhk väheneb, ning vedelik hakkab voolama anuma $A$ poole.

b)Kui soojendada anumat $B$ , siis vedeliku tihedus väheneb ja vedeliku kõrgus anumas kasvab ruumala suurenemise tõttu. Kuid kuna seekord on õhu ja vee piirpind väiksem ühendustoru omast, siis kokkuvõttes anuma $B$ poolt põhjustatud vedelikusambarõhk suureneb, ning vedelik hakkab voolama anuma $A$ suunas.

7. Kuup

Kuubikujuline anum, mille serva pikkus on $a = 36 c m$ , on täidetud ääreni vee ja petrooleumiga. Vedelike massid on võrdsed. Määrake vedelike kogurõhk anuma põhjale. Anuma seinte paksust mitte arvestada. Vee tihedus on $1000 k g / m^{3}$ , petrooleumil $800 k g / m^{3}$ .

Lahendus

Et $m_{1} = m_{2}$ , siis rõhud on samuti võrdsed $p_{1} = p_{2}$ , kus $p_{1} = ρ_{1} g h_{1}$ on petrooleumi rõhk ja $p_{2} = ρ_{2} g h_{2}$ on vee rõhk, ning $h_{1}$ ja $h_{2}$ on vastavalt petrooleumi- ja veekihi kõrgused:

h_{1} + h_{2} = a, h_{2} = \frac{ρ_{1} a}{ρ_{1} + ρ_{2}} = 0, 16 m

Kogu rõhk on

p = p_{1} + p_{2} = 2 p_{2} = 2 ρ_{2} g h_{2} \approx 3100 P a = 3, 1 k P a

8. Anumad

Kaks ühesugust silindrilist anumat põhjapindalaga $S_{0} = 30 c m^{2}$ on ühendatud toru abil, mille pikkus on $l = 50 c m$ ja ristlõikepindala $S_{1} = 4 c m^{2}$ (vt. joonis). Toru telg asub kõrgusel $h_{0} = 10 c m$ anumate põhjast. Anumatesse on valatud võrdse kõrguseni $h = 30 c m$ erinevad vedelikud. Joonisel vasakpoolses anumas oleva vedeliku tihedus on $ρ_{1} = 900 k g / m^{3}$ ja parempoolsemas anumas oleva vedeliku tihedus on $ρ_{2} = 1100 k g / m^{3}$ . Täpselt toru keskel asub õhukevahesein, mis ei lase vedelikel üksteisega seguneda. Alghetkel on vahesein fikseeritud asendis. Millise kauguse võrra ja millises suunas nihkub vahesein, kui see vabaks lasta?

Lahendus

Kui vahesein on vabastatud, peavad vedelikusammaste rõhud anumates olema ühendustoru telje kõrgusel $h_{0}$ ühesugused. Tähistades vedelikusamba kõrguse vasakpoolses anumas (ühendustoru teljest alates) $h_{1}$ ja vedelikusamba kõrguse parempoolses anumas $h_{2}$ , saame võrrandi: $ρ_{1} h_{1} = ρ_{2} h_{2}$ . Kahe vedeliku koguruumala ei muutu, mistõttu vedelikusammaste kõrguste summa anumates jääb samaks:

h_{0} + h_{1} + h_{0} + h_{2} = 2 h

Avaldades neist kahest võrrandist suuruse $h_{2}$ ja võrdsustades pooled:

\frac{ρ_{1} h_{1}}{ρ_{2}} = 2 (h - h_{0}) - h_{1} \Rightarrow h_{1} = 2 ρ_{2} \frac{h - h_{0}}{ρ_{1} + ρ_{2}} = 22 c m

Veesamba kõrgus vasakpoolses anumas muutub

Δ h = h_{1} - (h - h_{0}) = 2 c m

võrra, mille tõttu vedeliku ruumala selles anumas suureneb

Δ V = Δ h S_{0}

võrra. Selle ruumala võrra väheneb esimese vedeliku ruumala ühendustorus, seega vahesein nihkub vasakule pikkuse

Δ l

võrra:

Δ l = \frac{Δ h S_{0}}{S_{1}} = 15 c m

9. Pudel

Pudelis on vesi. Pudel on hermeetiliselt suletud korgiga, millest on läbi pandud toru. Loetleda võimalusi vee pudelist kättesaamiseks pudelit laualt kergitamata. Põhjendada vastust teoreetiliselt.

Lahendus

Ülesande tegijad nuputasid välja kolm võimalust vee kättesaamiseks:
a) Imeda. Vesi tuleb välja rõhkude vahe toimel.
b) Puhuda. Puhudes pudelisse sisse välisrõhust suurema rõhu, tuleb samuti vesi rõhkude vahe tõttu välja.
c) Soojendada vett. Veeaur surub alguses osa vett välja. Keema ajamisel ülejäänud osa veest aurustub ja lahkub anumast auruna.

10. Klaastoru

Klaastoru, mille alumine ots on veekindlalt plaadiga suletud, hoitakse vertikaalselt vees. Vees oleva toru osa pikkus on $h = 0, 36 m$ . Torru valatakse petrooleumi, mille tihedus $ρ_{p} = 800 k g / m^{3}$ . Kui kõrge petrooleumisamba korral eraldub plaat toru otsast? Plaadi massi mitte arvesada, vee tihedus $ρ_{v} = 1000 k g / m^{3}$ .

Lahendus

Plaat eraldub torust siis, kui petrooleumisamba rõhk saab võrdseks veesamba rõhuga.

ρ_{v} g h = ρ_{p} g h_{p}

kus

h_{p}

on otsitav petrooleumisamba kõrgus.

h_{p} = ρ_{v} h / ρ_{p} = 45 c m

11. Rõhu valem

Vedeliku rõhku anuma põhjale saab arvutada valemiga $p = ρ g h$ , kus $ρ$ on vedeliku tihedus, $g$ raskuskiirendus ja $h$ vedelikusamba kõrgus. Kas seda valemit võib kasutada alati ka tahke keha poolt alusele avaldatava rõhu arvutamiseks, võttes vedeliku tiheduse asemel tahke aine tiheduse ja vedelikusamba kõrguse asemel keha kõrguse? Põhjendada vastust.

Lahendus

Vedeliku rõhu valemit ei või alati kasutada tahke keha rõhu määramisel. Vedelik annab rõhku edasi igas suunas ühteviisi ja sellepärast pole oluline vedelikusamba kuju. Tahke keha avaldab rõhku ainult vertikaalsihis ja tulemus oleneb toetuspinna suurusest. Seega: vedeliku rõhk ei sõltu anuma kujust, vaid vedelikusamba kõrgusest. Tahke keha puhul oleneb keha rõhk alusele sellest, missugune on keha põhjapindala $S$ .Vedeliku puhul

p_{1} = p_{2} = ρ g h

kuid tahke keha puhul

p_{1} < p_{2} = \frac{m g}{S}

(vt. joonis).

12. Ühendatud anumad

Ühendatud anumatesse diameetritega $d_{1}$ ja $d_{2}$ on valatud vedelik tihedusega $ρ$ . Kui palju tõuseb vedelik anumates, kui ühte anumasse panna keha massiga $m$ , mille materjali tihedus on vedeliku tihedusest väiksem?

Lahendus

Ujuv keha tõrjub välja vedeliku koguse $Δ V$ , mille mass on võrdne ujuva keha massiga. Seega väljatõrjutud ruumala avaldub:

Δ V = \frac{m}{ρ}

Kahe anuma summaarne põhjapindala on:

S = \frac{π d_{1}^{2}}{4} + \frac{π d_{2}^{2}}{4} = \frac{π (d_{1}^{2} + d_{2}^{2})}{4}

Järelikult tõuseb veetase anumates kõrguse $Δ h$ võrra:

Δ h = \frac{Δ V}{S} = \frac{4 m}{π ρ \cdot (d_{1}^{2} + d_{2}^{2})}

1.8 Energia

1.8.1 Mida peab nende ülesannete lahendamiseks teadma ja oskama

Õppekava teemad mehaanilise energia jäävuse seadus, kineetiline ja potentsiaalne energia, koguenergia.
Saab aru, et liikumisel võivad esineda energia kaod. Kui esinevad kaod, siis mehaanilise energia jäävuse seadus ei kehti, osa energiat läheb takistavate jõudude ületamiseks. Käsitleb idealiseeritud olukorda, kui ülesande tekst ütleb, et üht või teist reaalselt kehale mõjuvat jõudu ei arvestata.
Oskab taandada korrapärase kujuga kehade liikumise nende massikeskme liikumiseks.
Oskab hinnata vedelikes kehadele mõjuva üleslükkejõu potentsiaalset energiat.
Kasutab mehaanilise töö ja võimsuse definitsiooni nende kahe füüsikalise suuruse üksteise kaudu arvutamiseks.
Saab aru, et mingi mehaanilise töö tegemiseks kuluv minimaalne energia vastab olukorrale, kus energia kadudega ei pea arvestama.
Oskab kasutada keha kineetilise energia arvutamise valemit $E = \frac{m v^{2}}{2}$ .

Ülesanded

1. Bensiinikulu

Leidke kiirusel $v = 90 km/h$ sõitva auto bensiinikulu liitrites $s = 100 km$ kohta, kui mootoris kütuse põlemisel eralduv võimsus on sellel kiirusel $P = 58 kW$ . Bensiini põlemisel eralduv soojushulk ruumalaühiku kohta on $ρ = 35 MJ/l$ .

Lahendus

Autol kulub $s = 100 k m$ läbimiseks aeg $t = s / v$ . Selle ajaga kulutab mootor energiat $Q = P t$ . Vastava energia saamiseks kulub $V = Q / ρ$ bensiini. Siit saab nüüd leida kütusekulu $100 k m$ kohta.

V = \frac{P s}{v ρ} = \frac{58 k W \cdot 100 k m}{90 k m / h \cdot 35 M J / l} \approx 6, 6 l

2. Lauatennisepall

Lauatennisepall läbimõõduga $d = 30 mm$ ja massiga $m = 5 g$ suruti vette sügavusele $H = 30 cm$ . Kui pall sel sügavusel lahti lasti, hüppas see veest välja kõrgusele $h = 10 cm$ . Kui palju energiat muundus siseenergiaks palli ja vee hõõrdumise tõttu? Hõõrdumist õhuga lugeda tühiseks, vee tihedus $ρ_{v} = 1000 k g / m^{3}$ .

Lahendus

Vees mõjub pallile jõud $F = ρ_{v} g V - m g$ , mis on suunatud üles. Kui veepind on nullnivoo, siis vee alla surutud palli potentsiaalne energia on

E_{1} = F H = (ρ_{v} g \frac{π d^{3}}{6} - m g) H = 0, 027 J

Vee kohal on palli potentsiaalne energia

E_{2} = m g h = 0, 005 J

Töö takistusjõudude ületamiseks vees on seega

A = E_{1} - E_{2} = 0, 022 J

3. Tiik

Tiigist on vett vaja pumbata paaki ruumalaga $V = 200 l$ . Vett pumbatakse vertikaalse toru kaudu, mille ristlõikepindala on $S = 0,005 m^{2}$ . Vesi suunatakse paaki üle serva, mis asub veepinnast kõrgusel $h = 5 m$ . Enne pumpamise algust on paak ja toru veest tühjad. Kui suur töö on vaja teha paagi täitmiseks?

Lahendus

Tööd on vaja teha selleks, et tõsta $200 k g$ vett $5 m$ kõrgusele ja tõsta torusse jäävat vett. Torus olev vesi, mille mass on

0, 005 m^{2} \cdot 5 m \cdot 1000 k g / m^{3} = 25 k g

tõstetakse keskmiselt

2, 5 m

kõrgusele. Raskusjõu töö avaldub valemiga

A = F s = m g h

seega

A = (200 k g \cdot 5 m + 25 k g \cdot 2, 5 m) \cdot 9, 8 N / k g \approx 10, 4 k J

4. Pump

Ristkülikukujulise ristlõikega süvend sügavusega

H

on pooleni täidetud veega. Pump pumpab vee üles süvendi servale läbi toru raadiusega

R

. Kui suure töö

A

peab tegema pump, et pumbata süvendist välja kogu vee aja

t

jooksul? Süvendi põhja pindala on

S

. Juhtnöör: Keha kineetiline energia arvutatakse valemiga

E = \frac{m v^{2}}{2}

Lahendus

Vee esialgne potentsiaalne energia süvendis on $W_{1} = m g h$ , kus $h$ on vee masskeskme kõrgus. Masskese sümmeetrilise ja ühtlase keha puhul asub selle geomeetrilises keskpunktis. Kuna veetaseme kõrgus süvendis on $H / 2$ , siis järelikult asub vee masskese kõrgusel $H / 4$ ehk süvendi põhja ja veepinna vahemaa keskel. Järelikult $W_{1} = m g H / 4$ .
Vesi pumbatakse kõrgusele $H$ , kus on tema potentsiaalne energia $W_{2} = m g H$ . Lisaks potentsiaalse energiale omab vesi pärast välja pumpamist ka kineetilist energiat, sest ta väljub pumbast teatud kiirusega $v$ . Selle kiiruse leiame me järgmisest kaalutlusest: kogu süvendis asuv vesi ruumalaga $S H / 2$ peab toru ristlõiget $π R^{2}$ läbima aja $t$ jooksul. Järelikult $π R^{2} v t = S H / 2$ , kust

v = \frac{S H}{2 π R^{2} t}

Energia jäävusest leiame otsitava pumba töö

A = Δ W + E = \frac{3 m g H}{4} + \frac{m}{2} {(\frac{S H}{2 π R^{2} t})}^{2}

Arvestades, et vee mass on

m = ρ S H / 2

, saame

A = \frac{ρ S H}{2} (\frac{3 g H}{4} + \frac{1}{2} {(\frac{S H}{2 π R^{2} t})}^{2})

5. Sukeldumine

Millisele sügavusele $h$ sukeldub keha, mis langeb vette kõrguselt $H$ , kui keha tihedus $ρ_{k}$ on vee tihedusest $ρ_{v}$ väiksem? Keskkonna takistust vees ja õhus mitte arvestada.

Lahendus

Olgu keha mass $m$ , keha poolt välja tõrjutud vee mass $m_{v}$ ja keha ruumala $V$ . Kehale vees mõjub Archimedese jõud $F_{A} = m_{v} g = ρ_{v} g V$ , kehale mõjuv raskusjõud $P = m g = ρ g V$ . Keha kineetiline energia vee pinnal võrdub vee pinnalt kõrgusele $H$ tõstetud keha potentsiaalse energiaga $m g H$ . Töö keha sukeldumisel sügavusele $h$ on

A = (F_{A} - P) \cdot h

Energia jäävuse seaduse põhjal

m g H = (F_{A} - P) \cdot h

ρ g V H = (ρ_{v} g V - ρ g V) \cdot h

kust

h = \frac{ρ H}{ρ_{v} - ρ}

6. Autod

Auto, mille mootori võimsus on $30 k W$ , arendab täisvõimsusel kiirust $15 m / s$ . Teine auto, mootori võimsusega $20 k W$ , arendab samadel tingimustel kiirust $10 m / s$ . Millise kiirusega liiguvad trossiga omavahel ühendatud autod? Eeldada, et mõlema auto mootorid töötavad täisvõimsusega ja veavad samas suunas, ning et takistusjõud ei sõltu kiirusest.

Lahendus

Võimsuse definitsioonist $N = A / t$ saame ühtlase liikumise puhul

N = F s / t = F v

Trossiga ühendatud autode mootorite koguvõimsus on

N = (F_{1} + F_{2}) \cdot v

kus

F_{1}

F_{2}

on autodele mõjuvad takistusjõud ja nende summa on trossiga ühendatud autodele mõjuv kogutakistusjõud,

v

on trossiga ühendatud autode liikumiskiirus. Kuna

N_{1} = F_{1} v_{1}

N_{2} = F_{2} v_{2}

, kus

v_{1}

v_{2}

on vastavalt esimese ja teise auto sõltumatud kiirused, siis

N = (\frac{N_{1}}{v_{1}} + \frac{N_{2}}{v_{2}}) v \Rightarrow v = \frac{(N_{1} + N_{2}) v_{1} v_{2}}{N_{1} v_{1} + N_{2} v_{2}} = 12, 5 m / s

7. Lennuk

Kui palju bensiini kulutab lennuk lennates $500 k m$ keskmise kiirusega $250 k m / h$ , kui mootorite keskmine kasulik võimsus on $2000 k W$ . Ühe kilogrammi bensiini põlemisel eraldub soojushulk $4, 6 \cdot 10^{7} J$ , millest $25 %$ muundub kasulikuks tööks.

Lahendus

Andmed
$s = 500 k m$ - lennuki poolt läbitud kaugus;
$v = 250 k m / h$ - lennuki kiirus;
$N = 2000 k W$ - lennuki mootorite võimsus;
$η = 25 % = 0, 25$ - lennuki mootori kasutegur;
$r = 4, 6 \cdot 10^{7} J / k g$ - bensiini kütteväärtus;
$A_{k o g u}$ - kogu bensiini põlemisest eraldunud soojushulk;
$A_{k a s u}$ - kasulikuks tööks muundunud soojushulk.

Arvutused:

A_{k o g u} = r m, η = \frac{A_{k a s u}}{A_{k o g u}}, < b r > A_{k a s u} = N t, t = \frac{s}{v}

m = \frac{A_{k o g u}}{r}, A_{k o g u} = \frac{A_{k a s u}}{η}, A_{k a s u} = \frac{N s}{v}

m = \frac{N s}{η r v} = \frac{2 \cdot 10^{6} \cdot 1 \cdot 5 \cdot 10^{5} \cdot 3600}{0, 25 \cdot 4, 6 \cdot 10^{7} \cdot 250 \cdot 10^{3}} = 252 k g

Vastus. Selleks, et läbida $500 k m$ pidi lennuk kulutama $1252 k g$ bensiini.

Kui suur on minimaalne töö, mida tuleb teha, et kaevata $6 m$ pikkune, $2 m$ sügavane ja $0, 5 m$ laiune kraav? Pinnase keskmine tihedus on $2000 k g / m^{3}$ .

Kui suur on minimaalne töö, mida tuleb teha, et kaevata

6 m

pikkune,

2 m

sügavane ja

0, 5 m

laiune kraav? Pinnase keskmine tihedus on

2000 k g / m^{3}

Lahendus

Minimaalne töö tähendab, et muld tõstetakse ühtlaselt kraavist maapinnale. Labida liigutamiseks tehtud tööd ei arvestata. Kuna mulla tõstmise kõrgus muutub, siis tuleb arvesse võtta mulla tõstmise keskmine kõrgus. Keskmine mulla tõstmine kõrgus võrdub poolega kraavi sügavusest, sest kraav on riskülikukujuline.

A = F h, h = \frac{b}{2}, F = m g, m = ρ V, V = a b c

A = \frac{F b}{2} = \frac{m g b}{2} = \frac{ρ V g b}{2} = \frac{ρ g a b^{2} c}{2} = 1, 2 \cdot 10^{5} J

Vastus: Minimaalne töö kraavi kaevamiseks on $1, 2 \cdot 10^{5} J .$

9. Kiirus

$6 m$ kõrgusel maapinnast on keha kiirus $5 m / s$ . Teatud kõrgusel on selle keha kiirus $10, 2 m / s$ ja potentsiaalne energia $58, 8 J$ . Milline on keha mass. Kineetilise energia valem $E_{k} = \frac{m v^{2}}{2}$ .

Lahendus

Vastavalt ülesande tingimustele: $6$ meetri kõrgusel on keha potensiaalne energia $E_{p 1} = m g h = 6 g m$ ja kineetiline energia $E_{k 1} = \frac{m v^{2}}{2} = 12, 5 m$

Mingil tundmatul kõrgusel, aga on keha potensiaalne energia $E_{p 2} = 58, 8$ ja kineetiline energia $E_{k 2} = \frac{m v^{2}}{2} = 52, 02 m$

Vastavalt energia jäävuse seadusele:

E_{p 1} + E_{k 1} = E_{p 2} + E_{k 2}

Siit avaldame massi:

6 \cdot 9, 8 m + 12, 5 m = 58, 8 + 52, 02 m \Rightarrow m = \frac{58, 8}{6 \cdot 9, 8 + 12, 5 - 52, 02} \approx 3 k g

10. Teivashüpe

Kirjeldage energia muundumisi teivashüppel alates hoojooksust ja lõpetades matilt maha ronimisega.

Lahendus

Loeme algushetkel, kui hüppaja seisab paigal, potentsiaalse energia nulliks. Siis on algushetkel koguenergia null. Edaspidises arutluskäigus loeme teiba massi ja hüppaja mõõtmed tühiseks.

Hoojooksu ajal saab hüppaja kineetilise energia. Alates sellest hetkest, kui hüppaja teiba otsa maha toetab kuni õhkutõusmiseni muutub osa hüppaja kineetilist energiat teiba elastse deformatsiooni potentsiaalseks energiaks.

Peale õhkutõusmist hakkab teiba potentsiaalne energia ja järele jäänud kineetiline energia muutuma hüppaja potensiaalseks energiaks. Peale selle lisab hüppaja käte ja kõhulihaste abil veelgi energiat juurde ja kerkib sedasi latini.

Lati ületamisel on kogu energia potentsiaalne. Kukkudes muutub energia kineetiliseks ja edaspidi muutub hüppaja ja teiba energia soojuseks.

1.9 Elekter, vooluring

1. 55

Läheneva 55. Eesti füüsikaolümpiaadi lõppvooru eel muretses Juku endale 55 voltmeetrit takistusega $R_{1} = 5 k Ω$ ja 55 voltmeetrit takistusega $R_{2} = 55 k Ω$ . Ta tahab ühendada kõik voltmeetrid vooluvõrku ( $U = 220 V$ ) nii, et iga voltmeetri näit oleks täpselt $55 V$ . Aita Jukul üks sobiv skeem välja mõelda!

Lahendus

Skeem on esitatud joonisel. Numbriga 1 on märgitud voltmeetrid takistusega $R_{1} = 5 k Ω$ , numbriga 2 voltmeetrid takistusega $R_{2} = 55 k Ω$ .

Omavahel on ühendatud rööbiti kokku 13 plokki jadamisi ühendatuid voltmeetreid takistusega $R_{1}$ , 11 plokki jadamisi ühendatuid voltmeetreid takistusega $R_{2}$ ja veel üks plokk, milles on jadamisi ühendatud 3 voltmeetrit takisrusega $R_{1}$ ja 11 rööpühenduses voltmeetrit takistusega $R_{2}$ .

2. Elektriskeem

Joonisel kujutatud elektriskeemis on kaks ampermeetrit ja kaks ühesugust voltmeetrit. Ampermeeter $A_{1}$ näitab voolutugevust $I_{1} = 200 μ A$ , voltmeetrid näitavad pinget vastavalt $U_{1} = 100 V$ ja $U_{2} = 2 V$ . Kui suur on ampermeetri $A_{2}$ näit?

Lahendus

Kuna voltmeeter

V_{1}

on ampermeetriga

A_{1}

ühendatud jadamisi, on voolutugevus voltmeetris

A_{1} = 200 μ A

nagu ampermeetriski. Voltmeetri takistus on seega

R_{V} = \frac{U_{1}}{I_{1}}

Kuivõrd voltmeetrid on ühesugused, on ka nende takistused võrdsed. Seega voolutugevuse voltmeetris

V_{2}

saame arvutada seosest

I_{V 2} = \frac{U_{2}}{R_{V}} = \frac{U_{2} I_{1}}{U_{1}}

Voltmeeter

V_{2}

ja ampermeeter

A_{2}

on vooluringis rööbiti. Järelikult voolutugevuse ampermeetris

A_{2}

saame arvutada seosest

I_{2} = I_{1} - I_{V 2} = I_{1} - \frac{U_{2} I_{1}}{U_{1}}

Seega

I_{2} = 200 μ A (1 - \frac{2 V}{100 V}) = 196 μ A

3. Elektriskeem

Mitu korda erineb süsteemi maksimaalne ja minimaalne takistus sõltuvalt lülitite asendist? Esimene lüliti saab olla kas asendis A või B ning teine lüliti asendites C või D Kõikide takistite väärtused on $R = 1$ .

Lahendus

Asendites AC (Esimene lüliti asendis A ning teine asendis C) on süsteemi takistus R. Asendites BD on süsteemi takistus $0, 5 R$ .

Asendid AD ning BC on samaväärsed (vt joonis) omades kogutakistust $1 \frac{3}{8} R$

Seega erineb süsteemi maksimaalne ja minimaalne takistus

\frac{1 \frac{3}{8} R}{0, 5 R} = 2, 75 k o r d a

4. Kaitsmed

Rööbiti on lülitatud kaks sulavkaitset voolule $I_{M m a x} = 1 A$ ja $I_{N m a x} = 1,2 A$ takistustega vastavalt $R_{M} = 1 Ω$ ja $R_{N} = 2 Ω$ . Milline maksimaalne vool võib taolist süsteemi läbida? Milline oleks maksimaalne vool kui $I_{N m a x} = 1,7 A$ ?

Lahendus

Kuna ülesande tingimuste kohaselt vool läbi kaitsme $M$ on alati suurem kui vool läbi kaitsme $N$ (kui kumbki kaitsmetest ei ole veel läbi põlenud), siis koguvoolu kasvades põleb esmalt läbi kaitse $M$ . Koguvoolu väärtus on siis

(1 + \frac{R_{M}}{R_{N}}) I_{M m a x} = 1, 5 A

Pärast kaitsme

M

läbipõlemist läbib kogu vool kaitset

N

ja võib omandada maksimaalse väärtuse

1, 2 A

. Kuna see väärtus on väiksem kui

1, 5 A

, on maksimaalne võimalik voolu väärtus

1, 5 A

(või matemaatiliselt täpne olles - sellele väärtusele kuitahes lähedane väiksem väärtus). Juhul, kui

I_{N m a x} = 1, 7 A

saavutab vool oma maksimaalväärtuse

1, 7 A

alles pärast kaitsme läbipõlemist.

5. Lambipirnid

Kaheksa ühesugust taskulambipirni (nimipinge $4,0 V$ , nimivool $0,25 A$ ) on ühendatud joonisel näidatud viisil elektrivõrku, mille pinge on $220 V$ . Takisti tagab lampidel nimipinge. Kas lampide koguvõimsus kasvab või kahaneb, kui üks lampidest põleb läbi? Põhjendage vastust. Lampide takistuse sõltuvust hõõgniidi temperatuurist mitte arvestada.

Lahendus

Väide: Reostaadi takistus on taskulambipirnide takistusest palju kordi suurem.

Arvutused: Valime näiteks taskulambipirni nimipingega $4, 0 V$ ja nimivooluga $0, 25 A$ . Sellise pirni takistus tööolukorras on $R = U / I = 16 Ω$ . Iga lambi nimivõimsus on $1 W$ , kaheksa lambi koguvõimsus $8 W$ . Kaheksa rööpühenduses pirni kogutakistus $R^{'} = 2, 0 Ω$ . Voolutugevus vooluringis on $2, 0 A$ . Vooluringi kogutakistus on $R_{k o g u} = 110 Ω$ , millest reostaadi takistus $R = 108 Ω$ , mis on tõepoolest palju kordi suurem lampide kogutakistusest.

Väide: Kui üks lamp läbi põleb, siis muutub vooluringi kogutakistus väga vähe.

Arvutused: Postuleerime, et lambi takistus ei sõltu temperatuurist. Seitsme lambi kogutakistus on $R^{''} = 2, 29 Ω$ (ümardada pole otstarbekas). Vooluringi kogutakistus nüüd $R_{k o g u}^{'} = 110, 29 Ω$ .

Väide: Voolutugevus vooluringis muutub samuti väga vähe.

Arvutused:

I_{1} = \frac{220 V}{110, 29 Ω} = 1, 99 A

Väide: Kuna lampide kogutakistus suureneb, siis ka lampide võimsus suureneb.

Arvutused: Seitsme lambi koguvõimsus $N_{1} = 9, 1 W$ .

Väide: Kuna lampide koguvõimsus suureneb, siis muutub ka ruum valgemaks.

Arvutused: $N = I^{2} R$ Seitsme lambi koguvõimsus ( $N_{1} = 9, 1 W$ ) on suurem kaheksa lambi koguvõimsusest ( $N = 8 W$ ).

6. LI

Juku valmistas 51. koolinoorte füüsikaolümpiaadi auks LI kujulise elektrikaunistuse. Ta tegi selle valmis kahekümnest ühesugusest elektripirnist. Paraku ei teadnud Juku pirni takistust. Selle kindlakstegemiseks ühendas ta kaunistusega kaks ühesugust voltmeetrit, ampermeetri ning vooluallika (vt. joonist). Voltmeetrid näitasid pinget U₁ = 30V ja U₂ = 20V, ampermeeter näitas voolutugevust I = 75mA. Mõlemal voltmeetril on ühesugune takistus R, mille suurus pole teada. Ampermeetri takistuse loeme võrdseks nulliga. Kui suur on ühe pirni takistus ja kaunistuse poolt tarbitav võimsus?

Lahendus

Olgu ühe lambi takistus $R$ ja voltmeetri takistus $r$ . Jadamisi ühendatud kõrvalolevaid lampe saame asendada kogutakistusega. Skeemi võime ümber joonistada nii nagu joonisel näidatud.

Paneme tähele, et $I_{1} = I_{A B} = I_{C D}$ . Et

\frac{1}{R_{A} B} = \frac{1}{r} + \frac{1}{8 R} ja \frac{1}{R_{C} D} = \frac{1}{r} + \frac{1}{4 R}

siis

I_{A B} = \frac{U A B}{R_{A B}} = U_{A B} \cdot \frac{8 R + r}{8 R r} ja I_{C D} = \frac{U_{C D}}{R_{C D}} = U_{C D} \cdot \frac{4 R + r}{4 R r}

Et voolutugevused on võrdsed, saame võrduse

U_{A B} (8 R + r) = 2 U_{C D} (4 R + r)

Asendades $U_{A} B$ ja $U_{C} D$ väärtused, leiame et $r = 8 R$ . Voolutugevuse $I_{A} B$ jaoks saame nüüd

I_{A B} = U_{A B} \cdot \frac{8 R + 8 R}{8 R \cdot 8 R} ⟹ R = \frac{U_{A B}}{4 I} = 100 Ω

Leiame nüüd lampide koguvõimsuse skeemil. See on

P = 2 I_{1}^{2} \cdot 4 R + \frac{U_{1}^{2}}{8 R} + \frac{U_{2}^{2}}{4 R} = 6, 625 W

7. Lühis

Kahejuhtmelise elektri ülekandeliini ühte otsa on ühendatud alalispingeallikas, teise otsa tarviti, mille takistus on $R$ . Liini isolatsiooni vigastuse tagajärjel kasvas voolutugevus pingeallikas 2 korda, voolutugevus tarvitis kahanes 8 korda. Leidke lühise kohas kahe juhtme vahel moodustunud juhtiva sillakese takistus, kui kummagi juhtme pikkus on $l$ ja juhtme ühikulise pikkuse takistus on $ρ$ .

Lahendus

Tähistame juhtme pikkuse tarbijast kus tekkis
lühis $x$ -iga ja lühise takustuse, mida otsime $R_{l}$ -ga. Saame joonisel oleva skeemi.

Et voolutugevus läbi vooluallika suurenes 2 korda siis, oomi seadusest saame, et lühisega ahela takistus peab olema 2 korda väiksem kui lühiseta oma. Saame võrrandi:

2 ρ l + R = 2 (2 ρ (l - x) + \frac{R_{l} (2 ρ x + R)}{R_{l} + 2 ρ x + R)}

Koormisest läheb läbi $\frac{1}{8}$ esialgsest voolust ja kuna koguvool kasvas 2 korda siis läheb lühisest läbi $2 - \frac{1}{8}$ esialgsest voolust. Koormis juhtmetega lühiseni on rööbiti lühisega seega on pinged võrdsed ja oomi seadusest

U = I R = \frac{1}{8} I_{0} (R + 2 ρ x) = (2 - \frac{1}{8}) I_{0} R_{l}

Avaldame sealt

2 ρ x = 15 R_{l} - R

Asendame selle esimesse võrrandisse:

2 ρ l + R = 2 (2 ρ l + R - 15 R_{l} + \frac{16 R_{l}^{2}}{16 R_{l}})

Lihtsustame, eeldusel et $R_{l} \neq 0$ , sest muidu tuleks $2 ρ x$ negatiivne.

0 = 2 ρ l + R + (\frac{30}{16} - 30) R_{l}

R_{l} = \frac{16 (2 ρ l + R)}{16 \cdot 30 - 30}

R_{l} = \frac{8}{255} (2 ρ l + R)

8. Lüliti

Juku tahab ehitada seadet, mis elektrimootori jõul kardinaid akna ette või eest ära tõmbaks. Selleks võttis ta elektrimootori, lüliti ja suure patarei. Kasutatud lüliti võib olla kolmes asendis ja sellel on 6 klemmi. Lambi ja patareiga katsetades sai Juku teada, et erinevates asendites ( $A$ , $B$ või $C$ ) ühendab lüliti klemme kokku joonisel kujutatud viisil. Mootor muudab suunda, kui temaga ühendatud patarei klemmid ära vahetada. Kuidas peaks ühendama lüliti, patarei ja mootori, et lüliti erinevate asendite korral pöörleks mootor ühtepidi, teistpidi või oleks paigal? Joonistage kaks elektriskeemi, kus on lülitit erinevalt kasutatud.

Lahendus

Võimalikud ühendamisviisid on toodud joonisel.

9. Mõõteriistad

Vooluringis on ampermeeter ja voltmeeter ühendatud jadamisi. Klemmidele on rakendatud pinge $9 V$ . Kui voltmeetriga ühendada rööbiti takisti $R$ , väheneb voltmeetri näit kaks korda, ampermeetri näit aga suureneb kaks korda. Kui suurt pinget näitas voltmeeter enne ja pärast takisti ühendamist?

Lahendus

Olgu alguses pinge ampermeetril $U_{A}$ ja pinge voltmeetril $U_{V}$ . Jadaühenduse korral kehtib $U_{A} + U_{V} = 9$ .

Peale takisti lisamist suurenes ampermeetri näit 2 korda, seega teda läbiv voolutugevys suurene 2 korda, järelikult ka pinge ampermeetril suurenes kaks korda ja oli $2 U_{A}$ . Pinge voltmeetril aga vähenes kaks korda ja oli $0, 5 U_{V}$ . Et voltmeeter ja takisti olid ühendatud rööbiti, siis kogupinge nelles vooluringi osas on samuti $0, 5 U_{V}$ ning kogu vooluringi jaoks saame

2 U_{A} + 0, 5 U_{V} = 9 V

Lahendades kahest võrrandist koosneva võrrandisüsteemi, saame

U_{A} = 3 V

U_{V} = 6 V

. Seega alguses oli pinge voltmeetril

6 V

, lõpus aga kaks korda väiksem ehk

3 V

10. Must kast

Kui joonisel näidatud musta kasti klemmide A ja B külge ühendada patarei pingega $U$ ja klemmide C ja D külge voltmeeter, on voltmeetri näit $U$ . Kui ühendada sama patarei klemmide C ja D külge ning voltmeeter klemmide A ja B külge, on voltmeetri näit $\frac{U}{2}$ . Teades, et mustas kastis on ainult identsed takistid, joonistage musta kasti skeem!

Lahendus

Võimalik sobiv skeem on näidatud joonisel.

Kui klemmide $A$ ja $B$ külge ühendada patarei ja klemmide $C$ ja $D$ külge voltmeeter, siis läbi takisti $R_{2}$ vool ei lähe; kogu pinge on voltmeetril, mis näitab $U$ .

Kui aga patarei ühendada klemmide $C$ ja $D$ külge ja voltmeeter klemmide $A$ ja $B$ külge, jaotub pinge $U$ võrdselt takistite $R_{1}$ ja $R_{2}$ vahel. Voltmeeter näitab $\frac{U}{2}$ .
.

11. Skeem

Leidke joonisel toodud mõõteriistade näidud. Vooluallika pinge on $U$ , kõikide takistite takistused on $R$ ning mõõteriistad on ideaalsed.

Lahendus

Kirjutades skeemi teisiti on näha, et voltmeetriga jadamisi olevad takistid ei mõjuta tulemust, seega vooluringi kogutakistus on $4 R$ . Ampermeetri näit on seega $I = \frac{U}{4 R}$ .

Voltmeeter mõõdab pinget kahel takistil kokku, seega voltmeetri näit on $U = \frac{U}{4 R} \cdot 2 R = \frac{U}{2}$ .

12. Skeem

Joonisel näidatud skeemi sisendile on rakendatud pinge U. Kõigi takistite takistus on võrdselt R. Kui suur on voltmeetri näit U_V , kui: a) voltmeeter on ideaalne (selle takistus on lõpmata suur); b) voltmeetri takistus on R_V ?

Lahendus

Takisti $R_{1}$ võime mõlemal juhul skeemist välja jätta, kuna pinge temast vahetult paremal, mis on ka $U$ , on samaväärselt loetav algandmete hulka.

a) Ideaalset voltmeetrit vool ei läbi. Seega on takisteis $R_{4}$ ja $R_{5}$ voolutugevus 0. Ohmi seaduse järgi on null neil ka pinge. Nad on samaväärsed juhtiva traadijupiga ning voltmeeter näitab pingelt takistil $R_{3}$ . $R_{2}$ ja $R_{3}$ on jadaühenduses, niisiis läbib takistit $R_{3}$ voolutugevusega $I_{3} = \frac{U}{R_{2} + R_{3}} = \frac{U}{2 R}$ ja temal on pinge $U_{V} \equiv U_{3} = I_{3} R_{3} = \frac{U}{2}$ .

b) Pinge $R_{3}$ -l ( $U_{3}$ ), langeb ka $R_{4}$ , voltmeetri ( $R_{V}$ ) ja $R_{5}$ jadaühendusele, mida läbigu vool $I_{4}$ . Voolutugevus $R_{3}$ -s,

I_{3} = \frac{U_{3}}{R_{3}} = \frac{I_{4} (R_{4} + R_{V} + R_{5})}{R_{3}} = \frac{I_{4} (2_{R} + R_{V})}{R}

Et sõlmpunktidesse laengut ei koguneks, peab $R_{2}$ läbima sama vool mis $R_{3}$ ja $R_{4}$ kokku. $U$ on $R_{2}$ -l ja $R_{3}$ -l mõõdetavate pingete summa.

U = (I_{3} + I_{4}) R_{2} + I_{3} R_{3} = I_{3} (R_{2} + R_{3}) + I_{4} R_{2} =

= I_{4} [2 (2_{R} + R_{V}) + R] = I_{4} (5 R + 2 R_{V})

Seesama $I_{4}$ läbib ka voltmeetrit; voltmeetri näiduks on pinge tema väljaviikudel ehk

U_{V} = I_{4} R_{V} = \frac{U R_{V}}{5 R + 2 R_{V}}

.
.

13. Takistid

Leidke minimaalne takistusega $r = 10 Ω$ takistite arv, millest saab moodustada ahelat kogutakistusega $R = 34 Ω$ . Joonistage vastav ahela skeem.

Lahendus

Kui me ühendame jadamisi 2, 3, 4, ... takisteid, saame me ahela kogutakistusega vastavalt $20 Ω$ , $30 Ω$ , $40 Ω$ , ... . Seega otsitav ühendus ei saa olla ainult takistite jadaühendus.

Kui me ühendame omavahel rööbiti 2, 3, 4, 5, ... takisteid, saame me ahela kogutakistusega vastavalt $5 Ω, 3, 0 (3) Ω, 2, 5 Ω, 2 Ω$ , ... . Järelikult on võimalik ehitada otsitav ahel kolmest jadamisi ühendatud takistist ja kahest nendega jadamisi ühendatud viieharulisest rööpühendusest takistusega $2 Ω$ igaüks. See annaks takistite arvuks $3 + 2 \cdot 5 = 13$ . Aga kuna küsitud on minimaalset takistite arvu, siis peame uurima, kas ei saa otsitud kogutakistust saavutada ka väiksema takistite hulgaga.

On selge, et ahel peab sisaldama selliseid rööpühendusi, kus vähemalt ühes harus on rohkem kui üks takisti. Seega peab meie ahel koosnema kas kolmest jadamisi ühendatud takistist ja ühest segaühendusest kogutakistusega $4 Ω$ või kahest jadamisi ühendatud takistist ja ühest segaühendusest kogutakistusega $14 Ω$ . Esimesel juhul saame jooniselt nähtava vastuse ehk siis 7-st takistist koosneva ahela. Tõepoolest, selle ahela takistus on

R = r + r + r + \frac{(r / 2) \cdot 2 r}{r / 2 + 2 r} = 30 + \frac{100}{25} = 34 Ω

Kontrollides, leiame, et 5 takistiga $14 Ω$ -se kogutakistusega segaühendust ehitada ei saa, seega vastuseks jääb esimene variant ja 7 takistit.

14. Takistite ühendused

Antud on kolm takistit väärtustega $R_{1} = 1 Ω$ , $R_{2} = 2 Ω$ ja $R_{3} = 3 Ω$ . Milliseid erinevaid kogutakistuse väärtusi võib saada neid omavahel kahe- või kolmekaupa kõikvõimalikel viisidel ühendades?

Lahendus

Võimalikud ühendused ja vastavad takistused ( $\times$ tähistab jadaühendust, $∥$ - rööpühendust):

R_{1} \times R_{2} = 3 Ω, R_{1} \times R_{3} = 4 Ω, R_{2} \times R_{3} = 5 Ω, R_{1} \times R_{2} \times R_{3} = 6 Ω

R_{1} ∥ R_{2} = \frac{2}{3} Ω, R_{1} ∥ R_{3} = \frac{3}{4} Ω, R_{2} ∥ R_{3} = \frac{6}{5} Ω, R_{1} ∥ R_{2} ∥ R_{3} = \frac{6}{11} Ω

(R_{1} ∥ R_{2}) \times R_{3} = \frac{11}{3} Ω, (_{R} 1 ∥ R_{3}) \times R_{2} = \frac{11}{4} Ω, (R_{2} ∥ R_{3}) \times R_{1} = \frac{11}{5} Ω

(R_{1} \times R_{2}) ∥ R_{3} = \frac{3}{2} Ω, (R_{2} \times R_{3}) ∥ R_{1} = \frac{5}{6} Ω, (R_{1} \times R_{3}) ∥ R_{2} = \frac{4}{3} Ω

15. Traadijupp

Traadijupp lõigati viieks tükiks ja tükid ühendati omavahel rööbiti. Mitu korda muutus traadi takistus?

Lahendus

Takistuse definitsioonist $R = ρ l / S$ , kus $ρ$ on juhtme eritakistus, $l$ on juhtme pikkus ja $S$ on juhtme ristlõike pindala. Kuna traadijupp sai lõigatud viieks võrdseks tükiks, siis iga tüki pikkus on $l_{1} = l / 5$ .

Kuna traadijupi ristlõike pindala ja eritakistus tükkideks lõikamise käigus ei muutunud, siis on iga tüki takistus $R_{1} = R / 5$ . Teame, et takistite rööpühendamisel avaldub süsteemi summaarne takistus valemina

1 / R_{S} = 1 / R_{1} + \dots + 1 / R_{n}

Meie ülesande puhul on kõik takistid võrdse takistusega, seega

1 / R_{S} = 5 / R_{1} = 25 / R

kust

R_{S} / R = 1 / 25

Järelikult kogu süsteemi takistus vähenes 25 korda.

16. Traat

Nikeliintraat pikkusega $16 m$ ja ristlõikepindalaga $0,8 m m^{2}$ tükeldati võrdseteks osadeks ja ühendati need rööbiti. Mitmeks tükiks traat lõigati, kui rööpühenduse takistus oli $0,5, Ω$ ? Nikeliini eritakistus on $0,40 Ω \cdot m m^{2} / m$ .

Lahendus

Tähistused: $L = 16 m$ - nikeliintraadi pikkus; $S = 0, 8 m m^{2}$ - nikeliintraadi ristlõikepindala; $n$ - juhtmeosade arv; $L_{1}$ - ühe juhtmeosa pikkus; $R = 0, 5 Ω$ - ahela kogutakistus; $ρ = 0, 40 Ω \cdot m m^{2} / m$ - nikeliini eritakistus.

Lahendus: Rööpühenduse korral

\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \dots + \frac{1}{R_{n}}

Kui

R_{1} = R_{2} = \dots = R_{n}

, siis omandab valem kuju

R = R_{1} / n

. Ühe juhtmeosa pikkuse saab leida valemist

R = ρ \frac{L}{S} \Rightarrow L_{1} = \frac{R_{1} S}{ρ}

Arvestades, et

R_{1} = n R

L_{1} = L / 2

, saame

\frac{L}{n} = \frac{n R S}{ρ}, n^{2} = \frac{L ρ}{R S} = 16 \Rightarrow n = 4

Vastus: traat tükeldati neljaks osaks.

17. Traatraam

Arvutada joonisel kujutatud traatraamistiku takistus punktide $A$ ja $B$ vahel, kui $10 c m$ pikkuse traaditüki takistus on $1 Ω$ ja ringi raadius on $10 c m$ .

Lahendus

Tähistused: $R_{1}$ - traadilõigu takistus punktide $A$ ja $C$ vahel mööda ringjoont; $R_{2}$ - traadilõigu takistus punktide $A$ ja $C$ vahel mööda diameetrit; $R_{3}$ - traadilõigu takistus punktide $C$ ja $B$ vahel mööda ringjoont; $R_{4}$ - traadilõigu takistus punktide $A$ ja $B$ vahel mööda ringjoont; $δ$ - traadi joontakistus.

Antud: $R_{0} = 1 Ω$ - $10 c m$ pikkusega traadilõigu takistus; $r = 10 c m$ - traatraami raadius.

Lahendus: Ülesande lahendamiseks joonistame traatraami ekvivalentse elektriskeemi, kus traatraami küljed on asendatud takistitega . Leiame traadi joontakistuse:

δ = \frac{R_{0}}{L} = \frac{1}{10} = 0, 1 Ω / c m

Arvutame nüüd takistite takistused:

R_{1} = δ π r = 0, 1 \cdot 3, 14 \cdot 10 = 3, 14 Ω

R_{2} = δ \cdot 2 r = 0, 1 \cdot 2 \cdot 10 = 2 Ω

R_{3} = R_{4} = R_{1} / 2 = 3, 14 / 2 = 1, 57 Ω

Takistus punktide

A

C

vahel on

R_{A C} = \frac{R_{1} \cdot R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = 1, 22 Ω

Kogutakistus punktide

A

B

vahel on

R = \frac{(R_{A C} + R_{3}) \cdot R_{4}}{R_{A C} + R_{3} + R_{4}} \approx 1 Ω

18. Vaskrõngas

Vasktraadist rõngas ühendatakse vooluringi punktide $A$ ja $B$ kaudu. Rõnga ümbermõõt $l = 60 cm$ , traadi läbimõõt $d = 0,1 mm$ ja eritakistus $ρ = 0, 017 Ω \cdot m m^{2} / m$ . Kui suur on punktide $A$ ja $B$ vaheline pinge, kui rõnga lühema kaare pikkus on $1 / 3$ rõnga ümbermõõdust ja voolutugevus rõngast vooluallikaga ühendavates juhtmetes $I = 0,2 A$ ?

Lahendus

Rõnga takistus $R_{\circ} = ρ \frac{l}{S}$ . Traadi ristlõikepindala on $S = \frac{π d^{2}}{4}$ . Seega

R_{\circ} = \frac{4 ρ l}{π d^{2}}

mis teeb rõnga takistuseks

R_{\circ} = 1, 30 Ω

Rõnga osade takistused on vastavalt 2/3 ja 1/3 sellest takistusest ehk $R_{1} = 0, 87 Ω$ ja $R_{2} = 0, 43 Ω$ . Kuna rõnga kaared kui takistid on elektriliselt ühendatud rööbiti, siis vooluringi kogutakistus

R = \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}}

Arvuliselt $R = 0, 29 Ω$ . Lähtudes Ohmi seadusest saame pinge rõnga punktide $A$ ja $B$ vahel $U = I R$ ehk $U = 0, 06 V$ .

19. Vasktraat

Vasktraat, mille ristlõikepindala on $0, 5 m m^{2}$ , jagati 7 võrdse pikkusega tükiks. Ühendades saadud tükid rööbiti, saadi $1 Ω$ suurune takisti. Milline oli traadi kogupikkus? Vase eritakistus on $0, 017 Ω \cdot m m^{2} / m$ .

Lahendus

Olgu traadi esialgne pikkus $L$ . Jagades traati $n$ võrdseks tükiks, saame iga traaditüki takistuseks

r = ρ L / n S

Kui ühendada rööbiti

n

takistit võrdse takistusega

r

, siis on saadud ahela kogutakistus

R = r / n = ρ L / n^{2} S

Siit avaldame traadi pikkuse:

L = \frac{n^{2} S R}{ρ} = \frac{7^{2} \cdot 0, 5 \cdot 1}{0, 017} \approx 1440 m

20. Voltmeeter

Vooluallikaga on jadamisi ühendatud voltmeeter ja reostaat. Kui reostaadi takistust vähendada kolm korda, suureneb voltmeetri näit kaks korda. Mitu korda suureneb voltmeetri näit, kui reostaadi takistus vähendada nullini?

Lahendus

Olgu

U

vooluallika pinge,

R

reostaadi pinge ja

R_{V}

voltmeetri takistus. Jadaühendusel takistused liituvad ning voolutugevus vooluringis on

I = \frac{U}{R_{v} + R}

. Voltmeetri näit

U_{0} = I R_{V} = \frac{U R_{V}}{R_{V} + R}

. Kui reostaadi takistust vähendada kolm korda, siis on voltmeetri nait

U_{1} = \frac{U R_{v}}{R_{v} + \frac{R}{3}}

Leiame seosest

\frac{U_{1}}{U_{0}} = \frac{\frac{U R_{v}}{R_{v} + \frac{R}{3}}}{\frac{U R_{v}}{R_{v}} + R} = \frac{R_{v} + R}{R_{v} + \frac{R}{3}} = 2

voltmeetri takistuse, mis on

R_{V} = \frac{1}{3} R

. Reostaadi takistuse vähendamisel nullini on voltmeetri näit

U_{2} = \frac{U R_{V}}{R_{v}} = U

. Asendades seosesse voltmeetri takistuse ja võttes pingete suhte, saame voltmeetri näidu, kui reostaadi takistus on null:

\frac{U_{2}}{U_{0}} = \frac{U}{\frac{U R_{v}}{R_{v} + R}} = \frac{\frac{4}{3} R}{\frac{1}{3} R} = 4

Kui reostaadi takistus on null, näitab voltmeeter neli korda suuremat pinget.

21. Vooluring

Joonisel on toodud vooluring, milles on kaks voltmeetrit takistustega vastavalt $R_{1} = 6000 Ω$ ja $R_{2} = 4000 Ω$ , ning reostaat takistusega $R_{0} = 10000 Ω$ . Kui suurt pinget näitab kumbki voltmeeter, kui reostaadi liugkontakt jaotab reostaadi mähise pooleks, lüliti on suletud ning pinge reostaadi otstel $U = 100 V$ ?

Lahendus

Tähistused: voltmeetrite $V_{1}$ ja $V_{2}$ takistused vastavalt $R_{1}$ ja $R_{2}$ ning reostaadi takistus $R_{0}$ . Vooluringi võib kujutada järgmise skeemiga: Voltmeeter $V_{1}$ näitab pinget suurusega $U_{A B} = I \cdot R_{A B}$ ja voltmeeter $V_{2}$ näitab pinget $U_{B C} = I \cdot R_{B C}$ .

Voolutugevuse $I$ saab leida, kui jagada pinge reostaadi otstel ( $U$ ) vooluahela kogutakistusega ( $R_{A C} = R_{A B} + R_{B C}$ ):

I = \frac{U}{R_{A C}} = \frac{U}{R_{A B} + R_{B C}}

Kuna takistid

R_{1}

0, 5 R_{0}

R_{2}

0, 5 R_{0}

paiknevad paaridena rööpühenduses, siis saab takistite paaride kogutakistused

R_{A B}

R_{B C}

arvutada välja järgmiste valemitega:

\frac{1}{R_{A B}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{2}{R_{0}}

R_{A B} = \frac{R_{0} R_{1}}{R_{0} + 2 R_{1}} = \frac{30000}{11} Ω

\frac{1}{R_{B C}} = \frac{1}{R_{2}} + \frac{2}{R_{0}}

R_{A B} = \frac{R_{0} R_{2}}{R_{0} + 2 R_{2}} = \frac{20000}{9} Ω

Seega vooluahela kogutakistus

R_{A C}

R_{A C} = R_{A B} + R_{B C} = \frac{490000}{99} Ω

Voolutugevus

I

I = \frac{U}{R_{A C}} = \frac{99}{4900} A

Voltmeeter

V_{1}

näitab pinget

U_{A B} = I R_{A B} \approx 55 V

ja voltmeeter

V_{2}

näitab pinget

U_{B C} = I R_{B C} \approx 45 V

22. Vooluring

On antud vooluallikas, kolm lampi, kaks lülitit ja ühendusjuhtmed. Koostage vooluring, et kui mõlemad lülitid on suletud, põlevad kõik lambid, kui üks lüliti avada, siis ühe lambi heledus suureneb ja ühe lambi heledus väheneb.

Lahendus

Meie poolt väljapakutav skeem on toodud joonisel. Selle skeemi kohaselt, kui mõlemad lülitid on suletud, siis kõik lambid põlevad, kusjuures parempoolsed lambid neli korda nõrgema võimsusega (nõrgemalt) kui vasakpoolne, kuna neid läbib vaid pool sellest voolust, mis läbib vasakpoolset lampi. Seega on ülesande esimene tingimus täidetud.

Kui alumine lüliti välja lülitada, siis parempoolne ülemine lamp kustub. Paneme tähele, et ülesande tekstis ei ole ühe lambi käitumise kohta mingeid lisanduvaid nõudeid esitatud peale selle, et ta mõlema lüliti suletuse korral põleb.

Alumise lüliti väljalülitamisel ülemine parempoolne lamp kustub ja alumised kaks lampi jäävad põlema ühetugevuselt, kuna eeldatavasti kõik lambid on omadustelt võrdsed, on vool neil sama ja seega ka pingelangud võrdsed. Kuna aga koguvooluringi takistus eelpool kirjeldatud väljalülitamise käigus kasvas, siis vasakpoolse alumise lambi heledus vähenes seetõttu, et vool vähenes ja parempoolse alumise lambi heledus kasvas, kuna teda läbib peale lüliti väljalülitamist tugevam vool.

23. Vooluring

Joonisel kujutatud skeemis asub seadeldis, mis muudab takistust punktide $A$ ja $B$ vahel selliseks, et ampermeetri näit oleks null. Leidke pinge takistil $R 3$ . On teada, et $U = 5 V$ , $R_{1} = 10 Ω$ , $R_{2} = 1 k Ω$ , $R_{3} = 100 k Ω$ , $R_{4} = 4, 99 k Ω$ .

Lahendus

Ampermeeter ühendab takistid $R_{1}$ ja $R_{2}$ paralleelselt kokku, järelikult on neil alati sama pinge. Ohmi seaduse kohaselt $I_{1} R_{1} = I_{2} R_{2}$ , kus $I_{1}$ ja $I_{2}$ on voolutugevused vastavalt $R_{1}$ -s ja $R_{2}$ -s.

Kui ampermeetri näit on null, ei läbi teda vool, mistõttu on kõik voolud ja pinged ülejäänud skeemis sellised, nagu ampermeetrit ei olekski. See tähendab, et võime ampermeetri skeemist lahti ühendada ilma ühtki voolu ega pinget muutmata. Saadavas skeemis on takistid $R_{1}$ ja $R_{4}$ lihtsas jadaühenduses:

I_{1} = \frac{U}{R_{1} + R_{4}}

Samuti on uues skeemis jadaühenduses

R_{2}

R_{3}

, neis on võrdne voolutugevus,

I_{2} = I_{3}

. Otsitav pinge takistil

R_{3}

avaldub siis Ohmi seadusest.

U_{3} = I_{3} R_{3} = I_{2} R_{3} = \frac{I_{1} R_{1}}{R_{2}} R_{3} = \frac{U R_{1} R_{3}}{(R_{1} + R_{4}) R_{2}} = 1 V

24. Vooluring

On antud vooluallikas, kaks ampermeetrit, kolm lampi, lüliti ja ühendusjuhtmed. Koostage vooluringi skeem, nii et lüliti avamisel ei katkeks vooluringis vool, kuid väheneks ühe ampermeetri näit ja suureneks teise ampermeetri näit.

Lahendus

Üks võimalik lahendus.

25. Voolutugevused

Kui suur on voolutugevuste suhe joonisel näidatud takistites, kui pinge vooluallika B klemmidel on kaks korda suurem kui pinge vooluallika A klemmidel? Takistite takistused on $R_{2} = 2 R_{1}$ .

Lahendus

Voolugingi kummagi osa võib vaadelda iseseisvana. Seega on voolutugevus mõlemas takistis sama väärtusega.

1.10 Elekter, võimsus

1. Küttekeha

Juku tahab endale ehitada võimalikult võimsat veekeetjat. Selleks on tal küttekeha alusplaat, millele saab ühendada takisteid nagu näidatud joonisel, ja 4 takistit, mille takistused on $30 Ω, 20 Ω, 15 Ω$ ja $10 Ω$ . Kuidas peaks ta takistid plaadil olevatesse pesadesse paigutama, et saavutada maksimaalne võimsus, kui seadet toidetakse pingega $230 V$ , ja pinge rakendatakse kontaktide $A$ ja $B$ vahele? Kui suur on see maksimaalne võimsus?

Lahendus

Võimsus konstantse pingeallika korral on $P = U I = \frac{U^{2}}{R}$ . Seega tuleb maksimaalse võimsuse jaoks takistus minimeerida. Ahela takistus on leitav kui:

R = R_{1} + \frac{1}{\frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3} + R_{4}}}

Parim kombinatsioon on: $R_{1} = 10 Ω, R_{2} = 15 Ω, R_{3} = 20 Ω$ ja $R_{4} = 30 Ω$ .

Selle korral on takistuseks $R \approx 21, 5 Ω$ ja võimsus $P \approx 2, 46 k W$ .

2. Pirnid

Urmol oli neli pirni, neist kolm ühesugused. Kui Urmo ühendas pirnid joonisel kujutatud viisil tundmatu pingeallikaga, põlesid nad kõik sama võimsusega. Pirnil 1 oli kirjas “10 W”. Mis oli kirjas pirnidel 2, kui on teada, et kõik pirnid on sama nimipingega? Lambi takistuse sõltuvusega temperatuurist mitte arvestada.

Lahendus

Olgu pirni 1 takistus $R_{1}$ , pirni 2 takistus $R_{2}$ ja pingeallika pinge $U$ . Siis pirni 1 pinge on $U$ ja pirnidel 2 igaühel pinge $\frac{U}{3}$ . Teades, et

P = \frac{U^{2}}{R_{1}} = \frac{{(\frac{U}{3})}^{2}}{R_{2}}

saame, et $R_{1} = 9 R_{2}$ . Võrdse nimipinge korral on nimivõimsused takistusega pöördvõrdelised, järelikult $P_{2} = 9 P_{1} = 90 W$ .

3. Traadist rõngas

Traadist rõngas on ühendatud vooluringi nii, et ühenduskohad jaotavad rõnga osadeks 1:2. Seejuures eraldub rõngal elektriline võimsus $P = 100 W$ . Kui suur elektriline võimsus eraldub rõngal siis, kui rõngas ühendada vooluringi nii, et ühenduskohad jaotaksid rõnga kaheks võrdseks osaks ja pinge ühenduskohtade vahel oleks sama, mis esimeses katses?

Lahendus

Olgu rõnga pikkus $l$ .
(1) Esimesel juhul jaotavad ühenduskohad rõnga osadeks 1:2, ehk $l_{1} = \frac{l}{3}$ ja $l_{2} = 2 \frac{l}{3}$ . Rõnga osade $l_{1}$ ja $l_{2}$ elektritakistuste arvutamiseks kasutatakse valemit: $R = ρ \frac{l}{S}$ . Siis $R_{1} = ρ \frac{l_{1}}{S} = ρ \frac{l}{3 S}$ ja $R_{2} = ρ \frac{l_{2}}{S} = 2 ρ \frac{l}{3 S}$ . Rõnga osad $l_{1}$ ja $l_{2}$ paiknevad vooluringis rööbiti, seega tuleb rõnga kogutakistus R arvutada valemist:

\frac{1}{R_{(1)}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} = \frac{9 S}{2 ρ l} ⟹ R_{(1)} = \frac{2 ρ l}{9 S}

(2) Arvutame rõnga takistuse teisel juhul, kui ühenduskohad jaotavad rõnga kaheks võrdseks osaks $l_{1} = l_{2} = \frac{l}{2}$ , siis $R_{1} = R_{2} = ρ \frac{l}{2 S}$ . Traatrõnga kogutakistus:

\frac{1}{R_{(2)}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} = \frac{2}{R_{1}} = \frac{4 S}{ρ l} ⟹ R_{(2)} = \frac{ρ l}{4 S}

Elektriline võimsus: $P = \frac{U^{2}}{R}$ . Kuna on teada, et pinge $U$ rõnga ühenduskohtade vahel on mõlemal juhul samasugune, võib kirjutada: $P_{(1)} R_{(1)} = P_{(2)} R_{(2)}$ . Järelikult

P_{(2)} = \frac{P_{(1)} R_{(1)}}{R_{(2)}} = \frac{100 \cdot 8 ρ l S}{9 ρ l S} = \frac{800}{9} \approx 90 W

4. Takistite võimsused

Vooluallikaga muutumatu pingega $U$ ühendati kaks takistit. Kui takistid olid ühendatud jadamisi, oli voolu võimsus vooluringis $2 W$ . Kui takistid olid ühendatud rööbiti, oli voolu võimsus vooluringis $9 W$ . Arvuta voolu võimsus nendel kahel juhul, kui sama vooluallikaga on ühendatud ainult üks või teine takisti.

Lahendus

Voolu võimsus $N = \frac{U^{2}}{R}$
Kogutakistus jadaühendusel $R = R_{1} + R_{2}$
Kogutakistus rööpühendusel $R = \frac{R_{1} \cdot R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$
Võimsus jadaühendusel $N_{j} = \frac{U^{2}}{R_{1} + R_{2}} = 2 W$
Võimsus rööpühendusel $N_{r} = \frac{U^{2} (R_{1} + R_{2})}{R_{1} \cdot R_{2}} = 9 W$
Leiame seostest kummagi takistuse väärtused $R_{1} = \frac{U^{2}}{3} Ω$ ja $R_{1} = \frac{U^{2}}{6} Ω$
Siit voolu võimsused, kui on vooluringi ühendatud ainult üks takisti $N_{1} = \frac{U^{2}}{R_{1}} = 3 W$ ja $N_{1} = \frac{U^{2}}{R_{2}} = 6 W$ .

5. Elektriküünlad

Miku ehtis jõulude ajal kuuse elektriküünaldega, milles jadamisi oli ühendatud $20$ lampi nimepingega $12 V$ ja nimivõimsusega $15 W$ . Paari päeva pärast põles üks lampidest läbi. Kuna Mikul samasugust lampi ei olnud, asendas ta läbipõlenud lambi ema ömblusmasina lambiga, mille nimivöimsus oli samuti $15 W$ , kuid nimipinge $220 V$ . Mitu korda muutus lambi vahetuse tõttu elektrivoolu võimsus teistes lampides ning millise eredusega põlesid pärast lambi vahetust teised lambid? Pinge elektriküünalde pistiku otstel oli $220 V$ . Eeldada, et lambi takistus ei sõltu temperatuurist ja pingest.

Lahendus

Esialgu on tegelik pinge iga lambi klemmidel $U_{t} = \frac{U}{n} = \frac{220 V}{20} = 11 V$ .
Kuna pinge lambil on väiksem nimipingest, on voolu võimsus lambis väiksem lambi nimivõimsusest. Lähtudes seosest $N = \frac{U^{2}}{R}$ leiame voolu võimsuse töötavates elektriküünalde lampides.

\frac{N_{t 1}}{N_{1}} = \frac{U_{t 1}^{2} R}{R U_{1}^{2}} \Rightarrow N_{t 1} = \frac{N_{1} U_{t 1}^{2}}{U_{1}^{2}} = 12, 6 W

.
Leiame

12 V

220 V

lampide takistused:

R = \frac{U^{2}}{N}; R_{1} = \frac{12^{2} V^{2}}{15 W} = 9, 6 Ω R_{2} = \frac{220^{2} V^{2}}{15 W} = 3227 Ω

Pärast ühe lambi vahetust on jadamisi ühendatud lampide kogutakistus

R = n R_{1} + R_{2}, R = 19 \cdot 9, 6 Ω + 3227 Ω = 3410 Ω

Voolutugevus lampides on

I = \frac{U}{R} = \frac{220 V}{3410 Ω} = 0, 065 Ω

Voolu võimsus $12 V$ nimipingega lambis on sel juhul $N_{t 1} = I^{2} R_{1}, N_{t 2} = (0, 065 A)^{2} \cdot 9, 6 Ω = 0, 04 W$ .
Voolu võimsus lampides vähenes seega

\frac{N_{t 1}}{N_{t 2}} = \frac{12, 6 W}{0, 04 W} = 315 korda .

Kuna $12 V$ nimipingega lampides vähenes voolu võimsus $315$ korda ja on $15 W$ asemel ainult $0, 04 W$ , siis ilmselt lampide hõõgniidid isegi ei hõõgu ning põleb ainult $220 V$ nimipingega lamp, kuna selles on voolu võimsus.

N^{'} = 0, 065^{2} \cdot 3227 = 13, 6 W

6. Takistid

On kaks takistit. Kui ühendada alalispinge-allikaga eraldi esimene takisti, siis sellel eraldub võimsus $P_{1} = 10 W$ . Kui ühendada eraldi teine takisti, siis takistil eraldub võimsus $P_{2} = 15 W$ . Kui suur summaarne võimsus eraldub pingeallikaga ühendatud takistitel, kui nad ühendada omavahel: $a)$ rööbiti; $b)$ jadamisi?

Lahendus

Olgu vooluallika pinge $U$ , takistite takistused $R_{1}$ ja $R_{2}$ . Vastavalt ülesande tingimustele

P_{1} = \frac{U^{2}}{R_{1}} ja P_{2} = \frac{U^{2}}{R_{2}}

a)

Rööpühenduse korral on mõlemal takistil pinge

U

, seega takistitel eraldub võimsus vastavalt

\frac{U^{2}}{R_{1}} = P_{1} ja \frac{U^{2}}{R_{2}} = P_{2}

kokku saame

P = P_{1} + P_{2} = 25 W

b)

Avaldame takistused võimsuste kaudu

R_{1} = \frac{U^{2}}{P_{1}}, R_{2} = \frac{U^{2}}{P_{2}}

Jadaühenduses on kogutakistus

R = R_{1} + R_{2}

ning koguvõimsus seega

P = \frac{U^{2}}{R} = \frac{U^{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{U^{2}}{\frac{U^{2}}{P_{1}} + \frac{U^{2}}{P_{2}}} = \frac{1}{\frac{1}{P_{1}} + \frac{1}{P_{2}}} = 6 W

7. Elektripirn

Elektripirn nominaalvõimsusega $N = 3 W$ ühendatakse patareiga, mille pinge on $U_{1} = 1, 5 V$ . On teada, et kui voolutugevus põlevas elektripirnis ületab $I = 5, 8 A$ , siis pirn põleb läbi. Kert tahab lambi põlema panna, kuid paraku on tal olemas ainult patarei pingega $U_{2} = 4, 5 V$ ning peale selle veel vasktraadi tükk ristlõikepindalaga $S = 0, 9 m m^{2}$ . Kui pikk vähemalt peab olema traat, et pirn ei põleks läbi? Kuidas peab ta traaditükki kasutama pirni läbipõlemise vältimiseks? Vase eritakistus on $ρ = 0, 018 \frac{Ω \cdot m m^{2}}{m}$ .

Lahendus

Lähtudes võimsuse valemist

P = \frac{U^{2}}{R}

leiame, et pirni takistus on

R = \frac{U_{1}^{2}}{P} = 0, 75 Ω

Ühendame pirni ja traati jadamisi. Kui nüüd pirni läbib maksimaalne vool

I = 5, 8 A

, siis pirnil tekib pinge

U_{P} = I R = 4, 35 V

. Seega traadil peab tekkima pinge

U_{T} = U_{2} - U_{P} = 0, 15 V

See vastab takistusele

R_{T} = \frac{U T}{I} = 0, 026 Ω

Valemist $R = ρ \frac{l}{S}$ leiame, et

l = \frac{S R}{ρ} = 1, 3 m

8. Elektrikamin

Elektrikamin võimsusega $6 k W$ hoidis toas temperatuuri $16^{\circ} C$ . Kui pandi tööle ka radiaator võimsusega $1 k W$ , tõusis temperatuur $22^{\circ} C$ -ni. Milline on õhutemperatuur õues? Eeldada, et ajaühikus ülekantav soojushulk on võrdeline temperatuuride vahega.

Lahendus

$N_{1} = k (t_{1} - t_{˜ o}$ ), kus $k$ on tundmatu võrdetegur, $N_{1}$ on kaminalt eralduv soojus, $N_{2}$ on radiaatorilt eralduv soojus.

N_{1} + N_{2} = k (t_{2} - t_{˜ o})

Idee võrdetegurist

k

vabanemiseks:

\frac{N_{1}}{N_{1} + N_{2}} = \frac{t_{1} - t_{˜ o}}{t_{2} - t_{˜ o}}

Võrrandist

t_{˜ o}

avaldamine:

t_{˜ o} = - 20^{\circ} C

9. Maamaja

Maamaja on elektrijaotuspunktiga ühendatud $2$ kilomeetri pikkuse alumiiniumtraadist elektriliiniga. Traadi ristlõikepindala on $S = 20 m m^{2}$ . Pinge elektrijaotuspunktis elektriliini otstes on $U = 220 V$ . Majas lülitati tööle elektripliidi küttekeha, mille võimsus $220 V$ pinge korral on $P = 1000 W$ . Pliit töötas $t = 45 m i n$ . Kui palju tuleb maksta elektrienergia kasutamise eest, kui elektrienergia tariif on $γ = 1, 05 \frac{E E K}{k W h}$ ? Küttekeha takistuse sõltuvust temperatuurist pole vaja arvestada. Alumiiniumi eritakistus on $ρ = 0, 028 \frac{Ω \cdot m m^{2}}{m}$ .

Lahendus

Pliidi küttekeha takistus

R_{1} = \frac{U^{2}}{P} = 48, 4 Ω

Elektriliini traadi kogupikkus on

l = 2 \cdot 2000 m = 4000 m

ja kogutakistus

R_{2} = ρ \frac{l}{S} = 5, 6 Ω

Voolutugevus

I = \frac{U}{R_{1} + R_{2}} = 4, 1 A

Küttekehal soojusena eralduv elektriline võimsus

P_{1} = I^{2} R_{1} = 814 W

Tarbitud elektrienergia kogus on

0, 814 k W \cdot 0, 75 h = 0, 611 k W h

mille eest tuleb maksta

0, 611 k W h \cdot 1, 05 \frac{E E K}{k W h} = 64 senti

10. Elektripirn

Elektripirn võimsusega $N = 100 W$ on valmistatud $U_{1} = 110 V$ pinge jaoks. Kui suure takistusega takisti ja kuidas peab lülitama vooluringi, et see pirn töötaks $U = 220 V$ vooluvõrgus sama heledusega?

Lahendus

Takisti võib lambiga lülitada jadamisi või rööbiti. Kui lülitame takisti rööbiti, siis saavad nii lamp kui takisti võrdse pinge $U = 220 V$ , mis on lambi puhul lubamatu. Järelikult võib lisatakisti ühendada lambiga ainult jadamisi.

Selleks, et elektripirn põleks sama heledusega, peab lambis eralduv võimsus jääma samaks. Üks valemitest, millega avaldub võimsus, on

N = \frac{U^{2}}{R}

kus

U

on pinge lambil ja

R

- lambi takistus. Järelikult on sama võimsuse säilitamine võimalik ainult juhul, kui pinge lambil jääb endiseks ehk siis meie juhul

U_{1} = 110 V

(me eeldame, et lambi takistus ei sõltu pinge suurusest). See tähendab, et pinge lisatakistil peab olema

U - U_{1} = 220 - 110 = 110 V

ehk teiste sõnadega peab pinge jaotuma võrdselt takisti ja lambi vahel. Kuna ka voolutugevused lambis ja takistis on võrdsed (jadaühendus), siis on võrdsed ka võimsused, mis eralduvad takistis ja lambis(kuna

N = U I

). Siit saame lisatakisti takistuse suuruse:

R = \frac{U_{1}^{2}}{N} = \frac{110^{2}}{100} = 121 Ω

11. Patarei

Patarei pinge on $4, 5 V$ ja lühiühenduse korral suudab ta välja anda voolu $0, 5 A$ . Milline peab olema lühistatud patarei jahutusvõimsus, et patarei temperatuur ei muutuks?

Lahendus

Lühise korral välisahelas energiat ei eraldu. Patareilt tuleb võtta ajaühikus samapalju soojust, kui ta eraldab, siis patarei temperatuur ei muutu. Seega on jahutusvõimsus võrdne tööga, mida teeb patarei (kogu patarei töö läheb enese soojendamiseks).

P = U I = 4, 5 V \cdot 0, 5 A = 2, 25 W

12. Lambid

On antud kaks lampi, mille võimsused pingel $127 V$ on vastavalt $60 W$ ja $80 W$ . Lambid ühendatakse jadamisi elektrivõrku pingega $220 V$ . Kumb lamp põleb heledamini ja miks? Võrrelda lampide heledusi omavahel ja iseendaga mõlemas olukorras.

Lahendus

Kuna $R = \frac{U^{2}}{N}$ , siis pingel $127 V$ võimsusega $60 W$ põleva lambi takistus on $R_{1} = \frac{127^{2}}{60} = 269 Ω$ , võimsusega $80 W$ põleva lambi takistus aga $R_{2} = \frac{127^{2}}{80} = 202 Ω$ .
Jadaühendamisel on neil kogutakistus

R_{k} = R_{1} + R_{2} = 471 Ω

Ahelat läbib vool tugevusega

I = \frac{U}{R_{k}} = \frac{220}{471} = 0, 47 A

Kuna võimsus jadaühendusel on $N = I^{2} R$ , siis esimese lambi võimsus jadaühendusel on on $N_{1} = I^{2} R_{1} \approx 59 W$ ja teisel lambil

N_{2} = I^{2} R_{2} \approx 44 W

Teise lambi võimsus väheneb tööolukorra muutumisel tunduvalt, esimesel väga vähe.

13. Elektriküünlad

Andrus ehtis jõulude ajal õues kasvava kuuse elektriküünaldega, milles jadamisi oli ühendatud $N = 20 lampi$ nimipingega $U_{1} = 12 V$ ja nimivõimsusega $P = 15 W$ . Üks lampidest põles läbi. Kuna Andrusel samasugust lampi ei olnud, asendas ta läbipõlenud lambi ema õmblusmasina lambiga, mille nimivõimsus oli samuti $P = 15 W$ , kuid nimipinge $U_{2} = 220 V$ . Kirjeldada, millise eredusega põlesid seejärel elektriküünalde lambid ja mitu korda muutus lambi vahetamise tõttu elektrivoolu võimsus teistes lampides? Pinge elektriküünalde pistiku otstel oli $U_{0} = 220 V$

Lahendus

\frac{N_{t 1}}{N_{1}} = \frac{U_{t 1}^{2} R}{R U_{1}^{2}} \Rightarrow N_{t 1} = \frac{N_{1} U_{t 1}^{2}}{U_{1}^{2}} = 12, 6 W

.
Leiame

12 V

220 V

lampide takistused:

R = \frac{U^{2}}{N}; R_{1} = \frac{12^{2} V^{2}}{15 W} = 9, 6 Ω R_{2} = \frac{220^{2} V^{2}}{15 W} = 3227 Ω

Pärast ühe lambi vahetust on jadamisi ühendatud lampide kogutakistus

R = n R_{1} + R_{2}, R = 19 \cdot 9, 6 Ω + 3227 Ω = 3410 Ω

Voolutugevus lampides on

I = \frac{U}{R} = \frac{220 V}{3410 Ω} = 0, 065 Ω

Voolu võimsus $12 V$ nimipingega lambis on sel juhul $N_{t 1} = I^{2} R_{1}, N_{t 2} = (0, 065 A)^{2} \cdot 9, 6 Ω = 0, 04 W$ .
Voolu võimsus lampides vähenes seega

\frac{N_{t 1}}{N_{t 2}} = \frac{12, 6 W}{0, 04 W} = 315 korda .

N^{'} = 0, 065^{2} \cdot 3227 = 13, 6 W

1.11 Elekter ja töö

1. Mobiililaadija

Leiutajad on pakkunud välja toreda seadme matkainimestele oma telefoni laadimiseks. Ühe saapa talla sisse pannakse mehhanism, mis toimib amortisaatorina. Iga kord kui kannale toetutakse, muundatakse mehaaniline töö väikese elektrigeneraatori abil elektrienergiaks. Oletame, et matkaja mass

m = 60 kg

ja Ühe sammu ajal vajub tald kokku

h = 5 mm

võrra. Antud seadme kasutegur

η = 0, 2

. Matkaja keskmiseks sammupaari pikkuseks ehk kahe järjestikuse samale kannale astumise vahemaaks võtame

d = 1.5 m

. Nüüd tuleb vaid ühendada telefon juhtmega saapa külge ja aku laadimine võib alata. Ülesande lahendamisel arvestage, et tüüpilises nutitelefonis on liitium-polümeer aku, mis töötab pingel

U = 3.7 V

. Samuti arvestage, et kui telefon töötaks keskmisel voolutugevusel

I_{k} = 130 mA

, suudaks aku vastu pidada

t = 10

tundi. Arvutage, kui pika maa peab matkaja maha kõndima, et tühi telefoni aku uuesti täis laadida.

Lahendus

Leiame ühel sammul saadava energia, arvestades, et kannale toetub jõud $F = m g$ .

Vajudes kõrguse $h$ võrra, tehakse tööd $A_{1} = m g h$ , millest aku laadimiseks saadav elektrienergia on $W_{1} = η A_{1}$ .

Aku täislaadimiseks vajaliku energia leiame keskmise võimsuse $P = U I_{k}$ ja aja $T$ korrutisena $W = U I_{k} T$

Selle kogumiseks vajalik sammude arv on

N = \frac{W}{W_{1}} = \frac{3.7 \cdot 0.13 \cdot 10 \cdot 3600}{0.2 \cdot 60 \cdot 9.8 \cdot 0.005} = 2940

Laadimiseks vajaliku jalutuskäigu pikkuseks saame

s = N d = 4.4 k m

2. Veekeetja

Ümberlülitiga veekeetja on kahe küttekehaga. Kui lüliti on asendis "1", on sisse lülitatud üks küttekeha ja teatud koguse teatud algtemperatuuriga vee keema ajamiseks kulub üks minut. Kui lüliti on asendis "2", on sisse lülitatud teine küttekeha ja sama koguse sama algtemperatuuriga vee keema ajamiseks kulub 30 sekundit. Kui palju aega kuluks selle vee keema ajamiseks, kui spiraalid ühendada a) jadamisi b) rööbiti? Soojuskadudega mitte arvestada.

Lahendus

Uurime jadamisi lülitust. Esimese ja teise küttekeha takistused tähistame vastavalt $R_{1}$ ja $R_{2}$ ning antud veekoguse keema ajamiseks kuluvad ajad $t_{1}$ ja $t_{2}$ .

Jadalülituse korral küttekehade kogutakistus $R_{j} = R_{1} + R_{2}$ . Keedukannus eralduv soojushulk:

Q = \frac{U^{2}}{R_{j}} t = \frac{U^{2}}{R_{1} + R_{2}}

kus

R_{1} = \frac{U^{2} t_{1}}{Q}

R_{2} = \frac{U^{2} t_{2}}{Q}

millest saame, et

t = t_{1} + t_{2} = 90 s

Rööbiti ühendatud küttekehade korral küttekehade kogutakistus

\frac{1}{R_{r}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}

ning keedukannus eralduv soojushulk:

Q = U^{2} \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}} t

millest saame:

t = \frac{t_{1} t_{2}}{t_{1} + t_{2}} = 20 s

1.12 Elekter, varia

1. Eritakistus

Joonisel on kujutatud graaﬁk, mis näitab pinget kolmel jadamisi ühendatud ühesuguse ristlõikepindalaga juhil. Milline on nende juhtide eritakistuste suhe?

Lahendus

Ülesande lahendamiseks on vaja graaﬁkult lugeda pingelangud traadijuppidel ja traadijuppide pikkused.

On selge, et ühtlase ristlõikepindalaga homogeense traadi takistus kasvab lineaarselt traadi pikkusega. Seega Ohmi seaduse alusel traadil järjenumbriga $n = 1, 2, 3$ tekib pingelang $Δ U_{n} = R_{n} I_{n}$ , kus $R_{n}$ on traadi takistus ja $I_{n}$ on traati läbiv vool. Kuna takistid on selles ülesandes ühendatud jadamisi, siis on vool läbi kõigi takistite sama. Tähistame selle sümboliga $I$ .

On teada valem, kuidas traadi takistus avaldub traadi eritakistuse kaudu: $R_{n} = ρ_{n} \frac{l_{n}}{S_{n}}$ , kus $ρ_{n}$ on traadi eritakistus, $l_{n}$ on traadi pikkus ja $S_{n}$ on traadi ristlõikepindala. Ülesande tingimuste kohaselt on kõigi traadijuppide ristlõikepindalad võrdsed. Seega tähistame selle ristlõikepindala $S = S_{n}$ . Nii saame

ρ_{n} = \frac{R_{n} S}{l_{n}} = \frac{Δ U_{n} S}{l_{n} I}

Avaldame nüüd ülesandes küsitud suhted

\frac{ρ_{1}}{ρ_{2}} = \frac{Δ U_{1} l_{2}}{Δ U_{2} l_{1}}, \frac{ρ_{1}}{ρ_{3}} = \frac{Δ U_{1} l_{3}}{Δ U_{3} l_{1}}, \frac{ρ_{2}}{ρ_{3}} = \frac{Δ U_{2} l_{3}}{Δ U_{3} l_{2}}

milles liikmed

I

S

taandusid jagamisel.

Võtame nüüd graaﬁkult vajaminevad väärtused: $Δ U_{1} = 1 V, Δ U_{2} = 2 V$ ja $Δ U_{3} = 4 V$ . Vastavad traadi pikkused $l_{1} = 3 c m, l_{2} = 3 c m$ ja $l_{3} = 4 c m$ . Pannes need väärtused eelpool esitatud suhete avaldistesse saame:

\frac{ρ_{1}}{ρ_{2}} = \frac{1}{2}, \frac{ρ_{1}}{ρ_{3}} = \frac{1}{3}, \frac{ρ_{2}}{ρ_{3}} = \frac{2}{3}

2. Traat

Traati, mille algpikkus oli $l = 10 m$ ja ristlõikepindala $S_{0} = 1 m m^{2}$ venitati nii, et ta pikenes $Δ l = 3 m$ võrra. Hilisem traadi uurimine näitas, et traadil esines $10 m$ pikkune osa, mille ristlõikepindala vähenes mingi arv korda (vt. joonis). Väljaspool seda osa aga säilis traadi esialgne ristlõikepindala. Leidke, mitu korda suurenes või vähenes pärast venitamist kogu traadi elektritakistus võrreldes esialgsega. Arvestada, et venimisel jäi traadi ruumala muutumatuks.

Lahendus

Arvestades, et traadi venitamisel traadi ruumala ei muutunud, avaldame traadi venitatud osa ristlõikepindala $S$ :

S l + S_{0} Δ l = S_{0} l ⟹ S = S_{0} \frac{l - Δ l}{l} = 0, 7 S_{0}

Tähistame traadi veninud osa elektritakistuse tähisega $R_{1}$ ja traadi ülejäänud osa takistuse tähisega $R_{2}$ . Lähtudes vooluringi kogutakistuse valemist jadalülituse korral $R_{k} = R_{1} + R_{2}$ ja juhi takistuse valemist $R = ρ \frac{l}{S}$ , leiame traadi kogutakistuse pärast venimist:

R_{k} = ρ (\frac{l}{S} + \frac{Δ l}{S_{0}}) = ρ (\frac{l}{0, 7 S_{0}} + \frac{Δ l}{S_{0}}) \approx 17, 3 \frac{ρ}{S_{0}}

Kui traadi algtakistus on

R = ρ \frac{l}{S_{0}} = 10 \frac{ρ}{S_{0}}

siis saame, et

R_{k} = 1, 73 R

. Järelikult venitatud traadi kogutakistus suurenes 1,73 korda.

3. Traat

Mikk tahtis teada, kui pikk on pooliks keritud üliõhukese isolatsioonikihiga kaetud raudtraat. Kuna Mikk oli lõpetamas põhikooli, otsustas ta traadi pikkuse määramiseks kasutada oma füüsikateadmisi. Ta võttis traatpooli kooli kaasa ja pärast tunde tegi füüsikakabinetis vajalikud mõõtmised. Selgus, et traadi mass $m = 400 g$ . Pinge $U = 4 V$ rakendamisel traadi otstele tekkis traadis vool tugevusega $I = 0, 2 A$ . Ta leidis füüsikaliste suuruste tabelitest, et raua tihedus $d = 7850 \frac{k g}{m^{3}}$ ja raua eritakistus $ρ = 0, 098 \cdot 10^{- 6} Ω \cdot m$ . Arvutage traadi pikkus.

Lahendus

Traadi takistus on $R = \frac{U}{I} = 20 Ω$ . Takistuse valem on $R = ρ \frac{l}{S}$
Massi, tiheduse ja ruumala seosest $m = d \cdot V = d \cdot l \cdot S$ . Teisendame neid seoseid:

S = \frac{ρ l}{R}, S = \frac{m}{d l}

Seega

\frac{ρ l}{R} = \frac{m}{d l} ⟹ l = \sqrt{\frac{R m}{ρ d}} \approx 102 m

4. Vaskjuhe

Vaskjuhtme tükis pikkusega $10 c m$ ja ristlõikepindalaga $1 m m^{2}$ kulgeb vool tugevusega $1 A$ . Millise aja jooksul asenduvad kõik juhtmetükis sisalduvad juhtivuselektronid uutega? Ühe mooli vase mass on $63, 5 g$ ja vase tihedus $8, 9 \frac{g}{c m^{3}}$ , Avogadro arv $N_{A} = 6, 02 \cdot 10^{23} m o l^{- 1}$ . Eeldada, et iga vase aatomi kohta tuleb üks juhtivuselektron. Elektroni laeng $e = 1, 6 \cdot 10^{- 19} C$ .

Lahendus

Kõik juhtivuselektronid asenduvad aja $t$ jooksul, mis keskmiselt kulub elektronil juhtme ühest otsast teise jõudmiseks. Kui juhtivuselektronide arv juhtmetükis on $N$ ja tüki ruumala $V = S \cdot l$ , siis nende suuruste suhte (elektronide arvu ruumalaühikus) saab leida, jagades vase aatomite (ja seega ka juhtivuselektronide) arvu ühes moolis (Avogadro arvu $N_{A}$ ) mooli ruumalaga $V_{M}$ . See omakorda on leitav molaarmassi $M$ ning tiheduse $ρ$ suhtena. Juhtivuselektronide kogulaeng $q = N \cdot e = I \cdot t$ , kus $t$ on otsitav aeg ja $e$ elementaarlaeng. Järelikult

\frac{N}{S l} = \frac{N_{A}}{V_{M}} = \frac{N_{A}}{M} \cdot ρ

ning

q = N \cdot e = N_{A} \frac{S \cdot l \cdot ρ}{M} \cdot e = I \cdot t

millest

t = N_{A} \cdot \frac{S \cdot l \cdot ρ}{M \cdot I} \cdot e

arvuliselt

t = 1352 s

ehk

22 m i n 32 s

5. Traadid

Kaks traati - alumiiniumtraat ristlõikega $S_{a} = 2 m m^{2}$ ja vasktraat ristlõikega $S_{v} = 1 m m^{2}$ - kaaluvad ühepalju. Millise traadi elektritakistus on suurem? Alumiiniumi ja vase eritakistused on vastavalt $ρ_{a} = 0, 000028 Ω \cdot m m$ ja $ρ_{v} = 0, 000017 Ω \cdot m m$ , tihedused vastavalt $d_{a} = 2, 7 \frac{g}{c m^{3}}$ ja $d_{v} = 8, 9 \frac{g}{c m^{3}}$ .

Lahendus

Leiame traatide pikkuste suhte $\frac{l_{a}}{l_{v}}$ eeldades, et traate võib käsitleda kui pikke silindreid. Traatide massid on võrdsed, järelikult $d_{a} S_{a} l_{a} = d_{v} S_{v} l_{v}$ , kust $\frac{l_{a}}{l_{v}} = \frac{d_{v} S_{v}}{d_{a} S_{a}}$ . Traatide takistused arvutatakse valemiga $R = ρ \frac{l}{S}$ . Traatide takistuste suhe on

\frac{R_{a}}{R_{v}} = \frac{ρ_{a} \frac{l_{a}}{S_{a}}}{ρ_{v} \frac{l_{v}}{S_{v}}} = \frac{ρ_{a} d_{v} S_{v}^{2}}{ρ_{v} d_{a} S_{a}^{2}} \approx 1, 36

mis tähendab, et alumiiniumtraadi takistus on suurem.

6. Rõngad

Kaks kontsentrilist vasksilindrit (rõngast) kõrgusega $5 c m$ paiknevad vannis, millesse on valatud kraanivesi eritakistusega $20 Ω \cdot m$ . Veetase ulatub täpselt rõngaste ülemiste äärteni. Sisemise rõnga välisläbimõõt on $19 c m$ ja välimise rõnga siseläbimõõt $21 c m$ . Kui suur on rõngastevaheline elektritakistus?

Lahendus

Takistuse valemis $R = ρ \frac{l}{S}$ on juhi pikkuseks $l$ rõngaste vahekaugus

l = \frac{21 - 19}{2} = 1 c m = 0, 01 m

Kuna see on väike võrreldes raadiustega, siis võib juhi ristlõikepindala leidmisel kasutada keskmist raadiust

r = \frac{21 + 19}{4} = 10 c m = 0, 1 m

Ristlõikepindala

S = 2 π r h = 0, 0314 m^{2}

, kus

h

on silindrite ühine kõrgus (veekihi paksus). Takistus

R = \frac{ρ l}{S} = \frac{20 \cdot 0, 01}{0, 0314} = 6, 37 Ω

1.13 Optika, peegel

1. Auto peeglis

Toa vastasseintel asuvad maast laeni ulatuvad tasapeeglid. Kristi veeretab põrandal mänguautot peeglitega risti. Äkitselt märkab ta, et peeglites on palju liikuvaid autosid. Milline on auto teise kujutise kiirus esimese kujutise suhtes kummaski peeglis, kui Kristi lükkab autot ühe peegli poole kiirusega $v = 0, 5 \frac{m}{s}$ ?

Lahendus

Olgu see peegel, millele auto läheneb kiirusega $v$ , esimene, ning see, millelt auto sama kiirusega kaugeneb, teine. Esimeses peeglis läheneb esimene auto kujutis mõlemale peeglile kiirusega $v$ ja teises peeglis kaugeneb esimene kujutis mõlemast peeglist kiirusega $v$ .

Esimene kujutis esimeses peeglis tekitab teise kujutise teises peeglis ja vastupidi. Kuna esimene kujutis esimeses peeglis läheneb peeglile kiirusega $v$ , siis läheneb ka teine kujutis teises peeglis kiirusega $v$ . Analoogselt: kuna esimene kujutis teises peeglis kaugeneb peeglist kiirusega $v$ , siis ka teine kujutis esimeses peeglis kaugeneb kiirusega $v$ .

Kokkuvõttes saame, et esimeses peeglis esimene kujutis läheneb Kristile ja teine kujutis kaugeneb temast. Järelikult esimeses peeglis eemaldub teine kujutis esimesest kiirusega $2 v = 1 \frac{m}{s}$ , teises peeglis aga esimene kujutis kaugeneb Kristist ja teine kujutis läheneb talle. Järelikult teises peeglis läheneb teine kujutis esimesele kiirusega $2 v = 1 \frac{m}{s}$ .

Märkus: Näitlikustavatel joonistel on kujutatud olukord hetkel, mil toa laius on $4 m$ ning auto asub alghetkel toa keskel (ülemine joonis). Alumisel joonisel on kujutatud olukord $1$ sekundi möödumisel liikumise algusest.

2. Kaev

Sügava kaevupõhja valgustamiseks päikesekiirtega kasutati tasapeeglit, mis oli vertikaalsuuna suhtes $25^{\circ}$ nurga all paigutatud. Kui suure nurga all maapinnast asus Päike?

Lahendus

Selleks, et valgustada sügava kaevu põhja, peab peeglilt peegeldunud kiir levima vertikaalselt alla (vt. joonis).

Joonistame kiirte käiku peeglis. Peegli ja vertikaaltasandi vahelise nurga tähistame $α$ -ga. Jooniselt leiame, et peegeldumisnurk on $γ = 90^{\circ} - α$ . Järelikult päikesekiire ja horisontaali vaheline nurk $δ = 2 γ - 90^{\circ} = 2 \cdot (90^{\circ} - α) - 90^{\circ} = 90^{\circ} - 2 α = 40^{\circ}$ .

3. Kaks peeglit

Kaks peeglit asuvad teineteise suhtes

45^{\circ}

nurga all, peegelpinnad vastakuti. Peeglite vahel asub põlev küünal. Mitut leegi kujutist võib peeglitest näha?

Lahendus

Joonisel on kujutatud kõigi peegelkujutiste asukohad.

Kujutised $S_{1}$ ja $S_{2}$ on leegi $S$ peegelkujutised vastavalt peeglitest $P_{1}$ ja $P_{2}$ .

$P_{2}^{'}$ on peegli $P_{2}$ kujutis peeglis $P_{1}$ . $P_{1}^{'}$ on peegli $P_{1}$ kujutis peeglis $P_{2}$ . $S_{3}$ on kujutise $S_{1}$ peegelkujutis peegli kujutises $P_{2}^{'}$ ning $S_{4}$ on kujutise $S_{2}$ peegelkujutis peegli kujutises $P_{1}^{'}$ .

$S_{5}$ on kujutise $S_{3}$ peegelkujutis peegli kujutises $P_{1}^{''}$ ning $S_{6}$ on kujutise $S_{4}$ peegelkujutis peegli kujutises $P_{2}^{''}$ . $S_{7}$ on kujutise $S_{5}$ peegelkujutis peegli kujutises $P_{2}^{'''}$ ja kujutise $S_{6}$ peegelkujutis peegli kujutises $P_{1}^{'''}$ .

Seega võib kokku näha $7$ -t leegi kujutist.

4. Kujutis

Joonista valguskiirte edasine käik, leia valgusallika $S$ kujutis peeglis. Millise kiirusega ja mis suunas liigub punkti $S$ kujutis peegli suhtes, kui punkt $S$ liigub peegli suunas sellega risti kiirusega $1 \frac{m}{s}$ ?

Lahendus

Kiirte edasise käigu leiame peegeldumisseadusest: tasapeeglile langenud kiir peegeldub langemisnurgaga võrdse nurga all. Valgusallika $S$ kujutise peeglis ja selle liikumise saame leida kahel erineval viisil:

Kasutame kujutise ja eseme sümmeetrilisust peegli pinna suhtes. Kuna see ei sõltu eseme ja peegli vahelisest kaugusest, on selge, et kujutis peeglis liigub sama kiirusega nagu ese, ent vastassuunas: $v = - v$ .
Joonistame peegeldunud kiirte jätkud peeglist teisele poole; nende lõikepunkt annab meile punkti $S$ kujutise. Kujutise $S^{'}$ liikumist uurime, kui leiame selle mitme punkti $S$ asukohad ja veendume, et see nihkub alati sama kauguse võrra kuid $S$ , lihtsalt vastassuunas.

5. Küünal

Küünal ja selle kahes peeglis tekkinud kaks kujutist asuvad võrdkülgse kolmnurga tippudes. Näidake joonisel, kuidas asetsevad peeglid küünla suhtes ja leidke peeglite vaheline nurk.

Lahendus

Kuna kujutis on alati esemega peegli suhtes sümmeetriline, peavad peeglid läbima kolmnurga vastavate külgede keskpunkte, kusjuures peeglid asuvad risti külgedega (vt. joonis).

Kolmurgast $△ A K O$ leiame, et $α = 90^{\circ} - γ$ , kust saame peeglite vahelise nurga $2 α = 180^{\circ} - 2 γ = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ .

6. Kärbes peeglis

Kahe tasapeegi vaheline nurk on $120^{\circ}$ (vt joonist). Punktis $A$ asub vaatleja ning mööda sirget $s$ lendab edasi-tagasi kärbes. Kärbse teatud asukohtade korral näeb vaatleja peeglites kahte kärbse kujutist. Tähistage sirgel $s$ see piirkond, kus tekib kaks kujutist.

Lahendus

7. Nõguspeegel

Teame esemelt peegeldunud ühe kiire käiku nõguspeeglis. Konstrueerige selle eseme kujutis.

Lahendus

Kujutise konstrueerimisel lähtuda järgmistest põhimõtetest:

Kujutis tekib peegeldunud kiirte lõikumiskohas. Seega on vaja kujutise konstrueerimiseks veel ühte kiirt.

Teise kiire konstrueermisel on üheks võimaluseks arvestada peegeldumisseadust. Peegli keskkohta langeva kiire langemisnurk peab olema peegeldumisnurgaga (peegli optilise telje suhtes) võrdne.

Saadud kujutis on tõeline (lõikuvad kiired ise, mitte nende pikendused), suurendatud ja ümberpööratud (noole ots on teises suunas).

8. Nõguspeegel

On antud sfäärilise nõguspeegli peatelg, punktvalgusallika $A$ ja selle kujutise $A_{1}$ asukohad. Kus asub peegli fookus?

Lahendus

Kuna allikas ja kujutis asuvad teine teisel pool telge, siis saab olla tegemist vaid nõguspeegliga.

Leiame kõveruskeskme asukoha. Kiir, mis langeb allikast peeglile nii, et selle pikendus läbib kõveruskeset, peegeldub sama teed tagasi ja peab läbima ka kujutist. Seega $A$ ja $A_{1}$ ühendussirge lõikepunkt optilise teljega määrab ära kõveruskeskme $C$ .

Peegli ja telje lõikepunkti langeva kiire korral on langemisnurk peegeldumisnurgaga võrdne. Selle punkti leidmiseks leian $A_{1}$ sümmeetrilise punkti teisel pool telge ja tõmban sealt sirge läbi $A$ .

Teljega lõikumise punktis asub peegli lagipunkt. Selle punkti ja kõveruskeskme vahelise kauguse poolel maal asub fookus.

9. Nurkpeegel

Joonisel on kujutatud nurkpeegel, mille kaks haara on omavahel risti. Konstrueeri kujutis, mida näeb vaatleja punktist $P$ . Mille poolest erineb sellises peeglis nähtav kujutis tavalises tasapeeglis nähtavast kujutisest?

Lahendus

Lahendus on toodud joonisel.

Tasub tähele panna, et peeglist on näha need esemed, mis jäävad peegli servasid ja vaatleja asukohta ühendavate sirgete poolt piiratud ala sisse. Sellises peeglis ei ole erinevalt tavalisest peeglist vasak ja parem pool ära vahetatud. Vaatleja näeb ennast sellisest peeglist nii, nagu ta seisaks enda vastas.

10. Pariis

Peeter külastas Pariisis oma sõpra, kelle rõdult avaneb vaade Eiffeli tornile. Peeter vaatas torni taskupeeglist, mille kõrgus on $h = 5 c m$ . Kui ta hoidis peeglit näost $40 c m$ kaugusel, oli torni kujutis täpselt peegli „kõrgune''. Kui kaugel elab Peetri sõber Eiffeli tornist, kui torni kõrgus $H = 312 m$ ?

Lahendus

$A B$ on Eiffeli torn ja $A^{'} B^{'}$ vastavalt selle peegeldus. Punktis $D$ asub Peetri silm. Kuna $A C = C A^{'} = B C^{'} = C^{'} B^{'}$ . Lõik $C E$ on peeglis oleva torni kujutise pikkus, $C D$ peegli kaugus silmast. Sarnastest kolmnurkadest saame

\frac{A^{'} B^{'}}{C E} = \frac{D A^{'}}{D C} ⟹ D A^{'} = \frac{A^{'} B^{'} \cdot D C}{C E}

Kuna

D C ≪ D A^{'} \to D C ≪ C A^{'} \to D C ≪ A C

, siis võib võtta

D A^{'} = A C

A^{'} B^{'} = A B

, seega on Eiffeli torni kaugus korterist

A C = \frac{A B \cdot D C}{C E} \approx 2500 m

11. Peegel

Suure ruumi seinal asub $2, 0 m$ laiune peegel. Peegli kõrval, $0, 5 m$ kaugusel peeglist ja $1, 0 m$ kaugusel seinast seisab inimene. Mööda peegli keskjoont liigub peegli poole seisja tuttav. Kui kaugel peeglist on peeglile lähenev inimene hetkel, mil tuttavad teineteist peeglis märkavad?

Lahendus

Joonisel on toodud ülesandest illustreeriv ülevaade. Sealt nähavate kolmnurkade sarnasust ära kasutades saab leida läheneva inimese kauguse. Maksimaalne on kaugus siis, kui seisev inimene märkab oma tuttavat peegli parempoolsest servast.

12. Peegel

Toa seinal on $1, m$ laiune peegel (vt. joonis). Miku seisab toas näoga seina poole, $3 m$ kaugusel seinast ja $2 m$ kaugusel peegli keskristsirgest. Äkitselt näeb Miku peegli servas peeglist eemale lendava kärbse kujutist. Kärbes lendab piki peegli pinna keskristsirget peeglist eemale kiirusega $0, 5 \frac{m}{s}$ ? Kui kiiresti peaks Miku peegliga seinast taganema, et näha kogu oma liikumise aja jooksul kärbse kujutist peegli servas?

Lahendus

Kasutame peegeldumisseadust, kolmnurkade $△ B A^{'} C$ ja $△ C D E$ sarnasust ja kolmnurkade $△ B A^{'} C$ ja $△ B A C$ võrdsust.

Selgub, et Miku, kes on seinast $3 m$ kaugusel ja peegli servast $1, 5 m$ kaugusel, näeb kärbse kujutist siis, kui kärbes asub peeglist

B A = \frac{0, 5 m}{1, 5 m} \cdot 3 m = 1 m

kaugusel. Arvestades kärbse kiirust, leiame Miku kauguse seinast näiteks

1 s

pärast. Kärbes on jõudnud selle ajaga läbida

0, 5 m

ja on seega seinast

1, 5 m

kaugusel.

Et Mikk näeks jätkuvalt kärbest, peaks ta nüüd olema sarnaste kolmnurkade $△ C D G j a △ B C F$ põhjal seinast

D G = \frac{1, 5 m}{0, 5 m} \cdot 1, 5 = 4, 5 m

kaugusel. Miku liikumise kiirus on seega:

\frac{4, 5 m - 3 m}{1 s} = 1, 5 \frac{m}{s}

13. Peegeldused

Juku näeb peeglist hõõglambi kujutist (suunas $A$ ). Sama lambi kujutist märkab ta ka peegli ees olevalt peegeldavalt lauapinnalt (suunas $B$ ). Konstrueerige lambi asukoht joonisel.

Lahendus

Ülesande lahendamisel tuleb lähtuda peegeldumisseadusest, mille kohaselt kiire langemisnurk on peegeldumisnurgaga võrdne.

14. Peeglid

Kaks paralleelset tasapeeglit on paigutatud vastamisi vahekaugusega $d = 3 m$ . Peeglite vahel seisev inimene näeb endast mitut kujutist, millest osa paikneb tema poole seljaga ja osa näoga. Kui kaugel paiknevad teineteisest kaks samas suunas vaatavat järjestikust kujutist?

Lahendus

Joonisel on vaatleja ja reaalsed peeglid kujutatud tumedamalt. Kõik peeglite kujutised asuvad üksteisest kaugusel $d$ .

Kui vaatleja asub enda ees seisvast peeglist kaugusel $x$ , on tema esimese kujutise kaugus sellest peeglist samuti $x$ .

Teise samas suunas vaatava kujutise kaugus sellest peeglist on $2 d + x$ . Seetõttu on kujutiste omavaheline kaugus

2 d + x - x = 2 d = 6 m

15. Peeglid

Nõguspeegli fookuses asub punktvalgusallikas. Kuidas tuleks paigutada tasapeegel, et süsteem tekitaks ainult ühe näiva kujutise ja ainult ühe tõelise kujutise, kusjuures viimane langeks kokku punktvalgusallikaga? Tee selgitav joonis, kuhu kannad kiirte käigu ja näiva kujutise asukoha.

Lahendus

Paigutame tasapeegli risti optilise peateljega $P O$ , nõguspeeglist kaugusele $1, 5$ fookuskaugust (ehk nõguspeegli fookuse $F$ ja keskpunkti $O$ vahelise lõigu keskele).

Punktist $F$ asuvast valgusallikast punkti $A$ poole lähtuv kiir peegeldub punktis $A^{'}$ tagasi. Punkti $B$ poole lähtuv kiir peegeldub aga tagasi punktis $B^{'}$ , sest kiire $B B^{'}$ pikendus läbib peegli keskpunkti.

Kokkuvõttes tekib punktis $F$ tõeline kujutis ja punktis $O$ näiv kujutis.

16. Peeglid

Kaks tasapeeglit asetsevad teineteise suhtes

90^{\circ}

nurga all (vt joonis). Konstrueeri valgusallika

S

kõik kujutised nendes peeglites.

Lahendus

Kujutise konstrueerimiseks võib kasutada sümmeetriat: kujutis on esemega peegli suhtes sümmeetriline. Valgusallikas $S$ peegeldub peeglis $1$ ja peeglis $2$ . Mõlemas tekib üks valgusallika kujutis $S_{1}^{'}$ ja $S_{2}^{'}$ . Need kujutised omakorda peegelduvad. $S_{2}^{'}$ kujutis peeglis $1$ on $S^{''}$ . See saadakse peegli $1$ pikendamisel.

Peegli $2$ pikendamisel saadakse $S_{1}^{'}$ kujutis ka $S^{''}$ , sest peeglitevaheline nurk on $90^{\circ}$ .

17. Päikeseelektrijaam

Päikeseelektrijaamades kasutatakse valguskiirguse võimendamiseks tasapeeglite süsteemi. Olgu peeglid asetatud maapinnale ümber torni, mille tipus asub aurukatel. Leia nurk maa ja selle peegli vahel, mis asub katla tornist $100 m$ kaugusel, kui katel on $4 m$ kõrgusel maapinnast ning Päike asub antud hetkel seniidis. Tee joonis.

Lahendus

$h$ - katla kõrgus maapinnast; $R$ - peegli kaugus katlast; $α$ - peegli ja maa vaheline nurk; $β$ - peegeldunud kiire ja maa vaheline nurk.

β = 90^{\circ} - 2 α = arctan (\frac{h}{R})

, seega

α = \frac{90^{\circ} - arctan (\frac{h}{R})}{2} = 43^{\circ} 51^{'}

Seega on peegli ja maa vaheline nurk $43^{\circ} 51^{'}$ .

18. Silinder

Veega täidetud anumas asub õhukesest klaasist seintega õõnes silinder. Visanda joonisel toodud kiire käik läbi silindri.

Lahendus

Kiire konstrueerimisel tuleb lähtuda järgmistest põhimõtetest:

Ringi keskpunkti ja ringjoont ühendav sirge (ringi raadius) on alati risti ringjoonega puutepunktis ja seepärast saab ringi raadiust kiirte konstrueerimisel pinnanormaalina kasutada.
Tihedamast keskkonnast hõredamasse liikudes on murdumisnurk langemisnurgast suurem.

Nii saame konstrueerida kiired, mis tekkivat olukorda piisavalt täpselt kirjeldavad.

19. Tasapeeglid

Kaks vertikaalset tasapeeglit asuvad teineteise kõrval, küljed koos, peegelpinnad

150^{\circ}

nurga all. Ühele peeglile langeb peegelpinna suhtes

20^{\circ}

nurga all peenike horisontaalne valgusvihk. Valgus peegeldub mõlemalt peeglilt. Mitme kraadi võrra erineb teiselt peeglilt peegeldunud valgusvihu suund esimesele peeglile langenud valgusvihu suunast?

Lahendus

Vaatleme kolmnurka $△ A B C$ . Tipu $C$ juures on nurk $150^{\circ}$ . Tipu $A$ juures on peegeldumisseaduse järgi nurk $20^{\circ}$ . Seega on tipu $B$ juures nurk $180^{\circ} - (20^{\circ} + 150^{\circ}) = 10^{\circ}$ .

Vaatleme kolmnurka $△ A B D$ . $∠ C A D$ on tipunurgana $20^{\circ}$ . Seega on kolmnurga tipu $A$ juures nurk $20^{\circ} + 20^{\circ} = 40^{\circ}$ . Sarnaselt on tipu $B$ juures kolmnurga nurk $10^{\circ} + 0^{\circ} = 20^{\circ}$ . Seega on tipu $D$ nurk $180^{\circ} - (40^{\circ} + 20^{\circ}) = 120^{\circ}$ ja kõrvalekalde suurus on $180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$ esialgsest suunast.

20. Kujutis tasapeeglis

Kärbes lendab peegli poole kiirusega $v = 1 \frac{m}{s}$ nii, et tema kiirus on peegli tasandiga risti. Kui kiiresti peab peegel liikuma, et kärbse kujutis jääks paigale?

Lahendus

Liikugu kärbes kiirusega $v$ ning peegel kiirusega $u$ . Aja $t$ möödudes on kärbes liikunud peeglile lähemale teepikkuse $s = (v - u) t$ võrra. Samapalju on peeglile lähemale liikunud ka kärbse kujutis. Et aga peegel on vahepeal liikunud $u t$ võrra, on kujutis liikunud vaatleja suhtes teepikkuse $s^{'} = u t - s = (2 u - v) t$ võrra.

Et kärbse kujutis peeglis jääks paigale, peab $s^{'} = 0$ , millest $u = v / 2$ . Seega peaks peegel liikuma kärbsega samas suunas kiirusega $0, 5 m / s$ .

1.14 Optika, lääts

1. Fotoaparaat

Miku otsustas fotografeerimisel kasutada fotoaparaadi manuaalset süsteemi. Ta pildistas sõiduautot, mis liikus mööda teed kiirusega $v = 90 \frac{k m}{h}$ . Kui pika säriaja pidi ta valima, et auto kujutis fotoaparaadis ei muutuks uduseks? Selge kujutis saadakse siis, kui selle nihe ei ületa $s = 0, 1 m m$ . Auto liikus fotoaparaadi objektiivi optilise peateljega risti ning asus objektiivi keskpunktist $a = 10 m$ kaugusel. Kujutis tekkis fotoaparaadis objektiivi keskpunktist $k = 5 c m$ kaugusel.

Lahendus

Auto ja kujutise nihked määravad ära sarnased kolmnurgad (vt joonist). Seega

\frac{Δ S}{a} = \frac{Δ s}{k}

Δ S = \frac{a Δ s}{k} = 0, 02 m

Kuna

v = 90 \frac{k m}{h} = 25 \frac{m}{s}

, siis säriaeg

t = \frac{Δ S}{v} = 0, 0008 s

ehk

t = \frac{1}{1250} s

2. Kiirtekimbu laiendi

Kaks läätse, mille optilised peateljed ühtivad, moodustavad seadme, millega saab paralleelsest valgusvihust moodustada esialgsest laiema või kitsama paralleelse valgusvihu. Kasutatava seadme esimese läätse optiline tugevus on $D = - 20 d p t$ . Kui kaugele esimesest läätsest tuleks paigutada teine lääts, et laiendada seadmele langev valgusvihk $2, 5$ -kordseks?

Lahendus

Idee ja joonis (kuna optilise tugevuse väärtusest selgub, et üks läätsedest on nõguslääts, on esimene läätsedest nõgus-, teine kumerlääts; läätsede fookused paigutuvad ühisel optilisel peateljel samasse punkti.) Kolmnurkade $△ K O F$ ja $△ L A F$ sarnasusest saame, et

\frac{L A}{K O} = \frac{A F}{O F}

Kuna $L A = 2, 5 K O$ , siis ka $A F = 2, 5 O F$ . Nõgusläätse fookuskauguse arvutamine

f_{n ~ o g u s} = - O F = \frac{1}{D} = - 5 c m

Kumerläätse fookuskaugus

f_{k u m e r} = A F = 12, 5 c m

Läätsede kaugus teineteisest

d = A F - O F = 7, 5 c m

3. Kujutis

Konstrueerige ruudu $A B C D$ kujutis kumerläätsega.

Lahendus

Kujutist saab konstrueerida erinevat moodi. Konstrueerimisel tuleb lähtuda järgmistest põhimõtetest:

Kujutise mingi punkti asukoha määramiseks on vaja vähemalt kahte kiirt. Nende kiirte lõikumiskohas asubki otsitava kujutise punkt.
Üheks kiireks on hea valida läätse keskpunkti läbiv kiir, sest see läheb läätsest alati sirgelt läbi.
Teine kiir tuleks valida nii, et see läbiks kas läätse eesmist või tagumist fookust.
Kui kiir läbib eesmist fookust, siis on see pärast läätse läbimist optilise peateljega paralleelne.
Kui kiir läbib tagumist fookust, siis peab see enne läätse läbimist olema optilise peateljega paralleelne.
Läätse optilisel peateljel asuva punkti kujutis asub samuti optilisel peateljel. Selle leidmiseks on mitu võimalust. Võib valida mõne mõttelise punkti otsitava keha punktist kõrgemal või madalamal ja leida selle mõtteline kujutis eelmistes punktides kirjeldatud viisil. Otsitav tegelik kujutis punktist asub optilisel peateljel asuvast läätsest samal kaugusel kui kasutatud mõtteline kujutis, mis asub teljest madalamal või kõrgemal. (Ülemine joonis.)
Teiseks võimaluseks on kasutada ühte sirget, mis läbib läätse keskkohta (alumisel joonisel sirge $A^{'} A$ ) ning tõmmata selle sirgega paralleelne sirge otsitavast punktist läätseni. Pärast läätse läbimist peavad need kaks sirget fokaaltasandis lõikuma (läätsele langevad paralleelsed kiired lõikuvad fokaaltasandis). Kujutis asub punktis, kus esemest lähtunud kiir lõikub optilise peateljega.
Fokaaltasand on tasand, mis on optilise peateljega risti ning läbib optilise süsteemi (läätse) fookust.

4. Kujutis

Konstrueeri eseme kujutis optilises süsteemis, mis koosneb koondavast läätsest ja tasapeeglist. Peegel asub läätse fookuses läätse optilise peateljega risti. Ese asub läätse ees fookuse ja kahekordse fookuskauguse vahel.

Lahendus

Kujutise konstrueerimisel tuleb lähtuda järgmistest põhimõtetest:

Peegeldumisseaduse järgi on kiire langemisnurk ja peegeldumisnurk võrdsed.
Geomeetrilises optikas kehtib kiirte pööratavuse printsiip: kiir läbib süsteemi päri- ja vastassuunas ühte teed mööda.
Eseme mingi punkti kujutise konstrueerimiseks on vaja vähemalt kahte esemest lähtuvat kiirt. Kujutis tekib seal, kus need kiired pärast optilise süsteemi läbimist lõikuvad.
Üks kiir võib olla selline, mis läbib läätse esimest fookust. Pärast läätse läbimist on see sel juhul optilise peateljega paralleelne. Kui kiir jõuab peeglini, peegeldub see otse tagasi (peegeldumisseadus) ja läbib sama teekonna uuesti (pööratavuse printsiip).
Teine kiir tuleks valida nii, et see läbiks läätse tagumist fookust ehk enne läätseni jõudmist peab see optilise peateljega paralleelne olema. Kui kiir jõuab peeglini, tuleb rakendada peegeldumisseadust. Kuna tagasipöörduv kiir lähtub tagumisest fookusest, siis pärast läätse taaskordset läbimist on see optilise peateljega paralleelne.

5. Kumerlääts

Konstrueeri noole $A B$ kujutis.

Lahendus

Kujutise konstrueerimisel tuleb lähtuda järgmistest põhimõtetest:

Eseme mingi punkti kujutise konstrueerimiseks on vaja vähemalt kahte esemest lähtuvat kiirt. Kujutis tekib seal, kus need kiired pärast optilise süsteemi (läätse) läbimist lõikuvad.
Et saada noolest terve kujutis, tuleb vaadata kahte punkti: noole otsa ja saba.
Üheks võimaluseks on mõlema punkti jaoks valida üks selline kiir, mis läbib läätse eesmist fookust, ja teine kiir nõnda, et see läbiks tagumist fookust. Pärast läätse läbimist on eesmist fookust läbivad kiired optilise peateljega paralleelsed. Tagumist fookust läbivad kiired on seevastu enne läätse läbimist optilise peateljega paralleelsed, sest ese on optilise peateljega paralleelne. Noole otsast ja sabast lähtuvate kiirte teekonnad sellisel juhul ühtivad.
Teiseks võimaluseks on valida üks kiir nii, et see läbib läätse keskkohta. Selline kiir läbib läätse otse ehk sirgelt. Teiseks kiireks võib võtta kiire, mis läbib kas eesmist või tagumist fookust.
Noole kujutise saab, kui ühendada noole otsa ja saba punktide kujutised.

6. Kumerpeegel

Optiline süsteem koosneb kumerläätsest ja kumerpeeglist. Kumerläätsele langeb optilise peateljega paralleelne valgusvihk. Kuidas tuleks paigutada teineteise suhtes kumerlääts ja kumerpeegel, et tekitada valguspunkt kumerläätse valgusallika-poolsesse fookusesse? Kumerläätse fookuskaugus on kumerpeegli fookuskaugusest suurem. Tehke selgitav joonis.

Lahendus

Läätse ja kumerpeegli fookused peavad ühtima (vt. joonis). Kumerläätsele langev paralleelne valgusvihk koondub fookuses. Kumerpeeglilt peegeldunud valgus üldjuhul hajub. Et valgusvihk koonduks läätse ees läätse fookuses, peab peeglilt läätsele peegelduma paralleelne valgusvihk.

Kumerpeeglilt peegeldub paralleelne valgusvihk siis, kui peeglile langeb koonduv valgusvihk, mille kiirte pikendused läbivad kumerpeegli näiva fookuse. Järelikult tuleb kumerpeegel paigutada kumerläätse taha risti optilise peateljega nii, et läätse ja peegli fookused ühtiksid.

7. Küünlaleek

Küünlaleegi, mille kõrgus $h = 3, 0 c m$ , ja ekraani vahele paigutatakse õhuke kumerlääts nii, et ekraanile tekib leegi terav kujutis kõrgusega $h_{1} = 6, 0 c m$ . Pärast läätse mõningat liigutamist tekkis ekraanile taas leegi terav kujutis. Leia selle uus kõrgus $h_{2}$ .

Lahendus

Kui ese asub läätsest $a$ kaugusel ja selle tegelik kujutis sellest kaugusel $b$ , siis kiirte pööratavuse printsiibist johtub, et kui paigutada lääts esemsest kaugusele $b$ , tekib tegelik kujutis läätsest kaugusele $a$ .

Esimesel juhul on läätse suurendus $\frac{h_{1}}{h} = \frac{b}{a}$ . Teisel juhul $\frac{h_{2}}{h} = \frac{a}{b} = \frac{h}{h_{1}}$ , millest $h_{2} = \frac{h^{2}}{h_{1}} = 1, 5 c m$ .

8. Luup

Luubi fookuskaugus on $6 c m$ . Kui kaugel peaks asetsema ajaleht luubist, et tähed paistaksid neli korda suurematena? Ajaleht on luubiga paralleelne. Märkus: ülesande lahendamisel pole läätse valemi kasutamine lubatud.

Lahendus

Leiame sarnastest kolmnurkadest $△ K L O$ ja $△ A B O$ kujutise ja eseme kauguste jagatise

\frac{K L}{A B} = \frac{L O}{B O}

Kuna

K L = 4 A B

, siis järelikult ka

L O = 4 B O

. Leiame eseme kauguse läätsest.

Jooniselt on näha, et lõigud $A B$ ja $O P$ on võrdsed, $A B = O P$ . Sarnaste kolmnurkade $△ K L F$ ja $△ O P F$ abil saame kujutise kauguse seostada luubi fookuskaugusega $O F$ .

Seosest

\frac{K L}{P O} = \frac{L F}{O F}

selgub, et

L F = 4 O F

. Kujutise kaugus läätsest on seega kolm fookuskaugust ehk

18 c m

. Eseme kaugus läätsest on kujutise kaugusest

4

korda väiksem, seega

4, 5 c m

9. Lääts

Ekraani ja läätse vahel asub keha. Joonisel on näidatud keha vari ekraanil. Leia punktvagusallika asukoht juhul, kui a) lääts on kumer; b) lääts on nõgus. NB! Joonisel antud proportsioonid on lahendamiseks olulised.

Lahendus

Tähistame punktid alljärgnevalt: varju alumine serv $A$ , ülemine serv $B$ ; eseme alumine serva $C$ , ülemine serv $D$ ; sirge $A C$ lõikepunkt läätsega $E$ , sirge $B D$ lõikepunkt läätsega $G$ , läätse keskpunkt $O$ .

(a) Üks valgusallikalt lähtuv valguskiir peab läbima punkte $A$ ja $C$ ning teine punkte $B$ ja $D$ . Nende valguskiirte lõikepunkt annab meile valgusallika asukoha. Esimese kiire rekonstrueerimiseks paneme tähele, et lõik $A C$ on horisontaalne, mistõttu peab kiir läbima fookust $F$ ja valguskiireks on murdjoon $A E F$ .

(b) Tõmbame läbi $O$ sirge $s$ , mis on paralleelne $B D$ -ga, otsitav kiir peab lõikuma $s$ -ga (ekraanist kaugemal) fokaaltasandil. Teiseks kiireks on murdjoon $B G H$ , kus $H$ on $s$ -i ja fokaaltasandi lõikepunkt.

10. Lääts

Kaksikkumera läätse fookuskaugus on $f = 10 c m$ . Optilisel teljel, läätsest kaugusel $a = 15 c m$ asub väike valgusallikas. Lääts lõigatakse mööda diameetrit pooleks ja pooled nihutatakse sümmeetriliselt optilise teljega teineteisest $d = 1 c m$ kaugusele. Läätse pooltest kaugusel $k$ asub ekraan, mis on optilise teljega risti . Ekraanile tekib kaks valgusallika kujutist. Leia kujutiste vaheline kaugus. Kaugused $f$ , $a$ ja $k$ on omavahel seotud läätse valemiga:

\frac{1}{f} = \frac{1}{a} + {\frac{1}{k}}^{'}

Lahendus

Lõikamise tulemusena saadud kahe uue läätse fookuskaugus on sama mis lõikamata läätsel ja seega tekib kujutis läätsest sama kaugele kui terve läätse korral. Punktid $L$ ja $N$ on terve läätse keskkoht, mille läbimisel valguskiire käik ei muutu. Mõlemad osad muudavad kiirte käiku iseseisvate läätsedena.

Jooniselt näeme, et $△ M N L$ on sarnane $△ M M^{'} M^{''}$ , saame

\frac{d}{l} = \frac{a}{a + k}

Läätse valemist:

\frac{1}{f} = \frac{1}{a} + \frac{1}{k}

seega

l = d (1 + \frac{f}{a - f}) = 3 c m

11. Lääts

Koondava läätse ees asub ese kõrgusega $h$ (vt. joonist). Läätse fookuste asukohad on joonisel tähistatud. Läätse taha - tasandisse, kuhu tekib eseme kujutis - on paigutatud ekraan läbimõõduga $D$ . Kas eseme kujutis mahub täielikult ekraanile? Lahenda ülesanne graafiliselt lisalehel toodud joonisel.

Lahendus

Lahenduskäik on toodud joonisel.

Kujutise konstrueerimisel tuleb lähtuda teadaolevate kiirte käigust:

Kiir, mis enne läätse läbimist on optilise peateljega paralleelne, läbib kumerläätse tagumist fookust.
Läätse keskkohta läbiv kiir mitte ei murdu vaid läheb otse läbi.
Kiir, mis enne läbimist on optilise peateljega paralleelne, läbib kumerläätse tagumist fookust.

Märkus: Kuna ülesande tekstis on öeldud, et ekraan asub kujutise tasandis, siis piisab kujutise konstrueerimiseks tegelikult ühest noole otsalt lähtuvast valguskiirest.

12. Lääts

Juuresolevat pilt tekib ekraanil, mis asub läätse taga kaugusel $d = 10 c m$ . Läätsele langeb valgus kaugel asuvast punktvalgusallikast. Valgusallikas asub läätse peateljel, ekraan on selle teljega risti. Leia läätse optiline tugevus.

Lahendus

Läätse tekitatud valguskoonuse lõikepind ekraaniga on suurem ring kui lääts ise (ja selle vari), sest keskosa heledus on väiksem kui fooni heledus. Sellise olukorra saab tekitada nii koondav kui ka hajutav lääts (vt joonist). Tumeda piirkonna piirid vastavad läätse varjule - need on samade mõõtmetega kui lääts (sest valgusallikas on kaugel ja seega on langevad kiired paralleelsed) (vt joonist).

Jooniselt mõõdame diameetriks $a = 45 m m$ . Hele on see piirkond, kuhu langeb nii otse allikast tulev valgus kui ka läätse poolt hajutatud valgus; heleda ringi välisdiameeter $b = 73 m m$ on määratud läätse poolt hajutatud valguskoonuse ja ekraani lõikejoonega. Selle koonuse tipp asub valgusallika näiva kujutise kohal, läätse keskpunktist kaugusel $f$ .

Hajutava läätse korral saame sarnastest koonustest

\frac{f}{a} = \frac{f + d}{b}

, millest

D = - \frac{1}{f} = \frac{\frac{b}{a} - 1}{d} \approx - 7 d p t

Koondava läätse jaoks saame analoogselt

\frac{f}{a} = \frac{d - f}{b}

, millest

D = - \frac{1}{f} = \frac{\frac{b}{a} + 1}{d} \approx 26 d p t

Märkus: Jooniselt leitud mõõtmed $a$ ja $b$ ei pruugi reaalsetele mõõtmetele vastata (mõõtkava ei pruugi olla $1 : 1$ ), aga see pole oluline, sest lõppavaldisse läheb suhe $\frac{b}{a}$ , st mõõtkavast sõltuv tegur taandub välja.

13. Lääts

Joonisel on antud sirglõik (vasakul) ja selle kujutis läätses (paremal). Teades, et sirglõik on läätse optilise peateljega risti, tuleb konstrueerida lääts ja selle üks fookus. Leia kõik võimalikud lahendused. NB! Joonise proportsioonid on ülesande lahendamisel olulised.

Lahendus

Kuna kujutis tekib teiselpool läätse, on tegemist ümberpööratud tõelise kujutisega (lõikuvad kiired ise, mitte nende pikendused).

Läätse asukoha saame teada, kui ühendame eseme ülemise tipu kujutise alumise tipuga ning eseme alumise tipu kujutise ülemise tipuga. Need on sirged, mis läbivad kumerläätse keskkohta ilma murdumata. Teades, et lääts on optilise peateljega risti, saame selle nüüd joonisele kanda: lääts lõikab optilist peatelge nende kahe kiire lõikumiskohas.

Fookuse leidmiseks on mitu võimalust. Selleks on vaja ühte kahest järgnevast teadmisest:

Kiir, mis on enne läätse läbimist optilise peateljega paralleelne, läbib kumerläätse tagumist fookust.
Kiir, mis on pärast läätse läbimist optilise peateljega paralleelne, läbib kumerläätse eesmist fookust.

Illustreerival joonisel on läätse fookus leitud esimest punkti kasutades. Kõigepealt tõmmati eseme ülemisest otsast optilise peateljega paralleelne kiir läätseni ja seejärel ühendati kiir kujutise alumise otsaga. Kohas, kus kiir lõikas pärast läätse läbimist optilist peatelge, ongi kumerläätse fookus.

14. Lääts

Klaasist kaksiknõgusa läätse optilisel peateljel paikneb väikeste mõõtmetega valgusallikas. Millist abivahendit (mis asub valgusallika ja nõgusläätse vahel) ja kuidas kasutades, saab nõgusläätse taha tekitada koonduva valgusvihu ja valgusallika tõelise kujutise? Põhjenda vastust joonisega.

Lahendus

Nõgusläätse ette tuleb paigutada koondav lääts, mille optiline peatelg ühtib nõgusläätse optilise peateljega. Koondava läätse optilise tugevuse arvuline väärtus peab olema suurem nõgusläätse optilise tugevuse arvulisest väärtusest, sest ainult sel juhul käitub kogu läätsede süsteem valgust koondavana.

Joonistame nõgusläätse optilise kõrvaltelje, mis on paralleelne nõgusläätsele langeva valguskiirega ja nõgusläätse eesmise fokaaltasandi. Nõgusläätsesele langev optilise kõrvalteljega paralleelne valguskiir murdub nõgusläätses nii, et selle kiire pikendus läbib punkti, kus lõikub nõgusläätse konkreetne optiline kõrvaltelg eesmise fokaaltasandiga.

Analüüsime joonise abil kumerläätse ja nõgusläätse omavahelist asetust. Kuna hajutav ja koondav lääts asuvad teineteisest eemal, siis peab valgusallika kaugus koondavast läätsest olema selline, et koondavast läätsest langeks nõgusläätsele valguskiir, mis lõikuks läätsede optilise peateljega nõgusläätse ja selle tagumise fookuse vahel. Ainult sellisel juhul on valgusvihk ka pärast nõgusläätse koonduv.

15. Lääts

On antud punktide $A$ ja $B$ ning punkti $A$ kujutise $A^{'}$ asukoht läätse optilise telje $O O^{'}$ suhtes (vt. joonis). Leia konstrueerimise teel punkti $B$ kujutise $B^{'}$ asukoht. Millise läätsega (koondava või hajutava) on sel juhul tegemist ja kas $B^{'}$ on tegelik või ebakujutis?

Lahendus

Kõigepealt tuleb kindlaks teha, kas tegemist on koondava või hajutava läätsega. Selleks kasutame punkti $A$ ja selle kujutist $A^{'}$ . Konstrueerime kaks kiirt ning vaatame, kas need koonduvad või hajuvad.

Üheks kiireks valime sellise, mis läbib läätse optilist keskpunkti ja seega ei murdu. Läätse fookuste asukohad pole teada ja seetõttu tuleb teiseks kiireks valida kiir, mis on enne läätse läbimist optilise peateljega paralleelne ning hiljem murdub läätse fookuses. Kuna kujutis tekib nende kahe kiire või kiirte pikenduste lõikumiskohta, siis joonise tegemisel selgub, et tegemist peab olema nõgusläätsega (läätse läbimise tagajärel kiired hajuvad).

Joonise tegemisel leidsime ka läätse fookuse asukoha: teise kiire pikenduse ja optilise telje lõikumiskoht. Punkti $B$ kujutise $B^{'}$ leidmiseks rakendame neidsamu kahte kiirt.

16. Lääts

Joonisel on kujutatud õhuke lääts $L$ optilise teljega $O O^{'}$ . Punkti $A$ kujutise $A^{'}$ asukoht on näidatud joonisel. Leia konstrueerimise teel punkti $B$ kujutise $B^{'}$ asukoht.

Lahendus

Kõigepealt tuleb kindlaks teha, kas tegemist on koondava või hajutava läätsega. Selleks kasutame punkti $A$ ja selle kujutist $A^{'}$ .

Konstrueerime kaks kiirt ning vaatame, kas need koonduvad või hajuvad. Üheks kiireks valime sellise, mis läbib läätse optilist keskpunkti ja seega ei murdu. Läätse fookuste asukohad pole teada ja seetõttu tuleb teiseks kiireks valida kiir, mis on enne läätse läbimist optilise peateljega paralleelne ning hiljem murdub läätse fookuses. Kuna kujutis tekib nende kahe kiire või kiirte pikenduste lõikumiskohta, siis joonise tegemisel selgub, et tegemist peab olema nõgusläätsega (läätse läbimise tagajärel kiired hajuvad).

Joonise tegemisel leidsime ka läätse fookuse asukoha: teise kiire pikenduse ja optilise telje lõikumiskoht. Punkti $B$ kujutise $B^{'}$ leidmiseks rakendame neid samu kahte kiirt.

17. Lääts

Ese asetseb läätsest $28 c m$ kaugusel. Eseme $7$ -kordselt vähendatud kujutis asub esemega samal pool läätse. Leia läätse fookuskaugus.

Lahendus

Kuna tegemist on vähendatud ebakujutisega, siis on lääts hajutav. Teisest küljest: kui eseme kaugust läätsest tähistada $x$ , kujutise kaugust $u$ ja fookuse kaugust $f$ , siis sarnaste kolmnurkade $△ C D F$ ja $△ A B F$ abil saab kirja panna võrrandi:

\frac{H}{f} = \frac{h}{f - u}

Sarnaste kolmnurkade $△ B C D$ ja $△ B G I$ abil saab kirjutada:

\frac{H}{h} = \frac{x}{u}

Eseme suuruse

H

suhe kujutise suurusse

h

7

, seega

h = \frac{H}{7}

. Seda arvestades võtab teine võrrand kuju

\frac{x}{u} = 7

, esimene võrrand aga

\frac{f}{f - u} = 7

. Avaldame fookuskauguse arvestades ka eelmist võrdust:

f = 7 f - 7 u ⟹ f = 7 f - x

f = \frac{x}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3} c m

18. Lääts

Koondava läätse abil tekitatakse ekraanile kahe punktvalgusallika $A$ ja $B$ kujutised. Allikad asuvad ekraanist võrdsetel kaugusteel (vt. joonis). Kuidas saab suurendada kujutistevahelist kaugust ekraanil? Selleks võib liigutada nii allikaid, läätse kui ka ekraani.

Lahendus

Kujutiste vahemaa muutmine:
1. Vähendame läätse ja allikate vahelist kaugust.
2. Läätse ja allikate vaheline kaugus peab jääma fookuskaugusest suuremaks.
3. Suurendame ekraani ja läätse vahelist kaugust, et kujutis oleks terav.
4. Põhjendame eelpooltoodut kas kiirte käigu või valemite abil.
5. Kallutame ekraani.
6. Teravustamiseks kallutame läätse.

19. Lääts ja tasapeegel

Joonisel on kujutatud kumerläätsest, tasapeeglist ja punktvalgusallikast $S$ koosnev optiline süsteem. Valgusallikas asub läätse optilisel peateljel, peegel on optilise peateljega risti. Valgusallikas asub läätsest $3 c m$ kaugusel ja peegel läätsest $9 c m$ kaugusel. Läätse fookuskaugus on $5 c m$ . Konstrueeri kõik selles süsteemis tekkivad valgusallika kujutised.

Lahendus

Kujutiste konstrueerimiseks tuleb teha järgmist:

Läätsega tekitatud valgusallika $S$ näiva kujutise $S^{'}$ konstrueerimiseks on hea kasutada ühte sirget, mis läbib läätse optilist keskpunkti (joonisel sirge $O F$ ). Tõmmates nüüd valgusallikast selle sirgega paralleelse sirge läätseni, murdub see kiir läätses nii, et see lõikub läätse keskkohta läbiva kiirega tagumises fokaaltasandis. Valgusallikas asub läätse ja fookuse vahel ning seega näiva kujutise puhul on tegu valguskiirte pikendusega. Näiv kujutis asubki seal, kus valgusallika kiire pikendus optilise peateljega lõikub.
Konstrueerime peegli abil valgusallika peegelduse $Q$ , mis asub peeglist sama kaugel kui valgusallikas $S$ .
Punktis $Q^{'}$ , mis asub punktist $O$ sama kaugel kui punkt $S^{'}$ , paikneb läätsega tekitatud valgusallika peegelduse tõeline kujutis.

20. Läätse fookuskaugus

Nõguspeegel ja kumerlääts on omavahel kontaktis. Optilisel peateljel asub valguspunkt $S$ . Valguspunktist väljuvad kiired läbivad läätse, peegelduvad peeglilt ja läbides uuesti läätse koonduvad samas punktis $S$ . Arvuta läätse fookuskaugus, kui peegli kõverusraadius on $1 m$ ja punkt $S$ asub läätsest $20 c m$ kaugusel.

Lahendus

Kuna kiired lähtuvad punktist $S$ ja koonduvad uuesti punktis $S$ , on $S$ optilise süsteemi fookuseks. Seega on süsteemi optiline tugevus

D = \frac{1}{0, 2 m} + \frac{1}{0, 2 m} = 10 d p t

. Kuivõrd süsteemi optiline tugevus võrdub

D = 2 D_{1} + D_{2}

ja nõguspeegli optiline tugevus

D_{2} = 2 d p t

, sest

f = \frac{R}{2}

ning

D = \frac{1}{f}

, siis läätse optiline tugevus on

4 d p t

ja fookuskaugus

f = 25 c m

21. Läätse skeem

Joonisel on kujutatud kaks sellist kiirt, mis lähtuvad punktvalgusallikast $A$ ning on läbinud läätse. Lääts asub sirgel $S$ . Konstrueeri läätse fookuse asukoht. Lahenda ülesanne lisalehel.

Lahendus

Olemasolevate kiirte pikendused lõikuvad punktis $A^{'}$ , mis on punktvalgusallika $A$ kujutiseks. Läätse keskpunkti $O$ saame kätte, kui tõmbame sirge läbi punktide $A$ ja $A^{'}$ . Optiline peatelg on risti läätse tasandiga $S$ ning läbib punkti $O$ . Läätse fookuse $F$ leiame, kui joonistame valgusallikast $A$ kiire $A B$ , mis on optilise peateljega parallelne ning peale läätse läbimist peab see läbima punkti $A^{'}$ .

Märkus: lahenduseks piisab korrektse joonise olemasolust.

22. Läätsed

Joonisel on kujutatud kahest läätsest koosnev optiline süsteem, mille optilised peateljed ning tagumised fookused ühtivad. Ese asub pikema fookuskaugusega läätse eesmises fookuses. Konstrueeri kujutis. Läätsele langevad paralleelsed kiired koonduvad fokaaltasandis.

Lahendus

Kuna ese asub esimese läätse fookuses, siis pärast esimese läätse läbimist peavad valguskiired olema paralleelsed sirged ning eseme kujutis peaks tekkima lõpmatuses. Siiski jääb teine lääts kiirte teekonnale ette ning murrab neid, pannes kiired koonduma kahe läätse ühises fokaaltasandis. Tekkinud kujutis on tõeline, vähendatud ja ümberpööratud. Kiirte konstrueerimisel tuleb lähtuda teadmisest, et läätse optilist keskkonda läbiv kiir ei murdu.

23. Läätsed

Optiline süsteem koosneb kumerläätsest fookuskaugusega $f_{1}$ ning nõgusläätsest fookuskaugusega $f_{2}$ , kusjuures $f_{1} = - 4 f_{2}$ . Läätsed on paigutatud nii, et nende optilised peateljed ühtivad ning nendevaheline kaugus on $1, 5 f_{1}$ . Ese asub kumerläätsest kaugusel $2 f_{1}$ . Konstrueeri eseme kujutis optilises süsteemis.

Lahendus

Kujutise konstrueerimisel tuleb lähtuda järgmistest põhimõtetest:

Eseme mingi punkti kujutise konstrueerimiseks on vaja vähemalt kahte esemest lähtuvat kiirt. Kujutis tekib seal, kus need kiired pärast optilise süsteemi (läätse) läbimist lõikuvad.
Et saada noolest tervet kujutist, tuleb vaadata kahte punkti: noole otsa ja saba. Kuna nool on läätsede optiliste peatelgedega risti ja noolesaba asub optilisel peateljel, siis on ka noole kujutis optilise peateljega risti nõnda, et saba asub teljel. Seega on siin ülesandes vaja leida vaid noole otsa kujutise asukoht. Noole kujutise saab, kui ühendada noole otsa ja saba punktide kujutised.

Kiirte konstrueerimisel kehtivad järgnevad põhimõtted:

Kiir, mis on enne läätseni jõudmist optilise peateljega paralleelne, läbib pärast läätse selle fookuse.
Kiir, mis läbib kõigepealt läätse fookust, on pärast läätse läbimist optilise peateljega paralleelne.
Kiir, mis läbib läätse optilist keskkohta, ei murdu.

24. Läätsed

Jukul on suur hulk nõgusläätsi, mille fookuskauguste leidmiseks konstrueeris ta lihtsa süsteemi: ta suunas optilise peateljega paralleelse laserikiire läbimõõduga $2 R$ tuntud fookuskaugusega $f_{1}$ koondava läätse keskpunkti, pärast mida koondus laserkiir ekraanil ühte punkti. Kui nüüd panna fookuskaugusega $f_{2}$ nõguslääts koondavast läätsest ja ekraanist võrdsele kaugusele, on laserkiire läbimõõt ekraanil $2 r$ . Leia $f_{2}$ eeldusel, et $2 f_{2} < f_{1}$ .

Lahendus

Kogu pilt on optilise peatelje suhtes sümeetriline ning tänu sellele saame tegeleda ainult ühe poolega. Konstrueerime kiirte käigu teades, et kõigi nõgusläätse läbivate paraleelsete kiirte pikendused lõikuvad fokaaltasandil. Joonisel on mõned meid huvitavad sarnased kolmnurgad $△ A F^{'} D \sim △ B O^{'} D \sim △ F C D$ ja $△ E O F \sim △ A F^{'} O \sim △ B O^{'} F$ . Lisaks teame osade lõikude pikkusi: $| E O | = R$ , $| O F | = f_{1}$ , $| F^{'} O^{'} | = f_{2}$ ja $| C F | = r$ . Nüüd saame moodustada neljast võrrandist koosneva lineaarvõrrandisüsteemi:

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} \frac{| E O |}{| O F |} = \frac{| A F^{'} |}{| F^{'} O^{'} |} \frac{| E O |}{| O F |} = \frac{| B O^{'} |}{| O^{'} F |} \frac{| A F^{'} |}{| F^{'} D |} = \frac{| C F |}{| F D |} \frac{| A F^{'} |}{| F^{'} D |} = \frac{| B O^{'} |}{| O^{'} D |} \end{matrix}

Tehes asendusi, saame:

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} \frac{R}{f_{1}} = \frac{| A F^{'} |}{f_{2}} ⟹ | A F^{'} | = \frac{R \cdot f_{2}}{f_{1}} \frac{R}{f_{1}} = \frac{| B O^{'} |}{\frac{f_{1}}{2}} ⟹ | B O^{'} | = \frac{R}{2} \frac{| A F^{'} |}{| O^{'} D | - f_{2}} = \frac{r}{\frac{f_{1}}{2} + | O^{'} D |} \frac{| A F^{'} |}{| O^{'} D | - f_{2}} = \frac{| B O^{'} |}{| O^{'} D |} \end{matrix}

Pärast süsteemi lahendamist saame tulemuseks $f_{2} = \frac{R}{4 r} f_{1}$ .

25. Läätsed

Kuidas tuleb asetada omavahel kaks läätse, et paralleelsed kiired jääksid paralleelseteks ka pärast läätsede läbimist? Käsitle kahte juhtu: a) mõlemad läätsed on koondavad; b) üks lääts on koondav, teine hajutav.

Lahendus

Koondavale läätsele langevad paralleelsed kiired lõikuvad läätse fookuses ja vastupidi - läätse fookusest väljuvad kiired muutuvad läätse läbimisel paralleelseteks. Järelikult selleks, et kahest koondavast läätsest koosnev süsteem jätaks paralleelsed kiired endiselt paralleelseteks, peavad läätsede optilised peateljed ühtima ning teise läätse esifookus peab ühtima esimese läätse tagafookusega (vt. joonis).

26. Läätsed

Kui kaugel teineteisest peaksid asetsema kaks läätse, mille optilised tugevused on $3 d p t$ ja $6 d p t$ , et süsteem ei koondaks ega hajutaks paralleelset valgusvihku?

Lahendus

Läätsele langev paralleelne valgusvihk koondub pärast läätses murdumist fookuses. Kui asetada teine lääts selliselt, et selle fookus langeb kokku esimese läätse fookusega, siis muutub teisele läätsele langev hajuv valgusvihk pärast läätses murdumist paralleelseks.

d = f_{1} + f_{2}

f = \frac{1}{D}

f_{1} = \frac{1}{3 d p t} = 0, 33 m

f_{2} = \frac{1}{6 d p t} = 0, 17 m

d = 0, 33 m + 0, 17 m = 0, 50 m

27. Must kast

Mustas kastis paikneb optiline süsteem, mis koosneb kahest koondavast läätsest ja kahest tasapeeglist. Musta kasti siseneb vasakult poolt kaks paralleelset valgusvihku, punane ülevalt ja sinine alt (vt. joonis). Punane valgusvihk väljub kastist allapoole, sinine ülespoole. Joonista optiliste elementide paigutus mustas kastis ja kiirte käik.

Lahendus

Üks võimalik lahendus on selline, nagu joonisel näidatud. Läätsed asuvad langevate valgusvihkudega risti nii, et nende optilised peateljed ühtivad ning ühe läätse parempoolne fookus langeb kokku teise läätse vasakpoolse fookusega.

Kuna esimesele läätsele langevad valgusvihud on läätse optilise peateljega paralleelsed, siis koonduvad need läätse fookusesse. Teise läätse jaoks tähendab see seda, et valgusallikas asub selle fookuses, ning järelikult on peale teise läätse läbimist valguskiired teise läätse optilise peateljega paralleelsed, kuid seekord on sinine valgusvihk üleval ja punane allpool.

Selleks, et suunata valgusvihud mustast kastist välja risti kasti külgseintega, tuleb valgusvihkude ette asetada tasapeeglid, mis oleksid valgusvihkude suhtes $45^{\circ}$ -kraadise nurga all.

28. Must kast

Juku optikakonstruktor sisaldab ainult koondavat läätse, hajutavat läätse, kumerpeeglit ja nõguspeeglit. Juku tahab teha optilise skeemi, milles sisenev paralleelne kiirtekimp väljub sisenevaga paralleelse ja sama laiana, kuid nihutatult (vt. joonist). Kas see on võimalik? Kui jah, siis joonista vastav skeem; kui ei, siis põhjenda.

Lahendus

Joonisel toodud kiirte käigu saamiseks tuleb panna kiirte teele koondav lääts, mille optiline peatelg on siseneva kiirtekimbuga paralleelne. Läätse fookusesse tuleb asetada kumer- või nõguspeegel nii, et peegli lagipunkt asub fookuses (vt. joonist).

29. Nool

Konstrueeri noole $A B$ kujutis nõguspeeglis (vt. joonis). Tuleta nõguspeegli joonsuurenduse $s$ jaoks selline valem, mis sisaldab eseme kaugust peeglist $a$ ja kujutise kaugust peeglist $k$ . NB! Joonsuurenduseks $s$ nimetatakse kujutise ja eseme joonmõõtmete suhet.

Lahendus

Eseme $A B$ kujutise $A^{'} B^{'}$ konstrueerimisel nõguspeeglis tuleb lähtuda järgmistest põhimõtetest:

Eseme kujutise mingi kindla punkti leidmiseks tuleb kasutada vähemalt kahte esemest lähtuvat kiirt.
Kiir, mis on enne peeglini jõudmist optilise peateljega paralleelne, läbib pärast peegeldumist nõguspeegli fookuse.
Kiir, mis läbib kõigepealt peegli fookuse, on pärast peegeldumist optilise peateljega paralleelne.
Kõik kiired järgivad ka peegeldumisseadust, mille kohaselt kiire langemisnurk on võrdne kiire peegeldumisnurgaga. Kuna peegli keskpunkti läbiv optiline peatelg on peegelpinnaga risti, on hea valida üheks kiireks kiir, mis peegeldub nõguspeegli lagipunktis.

Tuletame valemi nõguspeegli joonsuurenduse leidmiseks. Tähistame eseme kauguse peeglist $A O = a$ ja kujutise kauguse peeglist $A^{'} O = k$ . Kuna nurgad $∠ A O B$ ja $∠ A^{'} O B$ on võrdsed, siis nõguspeegli joonsuurendus avaldub:

s = \frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{k}{a}

30. Optiline kast

Milline läätsede süsteem on kastis, kui kiir $A$ tuleb kastist välja kiirena $A_{1}$ ja kiir $B$ kiirena $B_{1}$ ?

Lahendus

Kastis võivad näiteks olla koondav lääts ja hajutav lääts, mille fookused langevad kokku (vt. joonis). Lubatud on ka teised korrektsed lahendused.

31. Optiline skeem

Igivanast optilisest skeemist on säilinud vaid osa (vt. joonis). Taasta läätse tasand, optiline peatelg ja fookus eeldades, et skeem polnud kuigi keeruline ja koosnes vaid ühest õhukesest koondavast läätsest. Nooled näitavad kiirte levimise suunda.

Lahendus

Kõigepealt pikendame kiiri mõlemas suunas (vt. joonis).

Ühendades punktid $C$ ja $D$ , leiame läätse asukoha: see on pind, millel toimub kiirte murdumine. Punktis $O$ , kus lõikuvad jooned $C D$ ja $A B$ , asub läätse optiline keskpunkt. Sirge, mis läbib läätse keskpunkti risti läätse tasandiga, on läätse optiline peatelg. Joonistame sirge, mis on paralleelne sirgega $A D$ ja läbib punkti $O$ . See sirge lõikub sirgega $D B$ punktis $L$ .

Kordame protseduuri sirge $A C$ puhul ja saame punkti $K$ . Ühendades punktid $K$ ja $L$ , saame fokaaltasandi. Punkt, kus läätse optiline peatelg lõikub fokaaltasandiga, on läätse fookus $F$ .

32. Optiline süsteem

Koosta nõgusläätsest ja nõguspeeglist selline optiline süsteem, milles süsteemile langenud optilise peateljega paralleelne valgusvihk peegeldub tagasi samuti paralleelsena. Esita joonis koos selgitusega. Milline tingimus peab olema täidetud, et selline optiline süsteem töötaks?

Lahendus

Nõgusläätsele langenud optilise peateljega paralleelne valgusvihk hajub nii, et hajunud valguskiirte pikendused lõikuvad fookuses läätse ees.

Kui paigutada nõguspeegel läätse taha nii, et nõguspeegli optiline keskpunkt ühtib läätse fookusega, on peeglile langenud hajunud valguskiired peegli pinnaga risti ja peeglile langenud ja peeglilt peegeldunud valguskiired langevad kokku. Seega lõikuvad nõguspeeglilt peegeldunud valguskiired nõgusläätse fookuses ja nõgusläätselt läheb tagasi optilise peateljega paralleelne valgusvihk. Et selline optiline süsteem töötaks, peab nõguspeegli kõverusraadius olema nõgusläätse fookuskaugusest suurem.

33. Optiline süsteem

Koondav lääts ja nõgupeegel moodustavad optilise süsteemi. Kuidas tuleb lääts ja peegel teineteise suhtes asetada ning kuhu paigutada elektrilamp, et sellise süsteemi abil tekiks paralleelne valgusvihk?

Lahendus

Ülesande lahendus on toodud joonisel, kus $F$ tähistab läätse fookuskaugust ja $f$ peegli fookuskaugust. Seda ülesannet on mugav lahendada tagurpidi - lähtudes lõpptulemusest. Süsteemi väljundiks peab olema paralleelne valgusvihk. Läbides läätse koondub valgus läätse fookusesesse.

Selleks, et, läbides peeglit ja läätse koonduks valgus ühte kindlasse punkti, on kõige parem, kui läätsele langeb paralleelne valgusvihk. Selleks tuleb peegli ja läätse fookused kokku viia. Siis läbib valgus läätse fookuse, jõuab peeglini, peegeldub sellest paralleelse valgusvihina (sest see tuli peegli fookusest) ning läbides läätse koondub läätse fookusesesse. Kui me nüüd asetame läätse fookusesse elektrilambi, läbib valguskiir kirjeldatud teekonna vastupidises suunas.

34. Optiline süsteem

Kahest tasapeeglist koosnev optiline süsteem asub poolest saadik vees nii, et veepind läbib peeglite kinnituskohta. Peeglid moodustavad omavahel täisnurga, veepind moodustab alumise peegliga nurga $30^{\circ}$ . Alumisele peeglile langeb veepinnaga paralleelne valguskiir. $a)$ Visanda kiire käik antud optilises süsteemis. Kas peale kahekordset peegeldumist satub kiir tagasi vette? $b)$ Arvuta peegeldumisnurk teiselt peeglilt, kui vee murdumisnäitaja on $1, 33$ .

Lahendus

a) Kuna valguskiir langeb esimesele peeglile veepinnaga paralleelselt, on selle ja peegli vaheline nurk $30^{\circ}$ . Järelikult on valguskiire esimene langemisnurk $60^{\circ}$ . Peegeldumisseaduse järgi on peegeldumisnurk võrdne langemisnurgaga ning järelikult on esimene peegeldumisnurk $60^{\circ}$ . Kujutame ette, et vett ei ole.

Kuna peeglid on omavahel risti, langeks kiir teisele peeglile nurga $90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ all (kiir $A$ ). Järelikult oleks valguskiire peegeldumisnurk teiselt peeglilt $30^{\circ}$ ehk teiste sõnadega oleks see veepinnaga paralleelne. Saadud tulemus on üldise iseloomuga — täisnurksesse peegelsüsteemi suunatud valguskiir (nurka visatud pall) peegeldub (põrkub) tagasi langemissuunaga samas sihis. Kuna aga valguskiire ees asub veepind, toimub murdumine (kiir $B$ ), kusjuures murdumisnurk on suurem kui langemisnurk, sest õhk on veest hõredam ja valgus levib õhus kiiremini. Murdumise tulemusena muutub langemisnurk teisele peeglile väiksemaks ja järelikult väheneb ka peegeldumisnurk teiselt peeglilt. See tähendab, et teiselt peeglilt peegeldunud kiir satub tagasi vette.

b) Uurime nüüd põhjalikult, mis juhtub valguskiirega pärast murdumist. Murdumisseadusest teame, et

\frac{sin α}{sin γ} = \frac{n_{2}}{n_{1}}

, kus

α

on langemisnurk,

γ

on murdumisnurk,

n_{1}

on langemiskeskkonna murdumisnäitaja ja

n_{2}

on murdumiskeskkonna murdumisnäitaja. Meie puhul oleks murdumisnurk võrdne

γ = arcsin (sin 30^{\circ} \cdot \frac{n_{1}}{n_{2}}) \approx 42^{\circ}

. Veepinnast, teisest peeglist ja valguskiirest moodustatud kolmnurgast leiame valguskiire ja peegli vahelise nurga. See on

180^{\circ} - 60^{\circ} - 48^{\circ} = 72^{\circ}

. Järelikult on langemisnurk teisele peeglile võrdne

90^{\circ} - 72^{\circ} = 18^{\circ}

ning peegeldumisnurk teiselt peeglilt samuti

18^{\circ}

35. Peegel

Joonisel on näidatud optiline süsteem, mis koosneb peeglist, koondavast läätsest, esemest ja valgust blokeerivast barjäärist. Konstrueeri lisalehel eseme tõeline kujutis.

Lahendus

Kõige lihtsam viis ülesande lahendamiseks on kõigepealt konstrueerida eseme (näiv) kujutis peeglis ja konstrueerida sellest läätse abil tekkiv kujutis. Barjäär tagab tõsiasja, et tekib ainult üks tõeline kujutis.

Kujutise konstrueerimisel tuleb lähtuda järgmistest põhimõtetest:

Valguskiire peegeldumise konstrueerimisel peeglilt tuleb arvestada murdumisseadust, mille kohaselt on langeva kiire peegeldumisnurk võrdne langemisnurgaga.
Eseme mingi punkti kujutise konstrueerimiseks on vaja vähemalt kahte esemest lähtuvat kiirt. Kujutis tekib seal, kus need kiired pärast optilise süsteemi läbimist lõikuvad.
Et saada noolest tervet kujutist, tuleb vaadata kahte punkti: noole otsa ja saba.
Üheks võimaluseks on mõlema punkti jaoks valida üheks kiireks selline kiir, mis läbib läätse eesmist fookust, ja teiseks kiir, mis läbiks tagumist fookust. Pärast läätse läbimist on eesmist fookust läbivad kiired optilise peateljega paralleelsed. Tagumist fookust läbivad kiired on seevastu enne läätse läbimist optilise peateljega paralleelsed, sest ese on optilise peateljega paralleelne. Noole otsast ja sabast lähtuvate kiirte teekonnad sellisel juhul ühtivad.
Teiseks võimaluseks on valida üks kiir nõnda, et see läbib läätse keskkohta. Selline kiir läbib läätse sirgelt. Teiseks kiireks võib võtta kiire, mis läbib kas eesmist või tagumist fookust.
Noole kujutise saab, kui ühendada noole otsa ja saba punktide kujutised.

36. Pliiatsi kujutis

Konstrueeri teritatud pliiatsi kujutis optilises süsteemis, mis koosneb koondavast läätsest ja tasapeeglist. Tasapeegel asub läätse fookuses läätse optilise peateljega risti. Pliiats asub läätse ees läätse optilise peateljega paralleelselt, teravikuga läätse poole. Pliiats asub läätsest kaugemal kui läätse fookus.

Lahendus

Kujutise konstrueerimisel tuleb lähtuda järgmistest põhimõtetest:

Eseme mingi punkti kujutise konstrueerimiseks on vaja vähemalt kahte esemest lähtuvat kiirt. Kujutis tekib seal, kus need kiired pärast optilise süsteemi läbimist lõikuvad.
Et saada noolest tervet kujutist, tuleb vaadata kahte punkti: noole otsa ja saba.
Üheks võimaluseks on mõlema punkti jaoks valida üks selline kiir, mis läbib läätse eesmist fookust, ja teine kiir nõnda, et see läbiks tagumist fookust. Pärast läätse läbimist on eesmist fookust läbivad kiired optilise peateljega paralleelsed. Tagumist fookust läbivad kiired on seevastu enne läätse läbimist optilise peateljega paralleelsed, sest ese on optilise peateljega paralleelne. Noole otsast ja sabast lähtuvate kiirte teekonnad sellisel juhul ühtivad.
Teiseks võimaluseks on valida üks kiir nõnda, et see läbib läätse keskkohta. Selline kiir läbib läätse sirgelt. Teiseks kiireks võib võtta kiire, mis läbib kas eesmist või tagumist fookust.
Valguskiire peeglilt peegeldumise konstrueerimisel tuleb arvestada murdumisseadust, mille kohaselt on langeva kiire peegeldumisnurk võrdne langemisnurgaga.
Noole kujutise saab, kui ühendada noole otsa ja saba punktide kujutised.

37. Prillid

Juku on lühinägelik ja kasutab prille optilise tugevusega $D_{1} = - 4 d p t$ . Ükskord proovis Juku oma prillide asemel ette vanaema lugemisprille, mille optiline tugevus on $D_{2} = 4 d p t$ . Juku märkas, et vanaema prille kandes läheb pilt veel udusemaks, kuid neid peast teatud kaugusel hoides näeb ta ka kaugeid objekte teravalt. Mis oli prillide suurim kaugus silmast, mille korral Juku veel kaugeid objekte teravalt nägi? Mis oli läbi vanaema prillide nähtud pildi juures ebaharilik? Prille tavapärasel viisil kandes on silma kaugus prilliklaasist tühiselt väike.

Lahendus

Lühinägelik silm näeb teravalt objekti, mis ei asu kaugemal teatud vahemaast $d_{m a x}$ (joon. a). Prillide eesmärgiks on tekitada kaugest objektist kujutis, mis asub silmast samal kaugusel (joon. b). Lõpmata kaugelt objektilt tulevad kiired on paralleelsed ja kujutise kaugus läätsest on võrdne fookuskauguse absoluutväärtusega

| f_{1} | = \frac{1}{| D_{1} |}

. Silma kaugus prilliklaasist on väike ja

d_{m a x} \approx | f_{1} |

. Kumerlääts lugemisprillides tekitab kauge objekti tõelise kujutise (joon. c), mille kaugus läätsest on

| f_{2} | = \frac{1}{| D_{2} |}

. Silma kaugus lugemisprillidest on

l = | f_{2} | + d_{m a x} \approx | f_{2} | + | f_{1} | = \frac{1}{| D_{2} |} + \frac{1}{| D_{1} |}

Pannes valemisse arvud sisse, saame $l = 0, 5 m = 50 c m$ . Sellisel ebaharilikul viisil prille kasutades on kujutis pööratud.

38. Projektor

Kodukinoprojektori paigutamisel võib tekkida olukord, kus kujutis tekib ekraani suhtes liiga kõrgele või madalale. Kui üritada kujutist projektori kallutamisega õigesse kohta nihutada, venib see trapetsikujuliseks. Mõned projektorid võimaldavad kujutise asukohta siiski ilma moonutusi tekitamata ristsuunas liigutada - selleks nihutatakse projektori objektiivi optilise peateljega ristuvas suunas, jättes kõik ülejäänud detailid paigale. Vaatame lihtsat projektorit, mis koosneb kumerläätsest fookuskaugusega $f = 60 m m$ ja sellest teatud kaugusele paigutatud minikuvarist. Lääts tekitab endast $L = 4 m$ kaugusele paigutatud ekraanile minikuvari terava suurendatud kujutise. Kui palju ja mis suunas tuleb läätse liigutada, et kujutis nihkuks ekraanil $Δ Y = 20 c m$ võrra kõrgemale?

Lahendus

Lihtsam on vaadata olukorda, kus lääts on paigal ja liigutatakse minikuvarit. Suurendatud tõelise kujutise tekkimiseks peab minikuvar paiknema läätsest kaugusel, mis jääb ühe ja kahe fookuskauguse vahele. Teeme optilisest skeemist joonise. Nihkugu minikuvari mingi punkt läätse suhtes vahemaa $Δ y$ võrra. Nihet kujutame joonisel noolekesega. Lihtsuse huvides asugu vaadeldav punkt enne nihutamist optilisel peateljel. Konstrueerime kujutise vastava nihke, mille pikkus on $Δ Y$ . Sarnastest kolmnurkadest näeme, et

\frac{Δ Y}{Δ y} = \frac{D - f}{f} .

Tuletame nüüd meelde, et minikuvari asemel nihutame tegelikult läätse. Kui liigutasime minikuvarit läätse suhtes alla, siis nihkus kujutis üles. Sama olukorra kohta võime öelda, et liigutasime läätse minikuvari suhtes üles. See tähendab, et läätse liigutamisel mingis suunas liigub ka kujutis samas suunas. Seetõttu avaldub kujutise kogunihe ekraanil läätse suhtes leitud nihke

Δ Y

ja läätse enda nihke

Δ y

summana

Δ Y_{k o g u} = Δ Y + Δ y = \frac{D - f}{f} Δ y + Δ y = \frac{D - f + f}{f} Δ y = \frac{D}{f} Δ y

Kui kasutada algandmete arvväärtusi, siis saame vastuseks, et kujutise tõstmiseks

20 c m

võrra tuleb läätse nihutada

Δ y = 3 m m

võrra ülespoole.

39. Tasapeegel

Kuidas tuleb paigutada kumerlääts, tasapeegel ja punktikujuline valgusallikas, et peeglist peegeldunud kiired oleksid pärast läätse läbimist läätse optilise peateljega paralleelsed? Tee joonis.

Lahendus

Tasapeegel asetseb risti läätse optilise peateljega ning peegelpinnaga läätse poole. Asetame kumerläätse ja tasapeegli vahele punktikujulise valgusallika nii, et valgusallika kujutis peeglis asuks täpselt läätse fookuses. Punktikujulise valgusallika kujutis tasapeeglis on peegli taga samal kaugusel peeglist kui valgusallikas peegli ees. Sel juhul on pärast läätse valguskiired läätse optilise peateljega paralleelsed.

40. Valgusallika kujutis

Kaksikkumer lääts ja sfääriline nõguspeegel asetsevad nii, et nende optilised peateljed kattuvad. Läätse ees, selle fookuskaugusest kaugemal, asub punktikujuline valgusallikas, näiteks põleva taskulambipirni hõõgniit. Kuhu tuleks paigutada peegel, kui tahta, et läätse ja peegli abil tekitatud punktikujulise valgusallika kujutis langeks kokku läätse ees paikneva punktikujulise valgusallikaga? Tee lisaks selgitusele ka joonis.

Lahendus

Kui valguspunkt asetseb optilisel peateljel, läätse fookuskaugusest kaugemal, tekib läätse abil saadud valguspunkti kujutis läätse taga optilisel peateljel. Paigutades peegli nii, et peegli keskpunkt kattub valguspunkti kujutisega, tekitab nõguspeegel kujutise täpselt samasse punkti. Kasutades kiirte pööratavuse printsiipi, saame kujutise läätse ees samasse kohta kus paikneb valguspunkt.

41. Valguse kogumine

Kettakujuline plaat raadiusega $r = 0, 5 c m$ paikneb nõgusa sfäärilise peegli ees fookusest kaugemal (joonisel süsteemi lõige telje tasandis). Plaadile ja peeglile langeb ringikujulise ristlõikega valgusvihk raadiusega $R_{v} = 1, 5 c m$ . Konstrueeri lisalahel kiirte käik ja arvuta, kui suur osa algsest valgusvihust jõuab ketta peeglipoolsele küljele. Kogu süsteem on optilise telje (tähistatud katkeva joonega) suhtes sümmeetriline. Vajalikud mõõtmised võib teha joonlauaga. Lisalehel on õiges mõõtkavas olev joonis.

Lahendus

1) Leiame ketta peeglipoolsele küljele jõudva kiirtekimbu raadiuse konstrueerimise teel. Selleks tõmbame joone ketta servast läbi peegli fookuse peegli pinnani. Tulemuseks saadud raadiust $R^{'}$ võib joonlauaga mõõta (tuleb ligikaudu $1, 1 c m$ )
2) Ketta peeglipoolsele küljele jõudva kiirtekimbu ristlõikepindala on konstrueerimisel saadud raadiusega kiirtekimbu ristlõikepindala (enne peegli pinnani jõudmist) ja ketta ristlõikepindala vahe.
3) Jagame saadud pindala algse kiirtekimbu ristlõikepindalaga:

\frac{R^{' 2} - r^{2}}{R_{v}^{2}} = \frac{1, 1^{2} - 0, 5^{2}}{1, 5^{2}} \approx 0, 43

42. Valguskiired

Kuhu ja kuidas tuleks asetada tasapeegel läätse suhtes, et valguspunktist $S$ väljunud valguskiired oleksid pärast peegeldumist ja läätses murdumist joonisel kujutatud valguskiirega paralleelsed? Lahenduse joonis esita lisalehel. Põhjenda oma lahenduskäiku.

Lahendus

Peegel tuleb asetada nii, et valguspunkti $S$ kujutis satuks läätse fokaaltasandisse, sest vaid siis on kiirtevihk pärast läätse läbimist paralleelne. Samuti peab seda kujutist läbima valguskiirega paralleelne läätse optiline telg. Seega peab tasapeegel poolitama lõigu $S S^{'}$ (vt joonist).

43. Valgusvihu laiendi

Laserist väljub paralleelne valgusvihk diameetriga $d = 2 m m$ . Kumer- ja nõgusläätse abil muudetakse see paralleelseks valgusvihuks läbimõõduga $D = 6 m m$ . Visanda optiline süsteem valgusvihu laiendamiseks ja arvuta nõgusläätse optiline tugevus, kui kasutatava kumerläätse fookuskaugus on $f = 15 c m$ .

Lahendus

Läätsede fookused peavad kattuma. Nõguslääts ja kumerlääts paigutatakse üksteise taha ühele ja samale optilisele peateljele, nii et nende fookused kattuksid. Seos

\frac{D}{f_{k u m e r}} = \frac{d}{f_{n ˜ o gus}}

avaldub kolmnurkade sarnasusest. Nõgusläätse fookuskauguse avaldamine:

f_{n ˜ o gus} = \frac{f_{k u m e r}}{D} \cdot d = 5 c m

Seosest

D = \frac{1}{f}

saame nõgusläätse optilise tugevuse

D = \frac{1}{- 0, 05 m} = - 20 d p t

44. Fotograaf

Fotograaf pildistas kõrgest joast langevat veevoolu; päikesevalguses sätendavad veepiisad venisid piltidel vertikaalseteks triipudeks. Kui fotoaparaat oli pildistamisel normaalasendis, olid kõik triibud pikkusega $l_{1} = 120$ pikslit; kui fotoaparaat oli pildistamisel „jalad ülespidi'' (st seda pöörati $180^{\circ}$ kraadi ümber selle optilise telje), oli triipude pikkuseks $l_{2} = 200$ pikslit. Kui pikad olid triibud siis, kui fotoaparaati hoiti pildistamisel „portree asendis" (st seda pöörati $90^{\circ}$ kraadi ümber selle optilise telje)? Eelda, et säriaeg ja optilise telje suund olid kõigil juhtudel samad. Kui toodud andmete põhjal pole vastus üheselt leitav, siis anna kõik võimalikud vastused.

Vihje: Fotoaparaadi põhikomponendid on objektiiv (lääts) ja katik, millest esimene tekitab digitaalsensori (või filmi) tasandile pildistatavate esemete kujutise. „Puhkeasendis'' ei lange see kujutis siiski sensorile, sest katik varjab läbi objektiivi tulnud valguse ära. Päästikule vajutamisel avaneb katik lühikeseks ajavahemikuks (säriajaks): objektide kujutis langeb nüüd tõesti sensorile ning sensori iga piksel mõõdab ära kogu selle aja vältel langeva valgusenergia. Harilikult kujutab katik endast kahte „kardinat,'' mis paiknevad vahetult sensori ees ja katavad selle. Alguses varjab sensorit esimene kardin, mille ülemine serv liigub päästikule vajutamisel konstantse kiirusega $v$ ülevalt alla, avades sensori. Säriaja lõpetab teine kardin, mille alumine serv liigub ülevalt alla samasuguse kiirusega $v$ . Kui säriaeg on hästi lühike, ei jõua sensor täielikult avaneda: mõlemad kardinad liiguvad koos ülevalt alla ning sensor on avatud objektiivist tulevale valgusele vaid kardinate vahelise kitsa horisontaalse riba ulatuses (kusjuures see valgusele avatud riba liigub kiirusega $v$ ülevalt alla).

Lahendus

Olgu pilu laius $d$ , katiku kiirus $u$ ja piisa kujutise kiirus sensori tasandis $v$ . Katiku taustsüsteemis liigub piisa kujutis kiirusega $u \pm v$ ; kui fotoaparaat on päripidi, siis tuleb võtta märk „+", ja kui tagurpidi, siis „-''. Seega on piisa jälje tekkimise aeg $\frac{d}{| u \pm v |}$ ning jälje pikkus $l = \frac{v d}{| u \pm v |}$ . Olgu $u \geq v$ ; siis

l_{1} = \frac{v d}{u + v}, l_{2} = \frac{v d}{u - v}

Jagades teise võrrandi esimesega, saame

\frac{u + v}{u - v} = \frac{l_{2}}{l_{1}} = \frac{5}{3}

, millest

3 u + 3 v = 5 u - 5 v

u = 4 v

. Kui fotoaparaat on portreeasendis, siis viibib piisa kujutis pilus ajavahemiku

\frac{d}{u}

jooksul ja jälje pikkus on seega

l_{3} = \frac{v d}{u}

. Esimese võrrandiga läbi jagades leiame, et

\frac{l_{3}}{l_{1}} = 1 + \frac{v}{u} = \frac{5}{4}

ning

l_{3} = \frac{5}{4} l_{1} = 150 p i k s l i t .

Kui

u < v

, siis muutub ainult teine võrrand,

l_{2} = \frac{v d}{v - u}

mistõttu

3 u + 3 v = 5 v - 5 u

u = \frac{v}{4}

, mistõttu

l_{3} = 5 l_{1} = 600 p i k s l i t .

Märkus 1: Ülesande teksti põhjal on see üks kahest võimalikust vastusest. Reaalselt, arvestades tüüpilist katiku liikumiskiirust (

18 m m

), on läbimisajaga

\frac{1}{125} s \Rightarrow u = 2, 25 \frac{m}{s} \Rightarrow v = 4 u = 9 \frac{m}{s}

) siiski üsna raske saavutada, et

v = 4 u

: pildistamine peaks toimuma ohtlikult lähedalt. Kui joa kõrgus oleks nt

100 m

, siis oleks vabalt langenud piisa kiirus ca

44 \frac{m}{s}

, mistõttu pildistamiskauguse ja objektiivi fookuskauguse suhe (st suurendustegur) tuleks

\frac{44}{9} \approx 5

ning isegi teleobjektiivi (nt

f = 300 m m

) korral peaks fotograaf asuma joast vaid

1, 5 m

kaugusel.
Märkus 2: Eeldusest, et „pilu laius on

d

'' võib jääda mulje justkui eeldanuks me vaikimisi, et sensor ei jõua säritamise ajal täielikult avaneda. Ometigi kehtib lahendus ka siis, kui säriaeg on nii pikk, et sensor jõuab täielikult avaneda: piltlikult võib ette kujutada, et mõlemad kardinad liiguvad samaaegselt, kuid pilu laius on sensori kõrgusest suurem, st esimene kardin jõuab sensori kohalt eemale minna enne teise kardina saabumist.

45. Kujutis kumerläätsega

Kumerläätsega tekitatakse valgusallika kujutis. Kui valgusallikas asub punktis $A$ , tekib kujutis punktis $B$ . Kui aga valgusallikas paigutada punkti $B$ , tekib kujutis punktis $C$ . Kas punkt $C$ langeb kokku punktiga $A$ ? Põhjenda. Valgusallika asukoha muutmisega läätse asukoht ei muutu.

Lahendus

Kasutades kiirte pööratavuse printsiipi võib kumerläätsega tekitatud tõelise kujutise korral eseme ja kujutise asukohad ära vahetada. Kumerläätsega tekitatud näiva kujutise puhul seda teha ei saa. Seega: kui ese asub läätsest kaugemal kui läätse fookuskaugus, langevad punktid $C$ ja $A$ kokku. Kui ese asub läätsele lähemal kui fookuskaugus, siis punktid $C$ ja $A$ kokku ei lange.

46. Lääts

Olgu meil kumerlääts optilise tugevusega $D = 10 d p t r$ . Kui kaugele läätsest tekib Kuu kujutis? Kui kaugele läätsest tekib Päikese kujutis? Kuu orbiidi raadiuseks võtta $r = 3, 8 \cdot 10^{5} k m$ , Maa orbiidi raadiuseks võtta $R = 1, 5 \cdot 10^{8} k m$ .

Lahendus

Mõlemal juhul on ese läätsest väga kaugel ning sellelt lähtunud kiired võib lugeda paralleelseteks. Kujutised tekivad seega fokaaltasandil, mis asub läätsest kaugusel $f = \frac{1}{D} = 10 c m$ .

47. Lääts

Tasakumera läätse optiline tugevus on $1$ dioptria. Läätse kumera osa raadius on $50 c m$ . a) Milliseks kujuneb vahendi optiline tugevus, kui hõbetamise teel muudetakse läätse tasapind peegliks ning valgus suunatakse läätsele kumera pinna poolt? b) Milliseks kujuneb vahendi optiline tugevus, kui hõbetamise teel muudetakse läätse kumerpind peegliks ning valgus suunatakse läätsele tasapinna poolt?

Lahendus

a) Kui peegliks muuta läätse tasapinnaline külg, läbib valgus läätse, peegeldub tasapeeglilt ja läbib uuesti läätse. Läätsede ja/või peeglite süsteemi optiline tugevus võrdub süsteemi osade optiliste tugevuste summaga. Seega

D = D_{1} + D_{2} + D_{1}

Kuna

D_{2} = 0

, siis on sellise seadme optiline tugevus

D = 2 d p t

b) Kui hõbetatud on kumerpind, siis moodustab kumerpind nõguspeegli, mille raadius on $r = 50 c m$ ja fookuskaugus $f = \frac{r}{2} = 25 c m$ . Kuna

D = \frac{1}{f}

, on peegli optiline tugevus

4 d p t

. Kasutades valemit

D = D_{1} + D_{2} + D_{1}

, saame seadme optiliseks tugevuseks

D = 6 d p t

48. Läätsed

Kuidas asetada kumer- ja nõguslääts, et kumerläätsele langev paralleelne valgusvihk jääks pärast läätsede süsteemi läbimist paralleelseks? Joonista kiirte käik. Millise kumer- ja nõgusläätse paari korral ei ole see ülesanne lahendatav?

Lahendus

Läätsede fookused peavad ühtima. Ülesanne ei ole lahenduv, kui koondava läätse fookuskaugus on hajutava läätse fookuskaugusest väiksem.

1.15 Optika, varia

1. Aken

Akna kõrgus on $h = 1, 5 m$ . Päike paistab otse risti aknast sisse (s.t. Päikest läbiv vertikaaltasand on risti akna tasandiga, mis on samuti vertikaalne). Linnu vari langes aknale, liikudes otse ülevalt alla. Vari möödus aknast $t = 0, 5$ sekundiga. Kui kiiresti lendas lind, kui eeldada, et ta liikus horisontaalselt? Maja kõrgus on $H = 10 m$ , maja varju pikkus on $8 m$ . Maja katus on horisontaalne.

Lahendus

Joonisel on esitatud situatsiooni skeem. Panna tähele, et Päikesekiired, mis aknale langevad, on akna tasandiga ristuvas tasandis ehk Päike paistab aknast sisse nõnda, et päikesekiired ei valgusta maja sisemisi külgseinu vaid põrandat.

Linnu lendamise kiirus avaldub valemiga

v = \frac{s}{t}

kus

s

on linnu teepikkus, mille ta läbis, kui vari liikus üle akna ajaga

t

. Jooniselt on näha, et linnu läbitud teepikkus on võrdne päikesekiirte poolt valgustatud osaga

l

.Kuna päikesekiired on praktiliselt paralleelsed, siis sarnaste kolmnurkade meetodil

\frac{L}{H} = \frac{s}{h}

Asendades teepikkuse kiiruse valemisse, siis

v = h \frac{L}{H t}

Seega kiirus

v = \frac{1, 5 \cdot 8}{10 \cdot 0, 5} = 2, 4 \frac{m}{s}

2. Akvaarium

Akvaariumi kohal on kaks punktvalgusallikat. Joonisel on näidatud kala vari ja poolvari akvaariumi põhjal. Lisalehel skitseerida punktvalgusallikate ligikaudsed asukohad.

Lahendus

Lahendus on esitatud joonisel.

3. Autod

Kaks autot sõidavad mööda sirget maanteed ühtlase kiirusega, kusjuures esimese auto kiirus on $36 \frac{k m}{h}$ . Hetkel, kui autode vaheline kaugus on $200 m$ , hakkab esimese auto juht jälgima teise auto kujutist tasapinnalises tahavaatepeeglis. Ta märkab, et $5$ sekundi jooksul suureneb teise auto kujutis $2$ korda. Leida teise auto kiirus.

Lahendus

Kujutise mõõtmete suurenemine $2$ korda tähendab kujutise lähenemist peeglile samuti $2$ korda. Kuna tasapeeglis on kujutis sümmeetriline esemega, siis on teine auto $5 s$ jooksul lähenenud esimesele $2$ korda, s.t.

\frac{200 m}{2} = 100 m

võrra. Järelikult on teise auto kiirus esimese auto suhtes

v_{2} = \frac{100 m}{5 s} = 20 \frac{m}{s}

Esimese auto kiirus on

v_{1} = 36 \frac{k m}{h} = 10 \frac{m}{s}

Seega on teise auto kiirus maante suhtes

v_{2} = 20 \frac{m}{s} + 10 \frac{m}{s} = 30 \frac{m}{s} = 108 \frac{k m}{h}

4. Hämarik

Lõunamaades olevat hämariku aeg hulga lühem kui meil. Kas see on tõsi? Põhjendage vastus.

Lahendus

Jah, sest ekvaatorile lähemal on päikese näiva liikumise ja horisondi vaheline nurk lähedasem täisnurgale, kui meie juures.

Hämarik ehk agu on ööpäeva osa, mil Päike on hommikul või õhtul allpool horisonti, kuid mitte rohkem kui $18^{\circ}$ (siis algab öö).

5. Jääpurikas

Õues on päikesepaisteline talveilm. Naabermaja katuseräästa küljes ripub jääpurikas, mille ots helgib sinakalt. Kui vaatleja nihutab pead vasakule, helgib jääpurika ots punakalt. Mis põhjustab jääpurika otsa värvi? Vaatleja, purika ja Päikese paiknemine on visandatud joonisel. Selgitada vastust joonisega.

Lahendus

Päikesekiired murduvad piisas jääpurika tipus ning peegelduvad piisa tagaküljel. Kuna valguse erinevad lainepikkused murduvad piisas erinevalt (valguse dispersioon), siis selle tõttu paistab jääpurika ots ühe nurga alt vaadatuna sinakalt ning teise nurga alt punakalt. Kõrvaloleval joonisel tähistab $V$ violetset ja $P$ punast valgust.

6. Kiired

Kahest kumerast klaasist on valmistatud seest õõnes kaksikkumer lääts (vt joonis), mis on asetatud vette. Läätsele langeb paralleelne valgusvihk. Joonista kiirte edasine käik.

Lahendus

Et kontrollida, kas lääts koondab või hajutab valgust tuleb:

modelleerida läätse pindu tasapinnalisena;
kasutada valguse murdumise seaduspärasusi.

Valguse levimisel optiliselt hõredamast keskonnast optiliselt tihedamasse keskkonda murdub valgus pinnaristsirge poole. Valguse levimisel optiliselt tihedamast keskonnast optiliselt hõredamasse keskkonda murdub valgus pinnaristsirgest eemale.

Vesi on optiliselt tihedam keskkond kui õhk. Seega esimesele läätse pinnale langev valgus, murdub pinnaristsirgest eemale ja läätse seest tagasi vette minev kiir pinna ristsirge poole (kiir läheb õhust vette). Ühe kiire käik läbi läätse on kujutatud ka selgitaval joonisel.

Järeldus: Selline lääts hajutab valgust.

7. Kuuvarjutus

Milline loodusnähtus on jälgitav Kuu pinnal sel ajal, kui Maa peal on kuuvarjutus?

Lahendus

Jooniselt on kerge näha, et kui Maal on parajasti nähtav kuuvarjutus, saab Kuul samaaegselt nautida päikesevarjutust.

8. Maja

Fotol kujutatud maja alumise korruse kõrgus (mõõdetuna esimese korruse akna alumisest servast teise korruse akna alumise servani) on 3 meetrit. Kui kõrgel veepinnast on maja (täpsemalt, tema vundamendi ülemine serv)?

Lahendus

Maja teatud punkt $P$ ja tema peegelkujutis mere pinnalt $P^{'}$ paiknevad sümmeetriliselt mere tasandiga. Vaatleme mõttelist sirget $P P^{'}$ . Tema lõikepunkt merega $O$ paikneb mõlemast otsast võrdsel kaugusel ning tänu sellele saame me jooniselt punkti $O$ kergelt määrata kui lõigu $P P^{'}$ keskpunkti. Maja kõrgus merepinnalt vastab vundamendi kaugusele punktist $O$ (vt joonis). Mõõtes jooniselt akende vahekauguse $A B = 9, 5 m m$ ja $O Q = 58, 5 m m$ saame

H = 3 m \cdot \frac{O Q}{A B} = 18, 5 m .

9. Münt

Tassi põhjas asub münt. Kui eemalduda tassist, siis teatud kaugusel kaob münt tassi serva varju. Kui aga nüüd valada tassi vett, siis võime uuesti münti samast vaatepunktist näha. Seletage antud nähtust.

Lahendus

Ülesande lahendus on toodud joonisel.

Vee optiline tihedus on suurem kui õhu oma. Järelikult, kui kiir väljub veest õhku, kaldub ta veepinna normaalist eemale ehk teiste sõnadega on murdumisnurk langemisnurgast suurem. Järelikult saab vaatleja samast punktist, kus ta tühja tassi puhul nägi ainult mündi punkti $A$ , näha mündi punkti $C$ . Vaatleja seisukohalt paistab asi nii, nagu asuks münt väiksemal sügavusel kui ta tegelikult asub. Võib näidata, et tegeliku ja näilise sügavuste suhe on $\frac{H}{h} = n$ , kus $n$ on vee murdumisnäitajaga.

10. Õhupalli vari

Hetkel, mil päike on seniidis, lastakse maapinnalt lahti õhupall läbimõõduga $D = 14 m$ , mis hakkab tõusma kiirusega $v = 2 \frac{m}{s}$ . Kuidas muutub õhupalli täisvarju läbimõõt maapinnal (kas kasvab või kahaneb)? Millise kiirusega? Päikese läbimõõt on $d = 1, 4 \cdot 10^{6} k m$ , kaugus Maast $l = 1, 5 \cdot 10^{8} k m$ .

Lahendus

Täisvari kaob, kui õhupalli nurkläbimõõt saab võrdseks Päikese nurkläbimõõduga.

αp\"aike=arctan(dl)=α~ohupall=arctan(Dh~ohupall)

See toimub õhupalli kõrgusel:

h_{~ o h u p a l l} = D \cdot \frac{l}{d} = 1500 m

Sinna jõudmiseks kulub õhupallil aega

t = \frac{h_{~ o h u p a l l}}{v} = 750 s

sinnani toimub varju läbimõõdu kahanemine ühtlaselt algväärtusest

D = 14 m

, seega kiirusega

u = \frac{D}{t} = 1, 9 \frac{c m}{s}

11. Prismad

Joonisel on kujutatud kolme klaasprismat. Prismadele langeb valgus. Joonistada valguskiirte käik prismas ja sellest väljaspool. Tabelis on antud valguse murdumisseadus klaasi jaoks.

Õhk $α$ $0^{\circ}$ $15^{\circ}$ $30^{\circ}$ $45^{\circ}$ $60^{\circ}$ $75^{\circ}$ $90^{\circ}$

Klaas $γ$ $0^{\circ}$ $10^{\circ}$ $20^{\circ}$ $28^{\circ}$ $35^{\circ}$ $40^{\circ}$ $42^{\circ}$

Lahendus

Ülesande lahendamisel tuleb järgida järgmisi põhimõtteid:

Langemisnurk ja peegeldumisnurk on võrdsed.
Langemisnurka (peegeldumisnurka) loetakse pinnanormaali ja langeva(peegelduva) kiire vaheliseks nurgaks.
Pinnanormaal on risti vaadeldava pinnaga.
Ülesande andmetest saab lugeda, et kui klaasist tulev valguskiir langeb klaasi ja õhu piirpinnale langemisnurgaga $γ = 42^{\circ}$ või rohkem, siis on tegemist täieliku sisepeegeldusega ehk valguskiir ei lähe teise keskkonda.

* Täielik sispeegeldus on nähtus, mis leiab aset kui valgus levib optiliselt tihedamast keskkonnast optiliselt hõredamasse keskkonda nõnda, et valguse langemisnurk on suuremvõrdne täieliku peegeldumise piirnurgast (siin ülesandes: $γ = 42^{\circ}$ ), mille tõttu murdumisnurk on $90^{\circ}$ ehk murdunud kiir kulgeb piki kahe keskkonna (siin ülesandes: klaasi ja õhu) piirpinda.

12. Silinder

Joonisel mõõdus 1:1 kujutatud koonilise otsaga silindri sisepind on valmistatud peegeldavast materjalist, selle otsas on ringikujuline ava. Kui vaadata piki silindri telge silindri taga asetsevat valgustatud ekraani, võib näha vahelduvaid valgeid ja musti rõngaid. Mitut tumedat rõngast on näha? Silindri otsaava läbimõõt on palju suurem valguse lainepikkusest.

Lahendus

Paberilehelt peegeldunud valgus satub läbi ava silindri sisemusse ja peegeldub vastavalt peegeldumisseadusele. Konstrueerime mudeli.

Ava saab vaadelda valgusallikana. Seega taandub konstrueerimine ava kujutise konstrueerimisele.
Vaatleme toru kahe paralleelse tasapeeglina.
Ese ja selle kujutis on peegelpinna suhtes sümmeetriline.

Joonisel kujutatud kiir 1 näitab valguse levimist, mille tulemusena on näha ava kujutis ühekordse peegeldumise tulemusena. Kiir 2 kujutab analoogilist olukorda, kuid valgus on peegeldunud kaks korda. Kahe ava kujutise vahel on näha valgustamata ala. Analoogiliselt saab konstrueerida ava mitmeid kujutisi.

13. Valgustatus

Pinna valgustatuse mõõtmiseks kasutatakse mõõtühikut luks ( $l x$ ), mis iseloomustab ajaühikus pinnaühikule langevat valgusenergiat. Näiteks raamatu lugemisel peaks raamatulehe valgustatus olema $500 l x$
Päikesekiired langevad risti ekraanile ja tekitavad ekraani valgustatuse $E = 10000 l x$ . Ekraani ette, sellest $x = 10 c m$ kaugusele, paigutatakse lääts läbimõõduga $l = 4 c m$ ja optilise tugevusega $D = - 4 d p t$ . Läätse optiline peatelg on ekraaniga risti. Läätse tõttu tekivad ekraanil erinevalt valgustatud piirkonnad. Arvutage nende piirkondade valgustatus luksides.

Lahendus

Läätse fookuskauguse saame seosest $f = \frac{1}{D}$ . Tegemist on nõgusläätsega fookuskaugusega $25 c m$ . Nõguslääts hajutab valgust. Hajunud valguslaigu läbimõõt on läätse läbimõõduga võrreldes

\frac{L}{l} = \frac{f + x}{f} = \frac{7}{5}

Seega

L = 1, 4 l

ja valguslaigu pindala läätse pindalast

\frac{S}{s} = \frac{π (1, 4 l)^{2}}{π l^{2}} = 1, 96

korda suurem. Järelikult pinna valgustatus läätse taga ekraanil läätse suurusel osal on

E_{1} = \frac{E}{1, 96} \approx 5100 l x

Nõrgalt valgustatud osa ümber tekib heledalt valgustatud riba, kuna sinna langeb otsene päikesevalgus ja läätsest hajunud valgus. Riba valgustatus

E_{2} = E + E_{1} \approx 15100 l x

14. Valgusti

Kõrval oleval pildil on dekoratiivvalgusti õhtusel tänaval. Valgusti konstruktsioon on järgmine. Lamp on paigutatud ruudukujulise põhjaga püstprisma sisse; ruudu küljepikkus a = 60 cm. Prisma külgtahkudeks on seest ja väljast valgeksvärvitud auguline plekk. Kui suur oli pildistaja ja valgusti vaheline kaugus?

Lahendus

Tumedad laigud on seal, kus esimese ja tagumise pleki augud on kohakuti. Mõõdame jooniselt kahe tumeda laigu vahelise kauguse $H$ ning kahe plekiaugu vahelise kauguse $h$ . Sarnastest kolmurkadest saame

\frac{H}{L} = \frac{h}{a}

kus

L

on otsitav kaugus. Seega

L = H \frac{a}{h}

15. Vari

Kaks punktvalgusallikat $S_{1}$ ja $S_{2}$ asuvad ekraanist $c = 30 c m$ kaugusel ja teineteisest $a = 20 c m$ kaugusel. Valgusallikate ja ekraani vahel, ekraanist $d = 10 c m$ kaugusel liigub paralleelselt ekraaniga konstantse kiirusega $v = 2 \frac{c m}{s}$ ese, mille laius on $b = 10 c m$ . Leidke eseme täisvarju laius ja selle liikumise kiirus ekraanil.

Lahendus

Lahendusele vastav illustreeriv pilt on vasakpoolsel joonisel.
Täisvarju laius on lõigu $C D$ pikkus. Selle leidmiseks on mitu võimalust, näiteks selline. Kasutame kolmnurkade sarnasust ja leiame, et

\frac{C S_{1}}{C A} = \frac{30 c m}{10 c m} = 3

Vaatame kolmnurki $△ C A E$ ning $△ S_{1} A S_{2}$ . Avaldame nüüd külje $E C$ :

\frac{E C}{C A} = \frac{S_{1} S_{2}}{A S_{1}} = \frac{S_{1} S_{2}}{C S_{1} - C A} ⟹ E C = \frac{S_{1} S_{2}}{\frac{C S_{1}}{C A} - 1} = \frac{S_{1} S_{2}}{2} = 10 c m

Kasutades jällegi kolmnurkade sarnasust:

\frac{E S_{2}}{A S_{2}} = \frac{30 c m}{20 c m} = \frac{3}{2}

Vaatame kolmnurki $△ E S_{2} D$ ja $△ A S_{2} B$ . Nende sarnasusest leiame, et

\frac{E D}{E S_{2}} = \frac{A B}{A S_{2}} ⟹ E D = A B \frac{E S_{2}}{A S_{2}} = 10 c m \cdot \frac{3}{2} = 15 c m

Täisvarju laius on seega: $C D = E D - E C = 5 c m$ .

Täisvarju kiiruse leidmiseks piisab leida varju ühe otspunkti kiirus. Näiteks kui punkt $A$ nihkub punktiks $B$ , siis ekraanil see vastab punkti $C$ nihkumisele punktiks $F$ . Seega ese liigub kiirusega $v_{e s e} = \frac{A B}{t} = 2 \frac{c m}{s}$ ning vari liigub kiirusega $v_{v a r i} = \frac{C F}{t}$ . Eseme ja varju liikumiseks kulub aega $t = \frac{A B}{v_{e s e}} = \frac{10 c m}{2 \frac{c m}{s}} = 5 s$ . Kolmnurkade $A S_{1} B$ ja $C S_{1} F$ sarnasusest leiame, et

C F = A B \frac{S_{1} F}{B S_{1}} = A B \cdot \frac{3}{2} .

Vari liigub kiirusega:

v_{v a r i} = \frac{A B \cdot \frac{3}{2}}{t} = \frac{10 c m \cdot \frac{3}{2}}{5 s} = 3 \frac{c m}{s}

16. Vedeliku kihid

Klaasis on kaks kihti erinevat läbipaistvat vedelikku, mille vahel on terav horisontaalne piirjoon. Kuidas valguskiire abil teha kindlaks, kummas vedelikus on valguse levimise kiirus suurem?

Lahendus

Kui valguskiir üleminekul ühest keskkonnast teise kaldub pinna ristsirge poole, on teise keskkonna optiline tihedus suurem esimese keskkonna optilisest tihedusest ja vastupidi. Valguse kiirus on väiksem selles keskkonnas, mille optiline tihedus on suurem.

17. Värvid

Valge paberi mõned osad on ära värvitud. Kui seda vaadata läbi punase klaasi, on näha vasakpoolsel joonisel toodu, kui vaadata läbi sinise klaasi, on näha parempoolsel joonisel toodu. Milline on värvide jaotus paberil? Põhjendage vastus.

Lahendus

Vaadates läbi värvilise klaasi paistavad kõik värvused mustadena, v.a. valge ja klaasi enda värvus, mis paistavad klaasiga sama värvust omavatena.

Seega kui jagada paberitükk mõtteliselt neljaks võrdseks ruuduks, siis vasakul on ülemine ja alumine ruut mõlemad valged. Paremal on ülemine ruut punane ja alumine sinine.

1.16 Soojus

1. Saun

Saunas on lahtisel taldrikul vesi. Saunas on kaua aega olnud temperatuur $100^{\circ} C$ . Kas vesi keeb? Põhjendada vastust.

Lahendus

Vesi ei kee. Keemiseks on vajalik pidev soojuse juurdevool. Kuid mida lähedasem on vee temperatuur keemisele, seda vähem saab ta energiat soojusülekande teel ja keemistemperatuuril $100^{\circ} C$ ei saaks ta enam üldse energiat. Aurumine esineb siiski ja selle tõttu kaotab vesi pidevalt energiat ja see kadu peab saama kompenseeritud soojusülekande teel. Seetõttu on vee temperatuur madalam keemistemperatuurist.

2. Jää

Jää valmistamisel külmakapis $4^{\circ} C$ veest kulus esimeste kristallide tekkimiseni $5 m i n$ . Täieliku jäätumiseni aga veel $100 m i n$ . Leida jää sulamissoojus, kui vee erisoojus on $4200 J / (k g \cdot K)$ .

Lahendus

Tähistused: $t_{1}$ - vee algtemperatuur; $t_{2}$ - vee sulamistemperatuur; $τ_{1}$ - jahtumisaeg; $τ_{2}$ - jäätumisaeg; $c$ - vee erisoojus; $λ$ - jää sulamissoojus; $m$ - vee mass.

Lahendus: Külmkapi võimsus on konstantne.

Q_{1} = m c \cdot (t_{1} - t_{2}), Q_{2} = m λ, \frac{Q_{1}}{τ_{1}} = \frac{Q_{2}}{τ_{2}}

λ = \frac{τ_{2}}{τ_{1}} \cdot c \cdot (t_{1} - t_{2}) = 300 k J / k g

Vastus: Jää sulamissoojus on $300 k J / k g$ .

3. Küttesüsteem

Maja küttesüsteem kasutab kuuma vett, mis on suvel päikesekiirgusega viidud temperatuurini $80^{\circ} C$ . Kui suure ruumalaga peab olema mahuti, milles säilitatava veega saab maja kütta 10 kuu jooksul? Eeldame, et keskmine energiakadu koos küttega on $10 k W$ , temperatuur on $20^{\circ} C$ ja kuu keskmine päevade arv on 30.

Lahendus

Tähistused: $m$ - vee mass; $V$ - vee ruumala; $ρ$ - vee tihedus; $Q$ - vee soojusenergia; $P$ - energiakadu võimsus; $Δ t$ - ajavahemik, mille jooksul tuleb maja kütta; $c$ - vee erisoojus; $Δ T$ - kuuma vee ja maja temperatuuride vahe.

Teame, et

Q = c m Δ T

m = ρ V

Q = P Δ t

Järelikult

P Δ t = c ρ V Δ T

V = \frac{P Δ t}{c ρ Δ T} = 1029 m^{3}

Vastus: Mahuti ruumala peaks olema $1029 m^{3}$ .

4. Temperatuur

On 2 ühesugust anumat, milledes kummaski on 1 liiter vett temperaturil $20^{\circ} C$ . Ühte anumasse lastakse 1 kilogrammine rauast kaaluviht temperatuuriga $100^{\circ} C$ , teise anumasse sama massi ja temperatuuriga vasest kaaluviht. Millises anumas ja mitme kraadi võrra tõuseb vee temperatuur rohkem? Raua erisoojus on $460 J / k g \cdot K$ , vase erisoojus on $390 J / k g \cdot K$ ning vee erisoojus on $4, 2 k J / k g \cdot K$ .

Lahendus

Tähistused: $m = m_{r} = m_{v} = 1 k g$ ; $t = 20^{\circ} C$ , $t_{I}^{'}$ - vee ja rauast kaaluvihi lõpptemperatuur, $t_{I I}^{'}$ - vee ja vasest kaaluvihi lõpptemperatuur, $t_{r} = t_{v} = 100^{\circ} C$ ; $c_{r} = 0, 46 k J / (k g \cdot K)$ ; $c_{v} = 0, 39 k J / (k g \cdot K)$ ; $c = 4, 2 k J / (k g \cdot K)$ .

Lõpptemperatuuri leidmiseks koostame soojusbilansi võrrandi: $Q_{1} + Q_{2} = 0$ , kus $Q_{1} = c m (t_{I}^{'} - t)$ ja $Q_{2} = c_{r} m_{r} (t_{I}^{'} - t_{r})$ .

Siit $c m (t_{I}^{'} - t) + c_{r} m_{r} (t_{I}^{'} - t_{r}) = 0$ .
Et $m = m_{r}$ , siis $c (t_{I}^{'} - t) + c_{r} (t_{I}^{'} - t_{r}) = 0$ ; $t_{I}^{'} (c + c_{r}) - c t - c_{r} t_{r} = 0$

t_{I}^{'} = \frac{c t + c_{r} t_{r}}{c + c_{r}} \approx 28^{\circ} C

Analoogiliselt leiame:

t_{I I}^{'} = \frac{c t + c_{v} t_{v}}{c + c_{v}} \approx 27^{\circ} C

Δ t = 28^{\circ} C - 27^{\circ} C = 1^{\circ} C

Vastus: Anumas, kus on rauast kaaluviht, on lõpptemperatuur $1^{\circ} C$ võrra kõrgem, kui teises anumas.

Tuppa toodi kaks täpselt ühesugust jäätükki. Üks jäätükk jäeti katmata, teine kaeti kasukaga. Kumb jäätükk sulas kiiremini? Miks?

Lahendus

Katmata jäätükk sulab kiiremini. Katmata jäätükk saab sulamiseks vajaliku energia õhult konvektsiooni teel. Kasukaga kaetud jäätükk saab energiat õhu ja karvade soojusjuhtivuse teel. Õhk ja loomakarvad on head soojuslikud isolaatorid. Seega saab katmata jäätükk sama ajaga suurema soojushulga kui kaetud jäätükk ning järelikult sulab kiiremini.

6. Lumi

Autorattad pöörlevad lumes paigal 1 minut 6 sekundit. Lume temperatuur on $- 10^{\circ} C$ , auto võimsus $12 k W$ . Kui palju lund sulab selle aja jooksul, kui kogu kulutatud energia läheb lume soojendamiseks ja sulamiseks? Lume erisoojus on $2100 J / (k g \cdot K)$ , sulamissoojus on $340 k J / k g$ .

Lahendus

Mootori töö arvel suureneb lume siseenergia: $N = \frac{A}{Δ τ}$ , kust $A = N Δ τ$ . Lume soojenemiseks $0^{\circ} C$ -ni kulub soojushulk $Q_{1} = c m Δ t$ , lume sulamiseks soojushulk $Q_{2} = m λ$ . Kuna kogu kulutatud energia läheb lume soojendamiseks ja sulamiseks, siis $A = Q_{1} + Q_{2}$ , kust

m = \frac{N Δ τ}{c Δ t + λ} \approx 2, 2 k g

7. Vee segunemine

Anumat veega kuumutatakse pliidil. Niipea, kui vesi kuumeneb temperatuurini $t_{1} = 60^{\circ} C$ , lisatakse sinna veidi vett juurde - täpselt nii palju, et peale segunemist oleks anumas oleva vee temperatuur $t_{2} = 50^{\circ} C$ . Juurde valatava vee temperatuur $t_{0} = 20^{\circ} C$ . Esimese juurdevalamisega lisati $m_{1} = 50 g$ vett. Kui palju vett lisati kümnenda juurdevalamisega? Vee juurdevalamine ning külma ja sooja vee segunemine toimub nii kiiresti, et selle aja jooksul ei jõua toimuda ei soojusvahetust õhuga ega pliidi poolset kuumutamist.

Lahendus

Kui vee algmass oli $m_{0}$ , siis $m_{0} (t_{1} - t_{2}) = m_{1} (t_{2} - t_{0})$ , seega

m = m_{1} \frac{t_{2} - t_{0}}{t_{1} - t_{2}}

Vee uueks massiks sai seega

M_{1} = m_{0} + m_{1} = m_{1} \frac{t_{1} - t_{0}}{t_{1} - t_{2}}

Analoogselt eelnevaga

M_{1} (t_{1} - t_{2}) = m_{2} (t_{2} - t_{0})

, millest leiame

m_{2} = M_{1} \frac{t_{1} - t_{2}}{t_{2} - t_{0}} = m_{1} \frac{t_{1} - t_{0}}{t_{2} - t_{0}}

Siinjuures

m_{2}

on teise ``solksu'' mass. Analoogiat jätkates

m_{3} = m_{\frac{t_{1} - t_{2}}{t_{2} - t_{0}}} = m_{1} (\frac{t_{1} - t_{0}}{t_{2} - t_{0}})^{2}

ning seega kümnenda ``solksu'' mass

m_{10} = m_{1} (\frac{t_{1} - t_{0}}{t_{2} - t_{0}})^{9} \approx 666 g

8. Kalorimeeter

Kalorimeetrisse, milles oli $2, 5 l$ vett temperatuuril $5^{\circ} C$ , pandi $800 g$ jääd. Peale temperatuuride ühtlustamist selgus, et kalorimeetris oli jääd $64 g$ rohkem kui alguses. Leida, milline oli kalorimeetrisse asetatud jää algtemperatuur? Jää erisoojus on $2, 1 k J / k g \cdot^{\circ} C$ , jää sulamissoojus on $335 k J / k g$ , vee erisoojus on $4, 2 k J / k g \cdot^{\circ} C$ , vee tihedus on $1000 k g / m^{3}$ . Kalorimeetri anuma jahtumist mitte arvestada.

Lahendus

Uurime lähemalt, mis täpselt toimus kalorimeetris. Kuna lõpus oli stabiilne vee ja jää segu, siis tähendab see, et selle segu temperatuur oli $0^{\circ} C$ , muu temperatuuri puhul hakkaks jää sulama või vesi külmuma. See omakorda tähendab, et vesi on jahtunud ja eraldanud soojust. Osa veest on muundunud jääks, mille käigus samuti eraldus soojus. See soojus sai minna ainult jää soojendamiseks. Järelikult näeb soojusliku tasakaalu võrrand välja

m_{v} c_{v} (t_{v} - 0) + λ Δ m_{j} = m_{j} c_{j} (0 - t_{j})

kust saame avaldada jää algtemperatuuri

t_{j}

t_{j} = - \frac{m_{v} c_{v} t_{v} + λ Δ m_{j}}{m_{j} c_{j}} \approx - 44^{\circ} C

9. Termomeeter

Alam-Tšukroovia kraadiklaasitehases otsustati valmistada partii eksklusiivseid termomeetreid. Algse plaani kohaselt pidid need olema piiritustermomeetrid, mis koosnevad kerakujulisest 10-sentimeetrilise siseläbimõõduga reservuaarist ja sellega ühendatud peenikesest silindrilisest torust (vt. joonis). Kui vajalik kogus termomeetrite aluseid koos temperatuuriskaalaga oli juba valmis tehtud, selgus, et ettenähtud piiritusekogus oli salapärastel asjaoludel haihtunud. Võeti vastu otsus, et värvitud piirituse asemel kasutatakse värvitud vett. Paraku ilmnes, et kui piirduda vaid vedeliku vahetusega, siis näitaks termomeeter reaalse $11^{\circ} C$ -muutuse puhul vaid $1, 5^{\circ} C$ --muutust. Õnneks oli tehases esialgselt planeeritust kaks korda väiksema siseläbimõõduga torusid ning suurem hulk eri mõõdus kerakujulisi reservuaare (siseläbimõõduga kuni $18 c m$ ). Millise siseläbimõõduga reservuaari tuli neil kasutatada? Torus oleva vedeliku ruumala lugeda tühiseks võrreldes reservuaari ruumalaga.

Lahendus

Silindrilises torus on vedelike kõrguste muutumise suhe sama temperatuurivahemiku korral võrdne vedelike ruumpaisumistegurite suhtega . See suhe on $\frac{11}{1, 5} = 7, 33$ . Vähendades toru läbimõõtu 2 korda, väheneb tema ristlõikepindala 4 korda ja seetõttu muutub ka vedeliku taseme muutmise ulatus 4 korda fikseeritud temperatuurimõõdu korral. Seega muutub veetase skaalal temperatuuri muutumisel $11^{\circ} C$ võrra $4 \cdot 1, 5^{\circ} C = 6^{\circ} C$ , mis on ilmselt ebapiisav algselt gradueeritud skaala jaoks.

Et kompenseerida vajakajäämist, on vaja suurendada paisuvat ruumala, st. reservuaari. Olles juba suurendanud termomeetri näidu efektiivsust 4 korda toru läbimõõdu vähendamise kaudu, jääb puudu $\frac{7, 33}{4} = 1, 83$ korda, mille võrra peame suurendama reservuaari ruumala. Kuna $V \sim r^{3}$ , siis kerakujulise reservuaari läbimõõtu on vaja suurendada $\sqrt[3]{1, 83} \approx 1, 22$ korda ehk võtta reservuaar läbimõõduga $12, 2 c m$ .

Kui me prooviksime ehitada veetermomeetrit kasutades torusid esialgse diameetriga, siis peaksime me kasutama reservuaari läbimõõduga, mis on $\sqrt[3]{7, 5} \approx 1, 96$ korda suurem esialgsest reservuaarist ehk $19, 6 c m$ . Kuna aga tehase laos nii suuri reservuaare ei ole, siis ainsaks väljapääsuks jääb peenemate torude kasutamine.

10. Vee keetmine

Plekk-kruusis on $m = 1 k g$ vett. Seda vett tahetakse keema ajada keeduspiraaliga, mille võimsus $P = 100 W$ . Et võimsus osutus liiga väikeseks, siis vesi kuumenes küll teatud temperatuurini, kuid keema ei hakanud. Määrata, kui suure aja $τ$ jooksul plekk-kruusis asuv vesi jahtub $Δ t = 1^{\circ} C$ võrra, kui keeduspiraal välja lülitada. Vee erisoojus $c = 4, 2 \frac{k J}{k g \cdot^{\circ} C}$

Lahendus

Stabiliseerunud temperatuuril on plekk-kruusi kiirgamisvõimsus võrdne keeduspiraali võimsusega. Kui keeduspiraal välja lülitada, siis kruusitäis jahtub võimsusega $P = 100 W$ . Kiirgusvõimsuse muutumist $1^{\circ} C$ temperatuuri muudu juures mitte arvestades on soojusbalansi võrrand

P τ = c m Δ t

, millest

τ = \frac{c m Δ t}{P}

. Vastuseks saame seega

τ = 42 s

11. Keedukann

Elektrikeedukannus võimsusega $N = 2200 W$ keeb vesi. Kui suur on veeauru kiirus keedukannu tilast väljumisel, kui tila ristlõike pindala $S = 2 c m^{2}$ ? Kui vesi kannus keeb, siis läbi kannu seinte keskkonda eralduv soojushulk moodustab $χ = 5 %$ küttekehal vabanevast soojushulgast. Vee keemissoojus $L = 2, 3 \cdot 10^{6} J / k g$ ja keedukannu tilast väljuva veeauru tihedus temperatuuril $100^{\circ} C$ on $ρ = 0, 6 k g / m^{3}$ .

Lahendus

Keedukannust väljuva aurujoa kiiruse arvutamiseks on vaja leida ühes sekundis keedukannu tilast väljunud veeauru ruumala ja jagada see tila ristlõike pindalaga. Soojushulga, mis eraldub keedukannu küttekehast leiame seosest: $Q = N t$ . Vee keemiseks vajaliku soojushulga saame seosest: $Q = L m$ . Kuivõrd soojuskaod moodustavad $χ = 5 %$ küttekehas eraldunud soojushulgast, on keedukannu kasutegur $η = 1 - χ = 0, 95$ ehk $95 %$ . Ühes sekundis eraldunud auru massi saame seosest: $η N t = L m$ , kust:

m = \frac{η N t}{L}

Auru ruumala leidmiseks kasutame tiheduse valemit:

ρ = \frac{m}{V} \Rightarrow V = \frac{m}{ρ}

Aurujoa kiiruse arvutame seosest:

v = \frac{V}{S}

v = \frac{η N t}{ρ L S} = 7, 6 m / s .

12. Vee segamine

Kahes anumas on võrdne kogus vett temperatuuridel vastavalt $t_{1}$ ja $t_{2}$ . Esimesest anumast kallatakse pool seal olevast veest teise ja segatakse läbi. Saadud veekogusest pool kallatakse esimesse anumasse tagasi ja segatakse läbi. Millised on vee temperatuurid anumates pärast neid protseduure? Soojuvahetust väliskeskkonnaga ja anumate soojusmahtuvust mitte arvestada.

Lahendus

Tähistagu $m$ ühes anumas algselt oleva vee massi. Pärast esimest ümbertõstmist saame teise anuma jaoks soojushulga jäävusest ( $c$ - vee erisoojus):

\frac{c m t_{1}}{2} + c m t_{2} = \frac{3 c m t_{2}^{'}}{2}

kus

t_{2}^{'}

on teise anuma vee temperatuur pärast segamist. Pärast teist ümbertõstmist saame esimese anuma jaoks

\frac{c m t_{1}}{2} + \frac{3 c m t_{2}^{'}}{4} = \frac{5 c m t_{1}^{'}}{4}

Esimesest võrrandist leiame:

t_{2}^{'} = \frac{t_{1} + 2 t_{2}}{3}

Seda kasutades, saame teisest võrrandist

t_{1}^{'} = \frac{2 t_{1} + 3 t_{2}^{'}}{5} = \frac{3 t_{1} + 2 t_{2}}{5} .

13. Jäätükk

Silindrilises anumas läbimõõduga $d = 1 d m$ oli mingi kogus vett temperatuuril $4^{\circ} C$ . Anumasse asetati jäätükk temperatuuriga $0^{\circ} C$ . Pika aja järel oli vesi jahtunud temperatuurini $0^{\circ} C$ , kusjuures veetase oli $Δ h_{1} = 1 c m$ kõrgem, kui enne jäätüki vette asetamist. Seejärel võeti jäätükk veest välja ja veetase langes $Δ h_{2} = 0, 4 c m$ võrra. Leidke jäätüki ja anumas olnud vee esialgsed massid. Anuma seinte soojusmahtuvus ja soojusvahetus väliskeskkonnaga on tühised. Vee tihedus $ρ = 1000 k g / m^{3}$ ja erisoojus $c = 4200 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ ning need ei sõltu temperatuurist. Jää sulamissoojus $λ = 340 k J / k g$ .

Lahendus

Anuma põhja pindala on

S = \frac{π d^{2}}{4}

Leiame esmalt veest väljavõetud jäätüki massi

m_{1}

. Väljavõtmise tulemusena tõusis veetase

Δ h_{2}

võrra, seega enne väljavõtmist tõrjus jäätükk ruumala

Δ V = S Δ h_{2}

, mis on ühtlasi tema vees asuva osa ruumala. Archimedese seadusest

m_{1} g = ρ Δ V g \Rightarrow m_{1} = ρ Δ V = ρ S Δ h_{2}

Jää sulamise tulemusena jäi anumasse

S (Δ h_{1} - Δ h_{2})

esialgsest rohkem
vett. Seega ära sulas osa jääst

Δ m = ρ S (Δ h_{1} - Δ h_{2})

Esialgse jäätüki massiks saame

m_{0} = m_{1} + Δ m = ρ S (Δ h_{1} - Δ h_{2}) + ρ S Δ h_{2} = ρ S Δ h_{1} \approx 79 g

Jää sulamiseks kulus soojust

Q = λ Δ m

, mis kõik läks vee jahutamiseks

0^{\circ} C

-ni, seega

Q = c m_{v} Δ t

, kus

m_{v}

on esialgne vee mass anumas. Saame

λ Δ m = c m_{v} Δ t \Rightarrow m_{v} = \frac{λ Δ m}{c Δ t} = \frac{λ ρ S (Δ h_{1} - Δ h_{2})}{c Δ t} \approx 950 g .

14. Vesi

Avatud termoses on vesi temperatuuril $t_{0} = 100^{\circ} C$ . Sellest $1 %$ aurustub. Hinda, kui palju muutub termosesse jäänud vee temperatuur $t$ . Vee erisoojus on $c_{v} = 4, 2 \frac{k J}{k g \cdot^{\circ} C}$ , veeauru erisoojus on $c_{a} = 1, 9 \frac{k J}{k g \cdot^{\circ} C}$ ning vee aurustumissoojus temperatuuril $100^{\circ} C$ on $L = 2, 26 \frac{M J}{k g}$ . Eelda, et termose seinte kaudu soojuskadusid ei ole.

Lahendus

Energia jäävusest järeldub, et väikese koguse vee aurustumiseks kuluv soojushulk tuleb järelejäänud vee temperatuuri langemise arvelt.

Kuigi aurustumise alghetkel tekib veeaur temperatuuriga $100^{\circ} C$ , on hiljem nii vee kui ka tekkiva veeauru temperatuur veidi madalam. Uuel temperatuuril aga ei ole väikese koguse vee aurustumiseks kuluv soojushulk vee aurustumissoojusest temperatuuril $100^{\circ} C$ (ülesandes antud $L$ ) enam otseselt arvutatav.

Teeme lihtsustuse: vee aurustumissoojus on selles temperatuurivahemikus kogu aeg $L$ . Olgu termoses olev esialgne vee mass $m$ . Saame $0, 01 m L = 0, 99 m c_{v} Δ t$ , mis annab vastuseks

Δ t = \frac{1}{99} \frac{L}{c_{v}} = 5, 4^{\circ} C .

15. Jääst klaas

Jääst klaasi massiga $m_{k} = 200 g$ ning temperatuuriga $t_{0} = 0^{\circ} C$ kallatakse $m_{A} = 200 g$ vedelikku A temperatuuriga $t_{A} = 25^{\circ} C$ . Mitme protsendiline vedeliku A vesilahus tekib klaasis pärast soojusvahetuse lõppemist? Jää sulamissoojus on $λ_{j ¨ a ¨ a} = 330 \frac{k J}{k g}$ , vedeliku A erisoojus on $c_{A} = 2400 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ .

Lahendus

Jääst klaas saab energiat vedeliku A jahtumisel eraldunud energia arvelt.

Q = c_{A} m_{A} Δ T = 12, 0 kJ

Vabanenud energia kulub jääst klaasi sulamiseks, ning seega on sulanud vee mass

mv=Qλj\"a\"a=36,4g

Vedeliku A protsent saadud lahuses on seega $p = \frac{m_{A}}{m_{A} + m_{v}} = 84, 6 %$

16. Lumi

Juku otsustas välja uurida, mis temperatuuril $t_{l}$ on lumi õues kõrguvate hangede sisemuses. Tal endal termomeetrit ei olnud, aga ta teadis, et tema maja ventilatsioonisüsteem hoiab sisetemperatuuri $t_{s} = 20^{\circ} C$ . Esimese asjana lasi ta öö läbi seista kausitäiel veel, et see oleks toatemperatuuril. Järgmisel päeval tõi ta hange sisemusest termosetäie lund ja jagas selle kahte võrdsesse osasse. ühele osale tilgutas ta peale toatemperatuuril hoitud vett, kuni kogu lumi oli sulanud. Vett kulus selleks $V_{1} = 880 m l$ . Teise osa sulatas ta ära ja möötis saadud vee ruumalaks $V_{2} = 210 m l$ . Lõpuks otsis ta Wikipediast välja, et vee erisoojus on $c_{v} = 4180 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ , jää erisoojus $c_{l} = 2110 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ ja jää sulamissoojus $λ = 334 k J / k g$ . Mis temperatuuril $t_{l}$ oli lumi?

Lahendus

Poole lume mass oli $ρ V_{2}$ , kus $ρ$ on vee tihedus. Lumele vee lisamise lõppedes oli segu temperatuur $t = 0^{\circ} C$ . Energia jäävusest saame võrrandi

c_{v} ρ V_{1} (t_{s} - t) = c_{l} ρ V_{2} (t - t_{l}) + λ ρ V_{2}

c_{l} V_{2} (t - t_{l}) = c_{v} V_{1} (t_{s} - t) - λ V_{2}

t_{l} = t + \frac{λ}{c_{l}} - \frac{c_{v} V_{1}}{c_{l} V_{2}} (t_{s} - t)

t_{l} = - 15^{\circ} C .

17. Juga

Joa kõrgus on $1000 m$ . Mitme kraadi võrra on vee temperatuur joa all kõrgem kui ülal? Vee soojenemiseks kulub $70 %$ langeva vee energiast. Vee erisoojus on $4200 J / (k g \cdot^{\circ} C)$ .

Lahendus

Vesi saab langemisel kineetilise energia $E = m g h$ . Põrkamisel alusega läheb osa langemisel saadud energiast vee enda soojendamiseks.

η m g h = m c Δ t, Δ t = \frac{η g h}{c} = 1, 6^{\circ}

Kui palju soojeneb $100$ -grammine kummist pall (erisoojusega $c = 1400 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ ), mis kukub $4$ meetri kõrguselt lauale ning põrkab $230 c m$ kõrgusele tagasi? Eeldada, et pall saab $90 %$ soojushulgast, mis põrkel vabaneb.

Kui palju soojeneb $100$ -grammine kummist pall (erisoojusega $c = 1400 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ ), mis kukub $4$ meetri kõrguselt lauale ning põrkab $230 c m$ kõrgusele tagasi? Eeldada, et pall saab $90 %$ soojushulgast, mis põrkel vabaneb.

Lahendus

Energia, mis põrkel vabaneb, saame potentsiaalsete energiate vahest põrke alguses ja pärast põrget:

E = m g h_{1} - m g h_{2} = 1, 666 J

90 %

sellest energiast kulub palli soojendamiseks

Q_{p a l l} = E \cdot 0, 9 = 1, 50 J

. Palli soojenemise saame leida valemist

Q = c m Δ T

Δ T = \frac{Q_{p a l l}}{c m} = 0, 0107^{\circ} C \approx 0, 01^{\circ} C

19. Veepudel

Külma ilmaga oli autosse ununenud $1, 5$ liitrine täis veepudel. Auto juurde tulnud autojuht Koit ei uskunud oma silmi: temperatuur autos oli $- 5^{\circ} C$ , aga vesi pudelis ei olnud külmunud. Koidule tuli meelde, et ta oli kunagi kuulnud, et väga puhas vedelik võib olla vedelas olekus ka allpool tahkumistemperatuuri. Selle kontrollimiseks võttis ta pudeli ja raputas seda ning suhteliselt kiiresti muutus selles osa veest jääks. Mitu grammi jääd tekkis pudelisse? Vee erisoojus $c = 4200 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ ja tihedus on $ρ = 1000 k g / m^{3}$ , jää sulamissoojus $λ = 340 k J / k g$ .

Lahendus

Vesi jäätub temperatuuril $0^{\circ} C$ . Osa vee jäätumisel eralduvast soojushulgast läheb allajahtunud vee soojendamiseks jäätumistemperatuurile.

Q_{t a h k u m i n e} = Q_{s o o j e n e m i n e} .

c m Δ t = λ m_{j ¨ a ¨ a}

Tekkinud jää massi:

m_{j ¨ a ¨ a} = \frac{c m_{v e s i} Δ t}{λ}

Vee mass:

m_{v e s i} = V_{v e s i} \cdot ρ = 0, 0015 m^{3} \cdot 1000 \frac{k g}{m^{3}} = 1, 5 k g

Vastus $m_{j ¨ a ¨ a} = \frac{4200 J / k g K \cdot 1, 5 k g \cdot 5 C^{\circ}}{340000 J / k g} = 93 g$

20. Litter

Metallist litter raadiusega $r$ ja algpaksusega $h$ libiseb kahe suure heast soojusisolaatorist plaadi vahel. Plaadid on maapinna suhtes täpselt nii kaldu, et litter libiseks ühtlase kiirusega, ja plaatide vahekaugus on $l$ , mis on väga vähe erinev litri paksusest. Kui pika maa saab litter vertikaalsuunas läbida enne kinnijäämist? Litri tihedus on $ρ$ , erisoojus on $c$ ja selle lineaarne soojuspaisumistegur on $α$ . Soojuskaod litrist keskkonda ja plaatidesse võib lugeda tühiseks. Litrile mõjub raskusjõud $m g$ , mis on risti maapinnaga.
Soojuspaisumistegur väljendab keha joonmõõtme muutust vastavalt valemile $a = a_{0} (1 + α Δ T)$ ,kus $α$ on mõõde ja $Δ T$ on temperatuuri muutus algsega võrreldes.

Lahendus

Litri ühtlase kiirusega libisemisest järeldub, et kogu potentsiaalse energia muutus teisendub litri soojusenergiaks. Vertikaalsuunas vahemaa $H$ läbimisel kaotab litter potentsiaalset energiat $Q = m g H$ võrra (kus $m$ on litri mass). Litri temperatuur tõuseb selle käigus

Δ T = \frac{Q}{m c} = \frac{m g H}{m c} = \frac{g H}{c}

võrra ja mõõtmed suurenevad kuni

l = h (1 + α Δ T) = h (1 + \frac{α g H}{c})

Valemist saab nüüd avaldada maksimaalse vahemaa vertikaalsuunas, mille litter saab läbida enne kinnijäämist:

H = \frac{c (\frac{l}{h} - 1)}{α g}

21. Vari

Maja koosneb kahest ühesugusest toast, mis on sümmeetrilised neid eraldava vaheseina suhtes. Mõlemas toas on radiaator võimsusega $P$ . Väljas on temperatuur $T_{0}$ . Kui lülitada sisse üks radiaator, siis pärast soojenemist on temperatuur radiaatoriga toas $T_{1}$ ja teises $T_{2}$ . Leidke temperatuur $T_{3}$ , milleni soojenevad toad, kui töötavad mõlemad radiaatorid. Eeldage, et soojusvahetuse võimsus pinnaühiku kohta on võrdeline temperatuuride vahega. Põrand ja lagi on hästi soojustatud.

Lahendus

Võtame, et soojusvahetuse võimsus läbi toa välisseina on

W_{v} = x (T_{t u b a} - T_{0})

,
kus

x

on tundmatu võrdetegur - kuna soojusvahetuse võimsus pinnaühiku kohta on võrdeline temperatuuride vahega peab ka soojusvahetus läbi terve seina olema võrdeline temperatuuride vahega. Samamoodi võtame, et soojusvahetuse võimsus läbi siseseina on

W_{s} = y (T_{1. t u b a} - T_{2. t u b a})

Kui töötab ainult üks radiaator, saame kirjutada mõlema toa jaoks võrrandi tingimusest et soojushulk tubades ei muutu.

P = x (T_{1} - T_{0}) + y (T_{1} - T_{2})

y (T_{1} - T_{2}) = x (T_{2} - T_{0})

Lahendades saame, et

x = \frac{P}{T_{1} + T_{2} - 2 T_{0}}

. Kui töötavad mõlemad radiaatorid, siis summarset soojusvahetust läbi vaheseina pole. Mõlema toa jaoks kehtib siis võrrand

P = x (T_{3} - T_{0})

. Siit avaldame

T_{3} = (T_{1} + T_{2} - T_{0})

Lihtsam lahendus
Ülesannet on ka võimalik lahendada lihtsamini kui märkame, et tegu on lineaarse süsteemiga ja teame, et lineaarse süsteemi korral kahe lahendi superpositsioon on samuti süsteemi lahend. Käesoleval juhul on üheks lahendiks, et kui ühes toas töötab radiaator $P$ , siis soojenevad toad $Δ_{T_{1}} = T_{1} - T_{0}$ ja $Δ_{T_{2}} = T_{2} - T_{0}$ võrra. Võttes teiseks lahendiks esimese lahendi peegelpildi, saame superpositsioonina, et kui töötavad mõlemad radiaatorid, soojenevad mõlemad toad $Δ_{T_{3}} = T_{2} - T_{0} + T_{1} - T_{0}$ võrra, ehk $T_{3} = (T_{1} + T_{2} - T_{0})$ .

22. Küttesüsteem

Talvel siseneb koolimaja küttesüsteemi vesi algtemperatuuriga $t_{0} = 60^{\circ} C$ ning väljub sealt temperatuuriga $t_{1} = 40^{\circ} C$ . Koolimaja soojuskadude võimsus on $N = 100 k W$ . Kooli siseneva ja sealt väljuva veetoru sisediameeter on $D = 100 m m$ . Leidke veevoolu kiirus neis torudes. Vee erisoojus $c = 4200 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ , tihedus $ρ = 1000 k g / m^{3}$ .

Lahendus

Mingi ajavahemiku $Δ t$ jooksul kaotab koolimaja väliskeskkonda soojust $Q_{1} = N Δ t$ , sama palju soojust peavad andma selle aja jooksul talle radiaatorid. Toru ristlõike pindala on $S = \frac{π D^{2}}{4}$ . Aja $Δ t$ jooksul küttesüsteemi siseneva ja ühtlasi sellest väljuva vee ruumala on seega $V = S v Δ t$ , kus $v$ on otsitav veevoo- lu kiirus, ning mass $m = ρ V = ρ S v Δ t$ . Radiaatorites eraldub soojushulk $Q_{2} = m c (t_{0} - t_{1})$ . Kuna $Q_{1} = Q_{2}$ , saame võrrandi

N Δ t = ρ \frac{π D^{2}}{4} v Δ t c (t_{0} - t_{1})

millest

v = \frac{4 N}{π D^{2} ρ c (t_{0} - t_{1})} = 0, 15 m / s

23. Külmunud toru

Juss vedas talvel majast sauna läbimõõduga $D = 1, 2 c m$ ja pikkusega $l = 10 m$ veetoru. Veetoru lahtisulatamiseks oli ta selle sisse paigutanud vasktraadi läbimõõduga $d = 1, 0 m m$ . Jää sulatamiseks läheb $60 %$ traadis eralduvast soojusest. õues on õhutemperatuur $T = - 10^{\circ} C$ . Kui palju aega kulub kogu veetorus oleva jää sulatamiseks, kui traadi otstele rakendada pinge $U = 12 V$ ? Jää tihedus on $ρ_{j} = 920 k g / m^{3}$ , jää erisoojus $c_{j} = 2100 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ , jää sulamissoojus $λ_{j} = 340 k J / k g$ , vase eriktakistus $ρ_{C u} = 0, 017 \frac{Ω \cdot m m^{2}}{m}$ .

Lahendus

Vajalik soojushulk jää sulatamiseks on $Q_{j} = c_{j} m_{j} Δ T + λ_{j} m_{j} \approx 376 k J$ (kus $m_{j} = ρ_{j} π l D^{2} / 4 \approx 1, 04 k g$ ). Vasktraadil eraldunud soojushulk ajahetkeks $t$ (peab arvestama, et ainult $60 %$ eraldunud soojusest läheb jää sulatamiseks) on

Q = \frac{U^{2} t}{R} \cdot 0, 6 = \frac{0, 6 U^{2} t}{π \frac{d^{2}}{4}}

Pannes need võrduma ja avaldades

t

, saame ajaks

t = 941 s \approx

15 m i n u t i t 40 s e k u n d i t

24. Hõõrdekeevitus

Suhteliselt uus keevitustehnoloogia on hõõrdkeevitus. See seisneb selles, et üks liidetavatest detailidest pannakse pöörlema ning surutakse vastu teist. Kui tekkinud soojus on detailid peaaegu sulamistemperatuurini kuumutanud, jäetakse pöörlev toru seisma ning suure rõhu all moodustub side. Vaatame olukorda, kus kaks vasest torujuppi tahetakse kokku keevitada. Leidke, kui suur hõõrdejõud peab pöörlemisel rakenduma, et tekiks piisavalt suur soojushulk $Δ t = 6, 0 s$ jooksul. Toru pöörlemiskiirus on $f = 1200$ pööret minutis. Lihtsustatult võib eeldada, et mõlema toru otsast kuumeneb ühtlaselt $l = 0, 50 c m$ pikkune jupp. Torude diameeter on $D = 8, 0 c m$ , seina paksus $d = 5, 0 m m$ . Torud on alguses teoatemperatuuril $T_{0} = 20^{\circ} C$ . Liitumine toimub temperatuuril $T_{1} = 810^{\circ} C$ . Vase tihedus on $ρ = 8, 9 g / c m^{3}$ ning erisoojus $c = 390 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ . Soojuskadudega ümbritsevasse keskkonda mitte arvestada.

Lahendus

Hõõrdumisest tekkiv soojushulk $Q = F_{h} Δ s$ , kus $Δ s = π D \cdot \frac{t}{\frac{1}{f}} = π f D Δ t$ . Teiselt poolt torude soojendamiseks vaja minev soojushulk $Q = 2 m c Δ T = 2 ρ V c Δ T$ , kus $m$ ja $V$ on ühe toruotsa soojeneva osa mass ja ruumala. Kuna toru seinad on diameetrist kordades lühemad, võib hinnata ruumalaks $V = π D d l$ . Kokkuvõttes saime, et

F_{h} π f D Δ t = 2 π D d l ρ c (T_{1} - T_{0})

F_{h} = \frac{2 d l ρ c (T_{1} - T_{0})}{f Δ t} \approx 1100 N

25. Suhkrutükid

Suurde veega täidetud anumasse, milles olevat vett intensiivselt segatakse, asetati kaks kerakujulist suhkrutükki. Üks suhkrutükk oli teisest kaks korda suurema massiga, kuid mõlema massid olid vedeliku kogumassiga võrreldes väikesed. Väiksema tüki lahustumine võttis aega pool minutit. Kui kaua lahustus suurem tükk?

Lahendus

Suhkrutükkide lahustumisel saavad molekulid lahkuda vaid suhkrutüki pinna kaudu. Seega on molekulide arvu kahanemine ajas suhkrutüki pindalaga võrdeline. Välimises kihis asunud molekulide arv on samuti pindalaga võrdeline. Seega ei sõltu ühe kihi molekulide lahkumiseks vajalik aeg kera raadiusest ja tüki raadiuse kahanemise kiirus on ajas muutumatu. Kuna suhkrutükkide raadiuste kuupide suhted on tükkide masside suhetega proportsionaalsed, võtab suurema tüki lahustumine kauem aega

t = 30 \cdot \sqrt[3]{2} \approx 38 sekundit

26. Radiaatorid

Kahte radiaatorit läbib ajaühikus võrdne hulk vett. Esimesse radiaatorise siseneb vesi temperatuuriga $t_{1 s} = 45^{\circ} C$ ja väljub temperatuuriga $t_{1 v} = 35^{\circ} C$ . Teise radiaatorisse siseneb vesi temperatuuriga $t_{2 s} = 40^{\circ} C$ ja väljub temperatuuriga $t_{2 v} = 25^{\circ} C$ . Kumma radiaatori küttevõimsus on suurem ja mitu korda?

Lahendus

Veehulk massiga $m$ annab ära soojushulga $Q = c m (t_{s} - t_{v})$ , mis kütab ruumi. Võimsuse saamiseks tuleb antud soojushulk jagada ajaga, mis kulub selle veehulga sisenemiseks radiaatorisse.

N = c \frac{m}{t} (t_{s} - t_{v})

Kuna mõlemat radiaatorit läbib ajaühikus võrdne kogus vett, määrab võimsuste suhte sisenevate ja väljuvate temperatuuride muutude suhe. Teise radiaatori võimsus on suurem

\frac{N_{2}}{N_{1}} = \frac{t_{2 s} - t_{2 v}}{t_{1 s} - t_{1 v}} = 1, 5 k o r d a .

27. Keedukann

Miku isa ostis maakodus vee keetmiseks uue elektrilise keedukannu. Kuna vanas keedukannus (nimipingega $230 V$ , nimivõimsusega $800 W$ ) oli vee soojenemiseks kulunud väga palju aega, ostis isa endisest kolm korda võimsama kannu ( $230 V$ , $2400 W$ ) lootuses, et selles soojeneb sama kogus vett kolm korda kiiremini. Miku asus kohe katsetama. Suur oli Miku üllatus, kui lootused ei täitunud. Mitu korda kiiremini soojenes vesi uues kannus võrreldes sama koguse samal temperatuuril oleva vee soojenemisega keemiseni vanas kannus? On teada, et Miku maakodu asub alajaamast $l = 3 k m$ kaugusel. Alajaam on maakoduga ühendatud $S = 20 m m^{2}$ alumiiniumjuhtmega. Alumiiniumi eritakistus $ρ = 0, 028 \frac{Ω \cdot m m^{2}}{m}$ . Pinge alajaama väljundklemmidel on $U_{0} = 240 V$ . Keedukannude kasutegurid olid võrdsed.

Lahendus

Kuna elektritarviti on vooluallikast kaugel, tuleb arvestada ka elektriliini takistusega, $R_{l} = \frac{ρ (2 l)}{S} = 8, 4 Ω$ . Keedukannude takistused saame seosest $N = \frac{U^{2}}{R}$ , millest vana keedukannu takistus $R_{1} = 66 Ω$ ja uues takistus $R_{2} = 22 Ω$ . Seega keedukannu töölerakendamisel on voolutugevus vanas kannus $I_{1} = \frac{U}{R_{1} + R_{l}}$ ja uues kannus $I_{2} = \frac{U}{R_{2} + R_{l}}$ . Kuna voolutugevus on väiksem ettenähtust, töötab kann väiksema võimsusega. Kannu tegeliku võimsuse arvutame seosest $N = I^{2} R$ , mille järgi

N_{1} = \frac{U^{2} R_{1}}{(R_{1} + R_{l})^{2}} j a N_{2} = \frac{U^{2} R_{2}}{(R_{2} + R_{l})^{2}}

Vee soojendamiseks kulunud aeg on pöördvõrdeline võimsusega, seega

\frac{t_{1}}{t_{2}} = \frac{N_{2}}{N_{1}} = \frac{R_{2} (R_{1} + R_{l})^{2}}{R_{1} (R_{2} + R_{l})^{2}} \approx 2

Asendades tähised numbriliste väärtustega saame vastuseks, et maamajas soojeneb vesi kolm korda võimsamas keedukannus kaks korda kiiremini.

28. Glütseriin

Paksude seintega anum on pilgeni täidetud glütseriiniga ning tihedalt suletud, kuid anuma seinas on tilluke ava ristlõikepindalaga $S = 0, 1 m m^{2}$ . Anumas, glütseriini sees on elektrispiraal, mida kuumutatakse võimsusega $P = 1 k W$ . Glütseriini ruumpaisumistegur on $α = 5, 1 \cdot 10^{- 4} \frac{1}{^{\circ} C}$ , tihedus $ρ = 1260 k g / m^{3}$ ja erisoojus $c = 2350 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ . Millise kiirusega $v$ väljub glütseriinijuga tillukesest avast? Glütseriini kokkusurutavus ning anuma seinte paisumine lugeda tühiselt väikeseks. Märkus: ruumpaisumistegur kirjeldab ruumala suhtelist suurenemist temperatuuri tõusmisel $1^{\circ} C$ võrra.

Lahendus

Ajavahemikus $Δ t$ kehtib soojusliku tasakaalu võrrand

P Δ t = c ρ V Δ T

kus

Δ T

on temperatuuri muut. Ruumala muut

Δ V = V α Δ T = V α \cdot \frac{P Δ t}{c ρ V} = \frac{P α Δ t}{c ρ}

Üleliigne ruumala glütseriini väljub ava kaudu, moodustades silindri pikkusega

v Δ t

ja ruumalaga

Δ V = v S Δ t

. Seega,

v = \frac{Δ V}{Δ t S} = \frac{P α}{c S ρ} \approx 1, 7 m / s

29. Saun

Talvel, kui väljas on $0^{\circ} C$ , suudab saunahoone keris kütta sauna $90^{\circ} C$ -ni.

a) Hinnake, kui soojaks suudab keris sauna kütta, kui väljas on $- 20^{\circ} C$ . Maja on joonmõõtmetelt 3 korda suurem kui saun, aga täpselt sama kuju ja sama paksusega seintega. Maja radiaatorid suudavad $- 20^{\circ} C$ välistemperatuuri juures kütta maja $15^{\circ} C$ -ni.

b) Hinnake, kui kõrgele tõuseks temperatuur majas, kui sinna viia täisvõimsusel kütma ka sauna keris.

c) Kerise võimsus on $P = 4 k W$ . Hinnake, kui suur on maja radiaatorite koguvõimsus.

Märkus: Soojuskadude võimsus on võrdeline seinte pindalaga ja temperatuurde vahega sees ja väljas.

Lahendus

a) Kui tuba enam ei soojene, on kerise võimsus energia jäävuse seaduse järgi võrdne soojuskadude omaga. Antud seinte puhul määrab kadude võimsus üheselt temperatuurivahe sees ja väljas, sõltumata välistemperatuurist. Järelikult on sise- ja välistemperatuuri vahe ikka $90^{\circ} C - 0^{\circ} C = 90^{\circ} C$ ning sisetemperatuur

- 20^{\circ} C + 90^{\circ} C = 70^{\circ} C

b) Maja seinad on $3^{2} = 9$ korda suurema pindalaga kui sauna omad. Tekib
võrrandisüsteem

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} P_{k e r i s} = k S_{s a u n} Δ T_{k e r i s s a u n a s} P_{r a d .} = k \cdot 9 S_{s a u n}      S_{m a j a} Δ T_{r a d . m a j a s} P_{k e r i s} + P_{r a d .} = k \cdot 9 S_{s a u n} Δ T_{r a d . & k e r i s m a j a s} \end{matrix}

( $k$ on võrdetegur, täpsemalt seinte soojusjuhtivustegur). Siit

TeX parse error: '&' can not be used here

= \frac{1}{9} \cdot 90^{\circ} C + [15^{\circ} C - (- 20^{\circ} C)] = 45^{\circ} C

TeX parse error: '&' can not be used here

c) Esimene lahendus. Võrrandisüsteemi esimese kahe võrrandi põhjal ( $P_{k e r i s} \equiv P$ )

P_{r a d .} = 9 \frac{Δ T_{rad. majas}}{Δ T_{keris saunas}} P_{k e r i s}

arvuliselt

P_{r a d .} = 9 \cdot \frac{15^{\circ} C - (- 20^{\circ} C)}{90^{\circ} C - 0^{\circ} C} \cdot 4 k W = 14 k W

Teine lahendus. Osas b) arvutatu põhjal tõstab radiaator majas temperatuuri $Δ T_{rad. majas} = 35^{\circ} C$ võrra ning keris veel $T_{rad. & keris majas} - T_{rad. majas} = 10^{\circ} C$ võrra. Need temperatuuritõusud on võrdelised vastavate võimsustega , järelikult on radiaatorid kerisest $\frac{35^{\circ} C}{10^{\circ} C} = 3, 5$ korda võimsamad, võimsusega $3, 5 \cdot 4 k W = 14 k W$

30. Jahutussüsteem

Seadet, mis arendab võimsust $N = 40 k W$ , jahutatakse jahutusvedelikuga, mis voolab torus ristlõikepindalaga $S = 1 c m^{2}$ . Seadme jahutamisel soojeneb jahutusvedelik $Δ T = 20^{\circ} C$ võrra. Jahutusvedeliku tihedus on $ρ = 1100 k g / m^{3}$ ja erisoojus $c = 3800 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ . Leidke jahutusvedeliku voolukiirus torus, kui jahutusvedeliku soojendamiseks kulub $η = 35 %$ seadme võimsusest.

Lahendus

Seadme jahutamiseks kuluva jahutusvedeliku massi saame seosest

η N t = c m Δ T \Rightarrow m = \frac{η N t}{c Δ T}

Asendame massi tiheduse ja ruumalaga ja avaldame kiiruse (

v = \frac{l}{t}

ρ V = ρ S l = \frac{η N t}{c Δ T} \Rightarrow v = \frac{η N}{c Δ T ρ S} \approx 1, 7 m / s

31. Termos

Termoses, mis on ümbritsevatest kehadest soojuslikult isoleeritud, on $m_{1} = 300 g$ vett temperatuuriga $t_{1} = 20^{\circ} C$ . Sellele lisatakse $m_{2} = 600 g$ vett temperatuuriga $t_{2} = 80^{\circ} C$ . Pärast soojusliku tasakaalu saabumist mõõdeti vee temperatuuriks $T_{1}$ . Järgmisel korral oli samas anumas alguses $m_{2} = 600 g$ vett temperatuuriga $t_{2} = 80^{\circ} C$ ja sellele lisati $m_{1} = 300 g$ vett temperatuuriga $t_{1} = 20^{\circ} C$ . Nüüd mõõdeti vee temperatuuriks soojusliku tasakaalu saabumise järel $T_{2} = T_{1} + 2^{\circ} C$ . Kui suur on termose materjali erisoojus? Tühja termose mass on $m = 140 g$ ja vee erisoojus $c = 4200 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ .

Lahendus

Olgu $c_{x}$ otsitav erisoojus. Vaatleme esimest juhtu, kus termoses oli algselt külmem vesi. Kuna külmem vesi oli termosega soojuslikus tasakaalus, siis oli ka termose temperatuur $t_{1}$ . Temperatuuride ühtlustumisel annab soojem vesi energiat ära. Külmem vesi ja termos saavad energiat juurde. Paneme kirja soojusliku tasakaalu võrrandi:

m_{1} c (T_{1} - t_{1}) + m c_{x} (T_{1} - t_{1}) = m_{2} c (t_{2} - T_{1}) (1)

Vaatleme teist juhtu, kus termoses oli algselt soojem vesi. Kuna soe vesi oli termosega soojuslikus tasakaalus, siis oli ka termose temperatuur

t_{2}

. Temperatuuride ühtlustumisel annavad termos ja soojem vesi energiat ära. Külmem vesi saab energiat juurde. Kirjutame soojusliku tasakaalu võrrandi:

m_{1} c (T_{2} - t_{1}) = m_{2} c (t_{2} - T_{2}) + m c_{x} (t_{2} - T_{2}) (2)

Lahutame teineteisest võrrandid

(1)

(2)

m_{1} c (T_{1} - T_{2}) + m c_{x} (T_{1} - t_{1}) = m_{2} c (T_{2} - T_{1}) - m c_{x} (t_{2} - T_{2})

Tähistame

T_{2} - T_{1} = Δ T

- m_{1} c Δ T + m c_{x} (t_{2} - t_{1}) = m_{2} c Δ T + m c_{x} Δ T

- Δ T c (m_{2} + m_{1}) = m c_{x} (Δ T + t_{1} - t_{2})

c_{x} = \frac{- Δ T c (m_{2} + m_{1})}{m (Δ T + t_{1} - t_{2})} = 930 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}

32. Jääkuubikud

Klaasis on $150 g$ vett temperatuuril $10^{\circ} C$ . Vee jahutamiseks paigutatakse sinna kuubikujuline jäätükk temperatuuriga $0^{\circ} C$ . Kui jäätükk on sulanud, paigutatakse sinna veel teine samasugune jäätükk ning hiljem ka kolmas, millest sulab ära pool. Kui suur on kuubikujulise jäätüki külje pikkus? Jää sulamissoojus on $3, 4 \cdot 10^{5} J / k g$ , jää tihedus on $900 k g / m^{3}$ ja vee erisoojus on $4200 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ . Klaasi jahtumist ja soojuskadusid ümbritsevasse keskkonda mitte arvestada.

Lahendus

Olgu kuubiku mass

m

. Siis on ära sulanud jää mass

2, 5 m

. Jää sulamisel neeldub soojushulk

Q_{1} = 2, 5 m L

. Vee jahtumisel eraldub soojushulk

Q_{2} = M c (t_{1} - t_{0})

. Võrdsustame soojushulgad

Q_{1}

Q_{2}

ning avaldame võrdusest ühe jääkuubiku massi.

2, 5 m L = M c (t_{1} - t_{0})

m = \frac{M c (t_{1} - t_{0})}{2, 5 L}

Kuubiku ruumala on

V = \frac{m}{ρ} = \frac{M c (t_{1} - t_{0})}{2, 5 L ρ}

. Samas võrdub kuubi ruumala ka kuubi küljepikkuse kuubiga:

V = a^{3}

. Seega on kuubi küljepikkus

a = \sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{\frac{M c (t_{1} - t_{0})}{2, 5 L ρ}} = 2 c m

33. Supp

Kalorimeetris on vedelik $A$ ; vedeliku sees ujuvad tahkise $B$ tükid. Vedeliku $A$ keemistemperatuur on kõrgem kui tahkise $B$ sulamistemperatuur, kuid madalam aine $B$ keemistemperatuurist. Vedeliku $A$ aurustumissoojus $L = 850 k J / k g$ , tahkise $B$ sulamissoojus on $λ = 150 k J / k g$ . Kalorimeetris oleva vedeliku $A$ mass on $M = 1, 0 k g$ . Kalorimeetri sisu kuumutatakse muutumatu võimsusega.

a) Milline on kalorimeetris oleva tahkise $B$ mass $m$ ?

b) Milline on vedeliku $A$ erisoojus?

Lahendus

a) Graafiku põhjal kulub vedeliku $A$ aurustumiseks temperatuuril $T_{1} = 80^{\circ} C$ ajavahemik $t_{1} = 40, 5 s$ . Tahkise $B$ sulamiseks temperatuuril $T_{2} = 50^{\circ} C$ kulub ajavahemik $t_{2} = 3, 5 s$ . Üle antud soojushulkade suhe $\frac{M L}{m λ} = \frac{t_{1}}{t_{2}}$ , millest

m = M \frac{L t_{2}}{λ t_{1}} \approx 0, 49 k g

b) Temperatuuridel üle $T_{1}$ on anumas ainult vedelas olekus olev aine $B$ , mille sojusmahtuvuse saame leida graafiku tõusu abil: temperatuuri tõstmiseks ühe kraadi võrra kulub aega $τ_{1} = \frac{2}{40} = 0, 05 m i n$ . Kui aine $B$ soojusmahtuvus on $C_{B}$ , siis $C_{B} \cdot \frac{1^{\circ} C}{M L} = \frac{τ_{1}}{t_{1}}$ , millest $C_{B} \cdot 1^{\circ} C = \frac{M L τ_{1}}{t_{1}}$ . Analoogselt leiame aine $A$ ja $B$ segu soojusmahtuvuse kasutades graafikut temperatuuride $T_{1}$ ja $T_{2}$ vahel: $(C_{B} + C_{A}) \cdot 1^{\circ} C = M L \frac{τ_{2}}{t_{1}}$ , kus $τ_{2} = \frac{5}{30} \approx 0, 167 m i n$ . Nendest kahest võrdusest leiame, et $C_{A} \cdot 1^{\circ} C = M L \frac{τ_{2} - τ_{1}}{t_{1}}$ ja järelikult

c_{A} = \frac{C_{A}}{M} = L \frac{τ_{2} - τ_{1}}{t_{1} \cdot 1^{\circ} C} \approx 2, 5 \frac{k J}{k g \cdot^{\circ} C}

34. Külmkapp

Külmkapp, mis tarbis võimsust $P$ , muutis aja $τ$ jooksul jääks veehulga ruumalaga $V$ ja algtemperatuuriga $t$ . Jää temperatuur $t_{0} = 0^{\circ} C$ . Kui suure soojushulga eraldas külmkapp tuppa selle aja jooksul? Vee erisoojus on $c$ ja tihedus $ρ$ ning jää sulamissoojus on $λ$ . Külmkapi soojusmahtuvust mitte arvestada.

Lahendus

Elektrivoolu töö $A = P_{τ}$ . Selle töö arvelt eemaldatakse külmkapi seest soojushulk

Q_{2} = V ρ λ + V ρ c (t - t_{0})

Energia jäävuse seaduse kohaselt peab tuppa eralduv soojushulk olema võrdne

Q_{1} = A + Q_{2} = N τ + ρ V λ + V ρ c (t - t_{0})

sest elektrivoolu energia muundub lõppkokkuvõttes soojuseks.

35. Keskküte

Märtsikuus on öösel välistemperatuur $- 15^{\circ} C$ , päeval tõuseb temperatuur $+ 3^{\circ} C$ -ni. Eramajas on öine toatemperatuur $20^{\circ} C$ . Mitu protsenti võib vähendada päeval keskküttekatla võimsust, et temperatuur toas ei ületaks $23^{\circ} C$ ? Soojuskadude võimsuse võib lugeda võrdeliseks toa- ja välistemperatuuride vahega.

Lahendus

Olgu öösel tarbitav võimsus $N$ ja päeval $k N$ , kus $k$ on mingi kordaja. Saame võrrandid

N = α \cdot (20 - (- 15))

k N = α \cdot (23 - 3)

Kui võrrandid omavahel läbijagada, saame, et

k = \frac{20}{35} = 0, 57

. Seega päevane võimsus moodustab

57 %

öisest võimsusest, järelikult võib põleti võimsust vähendada

43 %

võrra.

36. Jäätumine

Külmikusse pandi jää valmistamiseks lamedas anumas teatud kogus vett temperatuuriga $20^{\circ} C$ . Vee soojusmahtuvus on hulga suurem külmiku sisemuses olevate asjade soojusmahtuvusest. Esimene jääkirme tekkis veele $21 m i n u t i$ pärast. Kui palju aega kulus kogu vee täielikuks jäätumiseks, kui külmiku jahutusvõimsus oli konstantne? Vee sulamissoojuse $λ$ ja erisoojuse $c$ jagatis $\frac{λ}{c} = 79 K$ .

Lahendus

Vee jahtumiseks $0^{\circ} C$ kraadini kulub $t = 21 m i n$ aega. Olgu $τ$ aeg, mis kulub jäätumiseks ja $N$ külmiku jahutusvõimsus. Soojusliku tasakaalu võrrand vee jahtumise jaoks on

N t = Q_{j a h t} = c m Δ t

ja tahkumise jaoks

N τ = Q_{t a h k} = λ m

Jagades läbi, leiame, et

\frac{t}{τ} = \frac{c Δ t}{λ} \Rightarrow τ = \frac{λ}{c} \cdot \frac{t}{Δ t} = 83 m i n .

37. Vee segamine

Õhukeseseinalisse alumiiniumtopsi valatakse võrdsetes kogustes keeva ja külma vett. Ümbritseva toaõhu temperatuur on $25^{\circ} C$ . Kas segu temperatuur oleneb sellest, kumb vesi enne topsi valada? Kui, siis milline vesi tuleks enne topsi kallata, et segu temperatuur tuleks kõrgem? Põhjendada vastust.

Lahendus

Segu temperatuur oleneb kallamise järjekorrast, sest õhuke alumiiniumplekk on hea soojusjuht ja läbi selle toimub soojusvahetus ümbritseva keskkonnaga. Kui enne valada sisse keev vesi, siis see jahtub sel ajal kui hakatakse külma vett. Kui enne valada külm vesi, siis see hakkab soojenema ja segu temperatuur tuleb kõrgem.

38. Termomeeter

Meditsiiniline elavhõbedatermomeeter sisaldab $m = 2 g$ elavhõbedat, selle kapillaari läbimõõt $D = 60 μ m$ . Elavhõbeda tihedus $ρ = 13, 5 g / c m^{3}$ . Soojenemisel $1^{\circ} C$ võrra kasvab elavhõbeda ruumala $α = 0, 018 %$ . Kui suur on temperatuuriskaala $37^{\circ} C$ ja $38^{\circ} C$ kriipsude vahekaugus millimeetrites?

Lahendus

Tähistades otsitava skaalakriipsude vahekauguse $Δ L$ , saame välja kirjutada seosed

V_{0} = \frac{m}{ρ} ja Δ V = \frac{π D^{2} Δ L}{4} \Rightarrow

Δ L = \frac{4 α m}{π ρ D^{2}} = \frac{4 \cdot 0, 00018 \cdot 0, 002}{3, 14 \cdot (60 \cdot 10^{- 6})^{2} \cdot 13, 5 \cdot 10^{3}} \approx 9, 4 m m

39. Vihm

Vihm sajab nii, et vihmapiisad langevad vertikaalselt alla ühtlase kiirusega

u

. Mööda teed veereb pall kiirusega

v

. Mitu korda langeb ajaühikus piisku veerevale pallile rohkem kui seisvale pallile? Kas vastus muutub, kui pall pole kerakujuline?

Lahendus

\frac{N_{2}}{N_{1}} = \frac{S_{2} \cdot \sqrt{v^{2} + u^{2}}}{S_{1} u} = \frac{S_{2}}{S_{1}} \cdot \sqrt{1 + \frac{v^{2}}{u^{2}}}

Kui pall on kerakujuline, siis on tema ristlõige kõikides suundades ühesugune, järelikult

S_{1} = S_{2}

ning

\frac{N_{2}}{N_{1}} = \sqrt{1 + v^{2} / u^{2}}

40. Pliit

Elektripliidil soojendatakse vett. Pliidi kasulik võimsus $N = 500 W$ . Kahe minuti jooksul soojenes vesi temperatuurilt $t_{1} = 85^{\circ} C$ temperatuurini $t_{2} = 90^{\circ} C$ . Pott tõsteti pliidilt ära ning ühe minuti jooksul jahtus vesi $Δ t = 1^{\circ} C$ võrra. Kui palju vett oli potis? Vee erisoojus $c = 4200 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C} .$

Lahendus

Kui ühe minuti jooksul jahtus vesi $1^{\circ} C$ võrra, siis tähendab see, potilt kiirgub ühe minuti jooksul ümbritsevasse ruumi soojushulk $Q_{1} = c m Δ t$ , kus $Δ t = 1^{\circ} C$ . Kuumutatakse kaks minutit ( $τ = 120 s e k u n d i t$ ), järelikult on ümbritsevasse ruumi kiirgunud soojushulk kaks korda suurem. Seega

N τ = c m (t_{2} - t_{1}) + 2 \cdot c m Δ t

siit

m = \frac{N τ}{c (t_{2} - t_{1} + 2 Δ t)} = 2, 04 k g

41. Kiirgusemõõtja

Joonisel on kujutatud seadet, millega saab mõõta Päikese kiirgusenergiat. Seade koosneb kastist, mille kummaski otsas olevatest avadest voolab läbi vesi. Arvutage ajaühikus kastis neeldunud energia, kui sisse- ja väljavoolutorude ristlõiked on kumbki $S = 10 c m^{2}$ , siseneva vee temperatuur $t_{1} = 15^{\circ} C$ ja väljuva vee temperatuur $t_{2} = 35^{\circ} C$ . Kasti siseneva ja sellest väljuva vee voolukiirus $v = 2 m / s$ ja vee erisoojus $c = 4200 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ .

Lahendus

Kasutades seoseid $A = Q$ ; $Q = c m (t_{2} - t_{1})$ ; $m = ρ V$ ja $V = S v τ$ , $τ = 1 s e k u n d$ saame

A = c ρ S v (t_{2} - t_{1}) τ = 168000 J

42. Küttepuud

Mitu korda on kuiva kasepuu kütteväärtus suurem märja kasepuu kütteväärtusest, kui märjas kasepuus on massi järgi $γ = 12 %$ vett? Puud tuuakse õuest otse ahju. Temperatuur väljas on $t_{0} = 4^{\circ} C$ . Eeldada, et kasepuidu erisoojus võrreldes vee erisoojusega on tühine. Kuiva kasepuidu kütteväärtus $k = 13 M J / k g$ , vee erisoojus $c = 4200 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ ja vee aurustumissoojus $L = 2300 k J / k g$ .

Lahendus

Märja kasepuu põletamisel kulub osa põlemisel saadavast energiast puus oleva vee aurustamiseks. Kasulik saadav soojushulk on $Q_{M} = Q_{k} - Q_{v}$ , kus $Q_{k}$ on kuiva puu põletamisel saadud energia ja $Q_{v}$ on vee soojendamiseks ja aurustamiseks kulunud energia. Saame

Q_{M} = (1 - γ) m k - γ m [c (t - t_{0}) + L]

kus

t = 100^{\circ} C

. Teades, et kütteväärtus

k_{M} = \frac{Q_{M}}{m}

, saame

k_{M} = (1 - γ) k - γ [c (t - t_{0}) + L] \approx 11, 1 M J

Kuiva kasepuu kütteväärtus on märja kasepuu kütteväärtusest

\frac{k}{k_{M}} \approx 1, 17

korda suurem. Märkus: Kuna kütteväärtus on energia, mis eraldub massiühiku kohta, siis loomulikult on õige ka lahendus, kus leitakse vahetute arvutustega

1 k g

märja kasepuu põletamisel erladuva energia hulk.

43. Gallium

Detail elektriskeemis on valmistatud galliumist, mille sulamistemperatuur on $30^{\circ} C$ . Kui selles detailis eraldub soojushulk $1 W$ , siis on detaili temperatuur $25^{\circ} C$ . Rikke tõttu vooluringis kasvas detaili läbiv voolutugevus, nii et detailis eraldus $1 m i n$ jooksul võimsus $2 W$ . Detail saavutas sulamistemperatuuri $13 s e k u n d i$ pärast voolutugevuse kasvamist. Kui suur osa detailist sulas rikke esimese minuti jooksul? Detail annab soojust ümbritsevasse keskkonda võrdeliselt detaili ja toatemperatuuri vahega. Toatemperatuur on $18^{\circ} C$ . Galliumi sulamissoojus on $80 J / g$ . Detaili mass on $4 g$ .

Lahendus

Kui detailis eraldub võimsus $1 W$ , siis detaili temperatuur ei muutu, mistõttu hajutab detail ümbritsevasse keskkonda sekundis soojushulga $1 W$ . Keskkonda hajuv soojusvõimsus on võrdeline temperatuuride vahega ehk $P = K Δ t$ . $P = K (25^{\circ} C - 18^{\circ} C) = 7 K$ . Kui võimsus kasvas, siis tõusis detaili temperatuur $30^{\circ} C$ -ni. Seega hajutas detail sekundis soojushulga $P_{2} = K (30^{\circ} C - 18^{\circ} C) = 12 K = \frac{12 \cdot 1 W}{7} = 1, 7 W$ . Seega sulatati detaili võimsusega $2 W - 1, 7 W = 0, 3 W$ . Detail sai soojushulga $Q = 0, 3 W \cdot (60 s - 13 s) = 14, 1 J$ . Ära sulas $\frac{14, 1 J}{4 g \cdot 80 J / g} = 4, 4 %$

44. Bassein

Bassein on pindalaga $S = 200 m^{2}$ ja sügavusega $h = 1, 8 m$ . Basseini voolab kogu aeg vett kiirusega $v = 5 L / s$ ja algtemperatuuriga $t_{0} = 22, 0^{\circ} C$ , sama kogus vett voolab välja üle ujula äärte. Loeme, et vee temperatuur basseinis on üle kogu ruumala sama. Öösel oli õhutemperatuur $t_{1} = 17, 0^{\circ} C$ ja veetemperatuur basseinis $t_{v 1} = 20, 0^{\circ} C$ . Päeval, kui paistis päike, oli õhk soojenenud temperatuurini $t_{2} = 28, 0^{\circ} C$ . Millise temperatuurini $t_{v 2}$ soojenes vesi? Kuidas muutuks vastus, kui basseini sügavus oleks väiksem? Vees neeldunud päikesekiirguse võimsus veepinna pindalaühiku kohta on $P = 350 W / m^{2}$ , vee ja õhu vahelise soojusvahetuse võimsus on võrdeline nende temperatuuride vahega. Vee tihedus on $ρ = 1000 k g / m^{3}$ ja erisoojus $c = 4200 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ .

Lahendus

Ühes sekundis voolab basseini $ρ \cdot v$ vett ja see peab soojenema või jahtuma basseinis oleva vee temperatuurini. Öösel sissevoolava vee äraantav soojus võrdub õhule antava soojusega, et aga viimane on võrdeline õhu ja vee temperatuuride vahega, siis võime kirjutada

c ρ v (t_{0} - t_{v 1}) = k (t_{v 1} - t_{1})

Avaldame siit

k

k = \frac{c ρ v (t_{0} - t_{v 1})}{t_{v 1} - t_{1}}

Päeval tuli soojendada sissetetulevat vett temperatuurilt

t_{0}

temperatuurini

t_{v 2}

, selleks vajalik soojus tuleb soojusvahetusest õhuga ja päikesekiirguse neeldumisest vees. Päikesekiirguse koguvõimsus on

P \cdot S

, soosjusliku tasakaalu võrrandiks saame

c ρ v (t_{v 2} - t_{0}) = k (t_{2} - t_{v 2}) + P S

Avaldame siit

t_{v 2}

t_{v 2} = \frac{c ρ v t_{0} + k t_{2} + P S}{c ρ v + k}

Asendades

k

saame, et

t_{v 2} = 26, 4^{\circ}

. Lahenduses kuskil ei kasutatud ujula sügavust, seega vastus temast ei sõltu.

45. Külmik

Ühe klaasitäie vee algtemperatuuriga $10^{\circ} C$ täielikuks külmutamiseks kulus külmikus $100 m i n u t i t$ . Kui palju aega kulub kolme klaasitäie vee algtemperatuuriga $20^{\circ} C$ jahutamiseks $0^{\circ} C$ -ni, kui külmik töötab samal režiimil? Klaasis oleva vee ja/või jää temperatuuri võite lugeda igal ajahetkel konstantseks üle kogu klaasi ruumala (st soojusjuhtivus on väga kiire); $λ = 330 k J / k g$ , $c = 4, 2 \frac{k J}{k g \cdot^{\circ} C}$ .

Lahendus

Vee jahtumisel ja jäätumisel või ainult jahtumisel eraldunud soojushulk on võrdne külmiku ``jahutusvõimsuse'' ja aja korrutisega $Q = N t$ . Vee jahutamisel ja tahkumisel eraldunud soojushulgad on $Q = c m Δ t$ ja $Q = λ m$ . Esimesel juhul saame kirjutada seose:

N t_{1} = c m_{1} Δ t_{1} + λ m_{1} = m_{1} (c Δ t_{1} + λ)

Teisel juhul saame seose

N t_{2} = c m_{2} Δ t_{2}

. Tähistame temperatuuri muudud jahtumisel:

Δ t_{1} = t_{1} - t_{0}

Δ t_{2} = t_{2} - t_{0}

, kus

Δ t_{2} = 2 Δ t_{1}

. Ülesande tekstist selgub, et

m_{2} = 3 m_{1}

. Jagades seosed saame:

\frac{N t_{2}}{N t_{1}} = \frac{c m_{2} Δ t_{2}}{m_{1} (x Δ t_{1} + λ)} = \frac{c \cdot 3 m_{1} \cdot 2 Δ t_{1}}{m_{1} (c Δ t_{1} + λ)}

Siit

t_{2} = \frac{6 t_{1} c Δ t_{1}}{c Δ t_{1} + λ} = 68 m i n .

46. Loeng

Mitme kraadi võrra tõuseb auditooriumis temperatuur, kui selles peetakse loengut 150 üliõpilasele 2 akadeemilist tundi (90 minutit)? Auditoorium lugeda täielikult soojuslikult isoleerituks väliskeskkonnast. Auditooriumi ruumala $V = 700 m^{3}$ , õhu tihedus $ρ\widetilde{o}=1,25kg/m3$ , õhu erisoojus $c\widetilde{o}=1,05⋅103Jkg⋅∘C$ . Auditooriumis on ka $m_{v} = 1, 5 t o n n i$ sisustust keskmise erisoojusega $c_{v} = 1, 2 \cdot 10^{3} \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ . Üks inimene eraldab soojust võimsusega $P = 80 W$ .

Lahendus

Leiame auditooriumis oleva õhu massi:

m_{˜ o} = V_{˜ o} ρ_{˜ o} = 700 m^{3} \cdot 1, 25 k g / m^{3} = 875 k g

Leiame inimeste poolt eraldatud soojushulga 90 minuti jooksul:

Q = 150 P Δ t = 150 \cdot 80 W \cdot 90 \cdot 60 s = 6, 48 \cdot 10^{7} J

Koostame soojustasakaalu võrrandi eeldades õhu ja sisustuse isotermsust:

Q = (c_{˜ o} m_{˜ o} + c_{v} m_{v}) Δ T

kus

Δ T

on otsitav temperatuuri tõus. Lahendame võrrandi

Δ T

suhtes:

Δ T = \frac{Q}{c_{˜ o} m_{˜ o} + c_{v} m_{v}} = 23, 8^{\circ} C

47. Kamin

Suvilas annab talvel sooja ainult elektrikamin. Kui kõik aknad on kinni, siis püsib toas temperatuur $t_{1} = 25^{\circ} C$ . Kui avada üks õhuaken, siis kujuneb toatemperatuuriks $t_{2} = 22^{\circ} C$ . Milline temperatuur $t_{3}$ kujuneb siis, kui avada veel teine õhuaken. Välisõhu temperatuur on $t_{0} = - 5^{\circ} C$ . Õhu konvektsioon ei muutu aja jooksul. Soojuskao kiirus on võrdeline sise- ja välisemperatuuride vahega.

Lahendus

Olgu $Q$ ajaühikus radiaatorist eralduv soojushulk. Maja soojuskiirgus ajaühikus on võrdeline temperatuuride vahega sees ja väljas. Sama kehtib ka konvektsiooni kohta. Tähistades maja soojuskiirgust ajaühikus ühe kraadi kohta tähega $c$ ning soojuse kadu konvektsioonis ühe kraadi kohta ajaühikus (kui avatud on üks õhuaken) - $b$ , saame ülesande tingimused kirja panna võrrandisüsteemina:

Q = c (t_{1} - t_{0}) = 30 c (˜ o huaknad kinni)

Q = c (t_{2} - t_{0}) + b (t_{2} - t_{0}) = 27 (c + b) (¨ u ks ˜ o huaken lahti)

Q = c (t_{3} - t_{0}) + 2 b (t_{3} - t_{0}) = (t_{3} + 5) (c + 2 b) (kaks ˜ o huakent lahti)

kus

t_{3}

on toatemperatuur, kui on lahti mõlemad õhuaknad. Esimesest võrrandist arvutame

c

, seejärel teisest võrrandist

b

ja lõpuks kolmandast võrrandist

t_{3} = 19, 5^{\circ} C

48. Kalorimeeter

Kalorimeetris on teatud kogus vett temperatuuril $20^{\circ} C$ . Kui vette paigutada $100^{\circ} C$ -ni kuumutatud metallkuulike, siis vee temperatuur tõuseb $30^{\circ} C$ -ni. Millise temperatuurini soojeneb vesi, kui sinna paigutada lisaks veel teine samasugune $100^{\circ} C$ -ni kuumutatud kuulike?

Lahendus

$m_{v}$ - vee mass; $c_{v}$ - vee erisoojus; $t_{1} = 20^{\circ}$ - vee algtemperatuur; $t = 30^{\circ} C$ - vee lõpptemperatuur; $m_{k}$ - kuulikese mass; $c_{k}$ - kuulikese erisoojus; $t_{2} = 100^{\circ} C$ - kuulikese algtemperatuur. Vastavad soojushulgad: $Q_{1} = c_{v} m_{v} (t - t_{1})$ ja $Q_{2} = c_{k} m_{k} (t_{2} - t)$ , soojuskadude puudumisel $Q_{1} = Q_{2}$ ning $c_{v} m_{v} (t - t_{1}) = c_{k} m_{k} (t_{2} - t)$ , mille põhjal arvuliste andmete asendamisel: $c_{v} m_{v} = 7 c_{k} m_{k}$ . Teise kuulikese lisamisel ( $t_{x}$ - lõpptemperatuur):

c_{v} m_{v} (t_{x} - t) + c_{k} m_{k} (t_{x} - t) = c_{k} m_{k} (t_{2} - t_{x})

7 c_{k} m_{k} (t_{x} - t) + c_{k} m_{k} (t_{x} - t) = c_{k} m_{k} (t_{2} - t_{x})

Arvuliste andmete asendamisel:

t_{x} \approx 38^{\circ} C

Teine lahendus: Vee ja kuuli soojusmahtuvuste suhe $k = C_{1} / C_{2} = Δ t_{2} / Δ t_{1} = 7$ ( $Δ t_{1}$ ja $Δ t_{2}$ on vee ja kuuli temperatuuride muudud). Kahe kuuli puhul on soojusmahtuvuste suhe kaks korda väiksem, $k^{'} = k / 2 = 3, 5 = Δ t_{2}^{'} / Δ t_{1}^{'}$ . Asendades siia $Δ t_{1}^{'} = t_{x} - t_{1}$ ning $Δ t_{2}^{'} = t_{2} - t_{x}$ saame võrrandi

k^{'} (t_{x} - t_{1}) = t_{2} - t_{x} \Rightarrow t_{x} = t_{1} + \frac{t_{2} - t_{1}}{1 + k^{'}} \approx 38^{\circ}

49. Aurustumine

Anumast, milles on natuke vett temperatuuriga $0^{\circ} C$ , hakatakse kiiresti õhku välja pumpama. Selle tulemusena hakkab vesi tugevasti aurustuma. Milline osa veest võib selle tulemusena muutuda jääks? Vee sulamissoojus $λ = 334 k J / k g$ ja aurustumissoojus $L = 2500 k J / k g$ .

Lahendus

Vee aurustumiseks vajalik soojus saadakse tahkumisel eralduvast soojusest. Seega $λ m_{1} = L m_{2}$ , kus $λ = 334 k J / k g$ on vee tahkumissoojus, $m_{1}$ - külmunud vee mass, $L = 2500 k J / k g$ - vee aurustumissoojus $0^{\circ} C$ juures ja $m_{2}$ - aurustunud vee mass. Siit saame, et $m_{2} = λ m_{1} / L$ . Kehtib seos $m = m_{1} + m_{2}$ , kus $m$ on kogu vee mass. Seega $m = m_{1} + λ m_{1} / L$ .

\frac{m_{1}}{m} = \frac{L}{λ + L} = 0, 88

50. Mõõdulint

Külma ilmaga mõõdeti metallist mõõdulindiga krundi küljepikkust. Lint on valmistatud mõõtmiseks temperatuuril $20^{\circ} C$ . Tulemuseks saadi $1000, 0 m$ . Lindi joonpaisumistegur $α = 12 \cdot 10^{- 6} K^{- 1}$ . Mõõtmise ajal oli õhutemperatuur $- 30^{\circ} C$ . Kui pikk on krundi külg tegelikult?

Lahendus

Külma ilmaga tõmbub mõõdulint kokku, aga maapind kokku ei tõmbu. Joonpaisumise valemi kohaselt on mõõtmisel tekkiv viga:

Δ l = α l_{0} Δ t = 12 \cdot 10^{- 6} \cdot 1000 \cdot (20^{\circ} C - (- 30^{\circ} C)) = 0, 6 m

Kuna mõõdulint oli lühem normaalsest, siis saame suurema tulemuse tegelikust. Tegelik krundi serva pikkus on

999, 4 m

51. Veesoojendi

Päikeseküttel töötava veesoojendi kasulik pindala on $5 m^{2}$ . Seade soojendab $6 t u n n i$ jooksul $67 k g$ vett temperatuurilt $10^{\circ} C$ kuni temperatuurini $70^{\circ} C$ . Kui suur on keskmine päikese kiirguse soojuslik võimsus pindalaühiku kohta (ühik $W / m^{2}$ )? Eeldada soojuskadude puudumist. Vee erisoojus on $4200 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ .

Lahendus

Otsitavaks suuruseks on soojuslik võimsus pindalaühiku kohta. Tähistame selle $N / S$ . Võimsus avaldub kui $N = A / t$ . Töö on antud juhul vee soojendamiseks kuluv soojushulk $A = Q$ . Vee soojendamiseks kuluv soojushulk avaldub kui $Q = c m (t_{2} - t_{1})$ . Võrrandisüsteemi lahend on

\frac{N}{S} = \frac{A}{S t} = \frac{Q}{S t} = \frac{c m (t_{2} - t_{1})}{S t} \approx 160 W / m^{2}

52. Kütteseade

Kütteseade vähendas õhtul kell $10.00$ kütte võimsust $η = 50 %$ võrra ja hommikul kell $6.00$ lülitus uuesti normaalsele režiimile. Õhutemperatuur toas enne öisele režiimile lülitumist on $t_{1} = 22^{\circ} C$ , õues on õhutemperatuur ööpäeva jooksul püsiv $t_{2} = - 18^{\circ} C$ . Kui madalale langeb õhutemperatuur toas hommikuks enne kütteseadme päevarežiimile lülitumist? Soojuskadude võimsus lugeda võrdeliseks toa- ja välistemperatuuride vahega. Toas asuvate esemete, seinte, põranda ja lae soojusmahtuvust mitte arvestada. Kuidas mõjutab nimetatud asjade soojusmahtuvuse arvesse võtmine vastust?

Lahendus

Täisvõimsusel töötades suudab kütteseade säilitada toa- ja välistemperatuuride vahet $40^{\circ} C$ . Temperatuuride vahe, nagu selgub ülesande tekstist, on võrdeline kütte võimsusega. Seega, pärast kütte vähendamist alaneb toatemperatuur väärtuseni $- 18^{\circ} C + 0, 5 \cdot 40^{\circ} C = 2^{\circ} C$ . Soojusmahtuvuse arvessevõtmisel ei saa toatemperatuuri sama lihtsalt määrata. Kütteseadme lülitumisel öisele režiimile algab toa jahtumine. Seejuures annavad piirded ja toas olevad esemed osa oma siseenergiat toaõhule ja toa temperatuur ei lange kohe minimaalseni. Kas kella kuueks hommikul langeb temperatuur praktiliselt $2^{\circ} C$ -ni, sõltub nimetatud soojusmahtuvuste suurusest.

53. Allajahtunud vedelik

Väga puhast vedelikku on võimalik jahutada külmumistemperatuurist madalma temperatuurini. Sellist aine seisundit nimetatakse allajahutatud vedelikuks. Selleks, et allajahutatud vedelik külmuma hakkaks, piisab kõige väiksemast ebaühtlusest vedelikus. Katseklaas, milles on $20 g$ allajahutatud vett temperatuuril $- 5^{\circ} C$ , raputatakse, mille tulemusena osa veest külmub. Kui palju vett muutub jääks, kui jätta arvestamata soojusvahetus vee ja katseklaasi seinte vahel? Vee erisoojus on $4, 2 \frac{k J}{k g \cdot^{\circ} C}$ ning jää sulamissoojus on $340 \frac{k J}{k g}$ .

Lahendus

Teatavasti selleks, et jää sulaks, peame teda soojendama. Kui aga vesi külmub, siis soojus eraldub. Kui me raputame katseklaasi, tekkivad vees õhumullid, mis rikuvad vee ühtlust ning vesi hakkab kiiresti külmuma. Kuna, nagu öeldud, külmuv vesi eraldab soojust, siis allesjääva vee temperatuur tõuseb. Järelikult saab külmumine toimuda ainult nii kaua, kui katseklaasis olev vesi on allajahutatud ehk tema temperatuur on $0^{\circ} C$ -st madalam. Seega saame kirja panna soojusbilansi võrrandi

λ m = c M \cdot (0 - t)

kus

m

on katseklaasi tekkinud jää mass. Siit

m = \frac{c M \cdot (0 - t)}{λ} \approx 1, 2 g

54. Keeduspiraal

Mitu keerdu nikeliinist traati oleks vaja mähkida portselanist silindrile, et valmistada keeduspiraal, mille abil saaks $120 g$ vett 30 sekundiga keema ajada? Vee algtemperatuur on $10^{\circ} C$ , portselansilindri diameeter $d_{1} = 1, 5 c m$ , traadi diameeter $d_{2} = 0, 2 m m$ , rakendatav pinge $U = 120 V$ , nikeliini eritakistus $ρ = 0, 42 \frac{Ω \cdot m m^{2}}{m}$ , soojuskaod ümbritsevasse keskkonda on $40 %$ , vee erisoojus on $c = 4, 2 \frac{k J}{k g \cdot^{\circ} C}$ .

Lahendus

$120 g = 0, 12 k g$ vee kuumutamiseks keemistemperatuurini on vaja energiat $Q_{1} = m c \cdot (100^{\circ} C - t)$ . Samal ajal $30$ sekundi jooksul on keeduspiraal suuteline andma

Q_{2} = \frac{U^{2} t}{R}

Arvestades, et soojuskaod ümbritsevasse keskkonda on

40 %

, siis

Q_{1} = 0, 6 \cdot Q_{2}

ehk

0, 12 \cdot 4200 \cdot (100 - 10) = 0, 6 \cdot \frac{120^{2} \cdot 30}{R}

millest

R \approx 5, 7 Ω

. Selleks et valmistada antud traadist sellise takistusega keeduspiraal, on vaja võtta traadijupp pikkusega

l = \frac{R S}{ρ} \approx 44, 8 c m

Portselanist silindri ümbermõõt on

π d_{1} = 3, 14 \cdot 1, 5 = 4, 71 c m

, järelikult keerdude arv on võrdne

44, 8 / 4, 71 \approx 9, 5

keerdu.

55. VTD

VTD (väga tähtis detail) kujutab endast massiivset metallitükki, mille sisse on puuritud auk läbimõõduga $d = 10 m m$ . Augu seinu ühendab peenike kahe teravikuga metallnõel pikkusega $l = d$ , mis läbib augu telge ja on risti sellega. VTD kukub keevasse vette. Millisele maksimaalsele kaugusele $x$ paindus nõela keskpunkt oma esialgsest asukohast? Õhutemperatuur $t_{0} = 20^{\circ} C$ . Detailis kasutatud metalli joonpaisumistegur $α = 0, 0002 K^{- 1}$ . Ülesande lahendamisel kasutage ligikaudset valemit $sin φ \approx φ - \frac{φ^{3}}{6}$ , kus $φ$ on nurk radiaanides.

Lahendus

Nõel kuumeneb ruttu ja paisub, muu metall on veel külm. Olgu soojuspaisumisest tingitud pikenemine $Δ l = l α (t_{1} - t_{0}) ≪ l (0)$ . Nõel võtab ilmselt kaare kuju, kusjuures kõverusraadius $R ≫ l$ . Moodustagu nõel kaarenurga $2 φ$ . Geomeetriast teame, et

2 x R = \frac{l^{2}}{4} (1)

Teine geomeetria valem on

φ = \frac{l}{2 R} (2)

Kolmandaks valemiks avaldame kaare ja kõõlu pikkuste erinevuse:

Δ l = R φ - 2 R sin φ \approx \frac{R φ^{3}}{3} (3)

Edasi on vaja elimineerida

R

φ

. Valemeist (2) ja (3):

R = \frac{l^{2}}{\sqrt{24 l Δ l}} (4)

Valemist (1)

x = \frac{l}{8 R} = \frac{\sqrt{24 l Δ l}}{8} = \sqrt{\frac{3 l Δ l}{8}}

Seega

x = l \sqrt{\frac{3 α \cdot (t_{1} - t_{0})}{8}} \approx 0, 8 m m

56. Elektrilamp

Elektrilamp võimsusega $60 W$ asub läbipaistvas kalorimeetris, mis sisaldab $600 g$ vett. 5 minutiga soojeneb vesi $4^{\circ} C$ võrra. Milline osa selle aja jooksul lambi poolt tarbitud energiast läbib kalorimeetri kiirgusena? Vee erisoojus on $4200 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ .

Lahendus

Lamp tarbib aja $t = 300 s$ jooksul energiat $E = N t$ . Vee soojendamiseks kulub energia $Q = c m Δ T$ , ülejäänud eraldub kiirgusena.

η = \frac{E - Q}{E} = \frac{N t - c m Δ t}{N t} \approx 0, 44 = 44 %

57. Sogane vesi

Aknalauale oli jäetud ööseks purk sogase veega. Hommikuks oli sete kogunenud purgi ühte serva. Kuhu poole kogunes sete, kui õues oli külmem, kui toas? Põhjendage vastust.

Lahendus

Kuna toas oli soojem kui õues, siis eeldatavasti oli purgi toapoolne külg soojem kui õuepoolne ja vesi purgis tsirkuleerus nii, et toapoolses osas tõusis soojenev vesi pinnale, liikus seejuures jahedama välisseina poole, langes jahtudes põhja ja liikus toa poole. Kuna tuli välja, et sete oli lõpuks ikkagi tekkinud, siis see tähendab, et settimise hulk ajaühikus oli suurem kui konvektsioonist tingitud vee segamine ja purgi põhja langenud sete lükkus põhjavoolu tõttu toapoolsesse nurka.

58. Kukkuvad tükid

Alumiiniumitükk ja pliitükk langesid samalt kõrguselt. Kumma metallitüki temperatuur on pärast põrget langemise lõpul kõrgem? Eeldada, et kogu energia läks kehade endi soojendamiseks. Alumiiniumi erisoojus on $880 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ , pliil $130 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ .

Lahendus

Olgu langemiskõrgus $h$ , siis alumiiniumist kuulikese potentsiaalne energia kõrgusel $h$ on $Π_{a} = P_{a} h$ ja pliist $Π_{p} = P_{p} h$ . Selle energia arvel kehad soojenevad kokkupõrgel maapinnaga.

Q_{a} = P_{a} h = m_{a} g h = c_{a} m_{a} Δ t_{a}

Δ t_{a} = \frac{g h}{c_{a}}

Q_{p} = P_{p} h = m_{p} g = c_{p} m_{p} Δ t_{p}

Δ t_{p} = \frac{g h}{c_{p}}

\frac{Δ t_{p}}{Δ t_{a}} = \frac{c_{a}}{c_{p}} = 6, 7

59. Traat ja polt

Peenikest vasktraati on küünla leegis kerge hõõguma ajada, jämedat vaskpolti aga naljalt mitte. Miks?

Lahendus

Traadi poolt leegist ajaühikus saadav soojusenergia on võrdeline traadi pindalaga, sellest tulenevalt tema läbimõõduga. Traadi soojusjuhtivus on võrdeline tema ristlõikepindalaga, s.o. läbimõõdu ruuduga. Jämeda poldi puhul on soojusjuhtivuse ja ajaühikus saadud soojusenergia suhe nii suur, et kogu polt omandab ligikaudu ühesuguse temperatuuri. Seega kiirgab polt soojust üle kogu oma pinna ning soojustasakaal leegist saadava soojuse ning kiiratava soojuse vahel saabub hulga madalamal temperatuuril, kui peene traadi puhul mil kuumeneb ainult traadi leegis asuv osa.

1.17 Varia

1. Pendel

Pendel pandi väikese amplituudiga võnkuma ning stopperiga registreeriti neid hetki, kui pendel läbis vasakult poolt tulles oma tasakaalupunkti. Kaks järjestikust sellist sündmust toimusid hetkedel $t_{1} = 3, 19 s$ ja $t_{2} = 5, 64 s$ . Pendlil lasti mõnda aega segamatult võnkuda, seejärel saadi kaheks järjestikuseks näiduks $t_{3} = 61, 14 s$ ja $t_{4} = 63, 54 s$ . Leidke võimalikult täpselt pendli võnkeperiood.

Lahendus

Esialgse hinnangu perioodile, $τ = 2, 425 s$ , saame $τ_{1} = t_{2} - t_{1}$ ja $τ_{2} = t_{4} - t_{3}$ keskmisest. Seda kasutades näeme, et $t_{1}$ ja $t_{3}$ vahel pidi toimuma täpselt 24 võnget, samamoodi $t_{2}$ ja $t_{4}$ vahel.

Saame kaks sõltumatut mõõtmist 24 võnke kestuse kohta: $τ_{1}^{'} = (t_{3} - t_{1}) / 24 = 2, 4146 s$ ja $τ_{2}^{'} = (t_{4} - t_{2}) / 24 = 2, 4125 s$ . Nende keskmine annab meie hinnangu pendli perioodi kohta, $τ^{'} = 2, 4135 s \approx 2, 414 s$ .

2. Helid

Kas erineva sagedusega helid levivad õhus ühesuguse kiirusega? Millise katsega saaks seda kontrollida?

Lahendus

Jah (või erinevus on väga väike). Ka suurelt kauguselt (näiteks mõni kilomeeter) muusikat kuulates pole märgata, et mingid helid (näiteks kõrged) jõuaksid varem kuulajani kui teised.

3. Vihm

Tuulevaikse ilmaga vihma käes seisev inimene saab märjaks $t = 2$ minutiga. Kui inimene jookseb kiirusega $v_{2} = 18 k m / h$ , saab ta märjaks $t_{2} = 0, 5$ minutiga. Kui kiiresti saab inimene märjaks siis, kui kõnnib kiirusega $v_{1} = 6 k m / h$ ? Eeldage, et inimese keha on samas asendis seismisel, jooksmisel ja kõndimisel ning et inimest võib lähendada risttahukaga. Märjaks saamine tähendab seda, et inimesele langeb teatud kindel kogus vett.

Lahendus

Seisvale inimesele langeva vee ruumala saame arvutada seosest $V = S v t$ , kus $S$ on inimese horisontaalsuunaline pindala ja $v$ vihmapiiskade langemise kiirus.
Kui inimene liigub, siis siseneb ta teatud kiirusega vihmapiiskasid täis õhku. Tema keha vertikaalse osa vastu tulnud vee ruumala saab arvutada seosest $V_{v} = S_{v} v_{1} t$ , kus $S_{v}$ on inimese vertikaalsuunaline pindala ja $v_{1}$ inimese liikumise kiirus.
Arvestades seda, on kiirusega $v_{2}$ liikuvale inimesele langeva vee ruumala võrdne $V = S v t_{2} + S_{v} v_{2} t_{2}$ .
Kuna seisvale ja liikuvale inimesele langeva vee ruumala peab olema sama, siis
1) jooksva inimese korral kehtib seos $S v t = S v t_{2} + S_{v} v_{2} t_{2}$ ;
2) kõndiva inimese korral seos $S v t = S v t_{1} + S_{v} v_{1} t_{1}$ .

Teeme teisendused: $v_{1} = 6 \frac{k m}{h} = 100 \frac{m}{m i n}$ ja $v_{2} = 18 \frac{k m}{h} = 300 \frac{m}{m i n}$
Avaldame esimesest seosest $S_{v} = 0, 01 S v$ ning asendades selle teise seosesse (ühtlasi saab võrrandi läbi jagada $S v$ - ga) saame, et $t_{1} = 1 m i n$ .

4. Laua lükkamine

Mees hoiab ühest otsast lauda, mille teine ots lebab külili maa peal oleval tühjal vaadil. Laua lükkamisel hakkab vaat pöörlema ja liikuma mööda horisontaalset maapinda. Vaat maapinnal ei libise, samuti ei libise ka laud vaadil. Kui pika maa peab maha kõndima lauda lükkav mees, et jõuda vaadini? Laua pikkus on $6$ meetrit.

Lahendus

Vaadi ühe täispöördega liigub selle keskpunkt edasi teepikkuse 2 $π$ R võrra, kus $R$ on vaadi raadius. Sama aja jooksul liigub laua vaadile toetuv ots vaadi keskpunkti suhtes edasi sama teepikkuse võrra.

Kuivõrd vaat pöörleb ja liigub ning laud liigub vaadi suhtes, liigub lauda lükkav mees selle aja jooksul edasi teepikkuse 2 $\cdot$ 2 $π$ R võrra, mis on kaks korda pikem kui vaadi telje poolt läbitud teepikkus. Seega, et mees jõuaks vaadini, peab ta läbima teepikkuse, mis võrdub laua kahekordse pikkusega ehk 12 meetrit.

5. Maa pöörlemisperiood

Keskmiseks päikeseööpäevaks ehk tavatähenduses ööpäevaks nimetatakse keskmist perioodi, mille jooksul Päike näib Maaga seotud vaatleja jaoks tegevat taevas täisringi. Keskmise päikeseööpäeva pikkuseks on $24 h$ ehk $86400 s$ . Maal kulub ühe tiiru tegemiseks ümber Päikese $365.256$ keskmist päikeseööpäeva. Maa pöörlemissuund ümber oma telje ühtib selle tiirlemissuunaga Päikese ümber. Leidke nende andmete põhjal Maa pöörlemisperiood sekundi täpsusega.

Lahendus

Päikese näivat liikumist taevas põhjustavad nii Maa pöörlemine kui ka tiirlemine. Maa tiirlemise tõttu erineb Maa täispöörete arv aastas ühe võrra keskmiste päikeseööpäevade arvust. Kuna Maa tiirlemise suund ühtib Maa pöörlemise suunaga, siis teeb Maa ühe aasta jooksul ühe täispöörde rohkem. Seega on Maa pöörlemisperioodiks

P = \frac{365, 256}{366, 256} \cdot 86400 s = 86164 s \Rightarrow P = 23 h 56 m i n 4 s

.
Teine lahendus
Päike teeb täistiiru taevas sagedusega

f_{k} = \frac{1}{86400 s}

. Maa tiirlemise sagedus on

f_{t} = \frac{1}{365, 256 \cdot 86400 s}

. Kuna Maa pöörlemis- ja tiirlemissuunad ühtivad, siis kehtib võrrand

f_{k} = f_{p} - f_{t}

, kus

f_{p}

on Maa pöörlemise sagedus. Siit saame avaldada Maa pöörlemisperioodi

P = \frac{1}{f_{p}} = \frac{1}{f_{k} + f_{t}} = 86164 s \Rightarrow P = 23 h 56 m i n 4 s

Märkused
Nimetuse keskmine päikeseööpäev tingib asjaolu, et Maa elliptilise orbiidi tõttu on Päikese näiv nurkkiirus taevas veidi muutlik.

Maa tiirlemisperioodi nimetatakse ka sideeriliseks aastaks.

Enamasti mõistetakse aastana troopilist, mitte sideerilist aastat, mis on defineeritud pööripäevade kordumise põhjal. Troopilise ning sideerilise aasta erinemise põhjustab Maa telje pretsessioon. Igapäevaelus ei ole olulised mitte Maa pöörlemine ning tiirlemine vaid hoopis Päikese ööpäevane liikumine taevas ning aastaaegade kordumine, mistõttu laialdaselt kasutatavad ööpäeva ning aasta mõisted erinevadki Maa pöörlemis- ning tiirlemisperioodidest.

6. Värvitilgad laual

Ühtlaselt ja sirgjooneliselt liikuva horisontaalse laua kohal on kaks paigalseisvat düüsi, millest tilgub lauale värvi. Värvitilgad langevad samast düüsist võrdsete ajavahemike järel. Joonisel on kujutatud teatud osa lauast värvitilkade jälgedega (täpid $A$ , $B$ , $C$ , $D$ ). Mitu korda erinevad tilkade langemise sagedused (ajaühikus langenud tilkade arv) erinevatest düüsidest?

Lahendus

Laua sirgjoonelise liikumise tõttu peavad ühest ja samast düüsist langevate tilkade jäljed asetsema ühel sirgel, erinevate düüside jaoks peavad need sirged olema paralleelsed. See jätab vaid võimaluse, et täpid $A$ ja $D$ pärinevad ühest ja $B$ ning $C$ teisest düüsist.

Langegu tilgad düüsidest vastavalt sagedustega $f_{1}$ ja $f_{2}$ . Siis $| A D | \cdot f_{1} = | B C | \cdot f_{2} = v$ , kus $v$ on laua liikumise kiirus ja $| A D |$ ning $| B C |$ vastavate lõikude pikkused. Siit $\frac{f_{2}}{f_{1}} = \frac{| A D |}{| B C |}$

Mõõtes lõikude pikkused jooniselt saame $\frac{f_{2}}{f_{1}} = 2$ .

Vastus: tilkade lanegmise sagedused erinevad 2 korda.

Märkused:

1. Õigeks võib lugeda ka tulemuse: $\frac{f_{2}}{f_{1}} = 0, 5$ , kuna düüside järjekorda pole spetsifitseeritud.

2. Vastus peab tulema vahemikus $1, 8 \dots 2, 2$ $(0, 45 \dots 0, 55)$ .

Kuul liigub nööri otsas maapinna suhtes horisontaalses tasandis mööda ringjoont. Ühel hetkel vabaneb kuul nööri otsast ja läbib punkti $A$ (vt. joonis). Leidke kuuli poolt läbitud tee pikkus vabanemise kohast punktini $A$ . Ühe ruudu küljepikkus on $a = 1 m$ . Kuuli vertikaalne nihe on tühine.

Kuul liigub nööri otsas maapinna suhtes horisontaalses tasandis mööda ringjoont. Ühel hetkel vabaneb kuul nööri otsast ja läbib punkti

A

(vt. joonis). Leidke kuuli poolt läbitud tee pikkus vabanemise kohast punktini

A

. Ühe ruudu küljepikkus on

a = 1 m

. Kuuli vertikaalne nihe on tühine.

Lahendus

Vabanenud kuuli kiiruse vektor on suunatud piki vabanemise kohast tõmmatud ringjoone puutujat. Vaatleme juhtu, kui kuul tiirleks sama (nurk)kiirusega teistpidi. Sellisel juhul oleks puutuja mööda ruudustiku joont ning ruutude arv lihtsalt kokkuloetav (vt. joonis). Sümmeetria

8. Värvitilgad laual

Ühtlaselt pöörlevale lauale langesid ühest laua kohal asuvast düüsist sinise ja teisest punase värvi tilgad. Joonisel on kujutatud tilkade jäljed laual (S = sinine, P = punane). Vaheaeg kahe sinise tilga langemise vahel oli t = 1/6 sekundit. Mitu pööret teeb laud sekundi jooksul?

Lahendus

Sama värvi tilgad asetsevad ühel ringjoonel. Eri värvi tilkadele vastavad ringjooned on kontsentrilised, nende ühine keskpunkt $O$ on pöörlemistelje lõikepunkt lauaga. Selle punkti saab leida, kui sama värvi punkte ühendavatele lõikudele $S_{1} S_{2}$ ja $P_{1} P_{2}$ (vastavate ringjoonte kõõludele) joonestatud keskristsirgete (sirged $L_{S}$ ja $L_{P}$ ) lõikepunkti.

Ühendades sinised punktid sedasi leitud pöörlemiskeskmega, näeme et vastavatest raadiustest ja “sinisest” kõõlust moodustub võrdkülgne kolmnurk $S_{1} S_{2} O$ , seega on “sinise” raadiusvektori pöördenurk $Φ = 60^{\circ} = \frac{π}{3}$ .

Kuna see nurk kaetakse $t = \frac{1}{6} s$ jooksul, siis ühe sekundi jooksul kaetakse nurk $360^{\circ} = 2 π$ , st laud teeb sekundis ühe täispöörde.

2 Põhikooli eksperimendiülesanded

Põhikooli eksperimendiülesanded

47.

Vaatame laual asuvasse tasapeeglisse ja sulgeme ühe silma. Asetame peeglile $10$ -sendilise mündi nii, et see kataks suletud silma kujutise. Avame nüüd pead liigutamata suletud silma ja sulgeme teise silma. Kus asub münt näo kujutise suhtes nüüd? Põhjendage nähtut.

Vahendid: tasapeegel, $10$ -sendine münt.

Lahendus

Näeme, et $1$ 0-sendine asub jälle suletud silma kujutise kohal. Suletud silma $B$ kujutis tekib peegli taha punkti $B_{1} (B O = O B_{1})$ . Seda näeme lahtise silmaga $A$ ja katame nähtava kujutise $10$ -sendisega kinni punktis $O_{1}$ . Kolmnurgad $△ B_{1} O O_{1}$ ja $△ B_{1} B A$ on sarnased (kõik nurgad on vastavalt võrdsed). Kuna

B_{1} O = \frac{B_{1} B}{2}

, siis ka

O_{1} O = \frac{A B}{2}

Kui sulgeme teise silma ( $A$ ), siis katab punktis $O_{1}$ olev $10$ -sendiline jälle suletud silma kujutise ( $A_{1}$ ), sest $O O_{1} = O_{1} O_{2}$ .

48. Ülesanne: Leidke maksimaalne rõhk, mida laua peal seisev tikke täis tikutops võib lauale avaldada. Tikutopsi katki rebida ei tohi. Vahendid: Joonlaud (ühtlase massijaotusega, mille mass on teada), tikutops. Märkus: Maksimaalsete punktide saamiseks peab leitud rõhk olema suurem kui $200, m a t h r m P a$ .

Ülesanne: Leidke maksimaalne rõhk, mida laua peal seisev tikke täis tikutops võib lauale avaldada. Tikutopsi katki rebida ei tohi.

Vahendid: Joonlaud (ühtlase massijaotusega, mille mass on teada), tikutops.

Märkus: Maksimaalsete punktide saamiseks peab leitud rõhk olema suurem kui $200 P a$ .

Lahendus

Tikutops avaldab maksimaalset rõhku lauale siis, kui topsi pindala, mis lauale toetub on kõige väiksem. Kõige väiksema pindalaga saab tikutopsi toetada lauale nii, et lükkad sisemise osa natuke välja ning paned tikutopsi välise kesta servade peale seisma.

Toetuspindala leidmine: Tikutopsi väline kest tuleb vajutada kokku (mööda murdejooni), siis saame paksuseks $1 m m$ ning pikkuseks $4, 7 c m$ , seega pindala on $S = 0, 1 c m \cdot 4, 7 c m = 0, 47 c m^{2}$ .

Tikutopsi massi saame leida, kui kasutame joonlauda kangina. Eeldame, et joonalaua mass on jaotunud kogu joonlaua ulatuses ühtlaselt. Kõigepealt määrame joonlaua masskeskme, selleks paigutame joonlaua risti laua servaga üks ots üle serva. Nihutame joonlauda ja määrame koha, kus joonlaud hakkab laua serval kalduma. Sellel kaugusel asub joonlaua masskese. Fikseerime selle punkti. Seejärel asetame tikutopsi joonlauale võimalikult otsa lähedale ja leiame topsi keskoha asukoha. Viimase saamiseks tuleks võtta topsi mõlema serva näidud ja arvutada aritmeetiline keskmine. Tasakaalustame joonlaua ja paneme kirja toetuspunkti asukoha. Saadud tulemuste põhjal arvutame joonlaua massikeskme ja tikutopsi massikeskme kaugused toetuspunktist $l_{1}$ ja $l_{2}$ . Kangi seaduse tõttu:

m_{j} g l_{1} = m_{t} g l_{2}

ja tikutoosi massiks saame

m_{t} = \frac{m_{j} l_{1}}{l_{2}}

Täistikutopsi korral peaks vastus olema vahemikus 6,2-6,6 grammi. Lauale avaldatud rõhu saame valemist $p = \frac{F}{S} = \frac{m_{t} g}{S}$ . Vastus tuleb kuskil 1300-1500 Pa. Tuleks teha kordusmõõtmised.

49. Ülesanne: Määrata kollase vedeliku tihedus kahte kihti jaotunud vedelikus. Raskema vedeliku tihedus $ho=1.0,mathrmfracgcm3$ . Vahendid: Joogikõrs, joonlaud, katseklaas kahte kihti jaotunud vedelikuga.

Ülesanne: Määrata kollase vedeliku tihedus kahte kihti jaotunud vedelikus. Raskema vedeliku tihedus $ρ = 1.0 \frac{g}{c m^{3}}$ .

Vahendid: Joogikõrs, joonlaud, katseklaas kahte kihti jaotunud vedelikuga.

Lahendus

Ülesanne taandub vedelikusammaste rõhkude tasakaalule. Kõrre sisse peab tekitama teise vedelikusammaste kõrguste jaotuse kui kõrrest väljas (nagu lähtub jooniselt). Juhtude 1 ja 3 tekitamiseks peab ülemise vedeliku kõrre sisse imema, kõrre pealt sulgema ning uputama alumise otsa alumise (tihedama) vedeliku põhjani ning seejärel avama. Juhtude 2 ja 4 tekitamiseks peab kas tühja kõrre pealt sulgema ja uputama alumise otsa alumise (tihedama) vedelikuni ning seejärel avama või puhuma põhja ulatuva kõrre tühjaks ja lubama taastäituda.

Vajalik on eralduspinna selge eristumine ja tuleb oodatata vedelike eralduspinna selginemist. Lähtudes rõhkude võrdsusest toru alumises otsas juhu 4 näitel:

p = h_{V A} \cdot ρ_{A} \cdot g + h_{V B} \cdot ρ_{B} \cdot g = h_{S A} \cdot ρ_{A} \cdot g + h_{S B} \cdot ρ_{B} \cdot g

(h_{V A} - h_{S A}) \cdot ρ_{A} = (h_{S B} - h_{V B}) \cdot ρ_{B}

ρ_{A} = \frac{h_{S B} - h_{V B}}{h_{V A} - h_{S A}} \cdot ρ_{B}

Kõrre täiteks kasutatakse vaid ühte vedelikest (nagu juhtudel 1 ja 2 , kuna siis saab suurima vedelikusammaste kõrguste vahe). Täpseima tulemuse saab, kui kõrs täita vedelikuga mille kihi paksus anumas on väiksem (kuna siis saab suurima absoluutse vedelikusammaste kõrguste vahe). Tuleb viia läbi vähemalt üks kontrollmõõtmine taastäidetud kõrrega.

50. Ülesanne: Määrake mahlajoogi suhkrusisaldus eeldusel, et joogi tihedus suureneb võrdeliselt suhkrusisalduse kasvuga. Vahendid: Plastikpulk, joonlaud, plastiliin, mahlajook (punane), puhas vesi, $20 %$
(14.)
suhkrulahus (roheline).

Ülesanne: Määrake mahlajoogi suhkrusisaldus eeldusel, et joogi tihedus suureneb võrdeliselt suhkrusisalduse kasvuga.

Vahendid: Plastikpulk, joonlaud, plastiliin, mahlajook (punane), puhas vesi, $20 %$ suhkrulahus (roheline).

Lahendus

Plastik torust ja plastiliinist saame teha areomeetri, pannes väikese tüki plastiliini ühte toru otsa. Areomeeter tuleb valmistada nii, et ta ujuks nii vees kui suhkrulahuses. Parima tulemuse saab siis, kui valmistatud areomeeter vajub vees võimalikult sügavale - veest jääb välja kuskil 2 mm pikkune pulk.

Paigutades areomeetri vedelikku, saame mõõta selle, kui suur osa areomeetrist jääb vedelikust välja. Vette paigutades on veest välja ulatuva areomeetri toru pikkus $l_{0}$ ning $20 %$ suhtkurlahuse korral $l_{1}$ . Kuna lahuse tihedus (protsent) on lineaarses sõltuvuses veest välja ulatuva toru pikkusega (vastavalt jõudude tasakaalule), saame leida, et ühele pikkusühikule ( $l_{x}$ ) vastav protsent on

p_{l} = \frac{20 %}{l_{1} - l_{0}}

Mõõtes ära selle, kui palju jääb toru välja (

l_{m a h l}

) mahlajoogi korral, saame leida ka mahlajoogi suhkrusisalduse

p

p = (l_{m a h l} - l_{0}) \cdot p_{l}

Korrektse lahenduse jaoks on vaja teostada vähemalt kolm kordusmõõtmist iga lahuse korral.

51. Ülesanne: Elektrilambi hõõgniidi takistus sõltub temperatuurist. Määrake oommeetrit kasutamata toatemperatuuril oleva hõõglambi hõõgniidi takistus. Vahendid: Vooluallikas, reostaat nelja juhtmega, voltmeeter, multimeeter (ampermeetrina), hõõglamp juhtmetega, 3 juhet, 4 surveklemmi, millimeeterpaber. Vihje: Voolutugevuse mõõtmiseks kasutage multimeetrit piirkonnaga $e x t 200, e x t m A$ . Pinge reguleerimiseks kasutage reostaati potentsiomeetrilises lülituses, kus reostaadi otstele on rakendatud vooluallika pinge ning katseskeem on ühendatud reostaadi ühe otsaklemmi ja liuguri klemmiga (vt joonist). Vastavalt liuguri asendile muutub pinge katseskeemi otstel.

Ülesanne: Elektrilambi hõõgniidi takistus sõltub temperatuurist. Määrake oommeetrit kasutamata toatemperatuuril oleva hõõglambi hõõgniidi takistus.

Vahendid: Vooluallikas, reostaat nelja juhtmega, voltmeeter, multimeeter (ampermeetrina), hõõglamp juhtmetega, 3 juhet, 4 surveklemmi, millimeeterpaber.

Vihje: Voolutugevuse mõõtmiseks kasutage multimeetrit piirkonnaga $200 mA$ . Pinge reguleerimiseks kasutage reostaati potentsiomeetrilises lülituses, kus reostaadi otstele on rakendatud vooluallika pinge ning katseskeem on ühendatud reostaadi ühe otsaklemmi ja liuguri klemmiga (vt joonist). Vastavalt liuguri asendile muutub pinge katseskeemi otstel.

Lahendus

Katse idee ja planeerimine.

Määrata lambi takistus erinevatel pingetel, selleks mõõta pinge ja voolutugevus ning arvutada seose $R = \frac{U}{I}$ abil taksitus.
Joonistada pinge - takistuse graafik, pikendada graafikut pinge väärtuseni 0 ja määrata sellele pinge väärtusele vastav takistus. Kui pinge on $0 V$ , puudub lambis elektrivool ja tegemist ongi külma hõõgniidiga.
Vooluringi koostamine (vt joonist).
Pinge ja voolutugevuse mõõtmine. Tähelepanu sellele, et väikestel pingetel toimuvad mõõtmised tihedamini.
Takistuse sõltuvus voolutugevusest graafiku konstrueerimine.
Külma hõõgniidi takistuse leidmine.

52. Ülesanne: Mitu korda erinevad 1- ja 20-eurosendiste müntide ruumalad? Vahendid: 1- ja 20-eurosendised mündid, valge $A 4$
(16.)
joonistuspaber, pliiats. Joonlauda pole lubatud kasutada!

Ülesanne: Mitu korda erinevad 1- ja 20-eurosendiste müntide ruumalad?

Vahendid: 1- ja 20-eurosendised mündid, valge $A 4$ joonistuspaber, pliiats. Joonlauda pole lubatud kasutada!

Lahendus

Mündi ruumala saame leida valemist $V = S_{p} h$ , kus $S_{p} = \frac{π d^{2}}{4}$ . Seega ruumalade suhte saame leida, kui leiame mündi diameetrite suhte ning paksuste suhte $\frac{V_{20}}{V_{1}} = \frac{d_{20}^{2}}{d_{1}^{2}} \frac{h_{20}}{h_{1}}$ .

Diameetrite suhte leidmiseks vaatame, mitu korda mahuvad mündid $A 4$ paberi ühe külje peale. Paberi pikema külje peale mahub $18, 3$ 1-sendist ja $13, 3$ 20-sendist, seega $\frac{d_{20}}{d_{1}} = \frac{18, 3}{13, 3} = 1, 38$ .

Diameetri suhte täpsemaks leidmiseks võib veeretada münte paberi peal ning vaadata mitu täisringi moodustab üks paberi külg (soovituslikum meetod).

Müntide paksuste leidmiseks voldime paberi kokku ning vaatame mitu kihti paberit on võrdne mündi paksusega. Joonistuspaberiga ( $120 \frac{g}{c m^{2}}$ ) saame, et 1-sendine münt on $12$ lehte paks ning 20- sendine münt on $15$ lehte paks. Seega $\frac{h_{20}}{h_{1}} = \frac{15}{12} = 1, 25$ .

Müntide ruumalade suhe on seega $\frac{V_{20}}{V_{1}} = 1, 38^{2} \cdot 1, 25 = 2, 38$ .

Märkus: Täpne müntide ruumalade suhe on $2, 4$ , kuid antud meetodiga tuleb ebatäpsus sisse müntide paksuste suhte leidmisel.

53. Ülesanne: Leidke eurosendise mündi ümbermõõt võimalikult suure täpsusega. Vahendid: 1 eurosendine münt, mõõtejoonlaud.

Ülesanne: Leidke eurosendise mündi ümbermõõt võimalikult suure täpsusega.

Vahendid: 1 eurosendine münt, mõõtejoonlaud.

Lahendus

Asetame sendi ja joonlauad tasasele pinnale joonisel kujutatud viisil. Sendi pöörame asendisse, kus selle mõni servalähedane märge asub kohakuti ühe joonlaua kriipsuga, mille registreerime alguspunktina. Surume sendi kergelt joonlaudade vahele ja liigutame ühte joonlauda noolega näidatud suunas. Selle tulemusel hakkab sent pöörlema. Libisemise vältimiseks tuleks joonlaudu hoida võimalikult paralleelsena.

Peame silmas märget eurosendil ja jätkame liikumist, kuni sent on teinud joonlaua pikkuse piires maksimaalse arvu täispöördeid. Paneme kirja märke lõppkoordinaadi ja pöörete arvu. Koordinaatide vahe jagatud pöörete arvuga annabki eurosendi ümbermõõdu. Kordame katset vähemalt kolm korda ja lõpptulemuseks võtame katsete keskmise. Eurosendi ümbermõõt on $51, 1 m m$ .

54. Ülesanne: Tehke kindlaks kuidas oleneb luubi suurendus kaugusest luubi ja eseme vahel, kui kaugus eseme ja silma vahel hoida $30, m a t h r m c m$ . Tulemus esitage graafiliselt. Märkus: Suurendus näitab, mitu korda suureneb luubi abil vaadeldava väikese eseme nurkläbimõõt. Fikseeritud kauguse korral on väikese eseme nurkläbimõõt võrdeline selle joonmõõtmega. Vahendid: Luup, millimeeterpaber

Ülesanne: Tehke kindlaks kuidas oleneb luubi suurendus kaugusest luubi ja eseme vahel, kui kaugus eseme ja silma vahel hoida $30 c m$ . Tulemus esitage graafiliselt.

Märkus: Suurendus näitab, mitu korda suureneb luubi abil vaadeldava väikese eseme nurkläbimõõt. Fikseeritud kauguse korral on väikese eseme nurkläbimõõt võrdeline selle joonmõõtmega.

Vahendid: Luup, millimeeterpaber

Lahendus

Asetame luubi millimeetripaberist erinevatele kaugustele ja võrdleme erinevatel kaugustel ruudustiku suurust läbi luubi ja ilma luubita. Mõõdame, 4-5 korral, luubi kaugused millimeetripaberist ja hindame vastavad suurendused.

Joonestame graafiku, millel on antud suurenduse sõltuvus eseme kaugusest luubist, kanname graafiku väljale punktid ja ühendame need. Teoreetiliselt tuletatud avaldis luubi suurenduse jaoks (vastavalt tekstis toodud definitsioonile):

S = \frac{f l}{l (f - a) + a^{2}}

kus

l

on silma ja objekti vahekaugus ning

a

objekti ja läätse vahekaugus. Kui

f > l / 2

, siis omab suurendus kui funktsioon a-st maksimumi

a = l / 2

juures,

S_{m} = \frac{f}{f - l / 4}

Väärtuste

l = 30 c m

f = 18 c m

jaoks on graafik toodud juuresoleval joonisel.

55. Ülesanne: Määrake koormise ühtlaseks ülestõmbamiseks vajaliku jõu suurus kaldteel sõltuvalt tee kaldenurgast. Tulemus esitage graafikuna. Vahendid: klots, koormised, dünamomeeter, statiiv klambriga, lauajupp, mall.

Ülesanne: Määrake koormise ühtlaseks ülestõmbamiseks vajaliku jõu suurus kaldteel sõltuvalt tee kaldenurgast. Tulemus esitage graafikuna.

Vahendid: klots, koormised, dünamomeeter, statiiv klambriga, lauajupp, mall.

Lahendus

Lauajupp tuleb klambriga kinnitada statiivile. Soovituslik on lauajupp kinnitada sellise kaldenurgaga, mille siinust me teame (siin on abiks mall) .
Järgmiseks tuleb klots koos koormistega kinnitada dünamomeetri külge ja dünamomeetriga klotsi võimalikult ühtlase kiirusega mööda lauajuppi üles tõmmata. Dünamomeetrilt tuleb üles märkida ülestõmbamiseks vajalik jõud.
Katset tuleb korrata kolm korda. Kogu katse ajal tuleks üritada saavutada tõmbamisel kiirus, mis on ühtlane ja samasugune nagu eelmisetel kordadel. Arvesse läheb kolme katse keskmine.
Nüüd tuleks sama mõõtmine sooritada teistsuguse kaldenurgaga.
Saanud vähemalt nelja erineva nurga jaoks keskmise jõu, tuleks joonestada vastavate jõudude ja nurkade põhjal graafik. Tulemus on õiges suunas, kui jõud kasvab kaldenurga suurenedes.

56. Ülesanne: Leidke ühe tiku mass. Vahendid: tuntud massiga joonlaud ( $m = 10, m a t h r m g$ ), tikutops koos tikkudega.

Ülesanne: Leidke ühe tiku mass.

Vahendid: tuntud massiga joonlaud ( $m = 10 g$ ), tikutops koos tikkudega.

Lahendus

Seejärel asetame tühja tikutopsi joonlauale võimalikult otsa lähedale ja leiame topsi keskoha asukoha. Viimase saamiseks tuleks võtta topsi mõlema serva näidud ja arvutada aritmeetiline keskmine. Tasakaalustame joonlaua ja paneme kirja toetuspunkti asukoha. Saadud tulemuste põhjal arvutame joonlaua massikeskme ja tikutopsi massikeskme kaugused toetuspunktist $l_{1}$ ja $l_{2}$ . Kangi seaduse tõttu:

m_{j} g l_{1} = m_{t} g l_{2}

ja tühja tikutoosi massiks saame

m_{t} = \frac{m_{j} l_{1}}{l_{2}}

.Kordame katset täis tikutopsiga.

Ühe tiku massi leidmiseks tuleb täis tikutopsi massist lahutada tühja topsi mass ning jagada saadud tulemus topsis olnud tikkude arvuga:

m_{t i k k} = \frac{m_{t ¨ a is} - m_{t ¨ u hi}}{n}

Realistlik vastus (

m_{t i k k} = 0, 1 g

)

57. Ülesanne: Millise suhtelise osa haavlitega (sh tühikud) täidetud ruumalast moodustavad tühikud haavlite vahel? Vahendid: Mõõtemensuur, anum veega, haavlid.

Ülesanne: Millise suhtelise osa haavlitega (sh tühikud) täidetud ruumalast moodustavad tühikud haavlite vahel?

Vahendid: Mõõtemensuur, anum veega, haavlid.

Lahendus

Kallame mensuuri vett ja fikseerime skaalal vedeliku mahu näidu $V_{0}$ . Lisame seejärel haavleid, niiet veetase mensuuris jääks skaala ulatusse ja ülespoole haavlite taset (kerge loksutamisega sätime viimase horisontaalseks). Fikseerime koguruumala $V_{1}$ , mis jääb allapoole veetaset ja haavlite + veega täidetud osa ruumala $V_{2}$ . Veehulga jäävusest enne ja pärast haavlite lisamist

V_{0} = V_{2} \cdot S + (V_{1} - V_{2})

kus

S

on otsitav tühikute suhteline ruumala. Sellest seosest saame

S = 1 - \frac{V_{1} - V_{0}}{V_{2}}

Erijuhul kui haavlite tase ühtib veetasemega (

V_{1} = V_{2}

), siis

S = \frac{V_{0}}{V_{2}}

Märkus: Sama läbimõõduga kerakeste juhusliku pakkimise korral on näidatud, et $S = 0, 38$ . Tihedaima (regulaarse) pakendi korral $S = 0, 26$ . Tulemus peaks tulema vahemikus $0, 25 \leq S \leq 0, 50$ .

58. Ülesanne: Materjalide eritakistused sõltuvad temperatuurist ning suurte temperatuurierinevuste korral võivad ka takistuste erinevused olla suured. Mitu korda erineb külma lambi (hõõgniit on toatemperatuuril) takistus nominaalrežiimis põleva lambi nominaaltakistusest? Vahendid: taskulambi pirn nominaalpingega $U_{0} = 3, 6, m a t h r m V$ ja nominaalvõimsusega $P_{0} = 1, 8, m a t h r m W$ , patarei (pinge mitte üle $3, 3, m a t h r m V$ ), tuntud takisti ( $R = 1, m a t h r m O m e g a$ ), voltmeeter.

Ülesanne: Materjalide eritakistused sõltuvad temperatuurist ning suurte temperatuurierinevuste korral võivad ka takistuste erinevused olla suured. Mitu korda erineb külma lambi (hõõgniit on toatemperatuuril) takistus nominaalrežiimis põleva lambi nominaaltakistusest?

Vahendid: taskulambi pirn nominaalpingega $U_{0} = 3, 6 V$ ja nominaalvõimsusega $P_{0} = 1, 8 W$ , patarei (pinge mitte üle $3, 3 V$ ), tuntud takisti ( $R = 1 Ω$ ), voltmeeter.

Lahendus

Nominaaltakistuse lihtsalt arvutame:

R_{1} = \frac{U_{0}^{2}}{P_{0}} = \frac{3, 6^{2}}{1, 8} = 7, 2 Ω

Kuivõrd see on umbes 3 suurusjärku väiksem, kui takistus

R

, siis takistiga järjestikku patarei klemmidele ühendatuna on lambil eralduv võimsus nominaalrežiimiga võrreldes tühine ning temperatuur faktiliselt toatemperatuur.

Mõõdame sellise ühenduse juures pinged lambil $U_{1}$ ja takistil $U_{2}$ . Lambi takistus

R_{0} = R \cdot \frac{U_{1}}{U_{2}}

Otsitav suhe

k = \frac{R_{1}}{R_{0}}

59. Ülesanne: Määrta tundmatu keha mass. Vahendid: statiiv, statiiviklamber muhviga, joonlaud, 3 rahakummi, 2 kirjaklambrit, koormis massiga $m = 55, m a t h r m g$ (mutter M20) ja tundmatu massiga keha (polt M14).

Ülesanne: Määrta tundmatu keha mass.

Vahendid: statiiv, statiiviklamber muhviga, joonlaud, 3 rahakummi, 2 kirjaklambrit, koormis massiga $m = 55 g$ (mutter M20) ja tundmatu massiga keha (polt M14).

Lahendus

Kumminiidi pikenemine on võrdeline sellele rakendatud jõuga. Lõikame kummirõnga lahti ja seome otstesse kirjaklambrid. Kinnitame kirjaklambri statiiviklambri külge. Mõõdame kirjaklambrite vahekauguse $h_{0}$ . Riputame kirjaklambri otsa tuntud massiga keha ja mõõdame kirjaklambrite vahekauguse $h$ . Leiame kumminiidi pikkuse muutuse $h - h_{0}$ .

Riputame kirjaklambri otsa tundmatu massiga keha ja mõõdame kirjaklambrite vahekauguse $H$ . Leiame kumminiidi pikkuse muutuse $H - h_{0}$ . Kuna kumminiidi pikenemine on võrdeline sellele mõjuva jõuga, seega on kumminiidi pikenemiste suhe võrdne selle otsa riputatud masside suhtega.

\frac{M}{m} = \frac{H - h_{0}}{h - h_{0}} \Rightarrow M = m \frac{H - h_{0}}{h - h_{0}}

60. Ülesanne: Määrata katseklaasi mass. Vahendid: suur laia kaelaga purk, kitsas katseklaas, joonlaud, vesi.

Ülesanne: Määrata katseklaasi mass.

Vahendid: suur laia kaelaga purk, kitsas katseklaas, joonlaud, vesi.

Lahendus

Katseklaasi tuleb panna natuke vett, et see ujuks vertikaalasendis ja mõõta sisemise ning välimise veenivoo vahe $Δ h$ ning katseklaasi diameeter $d$ . Siis katseklaasile mõjuv raskusjõud võrdub talle mõjuva üleslükkejõuga. Arvestades, et katseklaasis oleva vee panus on mõlemasse ühesugune, saame

m_{k} g = ρ_{v} V g \Rightarrow m_{k} = ρ_{v} V = \frac{π ρ_{v} d^{2} Δ h}{4}

Siin

m_{k}

on katseklaasi mass ja

ρ_{v}

vee tihedus.

Märkus: kui katses katseklaasi vett mitte panna, kukub ta pikali. Lisaks raskusjõule ja üleslükkejõule mõjub talle siis ka hõõrdejõud anuma seina poolt. Sel juhul aga massi määramiseks arvutusi teha pole enam võimalik.

61. Ülesanne: Määrake kustutuskummi tihedus. Vee tihedus $ho=1,0,mathrmfracgcm3$ . Vahendid: anum veega, 4 kustutuskummi, nööpnõelad, dünamomeeter.

Ülesanne: Määrake kustutuskummi tihedus. Vee tihedus $h_{o} = 1, 0 \frac{g}{c m^{3}}$ .

Vahendid: anum veega, 4 kustutuskummi, nööpnõelad, dünamomeeter.

Lahendus

Katsekeha kaal õhus on $F = m g$ ja vees $P = F - ρ_{v} g V$ . Arvestades, et $V = \frac{m}{ρ}$ , saame

P = F - ρ_{v} g V \Rightarrow P = F - ρ_{v} g \frac{m}{ρ} \Rightarrow P = F (1 - \frac{ρ_{v}}{ρ})

Avaldame viimasest võrrandist katsekeha tiheduse

ρ

, saame

ρ = \frac{F ρ_{v}}{F - P}

62. Ülesanne: Määrake katsekeha mass. Vahendid: vees heljuv keha, silindriline anum, joonlaud, nõu veega.

Ülesanne: Määrake katsekeha mass.

Vahendid: vees heljuv keha, silindriline anum, joonlaud, nõu veega.

Lahendus

64. Ülesanne: Määrata reostaadile keritud traadi mass. Traadi tihedus on $8500,mathrmfrackgm3$ . Vahendid: reostaat, mõõtejoonlaud, täisnurkne kolmnurk.

Ülesanne: Määrata reostaadile keritud traadi mass. Traadi tihedus on $8500 \frac{k g}{m^{3}}$ .

Vahendid: reostaat, mõõtejoonlaud, täisnurkne kolmnurk.

Lahendus

Traadi tihedus: $ρ = \frac{m}{V}$ , kus traadi mass $m = ρ V$ .

Traadi ruumala $V = S l$ .

Traadi ristlõike pindala $S = \frac{π d^{2}}{4}$ . Mõõtmiste kirjeldus, kus on kirjeldatud ka kolmnurga kasutamist.

Traadi pikkuse määramine (ühe keeru pikkus korda keerdude arv, kus keeru pikkus $c = π d$ ).

Keeru läbimõõdu mõõtmine: arvestada tuleb traadikeeru välis- ja siseläbimõõtu ning leida keeru läbimõõdu aritmeetiline keskmine.

Traadi läbimõõdu määramine:

traadi l ¨ a bim ˜ o ˜ o t = \frac{m ¨ a hise pikkus}{keerdude arv} .

66. Ülesanne: Määrake puitsilindi tihedus. Vee tihedus on $1000,mathrmfrackgm3$ . Vahendid: Anum veega, pikk ja peenike puitsilinder, mille otsa on kinnitatud niit, joonlaud.

Ülesanne: Määrake puitsilindi tihedus. Vee tihedus on $1000 \frac{k g}{m^{3}}$ .

Vahendid: Anum veega, pikk ja peenike puitsilinder, mille otsa on kinnitatud niit, joonlaud.

Lahendus

Kuna tegemist on vees heljuva kehaga, siis tema mass on võrdeline väljatõrjutud vee massiga siis saame: $m = ρ V = ρ S Δ_{l}$ . Kus $ρ$ on vee tihedus, S silindri põhjapindala ja $Δ_{l}$ vedelikusamba tõus. Niit silindri küljes aitab meil tagada, et silinder oleks anumas vertikaalselt ega puudutaks anuma seinu.

67. Ülesanne: Määrata plastiliini tihedus. Vahendid: silindriline anum, joonlaud, tükk plastiliini, anum veega.

Ülesanne: Määrata plastiliini tihedus.

Vahendid: silindriline anum, joonlaud, tükk plastiliini, anum veega.

Lahendus

Määrata plastiliini ruumala sukeldumismeetodil. Valmistada plastiliinist laevuke ja mõõta selle poolt väljatõrjutud vedeliku ruumala. Tuletada ujumise tingimusest valem plastiliini tiheduse arvutamiseks: $ρ_{p l} = ρ_{v} \cdot (V_{v v} / V_{p l})$ . Arvutada plastiliini tihedus. Vastus oleneb plastiliini sordist ja on ca $1, 1 \dots 1, 2 g / c m^{3}$ .

68. Ülesanne: Hinnata, kas suurem optiline tihedus on värvitul või kollasel vedelikul. Vahendid: korgiga suletud katseklaas, milles on värvitu ja kollane vedelik.

Ülesanne: Hinnata, kas suurem optiline tihedus on värvitul või kollasel vedelikul.

Vahendid: korgiga suletud katseklaas, milles on värvitu ja kollane vedelik.

Lahendus

Tuleb vaadata läbi vedelike mingit eset või kujundit paberil. Teatud kauguse korral saame suurendatud kujutise. Mida suurem on kujutis, seda suurem on optiline tihedus, sest murdva pinna kumerus on mõlemal juhul ühesugune. Suuremale murdumisnäitajale vastab suurem murdumisnurk, sellele aga suurem kujutis.

Parim seletus on joonise abil, kus on näha kujutise tekkimine läätses kahel juhul. Suuremale murdumisnäitajale vastab aga väiksem fookuskaugus.

69. Ülesanne: Määrata soojushulk, mis eraldub $1, m a t h r m g$ piirituse põlemisel. Analüüsida katset ja selle tulemusi. Vee erisoojus on $cv=+4200,mathrmfracJkg∗Ccirc$ , alumiiniumi erisoojus $cAl=880,mathrmfracJkg∗Ccirc$ . Vahendid: Piirituslamp, alumiiniumist anum (mass on antud), vesi, kaalud, mõõtesilinder, termomeeter, tikud.

Ülesanne: Määrata soojushulk, mis eraldub $1 g$ piirituse põlemisel. Analüüsida katset ja selle tulemusi. Vee erisoojus on $c_{v} = + 4200 \frac{J}{k g * C^{\circ}}$ , alumiiniumi erisoojus $c_{A l} = 880 \frac{J}{k g * C^{\circ}}$ .

Vahendid: Piirituslamp, alumiiniumist anum (mass on antud), vesi, kaalud, mõõtesilinder, termomeeter, tikud.

Lahendus

Soojendada piirituslambiga teatud kogus vett. Piirituslambis piirituse (etanooli) põlemisel eralduv soojushulk ( $Q_{e}$ ) on võrdne soojushulkade summaga, mis kulutatakse vee soojendamiseks ( $Q_{v}$ ) ja anuma soojendamiseks ( $Q_{a}$ ) teatud temperatuuri võrra.

Vee soojendamiseks kulub soojushulk $Q_{v} = c_{v} m_{v} (t_{v 1} - t_{v 0})$ , kus $c_{v}$ on vee erisoojus, $m_{v}$ - soojendatava vee mass, $t_{v 0}$ - vee algtemperatuur (enne soojendamist) ja $t_{v 1}$ - vee lõpptemperatuur (pärast soojendamist).

Anuma soojendamiseks kulunud soojushulk $Q_{a} = c_{A l} m_{a} (t_{v 1} - t_{v 0})$ , kus $c_{A l}$ on alumiiniumi erisoojus ja $m_{a}$ on anuma mass.

Piirituse põlemisel eralduva soojushulga ( $Q_{e}$ ) arvutamiseks tuleb kasutada valemit: $Q_{e} = K m_{e}$ , kus $K$ on piirituse kütteväärtus (ehk $1 k g$ piirituse täielikul põlemisel eralduv soojushulk) ning me on piirituse mass, mis kulub ära täielikul põlemisel.

Piirituse massi $m_{e}$ saab leida, kui lahutada piirituselambi massist enne põlemist $m_{p 0}$ piirituselambi mass pärast põlemist $m_{p 1}$ : $m_{e} = m_{p 0} - m_{p 1}$ .

Võib kirjutada soojustasakaalu võrrandi: $Q_{e} = Q_{v} + Q_{a}$ ehk

K (m_{p 0} - m_{p 1}) = c_{v} m_{v} (t_{v 1} - t_{v 0}) + c_{A l} m_{a} (t_{v 1} - t_{v 0})

Siit:

K = \frac{(t_{v 1} - t_{v 0}) (c_{v} m_{v} + c_{A l} m_{a})}{m_{p 0} - m_{p 1}}

Otsitakse

1 g

piirituse põlemisel eralduvat soojushulka

K^{'} = K / 1000

K^{'} = \frac{(t_{v 1} - t_{v 0}) (c_{v} m_{v} + c_{A l} m_{a})}{1000 \cdot (m_{p 0} - m_{p 1})} .

102. Ülesanne: Määrake joonlaua mass. Vahendid: $30, m a t h r m c m$ pikkune joonlaud, 1-kroonine münt ( $m = 5, m a t h r m g$ ).

Ülesanne: Määrake joonlaua mass.

Vahendid: $30 c m$ pikkune joonlaud, 1-kroonine münt ( $m = 5 g$ ).

Lahendus

Eeldame, et joonlaua mass on kogu joonlaua ulatuses jaotunud ühtlaselt. Paigutame joonlaua risti laua servaga üks ots üle serva. Nihutame joonlauda ettevaatlikult ja määrame koha, kus joonlaud hakkab laua serval kalduma. Sellel kaugusel asub joonlaua masskese. Kuna mõõtejoonlaua skaala ei pruugi alata ega lõppeda joonlaua otstes, ei pruugi masskeskme asukoht olla 15 cm joonel. Mõõdame mündi läbimõõdu (Eesti Panga andmetel $23, 25 m m$ ).

Asetame mündi mingisse skaala punkti, paigutame joonlaua laua servale ja nihutame joonlauda seni, kuni joonlaud hakkab üle laua serva kalduma. Fikseerime skaalal selle punkti. Arvutame mündipoolse õla $d_{m}$ ja masskeskmepoolse õla $d_{k}$ . Teades mündi massi $m_{m}$ , arvutame seosest $F_{m} d_{m} = F_{j} d_{k}$ joonlaua massi $m_{j}$ :

m_{j} = \frac{m_{m} d_{m}}{d_{k}}

Täpsema tulemuse saamiseks tuleb teha mitu katset asetades mündi erinevatele kaugustele masskeskme asukohast ühele ja teisele poole masskeset.

71. Ülesanne: Asetage pliiats tühja klaasnõusse ja vaadake seda küljelt. Valage nõu poolenisti vett täis. Mida märkate? Kas nähtused olenevad pliiatsi asendist? Kui olenevad, siis kuidas? Põhjendage vastuseid. Vahendid: Klaasnõu, anum veega, pliiats.

Ülesanne: Asetage pliiats tühja klaasnõusse ja vaadake seda küljelt. Valage nõu poolenisti vett täis. Mida märkate? Kas nähtused olenevad pliiatsi asendist? Kui olenevad, siis kuidas? Põhjendage vastuseid.

Vahendid: Klaasnõu, anum veega, pliiats.

Lahendus

Vee lisamisel esineb pliiatsi ``murdumine'' .

Nähtus oleneb pliiatsi asendist. Suurim on siis, kui pliiats on klaasi keskkohast kaugeimas asukohas. Nähtus puudub kui pliiats asub vertikaalselt klaasi keskel. Selgituseks oleks tarvilik teha joonis.

72. Ülesanne: Teha kindlaks kuidas oleneb koondava läätse suurendus kaugusest läätse ja eseme vahel ning kaugusest läätse ja silma vahel. Tulemus esitada graafiliselt. Vahendid: kumerlääts ( $f a p p r o x 5 - 10, m a t h r m c m$ ), joonlaud, millimeetripaber. Märkus: Suurendus näitab, mitu korda on kujutise joonmõõtmed suuremad kui eseme joonmõõtmed.

Ülesanne: Teha kindlaks kuidas oleneb koondava läätse suurendus kaugusest läätse ja eseme vahel ning kaugusest läätse ja silma vahel. Tulemus esitada graafiliselt.

Vahendid: kumerlääts ( $f \approx 5 - 10 c m$ ), joonlaud, millimeetripaber.

Märkus: Suurendus näitab, mitu korda on kujutise joonmõõtmed suuremad kui eseme joonmõõtmed.

Lahendus

Idee seisneb selles, et võrrelda mm-paberi jaotisi, mis paistavad läbi luubi ja selle kõrval. Mõõtmistulemuste põhjal suurendus ei tohi sõltuda läätse ja silma vahekaugusest; tulemus, et suurendus kasvab kui läätse kaugus objektist kasvab; sellel suurenemisel on piir; vähemalt kolme suurenduse väärtuse mõõtmine; tulemuse graafiline esitamine (õiged teljed, ühikud ja tähised); mittelineaarne tõusev ja sile joon graafikul.

73. Ülesanne: Kui suur oleks voolutugevus antud vooluallikaga ühendatud kolmeoomise takistusega juhis? Vahendid: lapik taskulambipatarei, kaks juhet, tester, millimeetripaber, kolm traattakistit, mille takistused on ligikaudu $1, m a t h r m O m e g a$ , $1, m a t h r m O m e g a$ ja $4, m a t h r m O m e g a$ .

Ülesanne: Kui suur oleks voolutugevus antud vooluallikaga ühendatud kolmeoomise takistusega juhis?

Vahendid: lapik taskulambipatarei, kaks juhet, tester, millimeetripaber, kolm traattakistit, mille takistused on ligikaudu $1 Ω$ , $1 Ω$ ja $4 Ω$ .

Lahendus

Vana taskulambipatarei tekitab vooluringis nõrgema voolu kui uus patarei. Kasutatava patarei vanus pole teada. Kuna kolme-oomilise takistusega juhti pole antud, tuleb mõõta voolutugevused tuntud takistusega juhtides ja ennustada võimalik voolutugevus kolme-oomilise takistusega juhis.

Traattakistite takistused tuleb mõõta oomeetriga. Kokku tuleb panna ülesande lahendamiseks 4 erinevat vooluringi. Vooluringide koostamine: kaks ühe takistiga ja kaks kahe jadamisi ühendatud takistiga. Voolutugevuse mõõtmine. Graafiku telgede määramine. Punktide kandmine graafikule. Punkte ühendava joone joonistamine. Kolme-oomilise juhi takistus.

74. Ülesanne: Määra keha mass. Kirjeldada ülesande lahendust. Vahendid: kumminiit, mõõtejoonlaud, statiiv, tundmatu massiga keha, tuntud massiga keha.

Ülesanne: Määra keha mass. Kirjeldada ülesande lahendust.

Vahendid: kumminiit, mõõtejoonlaud, statiiv, tundmatu massiga keha, tuntud massiga keha.

Lahendus

Teooria: Keha massi saab avaldada kehale mõjuvast raskusjõust. Raskusjõu valem on $F = m g$ , kus $F$ on raskusjõud, $m$ on keha mass, $g$ on konstant, mis arvuliselt on võrdne $10 \frac{N}{k g}$ . Kehale mõjuvat raskusjõudu saab mõõta dünamomeetriga. Dünamomeetriga mõõtes on tekkinud elastsusjõud suuruselt võrdne kehale mõjuva raskusjõuga.

Dünamomeeter valmistatakse kumminiidist. Kumminiidi pikenemisel tekkiv elastsusjõud on võrdeline kumminiidi pikenemisega.Tuntud massiga kehale mõjuva raskusjõu $F$ mõjul pikeneb kumminiit pikkuse $s$ võrra. Tundmatu massiga kehale mõjuva raskusjõu $F_{1}$ mõjul pikeneb kumminiit pikkuse $s_{1}$ võrra. Tundmatu ja tuntud massiga kehale mõjuvate raskusjõudude jagatis on võrdne kumminiidi pikenemiste jagatisega $F_{1} / F = s_{1} / s$ .

Siit leiame tundmatu massiga kehale mõjuva raskusjõu ja selle abil tema massi. $m = F_{1} / g$

76. Ülesanne: Kolmest takistist on joonisel kujutatud viisil moodustatud kolmnurk. Leidke takistite RKR, RRP ja RPK takistused, kui on teada, et vähima väärtusega takisti takistus on 230. Kolmnurga tippudest väljuvad joonisel märgitud värvi juhtmed. Vahendid: takistitest kolmnurk, patarei, voltmeeter.

Ülesanne: Kolmest takistist on joonisel kujutatud viisil moodustatud kolmnurk. Leidke takistite RKR, RRP ja RPK takistused, kui on teada, et vähima väärtusega takisti takistus on 230. Kolmnurga tippudest väljuvad joonisel märgitud värvi juhtmed.

Vahendid: takistitest kolmnurk, patarei, voltmeeter.

Lahendus

Patarei tuleb ühendada kahest kolmnurga tipust tulevate juhtmetega (olgu need näiteks kollane ja roheline). Sel juhul on takistid $R_{R P}$ ja $R_{P K}$ patareiga jadamisi ühendatud ning mõlemat takistit läbib võrdse tugevusega vool. Mõõdame nendele takistitele langevad pinged $U_{R P}$ ja $U_{P K}$ . Ohmi seaduse järgi kehtib võrdsete voolutugevuste korral seos:

\frac{R_{R P}}{R_{P K}} = \frac{U_{R P}}{U_{P K}} .

Seega annab mõõdetud pingete jagatis takistuste

R_{R P}

R_{P K}

suhte. Kui kordame samu mõõtmisi veel ülejäänud takistipaaride jaoks, siis saame takistuste suhteks

\frac{R_{P K}}{R_{K R}} \approx 2, \frac{R_{R P}}{R_{P K}} \approx 2, \frac{R_{R P}}{R_{K P}} \approx 4.

Nagu näha, siis on väikseima väärtusega takisti

R_{K R}

ja ülejäänud takistite takistused on vastavalt

R_{P K} \approx 2 \cdot 230 Ω = 460 Ω

R_{P K} \approx 4 \cdot 230 Ω = 920 Ω .

77. Ülesanne: Koostage vooluring, milles kolmest ühesugusest hõõglambist kaks on ühendatud rööbiti ja kolmas lamp nendega jadamisi. Määrake, mitu korda on jadamisi ühendatud lambi takistus erinev ühe rööbiti ühendatud lambi takistusest. Millest see erinevus on tingitud? Vahendid: patarei, kolm lampi pesades, juhtmed, ampermeeter ja voltmeeter.

Ülesanne: Koostage vooluring, milles kolmest ühesugusest hõõglambist kaks on ühendatud rööbiti ja kolmas lamp nendega jadamisi. Määrake, mitu korda on jadamisi ühendatud lambi takistus erinev ühe rööbiti ühendatud lambi takistusest. Millest see erinevus on tingitud?

Vahendid: patarei, kolm lampi pesades, juhtmed, ampermeeter ja voltmeeter.

Lahendus

Koostame allesitatud elektriskeemi.
Lülitame ampermeetri jadamisi lambiga $L_{3}$ ja voltmeetri rööbiti lambiga $L_{3}$ . Mõõdame voolutugevuse lambis $L_{3}$ ja pinge selle klemmidel. Kuivõrd lambid on kõik ühesugused on voolutugevus lampides $L_{1}$ ja $L_{2}$ kaks korda väiksem kui lambis $L_{3}$ .

Me võime selle arvutada või mõõta paigutades ampermeetri skeemi jadamisi lambiga $L_{1}$ . Paigutame voltmeetri rööbiti lambiga $L_{1}$ või $L_{2}$ ja mõõdame pinge lambi otstel. Kuivõrd lambid on ühesugused, piisab ühes mõõtmisest.

Arvutame seosest $R = \frac{U}{I}$ lampide takistused ja takistuste suhte. Lambi hõõgniidi takistus sõltub oluliselt hõõgniidi temperatuurist. Takistus suureneb temperatuuri suurenedes. Hõõgniidi temperatuur sõltub aga voolutugevusest lambis. Kuna rööbiti ühendatud lampides on voolutugevus väiksem kui nendega jadamisi ühendatud lambis, põlevad rööbiti ühendatud lambid tuhmimalt, nende hõõgniitide temperatuur on madalam kui lambi $L_{3}$ temperatuur ja nende taksitus on väiksem lambi $L_{3}$ takistusest.

78. Ülesanne: Kasutades paberilehte ekraanina jälgige, millise varju jätab lääts paberile. Visandage valguse intensiivsuse jaotus paberil sõltuvuses punkti kaugusest optilisest peateljest siis, kui läätse kaugus paberist on umbes $10, m a t h r m c m$ . Leidke läätse fookuskaugus kasutades antud nähtust. Vahendid: punktvalgusallikas, nõguslääts hoidjas, mõõtejoonlaud, valge paberileht.

Ülesanne: Kasutades paberilehte ekraanina jälgige, millise varju jätab lääts paberile. Visandage valguse intensiivsuse jaotus paberil sõltuvuses punkti kaugusest optilisest peateljest siis, kui läätse kaugus paberist on umbes $10 c m$ . Leidke läätse fookuskaugus kasutades antud nähtust.

Vahendid: punktvalgusallikas, nõguslääts hoidjas, mõõtejoonlaud, valge paberileht.

Lahendus

Sõltuvalt läätse kaugusest ekraanist võib olla nähtav läätse hoidja tume vari: juhtum (a) (vt joonis). Kui kaugus on suurem, siis on läätse taguse tumedama piirkonna ja fooni vahel heledam piirkond, kuhu jõuavad nii otse tulevad kiired, kui ka läätsest hajunud kiired: juhtum (b) (vt joonis).

Lahendus

Fookuskauguse võib leida nt siis, kui mõõdame juhtumil (b) heleda piirkonna
diameetri $D = 2 R$ - siis, kui läätse kaugus ekraanist on $l$ .

Leiame fookuskauguse f sarnastest kolmnurkadest

\frac{f + l}{D} = \frac{f}{d} \Rightarrow f = \frac{l d}{D - d}

79. Ülesanne: Määrake suurim jõud, millega võib tõmmata antud niiti. Vahendid: 5 juppi niiti, joonlaud, koormis massiga 100 g, statiiv vardaga, statiivi jalg.

Ülesanne: Määrake suurim jõud, millega võib tõmmata antud niiti.

Vahendid: 5 juppi niiti, joonlaud, koormis massiga 100 g, statiiv vardaga, statiivi jalg.

Lahendus

Üks võimalik lahendus põhineb kangi kasutamisel (vt. joonis). Joonlauda kasutada kangina, vardaga statiivi toetuspunktina, statiivi jalga niidi ühe otsa kinnitamiseks. Viis niiti on antud selleks, et teha viis mõõtmist ja leida keskmine tulemus.

80. Ülesanne: Kui vaadata kumerläätselt peegeldunud valgust, näeme valgusallika kahte kujutist. Miks? Mille poolest need kujutised erinevad? Kumb neist asub meile lähemal? Kuidas seda eksperimentaalselt kontrollida? Vahendid: koondav lääts, laelamp.

Ülesanne: Kui vaadata kumerläätselt peegeldunud valgust, näeme valgusallika kahte kujutist. Miks? Mille poolest need kujutised erinevad? Kumb neist asub meile lähemal? Kuidas seda eksperimentaalselt kontrollida?

Vahendid: koondav lääts, laelamp.

Lahendus

Kujutised tekivad valguse peegeldumisel läätse esimeselt ja tagumiselt pinnalt.

Läätse tagumiselt, nõgusalt pinnalt peegeldumisel tekib tõeline kujutise, mis on kujutatud joonisel vasakul. Tõeline kujutis on ümberpööratud.

Läätse eesmiselt, kumeralt pinnalt pinnalt peegeldumisel tekib näiv kujutis, mis on kujutatud joonisel paremal. Näiv kujutis on päripidine.

Mõlemad kujutised on vähendatud, kuid tõeline kujutis on väiksem, sest esimeselt pinnalt toimub ainult peegeldumine, tagumiselt aga lisaks veel murdumine läätses: see lühendab fookuskaugust (ilma murdumiseta oleksid need mõlemal juhul võrdsed) ja seepärast on kujutis väiksem.

Meile lähemal asub tõeline kujutis.

Kauguse kindlakstegemiseks võib näiteks silma lähendada läätsele. Kui kaugus kujutisest saab väga väikeseks, muutub kujutis ebateravaks. Kaugusi saab kindlaks teha ka parallaksi meetodil, liigutades pead ja leides juurdeviidud eseme (pliiatsi) sellise asendi, kus see ese kujutise suhtes ei liigu.

81. Ülesanne: Keha asub vees. Määrake minimaalne töö, mis tuleb teha keha tõstmiseks põhjast pinnale (vt.joonis). Hinnake tulemuse täpsust. Vahendid: Anum veega, keha, niit, dünamomeeter, mõõtejoonlaud.

Ülesanne: Keha asub vees. Määrake minimaalne töö, mis tuleb teha keha tõstmiseks põhjast pinnale (vt.joonis). Hinnake tulemuse täpsust.

Vahendid: Anum veega, keha, niit, dünamomeeter, mõõtejoonlaud.

Lahendus

Tähistused: $h_{1}$ on kõrgus, milleni tuleb keha tõsta, et keha ülemine tahk oleks veepinna nivool. $h_{2}$ on kõrgus, milleni tuleb keha tõsta, et keha alumine tahk oleks veepinna nivool. $F_{1}$ on jõud keha tõstmiseks, kui keha on täielikult sukeldatud vette. $F_{2}$ on jõud keha hoidmiseks, kui keha on täielikult veest väljas. Mõõtmistulemuste põhjal koostatud graafik omab joonisel toodud kuju.

Graafikujoone alune pindala teljestikus antud suurustes on minimaalne töö keha tõstmiseks.

Kogu töö on otstarbekas leida kahe osatöö summana:

A = A_{1} + A_{2}

kus $$A_1 = F_1h

j a

A_2 = \frac{(F_2 − F_1)(h_2 − h_1)}{s}$$ Tulemuse täpsuse hinnang on kvalitatiivne näidates ära peamised mõõtmise ebatäpsuse allikad.

82. Ülesanne: Määrake taskulambipirni takistus toatemperatuuril (testri oommeetrina kasutamise eest punkte ei anta). Näpunäide: Et taskulambipatarei pinget ei saa muuta, siis kasutage reguleeritava pinge saamiseks reostaati potentsiomeetrilises lülituses. Vahendid: taskulambipirn, taskulambipatarei, reostaat, voltmeeter, ampermeeter (ampermeetriks kasutage testrit, valides tema mõõtepiirkonnaks 200mA), lüliti, juhtmed, millimeeterpaber.

Ülesanne: Määrake taskulambipirni takistus toatemperatuuril (testri oommeetrina kasutamise eest punkte ei anta).

Näpunäide: Et taskulambipatarei pinget ei saa muuta, siis kasutage reguleeritava pinge saamiseks reostaati potentsiomeetrilises lülituses.

Vahendid: taskulambipirn, taskulambipatarei, reostaat, voltmeeter, ampermeeter (ampermeetriks kasutage testrit, valides tema mõõtepiirkonnaks 200mA), lüliti, juhtmed, millimeeterpaber.

Lahendus

Hõõglambi takistus sõltub hõõgniidi temperatuurist. Temperatuuri tõustes takistus suureneb. Hõõgniidi temperatuur sõltub voolutugevusest. Mida suurem on voolutugevus, seda suurem on temperatuur. Lambi hõõgniit on toatemperatuuril siis, kui voolutugevus lambis on $0$ ehk pinge lambi hõõgniidi otstel võrdub nulliga.

Mõõdame voolutugevuse lambis pinge erinevate väärtuste korral ja arvutame igal pinge väärtusele vastava takistuse väärtuse. Erilist tähelepanu tuleb pöörata mõõtmistele pinge väikestel väärtustel.

Joonistame graafiku, mille ühel teljel on pinge, teisel - takistuse väärtus. Pikendades graafiku väärtuseni $U = 0$ , saame hõõgniidi takistuse toatemperatuuril. Pinge muutmiseks kasutame reostaati pingejagajana. Vooluringi skeem on toodud joonisel.

83. Ülesanne: Määrata keha aine tihedus. Ühe keha aine tihedus on $7,8⋅103,mathrmfrackgm3$ . Vahendid: võrdse ruumalaga kehad, ümmargune pliiats, joonlaud.

Ülesanne: Määrata keha aine tihedus. Ühe keha aine tihedus on $7, 8 \cdot 10^{3} \frac{k g}{m^{3}}$ .

Vahendid: võrdse ruumalaga kehad, ümmargune pliiats, joonlaud.

Lahendus

Tasakaalustame joonlaud pliiatsil. Asetatame joonlauale koormised ja tasakaalustame need joonlaual. Tähistame otsitava kehaga seotud suurused indeksiga 1, antud kehaga seotud suurused indeksiga 2.

Kehtib võrdus

\frac{l_{1}}{l_{2}} = \frac{m_{2}}{m_{1}}

Tiheduse definitsioonist

ρ = \frac{m}{V}

järeldub

m = V ρ

. Kuna kehad on võrdse ruumalaga, siis asendades massi avaldise esimesse võrrandisse saame

\frac{l_{1}}{l_{2}} = \frac{ρ_{2}}{ρ_{1}}

kust

ρ_{1} = \frac{ρ_{2} \cdot l_{2}}{l_{1}}

84. Ülesanne: Valmistada niidist ja kaaluvihist pendel. Uurida, kuidas pendli võnkeperiood sõltub niidi pikkusest. Esitada tulemus graafikuna. Vahendid: niit, statiiv, kaaluviht, kell, valge paber graafiku jaoks.

Ülesanne: Valmistada niidist ja kaaluvihist pendel. Uurida, kuidas pendli võnkeperiood sõltub niidi pikkusest. Esitada tulemus graafikuna.

Vahendid: niit, statiiv, kaaluviht, kell, valge paber graafiku jaoks.

Lahendus

Teooria: Katse kirjeldus - mida ja kuidas mõõdab. Oluline on mitme perioodi mõõtmine, et saada suuremat täpsust. Pendli pikkusühikuks niidi pikkuse valimine, niidi pikkuse mõõtmine meetodil, mis annab korratava tulemuse (niidi pooleks- , neljaks- jne kokkupanemine; ümber sõrme kerimine jt). Teised pikkuse hindamise viisid on ebatäpsemad, näiteks hinnang: pikk, lühem, lühike vms.

85. Ülesanne: Määrake mutri mass. Lauatennisepalli massi võib mutri massiga võrreldes tühiseks lugeda. Vahendid: lauatennisepall, mutter, kleeplinditükk, silindriline anum, vesi, mõõtejoonlaud.

Ülesanne: Määrake mutri mass. Lauatennisepalli massi võib mutri massiga võrreldes tühiseks lugeda.

Vahendid: lauatennisepall, mutter, kleeplinditükk, silindriline anum, vesi, mõõtejoonlaud.

Lahendus

Mutter tuleb kleeplindiga kinnitada lauatennise palli külge. Asetades saadud keha vette, jääb see ujuma ning selle mass on võrdne väljatõrjutud vee massiga.

Väljatõrjutud vee massi saame leida veetaseme tõusu järgi.

Mõõdame anuma diameetri $d$ ning arvutame ristlõikepindala

S = \frac{π d^{2}}{4}

ja mõõdame veetaseme tõusu

Δ h

, kui keha vette asetati. Keha mass

m = ρ V = ρ S Δ h

. Sobivaks vastuseks on

32 \pm 2

grammi.

Mutri mass on samuti $32$ grammi, kuna lauatennisepalli massi loeme mutri massiga võrreldes tühiseks. Täpsema tulemuse saamiseks tuleb sooritada kordusmõõtmisi.

86. Ülesanne: Mutter ja polt on valmistatud samast ainest. Kumma mass on suurem ja mitu korda? Vahendid: mutter, polt, mõõtejoonlaud, niit, anum veega.

Ülesanne: Mutter ja polt on valmistatud samast ainest. Kumma mass on suurem ja mitu korda?

Vahendid: mutter, polt, mõõtejoonlaud, niit, anum veega.

Lahendus

Laseme mutri anumasse, mõõdame veetaseme tõusu. Sama teeme poldiga. Mõõdame pudeli diameetri. Arvutame veetaseme kõrguste muutuste suhte, mis võrdub masside suhtega. $m = ρ V$ ja $V = S_{p} Δ h$ , seega:

\frac{m_{p}}{m_{m}} = \frac{V_{p}}{V_{m}} = \frac{Δ h_{p}}{Δ h_{m}} .

Parema täpsuse saamiseks tuleb mõõtmisi korrata.

87. Ülesanne: Määrata kui suur töö tehakse kumminiidi venitamisel jõuga $1, m a t h r m N$ . Vahendid: kumminiit, koormis massiga $100, m a t h r m g$ , joonlaud, statiiv.

Ülesanne: Määrata kui suur töö tehakse kumminiidi venitamisel jõuga $1 N$ .

Vahendid: kumminiit, koormis massiga $100 g$ , joonlaud, statiiv.

Lahendus

Kinnitada kumminiit statiivi klambri külge. Mõõta kumminiidi esialgne pikkus $l_{0}$ . Asetada kumminiidi otsa koormis ja mõõta kumminiidi pikkus $l_{1}$ . Arvutada kumminiidi pikenemine ehk koormise langemise kõrgus. Katset korrata mitu korda ja arvutada keskmine pikenemine $Δ l = l_{1} - l_{0}$ .

Arvutada töö, mille tegi raskusjõud koormise liikumisel allapoole $A = F_{v} \cdot Δ l$ , kus vastavalt ülesandele venitudjõud on $F_{v} = 1 N$ . Teisendada ühikud. Vastavalt energia jäävuse seadusele on raskusjõu töö võrdne kumminiidi venitamisel tehtava tööga.

92. Ülesanne: Määrake $15, m a t h r m c m$ võrra väljavenitatud kumminiidi energia. Märkus: $10, m a t h r m c m$ -st suuremate deformatsioonide korral ei ole kumminiidi pikenemine võrdeline kumminiidi pikenemine võrdeline kumminiidile mõjuva jõuga. Vahendid: Klots, 100-grammise massiga koormis, mõõtejoonlaud, kumminiit.

Ülesanne: Määrake $15 c m$ võrra väljavenitatud kumminiidi energia.

Märkus: $10 c m$ -st suuremate deformatsioonide korral ei ole kumminiidi pikenemine võrdeline kumminiidi pikenemine võrdeline kumminiidile mõjuva jõuga.

Vahendid: Klots, 100-grammise massiga koormis, mõõtejoonlaud, kumminiit.

Lahendus

Teeme kumminiidist ragulka ja paneme selle abil liikuma klotsi. Fikseerime klotsi pooltläbitud teepikkuse, mõõdame hõõrdejõu ja arvutame töö, mis võrdub väljavenitatud kumminiidi energiaga. Taatleme kumminiidi dünamomeetrina. Paneme $100 g$ vihi kumminiidi otsa ja mõõdame kumminiidi pikenemise $1 N$ suuruse jõu mõjul. Veame kumminiidi otsas klotsi ühtlase kiirusega mööda lauda ja mõõdame klotsile mõjuva hõõrdejõu. Laseme klotsi liikuma ja mõõdame teepikkuse (vähemalt 3 korda). Paneme klotsile koormise ja kordame katset. Arvutame töö ja energia keskmise väärtuse.

89. Ülesanne: Paberi pakendil on kiri " $80, m a t h r m g / m^{2}$ ". Määrata antud paberilehe mass ja paksus. Kirjeldada ülesande lahendust. Vahendid: leht paberit, mõõtejoonlaud.

Ülesanne: Paberi pakendil on kiri " $80 g / m^{2}$ ". Määrata antud paberilehe mass ja paksus. Kirjeldada ülesande lahendust.

Vahendid: leht paberit, mõõtejoonlaud.

Lahendus

Kiri '' $80 g / m^{2}$ '' tähendab, et paberi iga ruutmeetri mass on $80 g$ , mille tähistame $r$ tähega. Kasutades ühikut, saab tuletada valemi $r = \frac{m}{S}$ , kus $m$ on paberilehe mass ja $S$ on pindala.

Paberilehe pindala $S = a b$ , kus $a$ ja $b$ on paberilehe mõõtmed.
Paberilehe mass $m = r S$ .
Paberilehe paksuse määramiseks voltida leht kokku ja mõõta joonlauaga saadud paki paksus, paki paksus jagada paberikihtide arvuga.

Paberilehe paksus $d = \frac{L}{n}$ , kus $L$ on paki paksus ja $n$ on paberi kihtide arv pakis.

90. Ülesanne: Koormis riputati nööri otsa ja viidi asendisse, kus niit on horisontaalne. Pärast lahti laskmist hakkas koormis võnkuma. Määrata koormise liikumise keskmine kiirus. Analüüsida tulemust mõõtetäpsuse seisukohast. Vahendid: koormis, nöör, statiiv, mõõtejoonlaud, stoppkell.

Ülesanne: Koormis riputati nööri otsa ja viidi asendisse, kus niit on horisontaalne. Pärast lahti laskmist hakkas koormis võnkuma. Määrata koormise liikumise keskmine kiirus. Analüüsida tulemust mõõtetäpsuse seisukohast.

Vahendid: koormis, nöör, statiiv, mõõtejoonlaud, stoppkell.

Lahendus

Ühe perioodi kestus $T = \frac{t}{n}$ . Teepikkus ühe perioodi jooksul $L = 2 π R$ . Keskmise kiiruse valem $v = \frac{L}{T}$ .

91. Ülesanne: On teada, et niidist ja selle otsa kinnitatud väikesest kehast koosneva pendli võnkeperiood $T$
(36.)
ja selle niidi pikkus $l$
(46.)
on väikese amplituudiga võnkumiste korral seotud valemiga $T = a l p h a s q r t l$ . Määrata võrdetegur $a l p h a$ võimalikult täpselt. Vahendid: mutter, jupp niiti, mõõtejoonlaud, stopper, statiiv koos kinnitusklambriga.

Ülesanne: On teada, et niidist ja selle otsa kinnitatud väikesest kehast koosneva pendli võnkeperiood $T$ ja selle niidi pikkus $l$ on väikese amplituudiga võnkumiste korral seotud valemiga $T = α \sqrt{l}$ . Määrata võrdetegur $α$ võimalikult täpselt.

Vahendid: mutter, jupp niiti, mõõtejoonlaud, stopper, statiiv koos kinnitusklambriga.

Lahendus

Katse läbiviimiseks tuleb niidijupp siduda mutri külge ja niidi teine ots fikseerida kinnitusklambri vahele.

Seejärel tuleb mõõta niidi pikkus $l$ (mutri massikeskmest kinnituskohani) ja mõõta võnkeperiood $T$ . Võnkeperioodi täpseks määramiseks tuleb stopperiga mõõta aeg $t$ , mis kulub mitme võnke tegemiseks (>5), ja jagada see võngete arvuga $n$ st.

T = \frac{t}{n}

Konstandi

α

võimalikult täpseks hindamiseks tuleb katseid korrata. (Niidi pikkust võib, kuid ei pea varieerima.)

Vastus tuleb matemaatilise pendli teooriast

α = \frac{π}{\sqrt{g}} \approx 2 \frac{s}{\sqrt{m}}

korrektselt läbi viidud katse tulemus ei erine sellest rohkem kui

10 %

. Antud juhul

α = \frac{T}{\sqrt{l}}

92. Ülesanne: Määrake $15, m a t h r m c m$ võrra väljavenitatud kumminiidi energia. Märkus: $10, m a t h r m c m$ -st suuremate deformatsioonide korral ei ole kumminiidi pikenemine võrdeline kumminiidi pikenemine võrdeline kumminiidile mõjuva jõuga. Vahendid: Klots, 100-grammise massiga koormis, mõõtejoonlaud, kumminiit.

Lahendus

93. Ülesanne: Määrake mutriga poldi mass. Märkus: Kui joogitopsis on veenivoo märgistuseni, on selles topsis $150, m a t h r m m l$ vett. Vee tihedus on $1000,mathrmfrackgm3$ . Vahendid: purk veega, tühi joogitops märgistusega, kaks kokkuseotud kumminiiti, niit, mõõtejoonlaud, statiiv.

Ülesanne: Määrake mutriga poldi mass.

Märkus: Kui joogitopsis on veenivoo märgistuseni, on selles topsis $150 m l$ vett. Vee tihedus on $1000 \frac{k g}{m^{3}}$ .

Vahendid: purk veega, tühi joogitops märgistusega, kaks kokkuseotud kumminiiti, niit, mõõtejoonlaud, statiiv.

Lahendus

Kumminiidi pikenemine on võrdeline kumminiidile mõjuva jõuga.
Mõõdame kumminiidi pikenemise õhus $Δ l_{1} = l_{1} - l_{0}$ poldile ja mutrile mõjuva raskusjõu $F_{o} = m g$ mõjul.
Mõõdame kumminiidi pikenemise

Δ l_{2} = l_{2} - l_{0}

kui polt mutriga on vees

F_{v} = F_{o} - ρ g V

Lahutame teisest seosest esimese. Kumminiidi pikenemine

Δ l_{v e s i} = Δ l_{1} - Δ l_{2}

vastab keha poolt välja tõrjutud veele mõjuvale raskusjõule

F_{o} - F_{v} = ρ g V

Arvutame keha poolt välja tõrjutud veele mõjuva raskusjõu

m_{v e s i} g = ρ V g

Sellega oleme kalibreerinud kumminiidi.
Keha ruumala mõõtmiseks tuleb kujundada skaala vee ruumala mõõtmiseks. Me saame mõõta vee nivoo muutust, me ei saa eriti hästi mõõta purgis oleva veepinna pindala.
Valame vee topsi kuni jooneni ja mõõdame veenivoo purgis. Nüüd valame topsist vee purki ja mõõdame uuesti veenivoo purgis. Nivoode erinevus vastab

150 m l

veele. Saame arvutada, kui suur vee ruumala muutus purgis vastab vee nivoo muutusele

1 m m

võrra.
Mõõdame veenivoo purgis enne keha sukeldamist ja pärast sukeldamist ning arvutame keha ruumala, mis vastab ka välja tõrjutud vee ruumalale.
Seosest

\frac{Δ l_{v e s i}}{Δ l_{1}} = \frac{m_{v e s i} g}{m_{k e h a} g}

saame

m_{k e h a} = \frac{Δ l_{1} m_{v e s i}}{Δ l_{v e s i}}

94. Ülesanne: Määrake õuna tihedus. Vahendid: purk veega ( $h o_{v} = 1000, m a t h r m k g / m^{3}$ ), õun, mõõtejoonlaud.

Ülesanne: Määrake õuna tihedus.

Vahendid: purk veega ( $ρ_{v} = 1000 k g / m^{3}$ ), õun, mõõtejoonlaud.

Lahendus

Tihedus arvutatakse seosest $ρ = \frac{m}{V}$ . Õuna massi saab määrata ujumise tingimusest

m g = ρ_{v} g V_{v e d e l i k u a l u n e} = ρ_{v} g S h_{1}

kus

S

on purgi ristlõikepindala ja

h_{1}

veetaseme muutus. Õuna ruumala määratakse sukeldusmeetodil surudes õuna vee alla, millele vastab veetaseme muutus

h_{2}

. Kuna

ρ_{˜ o} = \frac{ρ_{v} S h_{1}}{S h_{2}} = \frac{ρ_{v} h_{1}}{h_{2}},

taandub mõõtmine veetaseme kahe muutuse mõõtmisele.
Vastuseks on

ρ_{˜ o} \approx 850 k g / m^{3}

95. Ülesanne: Määrake lume sulamissoojuse ja vee erisoojuse suhe. Vahendid: kalorimeeter, termomeeter, mõõtejoonlaud, lumi, vesi.

Ülesanne: Määrake lume sulamissoojuse ja vee erisoojuse suhe.

Vahendid: kalorimeeter, termomeeter, mõõtejoonlaud, lumi, vesi.

Lahendus

Täidame kalorimeetri umbes kolmveerandi ulatuses veega ning mõõdame joonlauaga veetaseme kõrguse $h_{1}$ ja vee algtemperatuuri $T_{1}$ . Nüüd paneme vette järjest lund ja segame seda joonlauaga lume täieliku sulamiseni, kuni veetase on sulanud lume tõttu märgatavalt tõusnud ning veetemperatuur langenud. Mõõdame taas vee temperatuuri $T_{2}$ ja kõrguse $h_{2}$ .

Leiame nüüd seosed avaldamaks lume sulamissoojuse $λ$ ja vee erisoojuse $c$ suhte. Algselt on kalorimeetris oleva vee mass $m_{1} = S h_{1} ρ$ , kus $S$ on kalorimeetri ristlõikepindala ja $ρ$ vee tihedus. Lume massi $m_{2}$ saame leida ruumalamuudust: $m_{2} = (h_{2} - h_{1}) S ρ$ . Eeldades, et välise keskkonnaga soojusvahetus puudub, kuna kalorimeeter on isoleeritud, saame kirjutada soojushulkade kohta võrrandi:

m_{1} c (T_{1} - T_{2}) = λ m_{2} + m_{2} c (T_{2} - 0)

Asendades võrrandisse

m_{1}

m_{2}

ning lihtsustades, saame otsitud suuruse:

\frac{λ}{c} = \frac{h_{1} (T_{1} - T_{2})}{h_{2} - h_{1}} - T_{2} = \frac{h_{1} T_{1} - h_{2} T_{2}}{h_{2} - h_{1}}

Vastuseks on

λ \approx 63^{\circ} C

96. Ülesanne: Määrake nõguspeegli fookuskaugus. Vahendid: nõguspeegel, joonlaud, pliiats.

Ülesanne: Määrake nõguspeegli fookuskaugus.

Vahendid: nõguspeegel, joonlaud, pliiats.

Lahendus

Leiame pliiatsi sellise asendi, kus pliiatsi kujutis ja pliiats ühtivad. Seda on hea teha parallaksi meetodil: hoides pliiatsit paigal ja liigutades pead vasakule-paremale peab pliiatsi kujutis jääma pliiatsi suhtes paigale. Pliiats asub sellisel juhul peegli optilises keskpunktis: mõõtes pliiatsi kauguse peeglist saame kõverusraadiuse $R$ ja fookuskaugus $f = \frac{R}{2}$ .

97. Ülesanne: Määrata takistustraadi takistus pikkusühiku kohta (st ühe meetri takistus). Märkus: Patereid mitte lühistada, traati mitte lõigata! Vahendid: puitlatile kinnitatud takistustraat, kaks ühesugust lampi, tuntud takistusega $R = 12, 1, m a t h r m O m e g a$ takisti, patarei, mõõdulint.

Ülesanne: Määrata takistustraadi takistus pikkusühiku kohta (st ühe meetri takistus).

Märkus: Patereid mitte lühistada, traati mitte lõigata!

Vahendid: puitlatile kinnitatud takistustraat, kaks ühesugust lampi, tuntud takistusega $R = 12, 1 Ω$ takisti, patarei, mõõdulint.

Lahendus

Ühe lambi ühendame järjestikku tuntud takistiga ning teise lambi takistustraadiga. Takististustraadi puhul ühendame statsionaarselt vaid ühe kontakti traadi otspunktis; teise kontakti ühendame käsitsi, hoides juhet käega vastu takistustraati mingis punktis, mille asukohta saab piki traati libistades muuta.

Mõlemad ahelad ühendame patarei klemmidele. Saavutame olukorra, kus mõlemad lambid põlevad ühe heledusega ning mõõdame selles asendis kontaktide vahele jääva takistustraadi osa pikkuse $L$ . Ühe meetri takistus on siis $1 \frac{m}{L}$ korda suurem, st traadi pikkusühiku takistus $r = \frac{R}{L}$ .
Vastuseks saame ligikaudu $r = 19, 1 \frac{Ω}{m}$ .

98. Ülesanne: Leida mutri tihedus. Vahendid: kumminiit, tundmatust materjalist mutter, statiiv, joonlaud, tops veega.

Ülesanne: Leida mutri tihedus.

Vahendid: kumminiit, tundmatust materjalist mutter, statiiv, joonlaud, tops veega.

Lahendus

Kumminiidi pikenemine on võrdeline sellele rakendatud jõuga. Seega võime kirjutada $F = k \cdot (l - l_{0})$ , kus $l$ on keha pikkus deformeeritud olekus, $l_{0}$ on keha pikkus deformeerimata olekus ja $k$ on võrdetegur.

Kaaluda me mutrit küll saame, aga arvulist tulemust see meile ei anna, vaid ainult suhtelise pikenemise. Seepärast valemist $ρ = \frac{m}{V}$ lähtuda ei anna.

Archimedese seaduse kohaselt väheneb keha kaal vees aga sama palju, kui keha tõrjub vett välja ehk arvuliselt $ρ_{v e s i} \cdot V$ , kui keha on veest tihedam.

Kaalumine õhus annab:

ρ_{m u t t e r} \cdot V_{m u t t e r} \cdot g = k \cdot (l - l_{0})

kus

l_{0}

on kumminiidilõigu algpikkus ja

l

on kumminiidi pikkus koormatuna mutriga. Kaalumine vees omakorda annab:

(ρ_{m u t t e r} - ρ_{v e s i}) \cdot V_{m u t t e r} \cdot g = k \cdot (l_{v} - l_{0})

kus

l_{v}

on kumminiidilõigu pikkus mutri kaalumisel vette uputatuna. Jagades võrrandid omavahel läbi, saame

\frac{l - l_{0}}{ρ_{m u t t e r}} = \frac{l_{v} - l_{0}}{ρ_{m u t t e r} - ρ_{v e s i}}

kust

ρ_{m u t t e r} = \frac{l - l_{0}}{l - l_{v e s i}} \cdot ρ_{v e s i}

Märkus: Kumminiidi pikkus peab olema valitud nii, et

l

ulatub pea joonlaua maksimummõõduni.

99. Ülesanne: Määrata pliiatsi tihedus. Vahendid: pliiats, mõõtesilinder, joogitops veega. Vee tihedus on $1, 0, m a t h r m g / c m^{3}$ .

Ülesanne: Määrata pliiatsi tihedus.

Vahendid: pliiats, mõõtesilinder, joogitops veega. Vee tihedus on $1, 0 g / c m^{3}$ .

Lahendus

Asetame pliitasi mõõtesilindrisse nii, et ta ujuks. Fikseerime ruumala muutuse $Δ V_{0}$ . Pliiatsi mass võrdub väljatõrjutud vedeliku massiga, seega $m = ρ_{v e s i} Δ V_{0} = ρ_{p l i i a t s} V$ .

Pliiatsi ruumala leidmisel paneme tähele, et meil ei ole vett piisavalt, et pliiatsit tervenisti uputada. Küll aga saame teda uputada kahest erinevast otsast, märkides pliiatsil koha, milleni uputame. Mõõtesilindri abil mõõdame $Δ V_{1}$ ja $Δ V_{2}$ . Pliiatsi ruumala seega $V = Δ V_{1} + Δ V_{2}$ . Tiheduseks saame

ρ_{p l i i a t s} = ρ_{v e s i} \frac{Δ V_{0}}{Δ V_{1} + Δ V_{2}}

100. Ülesanne: Määrake liugehõõrdetegur klotsi ja paberi vahel. Märkus: Liugehõõrdetegur $mu=fracexth~o~ordej~oudextr~ohumisj~oud$ . Vahendid: puidust klots, kumminiit, paberileht, mõõtejoonlaud.

Ülesanne: Määrake liugehõõrdetegur klotsi ja paberi vahel.

Märkus: Liugehõõrdetegur $μ = \frac{h ˜ o ˜ o rdej ˜ o ud}{r ˜ o humisj ˜ o ud}$ .

Vahendid: puidust klots, kumminiit, paberileht, mõõtejoonlaud.

Lahendus

Riputame klotsi, mõõdame niidi pikenemise $L_{1}$ paneme klotsi alusele, tirime niidiga, mõõdame niidi pikenemise $L_{2}$ . Et elastsusjõud on võrdeline niidi pikenemisega, siis

μ = \frac{F_{2}}{F_{1}} = \frac{L_{2}}{L_{1}} .

101. Ülesanne: Määrake voltmeetri takistus. Vahendid: patarei, voltmeeter, tuntud takisti ( $R = 4, 7, m a t h r m k O m e g a$ ), ühendusjuhtmed.

Ülesanne: Määrake voltmeetri takistus.

Vahendid: patarei, voltmeeter, tuntud takisti ( $R = 4, 7 k Ω$ ), ühendusjuhtmed.

Lahendus

Rakendame patarei pinge esmalt otse voltmeetrile, lugem $U_{1} = E$ annab patarei elektromotoorjõu; seejärel rakendame jadamisi takistiga $R$ , lugem

U_{2} = E \frac{r}{r + R} = U_{1} \frac{r}{r + R}

Seega

1 + \frac{R}{r} = \frac{U_{1}}{U_{2}}

millest

r = R \frac{U_{2}}{U_{1} - U_{2}} .

102. Ülesanne: Määrake joonlaua mass. Vahendid: $30, m a t h r m c m$ pikkune joonlaud, 1-kroonine münt ( $m = 5, m a t h r m g$ ).

Ülesanne: Määrake joonlaua mass.

Vahendid: $30 c m$ pikkune joonlaud, 1-kroonine münt ( $m = 5 g$ ).

Lahendus

m_{j} = \frac{m_{m} d_{m}}{d_{k}}

Täpsema tulemuse saamiseks tuleb teha mitu katset asetades mündi erinevatele kaugustele masskeskme asukohast ühele ja teisele poole masskeset.

103. Ülesanne: Määrata joonlaua mass. Vahendid: puidust joonlaud, 20-sendine ( $m = 2, 3, m a t h r m g$ ).

Ülesanne: Määrata joonlaua mass.

Vahendid: puidust joonlaud, 20-sendine ( $m = 2, 3 g$ ).

Lahendus

Eeldame, et joonlaua mass on kogu joonlaua ulatuses jaotunud ühtlaselt. Paigutame joonlaua risti laua servaga üks ots üle serva. Nihutame joonlauda ettevaatlikult ja määrame koha, kus joonlaud hakkab laua serval kalduma. Sellel kaugusel asub joonlaua masskese. Kuna mõõtejoonlaua skaala ei pruugi alata ega lõppeda joonlaua otstes, ei pruugi masskeskme asukoht olla skaala keskel. Mõõdame mündi läbimõõdu (Eesti Panga andmetel $18, 95 m m$ ).

m_{j} = \frac{m_{m} d_{m}}{d_{k}}

Täpsema tulemuse saamiseks tuleb teha mitu katset asetades mündi erinevatele kaugustele masskeskme asukohast ühele ja teisele poole masskeset.

104. Ülesanne: Leida puitklotsi ja kivi tihedused. Vahendid: mõõtesilinder, vesi, puitklots, kivi, mõõtejoonlaud.

Ülesanne: Leida puitklotsi ja kivi tihedused.

Vahendid: mõõtesilinder, vesi, puitklots, kivi, mõõtejoonlaud.

Lahendus

Keha ujub, kui

F_{¨ U} = m g

kus

F_{¨ U}

on üleslükke jõud,

m

on keha mass ja

g

on vaba langemise kiirendus.

F_{¨ U} = ρ V g

kus

ρ

on vee tihedus,

V

on välja tõrjutud vee ruumala.

Ujuva keha mass võrdub välja tõrjutud vee massiga $m = ρ V$ .

Arvutused: Puitklotsi ruumala on $V_{P} = a \cdot b \cdot c$ , kus $a$ , $b$ ja $c$ on puitklotsi mõõtmed. Puitklotsi mass on $m_{P} = V_{P V} \cdot ρ_{V}$ , kus $ρ_{V}$ on vee tihedus. Puitklotsi tihedus on

ρ_{P} = \frac{m_{P}}{V_{P}}

Kivi mass on

m_{K} = (V_{K P} - V_{P V}) \cdot ρ_{V}

Kivi tihedus on

ρ_{K} = m_{K} / V_{K}

105. Ülesanne: Määrake rohelise vedeliku tihedus. Vee tihedus $h o = 1000, m a t h r m k g / m^{3}$ . Märkus: Vedelikke ei tohi segada! Vahendid: klaas rohelise vedelikuga, klaas veega, väike klaas, mõõtejoonlaud.

Ülesanne: Määrake rohelise vedeliku tihedus. Vee tihedus $ρ = 1000 k g / m^{3}$ .

Märkus: Vedelikke ei tohi segada!

Vahendid: klaas rohelise vedelikuga, klaas veega, väike klaas, mõõtejoonlaud.

Lahendus

Keha ujub vedelikus, kui kehale mõjuv raskusjõud on tasakaalustatud kehale mõjuva üleslükkejõuga. Üleslükkejõu suurus on määratud keha vedelikus oleva osa ruumalaga.

Valame väikesesse klaasi kas vett või rohelist vedelikku ja asetame klaasi vedeliku pinnale ujuma. Kehtib seos $m g = ρ_{v} V_{v} g$ , kui keha klaas ujub vees ja seos $m g = ρ_{r} V_{r} g$ , kui keha ujub rohelisest vedelikus.

Kuna kehale mõjuv raskusjõud on mõlemas katses sama, saame $ρ_{v} V_{v} g = ρ_{r} V_{r} g$ . Asendades $V = S h$ saame seose $ρ_{v} h_{v} = ρ_{r} h_{h}$ , millest

ρ_{r} = \frac{h_{v}}{h_{r}}

Seega on vaja mõõta mõlemas katses väikese klaasi veealuse osa kõrgus.

107. Ülesanne: Määrake nõgusläätse fookuskaugus. Vahendid: kumerlääts, nõguslääts, mõõtejoonlaud, taskulambipirn kõrgel alusel, lapik taskulambi patarei, 2 juhet, ekraan, valge paberileht.

Ülesanne: Määrake nõgusläätse fookuskaugus.

Vahendid: kumerlääts, nõguslääts, mõõtejoonlaud, taskulambipirn kõrgel alusel, lapik taskulambi patarei, 2 juhet, ekraan, valge paberileht.

Lahendus

Esimene lahendus:
Põlev lamp asetatakse kumerläätsest võimalikult kaugele, et läätsele langeva valgusvihu võiks lugeda paralleelseks (piisav vahemaa on \SI{50}{cm}). Mõõdetakse kumerläätse fookuskaugus. Kumerläätse ette asetatakse nõguslääts. Kui nõgusläätse ja kumerläätse fookused ühilduvad, on pärast kumerläätse valgusvihk paralleelne. Paralleelsuse määramiseks asetatakse ekraanile paberileht ja märgitakse sellele valguslaigu läbimõõt. Ekraani nihutamisel peab valguslaik ekraanil jääma sama suureks. Mõõdetakse läätsede optiliste keskpunktide kaugused $l$ . Nõgusläätse fookuskaugus

f_{n} = f_{k} - l

Teine lahendus:
Põlev lamp asetatakse kumerläätsest võimalikult kaugele, et läätsele langeva valgusvihu võiks lugeda paralleelseks. Mõõdetakse kumerläätse fookuskaugus. Kumerläätse taha asetatakse nõguslääts. Kui kumerläätse ja nõgusläätse fookused ühilduvad, on pärast nõgusläätse valgusvihk paralleelne. Kontrollitakse valgusvihu paralleelsus. Mõõdetakse läätsede optiliste keskpunktide kaugused $l$ . Nõgusläätse fookuskaugus

f_{n} = f_{k} - l

Kolmas lahendus:
Põlev lamp asetatakse kumerläätse fookusesse. Pärast läätse on valgusvihk paralleelne. Nõguslääts asetatakse heledasse paralleelsesse valgusvihku. Nõgusläätse taha paigutatakse ekraan. Nõguslääts eemaldatakse ekraanist. Teatud kaugusel ekraanist tekib läätse võru ümber hele rõngas. Mõõdetakse läätse läbimõõt, heleda rõnga läbimõõt ja läätse kaugus ekraanist ning sarnastest kolmnurkadest arvutatakse nõgusläätse fookuskaugus. Sarnastest kolmnurkadest ilmneb, et $$\frac{D}{d} = \frac{a}{f} $m i l l e s t$ f = \frac{ad}{D}$

Mitte just kõige parem lahendus oleks:
Kui valgusallikas asub piisavalt kaugel, siis võib lugeda, et läätsele langevad kiired on paralleelsed. Nõguslääts asetatakse valgusallika ja ekraani vahele. Nõguslääts eemaldatakse ekraanist. Teatud kaugusel ekraanist tekib läätse võru ümber hele rõngas. Mõõdetakse läätse läbimõõt, heleda rõnga läbimõõt ja läätse kaugus ekraanist ning sarnastest kolmnurkadest arvutatakse nõgusläätse fookuskaugus. Sarnastest kolmnurkadest ilmneb, et

\frac{D}{d} = \frac{a}{f}

millest

f = \frac{a d}{D}

Meetod on eelnevatest ebatäpsem, sest ruumi valgustatus segab katse läbiviimist ning heleda rõnga piire ei ole võimalik kuigi täpselt fikseerida.

108. Ülesanne: Kui ülestõstetud pall lahti lasta, muutub põrkel osa palli esialgsest potentsiaalsest energiast teisteks energia liikideks. Hinnata, kui suur osa algsest potentsiaalsest energiast muundub teisteks energia liikideks. Kas algsest potentsiaalsest energiast teisteks liikideks muutuva energia osa oleneb palli kukkumise kõrgusest? Vahendid: mõõtejoonlaud, pall.

Ülesanne: Kui ülestõstetud pall lahti lasta, muutub põrkel osa palli esialgsest potentsiaalsest energiast teisteks energia liikideks. Hinnata, kui suur osa algsest potentsiaalsest energiast muundub teisteks energia liikideks. Kas algsest potentsiaalsest energiast teisteks liikideks muutuva energia osa oleneb palli kukkumise kõrgusest?

Vahendid: mõõtejoonlaud, pall.

Lahendus

Potentsiaalse energia mõõduna tuleb kasutada raskusjõu poolt tehtavat tööd

E_{p} = A = F s = m g h

Mõõtmised tuleb teha kahel oluliselt erineval kõrgusel, sooritada kordusmõõtmised ja leida keskmised; muundunud energiaosa tuleb hinnata põrke kõrguse järgi

Δ E = \frac{h_{a l g} - h_{l o p p}}{h_{a l g}}

Tulemusi tuleb võrrelda; järelduseks peab tulema, et ei olene palli kukkumise kõrgusest.

109. Ülesanne: Valmistada vedru otsa riputatud koormisest üles-alla liikuv pendel ja esitada graafiliselt pendli võnkeperioodi sõltuvus koormise massist. Vahendid: spiraalvedru, statiiv muhvi ja klambriga, 100-grammiste koormiste komplekt, stoppkell, millimeeterpaber.

Ülesanne: Valmistada vedru otsa riputatud koormisest üles-alla liikuv pendel ja esitada graafiliselt pendli võnkeperioodi sõltuvus koormise massist.

Vahendid: spiraalvedru, statiiv muhvi ja klambriga, 100-grammiste koormiste komplekt, stoppkell, millimeeterpaber.

Lahendus

Statiivile kinnitatud vedrule kinnitatakse koormis (tuleb märkida, kui suure massiga koormisi antud vedru võimaldab kasutada) ja leitakse stoppkella abil $n$ võnkeks kulunud aja $t$ , millest leitakse võnkeperiood $T$ ( $T = \frac{t}{n}$ ). Tuleb teha kordusmõõtmisi (täpsuse suurendamiseks) ja leida aritmeetiline keskmine!

Katset korratakse koormise erinevate massidega. Pendli võnkeperioodi sõltuvus koormise massist esitatakse katseandmete põhjal tabelina ning graafiliselt millimeetripaberil (teljestikus $m T$ ).

112. Ülesanne: Vaadata läbi vett täis pudeli paberile kirjutatud sõna ``AHI''. Kas pudel tuleks asetada piki või risti sõna, et näha sõna ``IHA''. Põhjendage vastust.
Vahendid: Veega täidetud läbipaistev pudel (ilma sildita), paberileht sõnaga ``AHI''.

Ülesanne: Vaadata läbi vett täis pudeli paberile kirjutatud sõna ``AHI''. Kas pudel tuleks asetada piki või risti sõna, et näha sõna ``IHA''. Põhjendage vastust.
Vahendid: Veega täidetud läbipaistev pudel (ilma sildita), paberileht sõnaga ``AHI''.

Lahendus

Pudel peab olema tekstiga risti ja tekstist kaugel. Vett täis pudel töötab koondava silindrilise läätsena. Koondav lääts pöörab kujutise ümber. Erinevalt sfäärilisest läätsest, mis pöörab kujutise ringi kõikides suundades, pöörab silindriline lääts kujutist ainult ühe telje ümber, mis ühtib silindri (antud juhul pudeli) teljega. Sõna ``AHI'' ongi vertikaaltelje ümber pööratud sõna ``IHA''.

113. Ülesanne: Vaadake küünlaleeki või taskulambipirni ühe silmaga läbi pliiatsite vahelise pilu ja kirjeldage, mida on võimalik näha. Püüdke nähtut seletada. Vahendid: 2 ümmargust pliiatsit, kleepriba, küünal või taskulambipirn alusel koos patareiga.

Ülesanne: Vaadake küünlaleeki või taskulambipirni ühe silmaga läbi pliiatsite vahelise pilu ja kirjeldage, mida on võimalik näha. Püüdke nähtut seletada.

Vahendid: 2 ümmargust pliiatsit, kleepriba, küünal või taskulambipirn alusel koos patareiga.

Lahendus

Pilu keskel on tume kriips. Küünla valgus venib kahele poole välja. Tekivad tumedad kohad väljavenitatud osasse. Tumedate osade vahelised alad on värvilised. Keskkohale lähemal olevad servad on sinised, kaugemad punased. Kui muuta pilu kitsamaks (kas pööramise või pigistamisega), siis pilt venib laiemaks. Pilu pööramisel ümber vaatesuuna pöördub ka valgusriba.

Pilt oleneb silma kaugusest pilust. Pilt oleneb pilu kaugusest küünlast ja on paremini nähtav suuremate kauguste korral. Nähtust nimetatakse difraktsiooniks, mis seisneb valguse kandumises varju piirkonda. Pilust väljuvad valguslained võivad liitudes teineteist tugevdada või nõrgendada.

114. Ülesanne: Reastada vedelikud tiheduse järgi. Põhjendada tehtud valikut. NB! Vedelikke mitte maitsta, võivad olla ohtlikud. Vahendid: 3 numbriga anumat vedelikega, pulgake, tükike plastiliini, paberrätikud kuivatamiseks.

Ülesanne: Reastada vedelikud tiheduse järgi. Põhjendada tehtud valikut. NB! Vedelikke mitte maitsta, võivad olla ohtlikud.

Vahendid: 3 numbriga anumat vedelikega, pulgake, tükike plastiliini, paberrätikud kuivatamiseks.

Lahendus

Vedeliku tiheduse määramiseks kasutame areomeetrit, mille valmistame pulgakesest ja plastiliinist. Kui üleslükkejõud on areomeetri kaaluga võrdne, siis areomeeter heljub vedelikus nii, et ta ei ulatu üle veepinna. Kui teise vedeliku tihedus on suurem, siis ulatub areomeetri ots vedelikust välja.

Põhjus on selles, et ka nüüd on tarvis kompenseerida pulga kaal. Kuid kui tihedus on suurem, siis sellevõrra väiksem ruumala vedelikku tuleb välja tõrjuda ( $F_{¨ u} = ρ V g$ ). Kui tihedus on väiksem, siis areomeeter upub.

115. Ülesanne: Magnet asub terasplaadil. Määrata magneti ja terasplaadi tõmbejõu sõltuvus magneti ja terasplaadi vahelisest kaugusest. Magnetile mõjuva raskusjõu võib jätta arvestamata. Analüüsida tulemuse täpsust. Vahendid: terasplaat, magnet, mõõtejoonlaud, kumminiit kirjaklambritega, 10 paberilehte paksusega $0, 18, m a t h r m m m$ , kaaluviht, millimeeterpaber.

Ülesanne: Magnet asub terasplaadil. Määrata magneti ja terasplaadi tõmbejõu sõltuvus magneti ja terasplaadi vahelisest kaugusest. Magnetile mõjuva raskusjõu võib jätta arvestamata. Analüüsida tulemuse täpsust.

Vahendid: terasplaat, magnet, mõõtejoonlaud, kumminiit kirjaklambritega, 10 paberilehte paksusega $0, 18 m m$ , kaaluviht, millimeeterpaber.

Lahendus

Teoreetiline põhjendus seisneb võrrandite süsteemi lahendamises, mis saadakse Hooke’i seaduse, hõõrdejõu seaduse ja raskusjõu valemi rakendamise tulemusena.

3 Gümnaasiumi ülesanded

200 Eesti füüsikaolümpiaadide ülesannet aastatest 2012-2018

Siia on koondatud 200 gümnaasiumi ülesannet Eesti füüsikaolümpiaadi piirkonnavoorudest, lõppvoorudest ja lahtistest võistlustest. Igale ülesandele on juurde kirjutatud paarilauseline vihje. Juhul kui õpilane jääb ülesannet lahendades toppama, on tal võimalik vihjet lugeda ning teisele katsele minna.

Ülesanded on jaotatud teemade kaupa ning teemasiseselt raskuse järgi. Raskustaset tähistatakse kuni viie tärniga. Ülesannete lihtsamaks otsimiseks on ülesannete numbrite ette pandud “Ü”, vihjete ette “V” ja lahenduste ette “L”. Näiteks ülesande 133 teksti number on kujul Ü133. Iga ülesande juures on kirjas ka selle autor ning olümpiaadi vooru lühinimetus, lisaks lühendid P 1, G 1 jne, kus tähed tähistavad põhikooli- ja gümnaasiumiastet. Näiteks G 9 viitab gümnaasiumiastme 9. ülesandele.

Mugavamaks navigeerimiseks lingib veebiversioonis iga ülesande number tekstist vihjeteni, vihjetest lahendusteni ja lahendustest tekstini.

Kogumiku koostamise käigus eemaldati erinevatel põhjustel 4 ülesannet, mis asendati 2011. aasta füüsika lahtise võistluse ülesannetega.

View

Õhk	$α$	$0^{\circ}$	$15^{\circ}$	$30^{\circ}$	$45^{\circ}$	$60^{\circ}$	$75^{\circ}$	$90^{\circ}$
Klaas	$γ$	$0^{\circ}$	$10^{\circ}$	$20^{\circ}$	$28^{\circ}$	$35^{\circ}$	$40^{\circ}$	$42^{\circ}$