Füüsika olümpiaadide ülesannete kogumik

Saatesõna

Füüsika olümpiaadideks on läbi aastate koostatud hulgaliselt ülesandeid. Kõik nad on omaette meistriteosed - originaalseid ja häid, samas riikliku õppekava raamidesse jäävaid ülesandeid ei ole lihtne välja mõelda.

Käesolev kogumik üritab need ülesanded tuua lähemale õpetajatele, õpilastele ja igapäevasele õppetööle. Ülesanded jagatakse õpikute teemade vahel, nii et neid on lihtne leida. Ülesandeid saab ka oma õppematerjalidesse integreerida, nagu ka kõiki teisi füüsika e-õpiku materjale.

Kogumiku tegime avalikuks 2016.a. alguses, ülesanded lisanduvad siia järk-järgult. Esimeses järjekorras tegeleme põhikooli ülesannetega, aluseks on siin Erkki Templi koond avalikult kättesaadavatest olümpiaadimaterjalidest.

Ülesanded on koostanud Füüsikaolümpiaadi žürii praegused ja endised liikmed, Nimeliselt neid kõiki kohe üles lugeda ei oska ... aga ehk saame ühel ilusal päeval ka selle nimekirja kokku.

Füüsika e-õpiku toimkond

1 Põhikooli teooriaülesanded

1.1 Tihedus

1.1.1 Mida peab tiheduse ülesannete lahendamiseks teadma ja oskama?

Tiheduse definitsioon.
Algebraliste teisenduste süsteemne kasutamine lõppvalemi saamiseks.
Ülesande teksti põhjal võrrandite ja võrrandisüsteemide koostamine.
Kehale mõjuva üleslükkejõu ja keha tiheduse vaheline seos.

Ülesanded

Keha tihedus

Keha kaalub vees kolm korda vähem, kui õhus. Määrata keha tihedus, kui vee tihedus on

1000 k g / m^{3}

Lahendus

$ρ_{V} = 1000 k g / m^{3}$ - vedeliku tihedus;
$ρ_{K}$ - keha tihedus;
$g$ - vaba langemise kiirendus;
$m$ - keha mass;
$V$ - keha ruumala.

Kehale õhus mõjub raskusjõud $F_{G} = m g$ ja õhu üleslükkejõud, mida me loeme nulliks, järelikult keha kaal õhus avaldub kui

F_{˜ O} = F_{G} - 0 = m g

Vees mõjub kehale samuti raskusjõud $F_{G}$ , aga sedapuhku on vee üleslükkejõud nullist erinev, $F_{¨ U} = ρ_{V} g V$ , seega

F_{V} = m g - F_{¨ U} = m g - ρ_{V} g V

Ülesande tekstis antud fakt, et keha kaalub õhus kolm korda rohkem, kui vees tähendab, et

\frac{F_{˜ O}}{F_{V}} = 3

Teisendades saame

\frac{m g}{m g - ρ_{V} g V} = 3 \Rightarrow

m g = 3 m g - 3 ρ_{V} g V \Rightarrow

3 ρ_{V} g V = 2 m g

Avaldame siit keha massi $m$ ja asendame selle keha tiheduse $ρ_{K}$ avaldisse ja arvutame

ρ_{K} = \frac{m}{V} = \frac{3 ρ_{V}}{2} = 1, 5 \cdot 1000 = 1500 k g / m^{3}

Vastus: Keha tihedus on $1500 k g / m^{3}$ .

Liumägi

Tüdruk rajab mäenõlvale liumäge, kastes seda mäe otsast veega, mis mäe külge mööda

l = 1 m

laiuse ribana alla voolab. Sekundis tuleb voolikust

v = 1 l

vett, jääkiht kasvab paksusega

u = 0, 05 m m / s

. Kui pika liuraja saab selliselt jääga katta? Vee tihedus

ρ_{v} = 1, 00 g / c m^{3}

, jää tihedus

ρ_{j} = 0, 92 g / c m^{3}

Lahendus

Liu pikkus $s$ on määratav tingimusest, et pinnal $s l$ külmub ajaühikus sama palju vett kui tuleb voolikust, s.t.

s l u ρ_{j} = v ρ_{v}

millest

s = v ρ_{v} / l u ρ_{j} = 22 m

Valemi võib kirja panna ka kujul $V_{j} ρ_{j} = V_{v} ρ_{v}$ . Kus $V_{j}$ on ajas muutuv jääkihi ruumala (ruumala on saadud liumäe pikkuse, laiuse ja kõrguse muutumise kiiruse korrutisena st. $V_{j} = s l u$ ) ja $V_{v}$ vastavalt vee ajas muutuv ruumala.

3.

Laborisse toodi kolm erinevat vedelikku. Esimese vedelikukoguse ruumala oli

V_{1} = 100 m L

, kolmanda vedeliku tihedus oli

ρ_{3} = 1270 k g / m^{3}

. Teise ja esimese vedeliku tiheduste suhe oli

\frac{ρ_{2}}{ρ_{1}} = 1, 27

. Teise ja esimese vedeliku ruumalade suhe oli

\frac{V_{2}}{V_{1}} = 1, 27

. Kolmanda ja teise vedeliku ruumalade suhe oli

\frac{V_{3}}{V_{2}} = 1, 27

. Kolmanda ja teise vedeliku tiheduste vahe oli

ρ_{3} - ρ_{2} = 270 k g / m^{3}

. Leida vedelikukoguste massid

m_{1}

m_{2}

m_{3}

Lahendus

Kõik tihedused tuleb avaldada $ρ_{3} = 1270 k g / m^{3}$ kaudu ja kõik ruumalad $V_{1} = 100 m L$ kaudu.

ρ_{2} = ρ_{3} - 270 k g / m^{3} = 1000 k g / m^{3}

ρ_{1} = \frac{ρ_{2}}{1, 27} = \frac{1000}{1, 27} k g / m^{3}

V_{2} = 1, 27 \cdot V_{1} = 127 m L

V_{3} = 1, 27 V_{2} = 1, 27 \cdot 127 m L

Teades valemit $m = ρ V$ jääb nüüd üle ainult tihedused ja massid omavahel korrutada: $m_{1} = 0, 0787 k g$ $m_{2} = 0, 127 k g$ ja $m_{3} = 0, 205 k g$ .

4. Sõrmus

On kaks ühesuguse massiga kuldsõrmust, mõlemad prooviga 585 ehk kummaski sõrmuses on 585 promilli kulda. Ülejäänu on, näiteks, hõbe või vask. Kumb sõrmus on ruumalalt suurem ja mitu korda: kas see, mis on valmistatud sulamist kuld-vask, või see, mis on valmistatud sulamist kuld-hõbe? Kulla tihedus

ρ_{k} = 19300 k g / m^{3}

, hõbeda tihedus

ρ_{h} = 10500 k g / m^{3}

ja vase tihedus

ρ_{v} = 8900 k g / m^{3}

. Märkus: eeldada, et sulami ruumala on komponentide ruumalade summa.

Lahendus

Olgu $m$ sõrmuste mass. Metallide ruumalad leiame valemist $V = \frac{m}{ρ}$ :

V_{k} = \frac{0, 585 m}{ρ_{k}} V_{h} = \frac{(1 - 0, 585) m}{ρ_{h}} V_{v} = \frac{(1 - 0, 585) m}{ρ_{v}}

Seega kuld-hõbe sõrmuse ruumala on

V_{k - h} = V_{k} + V_{h} = m (\frac{0, 585}{ρ_{k}} + \frac{0, 415}{ρ_{h}})

ja kuld-vask sõrmuse ruumala

V_{k - v} = V_{k} + V_{v} = m (\frac{0, 585}{ρ_{k}} + \frac{0, 415}{ρ_{v}})

Nende suhe

\frac{V_{k - h}}{V_{k - v}} = \frac{\frac{0, 585}{ρ_{k}} + \frac{0, 415}{ρ_{h}}}{\frac{0, 585}{ρ_{k}} + \frac{0, 415}{ρ_{v}}} \approx 0, 91

5. Kullaotsija

Kullaotsija leidis kvartskristalli, milles oli tükk puhast kulda. Ta lootis kristalli eest saada head hinda ja ei hakanud kulda sellest välja võtma. Kullassepp mõõtis kristalli ära. Kristalli mass oli

m = 100 g

ja selle ruumala

V = 12, 5 c m^{3}

. Kullassepp otsustas maksta siiski vaid puhta kulla eest. Peale mõningaid arvutusi ütles kullassepp, et kulda on

m_{k}^{'} = 64 g

. Mitme grammiga pettis kullassepp kullaotsijat? Kulla tihedus

ρ_{k} = 19, 3 g / c m^{3}

ja kvartsi tihedus

ρ_{k v} = 2, 7 g / c m^{3}

Lahendus

1.2 Kiirus

1. Vihmapiisk

Leida vihmapiisa langemise kiirus

v

õhus sõltuvalt piisa raadiusest

R

, kui õhu takistus on

k S v^{2}

, kus

S

on piisa ristlõike pindala ja

k

on konstant.

Lahendus

Tähistused: $m$ , $V$ , $R$ , $ρ$ - vihmapiisa mass, ruumala, raadius ja tihedus; $S$ - vihmapiisa ristlõikepindala; $g$ - vaba langemise kiirendus; $v$ - vihmapiisa langemise kiirus; $k$ - konstant; $F_{R}$ - vihmapiisale mõjuv raskusjõud; $F_{T}$ - vihmapiisale mõjuv takistusjõud õhu poolt.
Teame, et

m = ρ V, V = \frac{4}{3} \cdot π R^{3}, S = π R^{2}

Vabal langemisel oleks tilgale mõjub jõud null. Järelikult õhutakistuse mõjudes võrdub takistav jõud tilgale mõjuva raskusjõuga:

m g = k S v^{2}

Avaldades sellest valemist kiiruse saame:

\frac{4}{3} \cdot π R^{3} ρ g = k π R^{2} v^{2} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{4 ρ R g}{3 k}}

2. Kiirendus

Ühtlaselt kiireneva liikumise korral kasutatakse teepikkuse leidmiseks seoseid

s = \frac{a t^{2}}{2}

s = \frac{v^{2}}{2 a}

. Toodud seostest on näha, et ühel juhul on teepikkus võrdeline kiirendusega, teisel juhul pöördvõrdeline. Kuidas näivat vastuolu seletada?

Lahendus

Kiirus oleneb ka kiirendusest: $v = a t$ .

3. Matk

Turist käis ühepäevasel matkal. Hommikul kella

7.00

-st kuni

7.30

-ni sõitis ta bussiga, mille keskmine kiirus oli

40 km/h

, edasi matkas ta jalgsi

18 km

kuni kella

12.00

-ni. Kella

12.00

-st kuni

13.00

-ni ta puhkas. Kella

13.00

-st jätkas ta matka keskmise kiirusega

5 km/h

ja jõudis koju tagasi kell

18.00

. Milline oli kogu matka keskmine kiirus ja kui pika tee turist läbis?

Lahendus

Selle ülesande lahendust on mugav illustreerida tabelina, kuhu on kantud matka erinevate etappide kohta käivad andmed.

Matka etapidIIIIIIIV

KokkuKestus, t0,5 h4,5 h1 h5 h11 hLäbitud tee, s?18 km0 km??Kiirus, v40 km/h?0 km/h5 km/h?

Kiirused ja läbitud teepikkused leiame keskmise kiiruse valemi järgi: $v = s / t$ . Kogu läbitud tee arvutame valemist $s = s_{1} + s_{2} + s_{3} + s_{4}$ . Kaido

Matka etapidIIIIIIIVKokkuKestus, t0,5 h4,5 h1 h5 h11 hLäbitud tee, s20 km18 km0 km25 km63 kmKiirus, v40 km/h4 km/h0 km/h5 km/h5,7 km/h

Vastus: Kogu matka jooksul läbis turist $63 k m$ , keskmise kiirusega $5, 7 k m / h$ .

4. Teekond

Teekonna esimese poole läbis auto 8 korda suurema kiirusega kui teise poole. Auto keskmine kiirus kogu teekonna vältel oli $16 km/h$ . Milline oli auto kiirus teekonna mõlemal poolel?

Lahendus

Teekonna esimese poole läbis auto aja $t_{1} = \frac{s}{2 v_{1}}$ , teise poole aja $t_{2} = \frac{s}{2 v_{2}}$ jooksul. Kuna $v_{1} = 8 v_{2}$ , siis $t_{1} = \frac{s}{16 v_{2}}$ . Definitsiooni kohaselt on keskmise kiirus

v = \frac{s}{t_{1} + t_{2}} = \frac{s}{s / (16 v_{2}) + s / (2 v_{2})}

v = \frac{16 v_{2}}{9} = 16 k m / h \Rightarrow v_{2} = 9 k m / h

ning järelikult

v_{1} = 8 v_{2} = 72 k m / h

5. Buss

Buss läbis esimese poole teest 8 korda suurema kiirusega kui teise poole. Bussi keskmine kiirus kogu teekonna läbimisel oli $16 km/h$ . Milline oli bussi kiirus mõlemal teelõigul?

Lahendus

Keskmine kiirus võrdub läbitud teepikkus jagatud läbimiseks kulutatud ajaga. Tähistame kogu tee pikkuse $2 L$ . Esimese poole teest läbis buss ajaga $t_{1}$ , teise poole aga ajaga $t_{2}$ . Kuna tee pooled on võrdsed, siis vastavalt ülesande tingimustele $\frac{v_{1}}{v_{2}} = 8$ tuleneb $\frac{t_{2}}{t_{1}} = 8$ ehk $t_{2} = 8 t_{1}$ . Kogu tee läbimiseks kulus $t_{2} + t_{1} = 9 t_{1}$ ning keskmine kiirus on $\frac{2 L}{9 t_{1}} = 16$ , millist kiirus esimesel poolel teel $\frac{L}{t_{1}} = 72 k m / h$ ning kiirus teisel poolel teel

\frac{L}{t_{2}} = \frac{L}{8 t_{1}} = \frac{72}{8} = 9 k m / h

6. Paat

Paat liigub vastuvoolu mööda jõge ja kohtab veevooluga kaasaliikuvat puupilbast. Paat jätkab liikumist samas suunas veel 30 minuti jooksul pärast kohtumist ning pöördub siis tagasi. Liikudes vee suhtes sama kiirusega kui varemgi, jõuab paat pilpale järele $3 km$ kaugusel nende kohtumispaigast. Milline on jõe voolu kiirus?

Lahendus

Lihtsaim lahendus on vaadelda paadi liikumist jõega seotud taustsüsteemis. Sel juhul on selge, et paat eemaldus pilpast $30 m i n$ , ning pidi kulutama sama aja, et tulla tagasi pilpa juurde. Seega kulus paadil pilpale järelejõudmiseks $60 m i n = 1 h$ . Vesi liikus koos pilpaga sama aja jooksul edasi $3 k m$ , mistõttu voolu kiirus on

v = \frac{3 k m}{1 h} = 3 k m / h .

7. Vihm

Vihm sajab nii, et vihmapiisad langevad vertikaalselt alla ühtlase kiirusega

u

. Mööda teed veereb pall kiirusega

v

. Mitu korda langeb ajaühikus piisku veerevale pallile rohkem kui seisvale pallile? Kas vastus muutub, kui pall pole kerakujuline?

Lahendus

Paigalseisvale pallile langevad ajaühikus vihmapiisad silindrilisest õhu piirkonnast, mille ristlõikepindala on võrdne palli vertikaalse ristlõikepindalaga $S_{1}$ ning pikkus on arvuliselt võrdne vihmapiiskade langemise kiirusega $u$ .
Liikumise suhtelisuse pärast võib liikuvat palli pidada paigalseisvaks, millele vihm langeb nurga all kiirusega $ω = \sqrt{u^{2} + v^{2}}$ . Seetõttu langevad liikuvale pallile piisad silindrilisest õhu piirkonnast pikkusega $\sqrt{u^{2} + v^{2}}$ .
Lugedes vihmapiiskade jaotust õhus ühtlaseks, saame, et paigalseisvale pallile langev piiskade arv on $N_{1} \sim u S_{1}$ ning liikuvale pallile langev piiskade arv on $N_{2} \sim \sqrt{u^{2} + v^{2}} S_{2}$ , kus $S_{2}$ on palli ristlõikepindala resultantkiiruse $ω$ suunas. Järelikult on piiskade arvu suhe

\frac{N_{2}}{N_{1}} = \frac{S_{2} \cdot \sqrt{v^{2} + u^{2}}}{S_{1} u} = \frac{S_{2}}{S_{1}} \cdot \sqrt{1 + \frac{v^{2}}{u^{2}}}

Kui pall on kerakujuline, siis on tema ristlõige kõikides suundades ühesugune, järelikult

S_{1} = S_{2}

ning

\frac{N_{2}}{N_{1}} = \sqrt{1 + v^{2} / u^{2}}

8. Jõgi

Jõe voolukiirus on $0,8 m/s$ ja laius $45 m$ . Kui kiiresti peab paat liikuma, et ta jõuaks $30 s$ jooksul teisele kaldale liikudes kogu aeg risti kaldaga?

Lahendus

Selleks, et liikuda risti kaldaga, peab paadi kiiruse $v$ kaldasuunaline komponent olema võrdne jõevoolu kiirusega: $v_{k} = u$ . Paadi kiiruse kaldaga risti oleva komponendi $v_{r}$ leiame valemist $v_{r} = \frac{d}{t}$ . Pythagorase teoreemist leiame paadi kogu kiiruse, teades kiiruse vektori mõlemaid komponente:

v = \sqrt{v_{k}^{2} + v_{r}^{2}} = \sqrt{u^{2} + (\frac{d}{t})^{2}} = 1, 7 m / s

9. Kärbes

Kärbes lendab kahe teineteisele vastu liikuva inimese vahel kiirusega $15 km/h$ . Kui ta jõuab ühe inimeseni, siis ta pöördub ja lendab teise inimese suunas. Mõlemad inimesed liiguvad sirgel teelõigul ühtlase kiirusega $5 km/h$ . Kui suure vahemaa jõuab kärbes läbida enne inimeste kohtumist, kui ta tõuseb lendu ühe inimese peast siis, kui inimeste vaheline kaugus oli $20 km$ .

Lahendus

Inimesed lähenevad üksteisele kiirusega $v + v = 2 v$ . Vahemaa $s$ läbivad nad ajaga $t = \frac{s}{2 v}$ . Sama palju aega lendab ka kärbes inimeste vahel. Selle aja jooksul läbib kärbes vahemaa $l = u t = u \cdot \frac{s}{2 v} = 30 k m$ .

10. Bussid

Bussid sõidavad tänava ühest otsast teise ja tagasi. Tänav on $s = 6 km$ pikk. Bussid väljuvad tänava kummastki otsast iga $t = 5 min$ järel ja sõidavad keskmise kiirusega $v = 20 km/h$ . Reisija läheb bussi peale tänava ühes otsas ja sõidab tänava teise otsa. Mitu bussi tuleb talle teel vastu?

Lahendus

Buss reisijaga sõidab keskmise kiirusega $v = 20 k m / h$ . Vastusõitvate busside vahelised kaugused on $Δ s = v Δ t$ , järelikult sõidab tänaval ühes suunas $n_{1} = s / v Δ t$ bussi. Reisija kohtab oma teekonnal kõik need bussis ning lisaks veel bussid, mis väljuvad tänava teisest otsast reisija bussisõidu ajal. Kuna iga buss läbib tänavapikkuse $s = 6 k m$ aja $t = s / v$ jooksul, siis nende lisabusside arv on $n_{2} = t / Δ t = s / v Δ t$ . Järelikult näeb reisija oma sõidu ajal $n = n_{1} + n_{2} = 2 s / v Δ t$ busse. Asendades kõik suurused nende arvväärtustega, saame $n = 7, 2$ , mis tähendab, et reisija kohtas 7 bussi.

11. Rong

Rong läbis esimese poole teest $1,5$ korda suurema kiirusega kui teise poole teest. Keskmine kiirus teel oli $v$ . Millise kiirusega läbis rong kummagi poole teest?

Lahendus

Olgu $v_{1}$ rongi kiirus esimesel poolel teest ja $v_{2}$ selle kiirus teisel poolel teest. Kogu läbitud tee pikkus olgu $2 s$ . Selle tee läbimiseks kulub ajavahemik $t = s / v_{1} + s / v_{2}$ . Teiselt poolt, vastavalt keskmise kiiruse definitsioonile $v = 2 s / t$ . Võttes arvesse, et $v_{1} = 1, 5 v_{2}$ , saame

\frac{s}{1, 5 v_{2}} + \frac{s}{v_{2}} = \frac{2 s}{v}

s

taandub välja ja saame

v_{2} = \frac{5}{6} v

ning

v_{1} = 1, 5 v_{2} = \frac{5}{4} v

12. Film

Filmis näidatakse, kuidas poiss sõidab jalgrattaga. Kui poiss hakkab sõitma, veerevad rattad õiget pidi. Kiiruse kasvades paistavad rattad pöörlevat tagurpidi. Veel suurema kiiruse $v = v_{0}$ puhul näib, nagu ei pöörleks rattad üldse. Leidke kiirus $v_{0}$ , kui on teada, et ratta ümbermõõt on $p = 2,5 m$ ning rattal on $N = 36 kodarat$ . Filmis vahetuvad kaadrid sagedusega $f = 24 Hz$ (kaadrit sekundis).

Lahendus

Ratas näib seisvat, kui järgmise kaadri ajaks on järgmine kodar jõudnud sama koha peale, kus eelmise kaadri ajal oli eelmine kodar. Kahe kaadri vahelise ajavahemiku $1 / f$ jooksul pöördub ratas ühe kodara võrra edasi ning $N$ korda pikema aja $N / f$ jooksul teeb ta täispöörde. Täispöördega liigub ratas edasi vahemaa $p$ , seega on ratta kiirus $v_{0} = p \cdot \frac{f}{N}$ , numbriliselt $v_{0} = 2, 5 \cdot \frac{24}{36} \approx 1, 7 m / s = 6 k m / h$ . Pilt kordub kui jalgratta kiirus on $v = n v_{0}$ , kus $n$ on täisarv.

13. Laevad

Kaks laeva liiguvad samas suunas. Esimese laeva kiirus on $20 km/h$ ja tagumisel $4 m/s$ . Laevade vaheline kaugus on $3 km$ . Esimeselt laevalt tõuseb õhku kajakas ja lendab tagumisele laevale. Kui kaua lind lendab, kui tema kiirus on $7 km/h$ ?

Lahendus

Tagumise laeva kiirus on $4 \cdot 3, 6 = 14, 4 k m / h$ . Kajakas ja tagumine laev lähenevad teineteisele kiirusega $u = 14, 4 + 7 = 21, 4 k m / h$ . Järelikult jõuab kajakas tagumise laevani aja $t = \frac{3}{21, 4} \approx 0, 14 h = 8, 4 m i n$ jooksul.

14. Buss

Tallinna ja Tartu vahemaa $s = 185 km$ . Ühel ja samal hetkel hakkavad bussid Tallinnast ja Tartust teineteisele vastu sõitma. Tallinnast väljuva bussi keskmine kiirus $v_{1} = 64 km/h$ . Pärast busside kohtumist suurenes Tallinnast väljunud bussi keskmise kiiruseni $v_{2} = 81 km/h$ . Sihtkohtadesse jõudsid bussid üheaegselt. Leidke sõiduaeg, kui Tartust väljunud buss sõidab kogu aeg ühesuguse kiirusega.

Lahendus

Olgu teepikkus Tallinnast kohtumispaigani $s_{1}$ ja Tartust kohtumispaigani $s_{2}$ ning
Tartust väljunud bussi kiirus $v$ . Saame võrrandisüsteemi

\frac{s_{1}}{v_{1}} = \frac{s_{2}}{v}, \frac{s_{1}}{v} = \frac{s_{2}}{v_{2}}

Selle lahendamisel leiame kiiruse

v = \sqrt{v_{1} v_{2}}

. Kogu sõiduks kulunud aeg on siis

t = \frac{s}{v} = \frac{s}{\sqrt{v_{1} v_{2}}} = 2 h 34 m i n

15. Põhupallid

Punase ja sinise autoga veetakse põhupalle põllult lauta. Punane auto sõidab sinisest iga $12 minuti$ järel mööda (``teeb ringiga pähe'') ning iga $4 minuti$ järel sõidab sinine auto punasele vastu. Kui kaua kulub kummalgi autol ühe täisringi tegemiseks? Maha- ja pealelaadimise aeg lugeda tühiselt väikseks (autosse mahub ainult üks põhupall).

Lahendus

Olgu edasi-tagasi tee pikkus $s$ , punase auto kiirus $v_{p}$ ja sinise auto kiirus $v_{s}$ . Siis punane auto läheneb sinisele autole tagantpoolt kiirusega $v_{p} - v_{s}$ ning $t_{1} = 12 m i n u t i g a$ ``süüakse ära'' täisringine edumaa $s$ , st $s = (v_{p} - v_{s}) t_{1}$ . Eestpoolt läheneb punane auto sinisele autole kiirusega $v_{p} + v_{s}$ , peale kohtumist hakkab sellise kiirusega kahanema täisring, mis tuleb punase auto ninast ühte teeotsa, sealt teise teeotsa ning lõpuks sinise auto ninani: $s = (v_{p} + v_{s}) t_{2}$ , kus $t_{2} = 4 m i n$ . Otsime suurusi $t_{s} = s / v_{s}$ ja $t_{p} = s / v_{p}$ . Paneme tähele, et eespooltoodud võrrandid võib ümber kirjutada kujul

\frac{1}{t_{p}} - \frac{1}{t_{s}} = \frac{1}{t_{1}}, \frac{1}{t_{p}} + \frac{1}{t_{s}} = \frac{1}{t_{s}}

Liites need võrrandid omavahel leiame

t_{p} = 2 (\frac{1}{t_{2}} + \frac{1}{t_{1}})^{- 1} = 6 m i n

ja lahutades:

t_{s} = 2 (\frac{1}{t_{2}} - \frac{1}{t_{1}})^{- 1} = 12 m i n

16. Liikuv rada

Kiirusega $u = 1 m/s$ liikuva raja ühele otsale astuvad Henn ja Kalev. Henn jääb rajale seisma, Kalev aga liigub raja suhtes kiirusega $w = 1,2 m/s$ . Samal hetkel hakkab liikuva raja teisest otsast lendama vastupidises suunas sääsk. Sääsk lendab Hennuni ja pöörab tagasi. Millise minimaalse kiirusega $v$ peab lendama sääsk, et jõuda Kalevini enne kui Kalev raja lõppu jõuab?

Lahendus

Olgu liikuva raja pikkus $S$ , selle kiirus $u$ , sääse kiirus $v$ ning Kalevi kiirus $ω$ . Sääsk liigub Hennu suhtes kiirusega $v + u$ , seega jõuab sääsk Hennuni ajaga $t_{0} = \frac{S}{u + v}$ . Tagasi jõuab sääsk ajaga $t = 2 t_{0} = \frac{2 S}{u + v}$ . Kalev jõuab liikuva raja lõppu ajaga $t_{1} = \frac{S}{u + w}$ . Et sääsk jõuaks Kalevini enne seda, peab kehtima $t \leq t_{1}$ . Piirjuhul saame võrrandi:

\frac{2 S}{u + v} = \frac{S}{u + ω} \Rightarrow v = u + 2 ω = 3, 4 m / s

17. Rong

Mööda raudteega paralleelset maanteed sõidab jalgrattur kiirusega $v = 12 km/h$ . Mingil hetkel jõuab talle järele rong, mille pikkus on $l = 140 m$ ja möödub jalgratturist $Δ t = 8 sekundiga$ . Kui suur on rongi kiirus $u$ ?

Lahendus

Rongi kiirus jalgratturi suhtes on

v^{'} = \frac{l}{Δ t} = \frac{140 m}{8 s} = 17, 5 m / s = 63 k m / h

Rongi tegelik kiirus on rongi suhtelise kiiruse

v^{'}

ja jalgratturi kiiruse

v_{1}

summa:

v = v^{'} + v_{1} = 63 k m / h + 12 k m / h = 75 k m / h

18. Eskalaator

Mikk ja Mann astuvad üheskoos eskalaatorile, mis sõidab ühes suunas kiirusega $u = 3 km/h$ . Kui nad on jõudnud eskalaatori keskele, pöördub Mann ümber ja hakkab tagasi kõndima kiirusega $v = 6 km/h$ . Mikk aga seisab eskalaatoril rahulikult lõpuni, pöördub siis ümber ja hakkab mööda eskalaatorit tagasi kõndima kiirusega $v = 6 km/h$ . Kui Mann on kõndinud eskalaatori algusesse, pöördub ta ümber ja jääb eskalaatorile seisma. Kui kaugel eskalaatori algusest kohtuvad Mikk ja Mann, kui eskalaatori pikkus on $l = 18 m$ ?

Lahendus

Tähistame Miku ja Manni kohtumispaiga kauguse eskalaatori algusest tähisega $x$ . Alates hetkest, mil Mann hakkab eskalaatori keskelt algusesse kõndima, läbib Mikk kohtumispaigani jõudmiseks teepikkuse

s_{1} = \frac{l}{2} + l - x

milleks kulub aeg

t_{1} = \frac{l}{2 u} + \frac{l}{v - u} - \frac{x}{v - u}

Mann läbib kohtumispaigani jõudmiseks teepikkuse

s_{2} = \frac{l}{2} + x

, milleks kulub aeg

t_{2} = \frac{l}{2 (v - u)} + \frac{x}{u}

Kuna

t_{1} = t_{2}

, siis saame:

\frac{l}{2 u} + \frac{l}{v - u} - \frac{x}{v - u} = \frac{l}{2 (v - u)} + \frac{x}{u} \Rightarrow \frac{l}{2} (\frac{1}{u} + \frac{1}{v - u}) = x (\frac{1}{u} + \frac{1}{v - u})

millest

x = \frac{l}{2} = \frac{18 m}{2} = 9 m

. Järelikult kohtuvad Mikk ja Mann uuesti eskalaatori keskel ehk kaugusel

x = 9 m

eskalaatori algusest.

Alternatiivne lahendus:
Eskalaatori keskelt lõpuni kulub Mikul aeg

t_{1} = \frac{l}{2 u}

Mannil eskalaatori alguseni aga aeg

t_{2} = \frac{l}{2 (v - u)}

Lõpust keskele tagasi kulub Mikul aeg

t_{1}^{'} = \frac{l}{2 (v - u)}

ja Mannil aeg

t_{2}^{'} = \frac{l}{2 u}

Paneme tähele, et

t_{1} + t_{1}^{'} = t_{2} + t_{2}^{'}

, seega kohtuvad nad uuesti eskalaatori keskel.

19. Laev

Väike Peeter mängis kausis laevaga. Laeva tekil olid vasest traadijupid. Kogemata ajas ta laeva kausis ümber ja traadijupid kukkusid vette; laev jäi ise siiski pinnale ulpima. Kas veetase kausis tõusis või langes? Põhjendage vastust. Vee tihedus $ρ_{H_{2} O} = 1, 00 g / c m^{3}$ , vase tihedus $ρ_{C u} = 8, 92 g / c m^{3}$ .

Lahendus

Kui traadijupid on laeva tekil, on traadijuppide poolt väljatõrjutud vee ruumala

V_{1} = \frac{m_{C u}}{ρ_{H_{2} O}}

aga kui traadijupid on kausi põhjas, siis nende poolt väljatõrjutud vee ruumala on

V_{2} = \frac{m_{C u}}{ρ_{C u}}

Võrdleme ruumalasid

V_{1}

V_{2}

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{ρ_{C u}}{ρ_{H_{2} O}} = \frac{8, 92 g / c m^{3}}{1, 00 g / c m^{3}} = 8, 92 \Rightarrow V_{1} = 8, 92 V_{2}

Sellest järeldub, et veetase kausis langeb.

20. Laev kanalis

Laev, mille kiirus seisva vee suhtes $v = 10 km/h$ läbib $L = 10 km$ pikkuse kanali pärivoolu. Kanali alguses on vee voolamise kiirus $v_{0} = 5 km/h$ . Kanali teine pool on esimesest kaks korda kitsam. Vee sügavus kanalis on kõikjal ühesugune. Kui palju aega kulub laeval kanali läbimiseks?

Lahendus

Oluline on aru saada, et kanali teises pooles on vee voolamise kiirus kaks korda suurem (vooluhulga jäävusest), seega

t = \frac{L}{2 (v + v_{0})} + \frac{L}{2 (v + 2 v_{0})}

Asendades suurused võrrandisse saame, et laeval kulub kanali läbimiseks

t = 35 m i n

21. Buss

Linnaliinil sõitvad bussid saabuvad lõpp-peatusse, seisavad ühe minuti ja sõidavad seejärel tuldud teed tagasi. Bussid väljuvad lõpp-peatusest iga $10 minuti$ järel. Juku jõudis lõpp-peatusse hetkel, kui buss sealt ära sõitis. Seejärel hakkas Juku kõndima järgmisse peatusse kiirusega $v_{1} = 5 km/h$ . Poolel teel tuli Jukule vastu järgmine liinibuss. Edasi Juku jooksis kiirusega $v_{2} = 10 km/h$ . Juku jõudis bussipeatusse samal ajal talle varem vastu tulnud bussiga. Leidke vahemaa peatuste vahel, kui buss sõitis konstantse kiirusega.

Lahendus

Olgu $t$ aeg (minutites), mis kulub bussil poole vahemaa läbimiseks peatuste vahel. Peale Jukust möödasõitmist pidi buss läbima poole teed lõpp-peatuseni (selleks kulus $t$ minutit aega), seisma ühe minuti lõpp-peatuses ja veel läbima terve vahemaa kahe peatuse vahel (selleks kulus aeg $2 t$ ). Selle ajaga (kokku $3 t + 1$ minutit) jõudis Juku joosta poole teekonnast peatuste vahel. Et esimese poole tuli ta kaks korda väiksema kiirusega, siis selleks kulus tal aega $6 t + 2$ minutit ning kogu teekonna läbimine võttis tal seega $9 t + 3$ minuitit aega. Järgmine buss alustas lõpp-peatusest sõitu $10 m i n u t i t$ peale eelmise bussi lahkumist, lisaks oli ta teel järgmisesse peatusesse $2 t$ minutit. Et Juku ja buss jõudsid peatusesse üheaegselt, siis saame $9 t + 3 = 10 + 2 t$ , kust $t = 1$ . Seega esimese poole läbimiseks kulus Jukul aega $6 t + 2 = 8 m i n u t i t$ , tema kiirus oli $5 k m / h = \frac{1}{12} k m / m i n$ . Selle ajaga kõndis ta $8 \cdot \frac{1}{12} = \frac{2}{3} k m / m i n$ , seega kogu teepikkus oli $2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \approx 1, 33 k m$ .

22. Ringrada

Võidusõiduautod sõidavad ringrajal. Esikohta hoidva auto kiirus on $v_{1} = 250 km/h$ ja viimase auto kiirus on $v_{2} = 230 km/h$ . Mitu ringi peab esimene auto sõitma, et viimasele autole ``ring sisse teha''?

Lahendus

Olgu ringraja pikkus $s$ . Esikohal oleval autol kulub ringi läbimiseks aega $t_{1} = \frac{s}{v_{1}}$ ja viimasel autol - $t_{2} = \frac{s}{v_{2}}$ . Jõudku esimene auto
viimasele järgi siis, kui esimene on sõitnud $n$ ringi. Viimane auto on siis sõitnud $n - 1$ ringi. Mõlemad autod on sõitnud ühekaua.

n t_{1} = (n - 1) t_{2} \Rightarrow n \frac{s}{v_{1}} = (n - 1) \frac{s}{v_{2}} \Rightarrow \frac{n}{v_{1}} = \frac{n}{v_{2}} - \frac{1}{v_{2}} \Rightarrow

\Rightarrow n (\frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{v_{1}}) = \frac{1}{v_{2}} \Rightarrow n = \frac{\frac{1}{v_{2}}}{\frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{v_{1}}} = 12, 5

Esikohal olev auto peab sõitma

12, 5

ringi, et viimasele autole järele jõuda.

23. Sprinter

Sprinter saavutas aja $τ = 1,80 s$ jooksul kiiruse $u = 11,2 m/s$ ja hoidis sellist kiirust $s = 100 m$ distantsi lõpuni. Milline oli tema $100 m$ aeg? Stardist väljudes kasvas jooksukiirus võrdeliselt jooksu ajaga.

Lahendus

Kogu distantsi läbis jooksja ajaga $t = t_{1} + t_{2}$ , kus $t_{1} = τ = 1, 8 s$ on kiirenduseks kulunud aeg ja $t_{2}$ on püsiva kiirusega jooksmiseks kulunud aeg.

Distantsi pikkus $s = s_{1} + s_{2} = 100 m$ , kus $s_{1}$ on kiirendades joostud distantsi osa ja $s_{2}$ - püsiva kiirusega $v_{2} = u = 11, 2 m / s$ joostud distantsi osa. Leiame keskmise kiiruse, millega jooksja läbis esimese osa distantsist: $s_{1} = v_{k} t_{1}$ . Teades, et kiirendamine toimus ühtlaselt, võime kirjutada

v_{k} = \frac{u}{2} = 5, 6 m / s

Kiirendades joostud distantsiosa pikkus

s_{1} = v_{k} t_{1} = 5, 6 m / s \cdot 1, 8 s = 10, 08 m

ja ühtlaselt joostud distantsi osa pikkus

s_{2} = s - s_{1} = 100 m - 10, 08 m = 89, 92 m

mille läbimise aeg on

t_{2} = \frac{s_{2}}{v_{2}} = \frac{89, 92 m}{11, 2 m / s} \approx 8, 03 s

Sprinteri saja meetri aeg on

t = t_{1} + t_{2} = 1, 8 s + 8, 03 s = 9, 83 s .

24. Rongid

Kahesuunalisel raudteel lähenevad teineteisele vastassuundadest kaks rongi. Reisirong sõidab kiirusega $v_{1} = 25 m/s$ , kaubarong aga kiirusega $v_{2} = 20 m/s$ . Reisirong on $s_{1} = 100 m$ pikk, kaubarong $s_{2} = 200 m$ pikk. Kui palju võtab aega rongide möödumine teineteisest?

Lahendus

Seome taustsüsteemi ühe rongiga ehk loeme ühe rongidest paigalseisvaks. Teineteisest möödumisel on rongide pikkus kokku

s = s_{1} + s_{2} = 100 m + 200 m = 300 m

Liikuva rongi kiirus uues taustsüsteemis on seega

v = v_{1} + v_{2} = 25 m / s + 20 m / s = 45 m / s

Teineteisest möödasõiduks kulub seega

t = \frac{s}{v} = \frac{300 m}{45 m / s} \approx 6, 7 s .

25. Autod

Auto väljus linnast $A$ linna $B$ suunas kell $12.00$ , sõites keskmise kiirusega $v_{1} = 75 km/h$ . Linnast $B$ väljus 10 minutit hiljem auto linna $A$ suunas, mis sõitis keskmise kiirusega $v_{2} = 80 km/h$ . Autod kohtusid kell $13.16$ . Kell $12.20$ väljus linnast $A$ auto, mis sõitis terve tee keskmise kiirusega $v_{3} = 90 km/h$ . Kui kaugel linnast $B$ jõuab kolmas auto esimesele autole järele?

Lahendus

Määrame autode kohtumise järgi linnadevahelise kauguse, $s = v_{1} t_{1} + v_{2} t_{2}$ .
Linnas $A$ väljunud auto oli teel $76 m i n$ , linnast $B$ väljunud auto $66 m i n$ , seega

s = 75 k m / h \cdot \frac{76}{60} h + 80 k m / h \cdot \frac{66}{60} h = 183 k m

Teine auto, mis alustab sõitu

Δ t = 20 m i n = \frac{1}{3} h

hiljem, jõuab esimesele järele siis, kui on täidetud tingimus

s_{1} = v_{1} t = v_{3} (t - Δ t)

, kust

t = \frac{v_{3} Δ t}{v_{3} - v_{1}}

. Kohtumine toimub 2 tundi pärast esimese auto väljasõitu. Kohtumiskoht on seega

s_{1} = v_{1} t

kaugusel linnast

A

. Linnast

B

on kohtumiskoht

Δ s = s - s_{1}

. Tehes arvutused saame, et

s_{1} = 150 k m

ja kaugus linnast

B

33 k m

26. Autod

Kaks autot, mis lähenevad täisnurksele teeristile mööda erinevaid teid, asuvad alghetkel $t = 0$ teeristist kaugustel $L_{1}$ ja $L_{2}$ . Autod liiguvad jäävate kiirustega $v_{1}$ ja $v_{2}$ . Leida autodevaheline minimaalne kaugus.

Lahendus

Seome paigalseisva taustsüsteemi autoga $A$ , siis auto $B$ kiirus auto $A$ suhtes on $v$ . Minimaalne kaugus autode vahel avaldub järgmiselt:

x = \frac{(L_{1} - L)}{sin α}, sin α = \frac{v_{2}}{\sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}}, \frac{L_{2}}{v_{2}} = \frac{L}{v_{1}}

x = \frac{L_{1} v_{2} - L_{2} v_{1}}{\sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}}

27. Rattasõit

Miku sõitis jalgrattaga. Maksimaalse kiiruse $v = 10 m/s$ saavutas ta paigalseisust ühtlaselt kiirendades $t = 12 s$ jooksul. Edasi sõitis Miku teatud aja muutumatu kiirusega. Ühtlaseks pidurdamiseks täieliku seismajäämiseni kulus tal $τ = 8 s$ . Kui pika tee $s$ läbis Miku, kui ta keskmine kiirus sõidu ajal oli $u = 8 m/s$ ?

Lahendus

Miku sõit jaguneb kolmeks etapiks: esimene - ühtlane kiirenemine, teine - liikumine muutumatu kiirusega ja kolmas - ühtlane pidurdamine. Tähistame nende kohta käivaid suurusi vastavalt indeksitega 1, 2 ja 3. Ühtlase kiirenemise ja ühtlase pidurdamise puhul kehtib valem keskmise kiiruse leidmiseks:

v_{k} = \frac{v_{0} + v_{m a x}}{2}

Esimese ja kolmanda etapi keskmised kiirused olid võrdsed:

v_{1} = v_{3} = \frac{v_{2}}{2} = \frac{10 m / s}{2} = 5 m / s

Veel teame me suurusi:

t_{1} = t

t_{3} = τ

. Kogu teekonna pikkus oli:

s = v_{1} t_{1} + v_{2} t_{2} + v_{3} t_{3} = u (t_{1} + t_{2} + t_{3})

Siit leiame teise etapi kestuse:

5 \cdot 12 + 10 t_{2} + 5 \cdot 8 = 8 \cdot (12 + t_{2} + 8)

100 + 10 t_{2} = 160 + 8 t_{2} \Rightarrow t_{2} = 30 s

Järelikult:

s = 8 \cdot (12 + 30 + 8) = 400 m

28. Buss ja jalakäija

Rohelise tule süttides alustas ristmikult kõndimist inimene ja sõitmist liinibuss. Inimese keskmine kiirus oli $v_{i} = 5 km/h$ . Järgmise ristmiku juurde jõudsid buss ja inimene korraga, kuid buss oli vahepeal teinud peatuse. Bussi keskmine kiirus väljaspool peatust oli $v_{b} = 30 km/h$ . Kui kaua buss peatus, kui ristmike vahemaa oli $s = 300 m$ ?

Lahendus

Kuna inimene ja buss alustasid ja lõpetasid liikumise koos, siis kulub neil sama maa läbimiseks võrdne aeg. Kestku bussi peatus ajavahemiku $Δ t$ . Inimesel kulus teise ristmikuni jõudmiseks $t_{i} = \frac{s}{v_{i}}$ .
Buss läbis sama vahemaa ajaga $t_{b} = \frac{s}{v_{b}} + Δ t$ .
Võrdsustame omavahel $t_{i}$ ja $t_{b}$ : $\frac{s}{v_{i}} = \frac{s}{v_{b}} + Δ t$ . Avaldame võrrandist aja $Δ t$ :

Δ t = \frac{s}{v_{i}} - \frac{s}{v_{b}} = \frac{0, 3 k m}{5 k m / h} - \frac{0, 3 k m}{30 k m / h} = 0, 05 h = 3 m i n .

29. Putukad

Ühtlase massijaotusega varda keskpunkt asub väikese kivi peal. Varda ühe otsa juures istub sipelgas massiga $m_{s} = 40 mg$ , teise otsa juures aga lepatriinu massiga $m_{l} = 0,1 g$ . Kuskil nende vahel istub veel põrnikas massiga $m_{p} = 0,6 g$ . Varras on alguses tasakaalus. Ühel hetkel hakkab sipelgas roomama põrnika poole kiirusega $v_{s} = 7,5 mm/s$ , samaaegselt hakkab seda tegema ka lepatriinu kiirusega $v_{l} = 3,0 mm/s$ . Põrnikas annab omakorda endast kõik, et varras jääks kogu aeg tasakaalu. Kellega ja millisel ajahetkel saab põrnikas varem kokku, kas sipelga või lepatriinuga? Varda pikkus on $l = 20 cm$ .

Lahendus

Kuna sipelgas on kergem kui lepatriinu, aga nad asuvad varda keskpunkist sama kaugel, peab põrnikas tasakaalu saavutamiseks paiknema sipelgale lähemal.
Olgu $x$ põrnika kaugus varda keskpunktist. Kirjutame välja putukate jõumomendid varda keskpunkti suhtes:

M_{s} = m_{s} g \cdot \frac{l}{2}, M_{l} = - m_{l} g \cdot \frac{l}{2}, M_{p} = m_{p} g \cdot x

Lepatriinu jõumoment on võetud miinusmärgiga, kuna tema asub tasakaalu keskpunktist teisel pool. Tasakaalu korral on jõumomentide summa

M_{s} + M_{p} + M_{p} = 0

. Seda võrdust kasutades leiame, et

x = 1, 0 c m

. Seega lepatriinu asub

d = 9, 0 c m

kaugusel sipelgast.
Paneme tähele, et roomamise käigus sipelga ja lepatriinu summaarne jõumoment keskpunkti suhtes jääb samaks: aja

Δ t

jooksul muutub siplega jõumoment

m_{s} g v_{s} Δ t

võrra, lepatriinu jõumoment aga

- m_{l} g v_{l} Δ t

võrra. Kuna aga

m_{s} v_{s} = m_{l} v_{l}

, siis saamegi, et nende summaarne jõumoment ei muutu.Järelikult tasakaalu hoidmiseks ei pea põrnikas midagi ette võtma. Kuna sipelgas asub algselt põrnikale lähemal ja ta liigub lepatriinust kiiremini, saab sipelgas esimesena põrnikaga kokku. See juhtub

τ = \frac{d}{v_{s}} = 12 s

pärast roomamise algust.

30. Laserpointer

Vaatleme hüpoteetilist olukorda, kus valguse kiirus on väike, $c = 100 km/h$ . Juku asetseb raadiusega $R = 10 m$ silindrilise ekraani teljel. Tal on käes lasepointer, mida ta keerutab ümber silindri telje (pointeri telg on risti silindri teljega). Millise vähima sagedusega peaks Juku keerutama laserpointerit, et täpp ekraanil paistaks talle asuvat täpselt pointeri sihil?

Lahendus

Sagedus on vähim siis, kui valguse leviaaeg edasi-tagasi võrdub ühe täispööre ajaga. Seega

T = \frac{2 R}{c} \Rightarrow f = \frac{c}{2 R} \approx 1, 4 H z .

31. Parvetaja

Aurik läbib linnade vahelise veetee mööda jõge pärivoolu 3 tunniga ja vastuvoolu 5 tunniga. Mitme tunniga jõuaks parvega allavoolu kulgedes ühest linnast teise?

Lahendus

Olgu teepikkus $s$ , jõevoolu kiirus $v$ ja auriku enda kiirus $u$ . Saame, et

\frac{s}{u + v} = 3 h, \frac{s}{u - v} = 5 h

Teisendades, saame

\frac{u}{s} + \frac{v}{s} = \frac{1}{3 h}, \frac{u}{s} - \frac{v}{s} = \frac{1}{5 h}

Lahutades esimesest võrrandist teise, leiame et

\frac{v}{s} = \frac{1}{15} h

. Aeg, mis kulub parvega allavoolu liikumiseks on seega

t = \frac{s}{v} = 15 h

32. Ralli

Le Mans'i 24 tunni rallit sõidetakse ringrajal. Sõit kestab ühe ööpäeva ja ralli võidab enim ringe läbinud osaleja. Ühe ringi pikkus on $L = 13,5 km$ . Kui palju erinesid esimese ja teise koha saanute keskmised kiirused, kui teise koha omanik sõitis võitjast kümme ringi vähem?

Lahendus

Läbigu võitja $n$ ringi. Siis sõidab teise koha omanik $n - 10$ ringi. Võitja keskmine kiirus on $\frac{L n}{τ}$ , kus $τ = 24 h$ . Teise koha saanu keskmine kiirus on: $\frac{L (n - 10)}{τ}$ . Keskmiste kiiruste vahe on:

\frac{L n}{τ} - \frac{L (n - 10)}{τ} = \frac{10 L}{τ} = 5, 6 k m / h

Teadmiseks: 2007. aastal läbis Le Mans’i ralli võitja 369 ringi, teise koha omanik kümme ringi vähem ja kolmanda koha saaja teiseks tulnust ühe ringi vähem. Võitja läbis

5029 k m

ja tema keskmine kiirus oli

210 k m / h

33. Pagas

Lennujaama ruudukujulise pagasilindi ühe nurga juures seisab Janno. Ühel hetkel märkab ta lindi naabernurgas oma eemalduvat kohvrit. Kuidas jõuaks Janno oma kohvrini kiiremini: kas minnes talle järele või vastu? Pagasilindi kiirus $u = 1 m/s$ , Janno liikumise kiirus $w = 6 km/h$ .

Lahendus

Kilomeetrites tunnis on pagasilindi kiirus $u = 3, 6 k m / h$ . Olgu $s$ ruudu küljepikkus. Minnes kohvrile järele on Janno ja kohvri esialgne vahekaugus $s$ ja lähenemise kiirus $v_{1} = w - u = 2, 4 k m / h$ . Minnes kohvrile vastu on Janno ja kohvri esialgne vahekaugus $3 s$ ja lähenemise kiirus $v_{2} = w + u = 9, 6 k m / h$ . Teisel juhul on lähenemise kiirus $\frac{v_{2}}{v_{1}} = 4$ korda suurem kui esimesel juhul, samas vahemaa on suurem ainult 3 korda. Järelikult minnes kohvrile vastu saab Janno ta varem kätte.

34. Möödasõit

Mööda teed sõidavad teineteisele vastu veoauto ja buss. Veoauto kiirus on $v_{1} = 20 m/s$ , bussi kiirus $v_{2} = 25 m/s$ . Veoauto taga sõidab sõiduauto. Kui suure minimaalse keskmise kiirusega peab sõitma sõiduauto, et mööduda ohutult veoautost, kui möödasõidu algul on veoauto ja bussi kaugus ninast ninani $s = 400 m$ , sõiduauto on veoautost $s_{0} = 15 m$ kaugusel ja veoauto pikkus on $l = 15 m$ ? Ohutu on möödasõit, mille sõiduauto lõpetab $s_{1} = 20 m$ kaugusel veoautost ja $s_{2} = 80 m$ kaugusel vastutulevast bussist.

Lahendus

Möödasõidu lõpul on veoauto ja bussi vaheline kaugus $20 m + 80 m = 100 m$ . Möödasõit kestab seega

t = \frac{400 m - 100 m}{25 k m / h + 20 k m / h} = 6, 7 s

Möödasõidul sõidab sõiduauto

15 m + 15 m + 20 m = 50 m

rohkem kui veoauto. Sõiduauto kiirus peab veoauto suhtes olema

v = \frac{50 m}{6, 7 s} = 7, 5 m / s

.
Sõiduauto minimaalne kiirus maantee suhtes on seega

20 m / s + 7, 5 m / s = 27, 5 m / s

35. Sillad

Mööda teed sõidavad vastassuundades ühtlase kiirusega auto ja jalgrattur. Auto liigub kiirusega $v = 25 m/s$ , jalgrattur kiirusega $u = 10 m/s$ . Mingil hetkel sõidab auto üle silla, üks minut hiljem sõidab üle teise silla jalgrattur. Auto kohtub jalgratturiga $s = 3 km$ kaugusel jalgratturi poolt ületatud sillast. Kui kaugel asuvad teineteisest sillad?

Lahendus

Pärast oma silla ületamist sõidab jalgrattur kohtumispaika

t_{j} = \frac{s}{u}

Auto sõidab kohtumispaika

t_{a} = t_{j} + Δ t

kus

Δ t = 60 s

. Sildade vaheline kaugus on seega

s_{0} = v (t_{j} + Δ t) + s

Saame sildade vaheliseks kauguseks

12 k m

36. Rongid tunnelis

Rongi sõit läbi tunneli kestis $t = 1 min$ . Rongi kiirus oli $v = 80 km/h$ ja tunneli pikkus oli $s = 1 km$ . Kui pikk oli rong?

Lahendus

Rong läbis ühe minutiga vahemaa $L = t v = \frac{1}{60} h \cdot 80 k m / h = \frac{4}{3} k m$ . Kuna rong läbib minutiga pikema vahemaa, kui on tunneli pikkus, siis võrdub läbitud vahemaa ja tunneli pikkuse erinevus rongi pikkusega. Rongi pikkus oli $Δ L = L - s = \frac{1}{3} k m$ .

37. Jalgratturid

Kaks jalgratturit läbivad $1000 m$ pikkuse distantsi. Üks jalgratturitest kasutab pedaalide juures 51 hambaga ja tagarattal 15 hambaga hammasratast, teine ees 48 hambaga ja taga 13 hambaga hammasratast. Mitu sekundit hilineb finišis aeglasem jalgrattur, kui kiirema jalgratturi keskmine kiirus distantsil on $36 k m / h$ ja mõlemad ratturid väntavad täpselt sama sagedusega? Jalgrataste tagumised rattad on ühesugused.

Lahendus

Arvutame kummagi jalgratta ülekandearvu:

Z_{1} = \frac{51}{15} = 3, 4, Z_{2} = \frac{48}{13} = 3, 7

Jalgratturid teevad distantsi läbimiseks pedaalipöördeid vastavalt

n_{1} = \frac{1000}{3, 4 c} n_{2} = \frac{1000}{3, 7 c}

kus

c

tähistab tagumise ratta ümbermõõtu.
Kuivõrd mõlemad jalgratturid väntavad sama sagedusega, siis jõuab enne kohale see, kes teeb vähem vändapöördeid, seega teine jalgrattur. Esimene rattur teeb

n = \frac{n_{1}}{n_{2}} = \frac{3, 7}{3, 4} = 1, 088

korda rohkem pöördeid, järelikult kulutab ta ka aega

1, 088

korda rohkem.
Teisel ratturil kulub distantsi läbimiseks

t_{2} = \frac{1000 m}{10 m / s} = 100 s

. Esimesel kulub distantsi läbimiseks

t_{1} = 100 s \cdot 1, 088 = 108, 8 s

, seega

8, 8

sekundit rohkem kui teisel ratturil.

38. Lennukid

Kaks hävituslennukit, lennates samal kõrgusel vastas- suundades, mööduvad teineteisest, lennates kiirustega vastavalt $v_{1} = 1200 k m / h$ ja $v_{2} = 1000 k m / h$ . Esimesest lennukist tulistatakse teist risti liikumissuunaga. Kui pika vahemaa tagant tekivad teise lennuki keresse kuuliaugud, kui kuulipilduja tulistab $n = 4200 l a s k u$ minutis? Kas ja kuidas sõltub kuuliaukude vaheline kaugus lennukite kaugusest teineteisest?

Lahendus

Teisendame kiirused: $v_{1} = 330 m / s$ ja $v_{2} = 280 m / s$ .
Lennukite kiirus teineteise suhtes on $v = v_{1} + v_{2} = 610 m / s$ .
Kuulipilduja teeb sekundis 70 lasku ja kahe lasu vaheline aeg on $t = \frac{1}{70} s$ .
Teine lennuk liigub esimese lennuki suhtes kahe kuuli vahelisel ajal $s = v t$ .
Kuuliaukude vahe lennuki keres on seega $s = 610 \cdot \frac{1}{70} = 8, 7 m$ .
Vastus ei sõltu lennukite kaugusest teineteisest.

39. Koer

Tarmo ja Taivo sõitsid jalgratastega kodust poodi ( $s = 1 k m$ ). Nad alustasid kodust samal ajal, kusjuures Tarmo sõitis ühtlase kiirusega $v_{1} = 5 \frac{m}{s}$ ja Taivo kiirusega $v_{2} = 6 \frac{m}{s}$ . Poe juures jäi Taivo Tarmot järgi ootama. Nende koer jooksis algusest peale nende vahel kiirusega $v_{3} = 10 \frac{m}{s}$ , kuni mõlemad olid kohale jõudnud. Koer jooksis muudkui otse ühe juurest teiseni ja tagasi esimese juurde, ja nii kogu aeg. Mis oli koera poolt läbitud teepikkus $l$ ? Võib eeldada, et koeral kulus ümberpööramiseks väga vähe aega.

Lahendus

Paneme tähele, et koer jookseb kiirusega $v_{3} = 10 \frac{m}{s}$ täpselt nii kaua kui Tarmol kulub kohale jõudmiseks aega. Tarmol kulub aega $t = \frac{s}{v_{1}} = 200 s$ . Seega $l = v_{3} \cdot t = 10 \frac{m}{s} \cdot 200 s = 2 k m$ .

40. Auto

On antud auto kiiruse graafik (vt. joonis). Leida läbitud tee pikkus.

Lahendus

Teepikkus on leitav valemist $v = \frac{s}{t} ⟹ s = v \cdot t$ , kuna graafik on antud teljestikus $v$ ja $s$ , siis otsitav teepikkus on graafiku joonealune pindala. Seetõttu on hea jagada läbitud teepikkus kolmeks osaks: $s = s_{1} + s_{2} + s_{3}$ , kus $s_{1}$ on kiireneva liikumise käigus läbitud tee, $s_{2}$ ühtlase kiirusega läbitud tee ja $s_{3}$ aeglustuva liikumise käigus läbitud tee.

s_{1} = \frac{30 \frac{m}{s} \cdot 120 s}{2} = 1800 m

s_{2} = 30 \frac{m}{s} \cdot 180 s = 5400 m

s_{3} = \frac{30 \frac{m}{s} \cdot 180 s}{2} = 2700 m

s = 1800 + 5400 + 2700 = 9900 m

41. Kauboid

Kauboid Bill ja Frank ratsutasid mööda teed teineteisele vastu, kui märkasid ühtäkki postitõllalt mahakukkunud kullakotti ning hakkasid selle poole kappama. Kullani jõudmiseks peab Bill ületama teega ristuva raudtee, mida mööda sõitev rong on joonisel kujutatud hetkel jõudnud ristteeni. Rongi kiirus on $72 \frac{k m}{h}$ . Täpselt sama kiiresti suudavad liikuda ka mõlema kauboi hobused. Billil on kaks võimalust: 1) jääda teele ja oodata rongi möödumist, 2) üritada rongist ringiga mööda ratsutada. Vaadelge mõlemat juhtu ja leidke nii Billil kui Frankil kullani jõudmiseni kulunud aeg, alates joonisel kujutatud hetkest. Kumb kauboi saab kulla endale? Kiirendamise ja pidurdamisega arvestama ei pea, ehk võib eeldada, et hobune hakkab kohe liikuma tippkiirusega.

Lahendus

Rongi ja kauboide kiirus on $72 \frac{k m}{h} = \frac{72 \cdot 1000 m}{3600 s} = 20 \frac{m}{s}$ . Frankil kullani
jõudmiseks kulunud aeg on leitav valemi $t = \frac{s}{v}$ järgi:

t_{F} = \frac{280 m}{20 \frac{m}{s}} = 14 s

Esimesel juhul peab Bill ootama kuni rong läbib oma pikkuse jagu maad ning seejärel ratsutama ristteest kullani. Kokku kulub seega

t_{B 1} = \frac{200 m}{20 \frac{m}{s}} + \frac{100 m}{20 \frac{m}{s}} = 15 s

Aega, mis kulub Billil raudteeni jõudmiseks siin eraldi arvestama ei pea, sest see on ilmselgelt väiksem alghetkest rongi möödumiseni kuluvast ajast. Teisel juhul ei saa Bill rongi eest mööda ratsutada, sest võrdsete kiiruste tõttu ei jõuaks ta kunagi rongist ette. Jääb üle rongist tagantpoolt mööda sõita. Vähim aeg kulub juhul, kui tühjal maal liikuda sirgjooneliselt ja tagumisest vagunist mööduda võimalikult lähedalt ehk Bill ja rongi tagumine ots jõuavad punkti $C$ täpselt samal ajal (vaata joonist). Võrdsete kiiruste tõttu on võrdsed ka lõigud $A C$ ja $B C$ , mille pikkust tähistame $x$ -ga. Tekib täisnurkne kolmnurk, mille külgede pikkused meetrites on: hüpotenuus $x$ , üks kaatet $100$ ja teine kaatet $200 - x$ . Täisnurkses kolmnurgas kehtib Pythagorase teoreem: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , kus $a$ ja $b$ on kaatetite ning $c$ hüpotenuusi pikkus. Seega saame kirjutada võrrandi $100^{2} + (200 - x)^{2} = x^{2}$ Pärast sulgude avamist koonduvad $x$ -i ruutliikmed välja ja saame lihtsa lineaarvõrrandi, mille lahendiks on $x = 125 m$ . Kullani jõudmiseks peab Bill läbima vahemaa $2 x$ ja selleks kulub

t_{B 2} = \frac{2 \cdot 125 m}{20 \frac{m}{s}} = 12, 5 s

Eraldi võib vaadelda vahepealset juhtu, kus Bill jõuab raudteeni punktis

A^{'}

, mis jääb punkti

A

ja risttee vahele. Seal ootab ta rongi möödumist ja kappab siis otsejoones kullani. Ajaliselt on see võrdväärne juhuga, kus Bill punktis

A^{'}

ootamise asemel ratsutaks raudteega paralleelselt rongi otsale vastu ja selleni jõudes koos rongiga tagasi punkti

A^{'}

, pärast mida ta eemalduks raudteest ja sööstaks otse kulla poole. See võtaks aga kauem aega, kui pärast rongi lõpuni jõudmist kohe kulla poole liikumisel, mis tähendab, et igasugune ootamine ei ole mõistlik ja

t_{B 2}

on vähim võimalikest.

42. Keskmine kiirus

Graafikul on kujutatud auto kiiruse sõltuvus ajast. Arvutage auto keskmine kiirus.

Lahendus

Keskmine kiirus on läbitud vahemaa ja selle läbimiseks kulunud aja suhe. Leiame jooniselt, kui suure vahemaa läbis auto $20 s$ jooksul läbitud. Selleks tuleb leida graafikualune pindala. Jaotame graafiku kolmnurkadeks ja trapetsiteks. Leiame üksikute kujundite pindalad ja liidame kokku. Kolmnurga ja trapetsi pindala saame leida valemitest

S_{kolmnurk} = \frac{a h}{2}

S_{trapets} = \frac{a + b}{2} \cdot h

Ajavahemik	Kiiruse vahemik	Kujund	Pindala
$0 s - 2 s$	$0 m / s - 10 m / s$	Kolmnurk	$(10 m / s \cdot 2 s) / 2 = 10 m$
$2 s - 8 s$	$10 m / s - 25 m / s$	Trapets	$(10 m / s + 25 m / s) / 2 \cdot 6 s = 10 m$
$8 s - 10 s$	$25 m / s - 0 m / s$	Kolmnurk	$(25 m / s \cdot 2 s) / 2 = 25 m$
$10 s - 12 s$	$0 m / s$	Kolmnurk	$0 m$
$12 s - 17 s$	$0 m / s - 15 m / s$	Kolmnurk	$(15 m / s \cdot 5 s) / 2 = 37, 5 m$
$17 s - 20 s$	$25 m / s - 0 m / s$	Kolmnurk	$(15 m / s \cdot 3 s) / 2 = 22, 5 m$

Kokku läbis auto teepikkuse $s = 200 m$ . Selleks kulus autol $t = 20 s$ . Auto keskmine kiirus on $v = \frac{s}{t} = 10 m / s$

43. Koer

Poiss on koos oma koeraga rannas. Joonisel kujutatud hetkel kutsub ta koera enda juurde, kuid koer soovib teel poisi juurde korraks ka veest läbi hüpata. Millise minimaalse ajaga jõuab ta sel juhul poisini? Koer jookseb kiirusega $v = 4, 0 \frac{m}{s}$ .

Lahendus

Oletame, et koer hüppab veest läbi punktis $O$ (vt joonis). Peegeldame poisi $P$ veepiiri suhtes, saame punkti $P$ . Paneme tähele, et $P O = P O^{'}$ , seega on teekond koera $K$ juurest punkti $P^{'}$ läbi punkti $O$ sama pikk, kui teekond punkti $P$ läbi punkti $O$ . Lühim on see teekond juhul, kui tegemist on sirgega, mille korral koer hüppab veest läbi punktis $O^{'}$ . Täisnurkses kolmnurgas $△ K L P^{'}$ on $K L = 11 m + 7 m = 18 m$ ning $L P^{'} = 24 m$ . Niisiis $K P^{'} = \sqrt{K L^{2} + L P^{' 2}} = 30 m$ . Selle teekonna läbimiseks kulub aeg $\frac{K P^{'}}{v} = 7, 5 s$ . Märkus: Sama tulemuseni oleksime jõudnud siis, kui kasutaksime Fermat’ printsiipi, mille kohaselt valguskiir ühest punktist teise läbib mööda teed, mille läbimiseks kulunud aeg on minimaalne, ja peegeldumisseadust, mille kohaselt langemis-ja peegeldumisnurgad on võrdsed.

44. Konn

Kolm paralleelset linttransportööri laiusega $1 m$ liiguvad kiirustega $2, 4 ja 2 \frac{m}{s}$ nagu kujutatud joonisel. Risti üle nende hüppab konn. Konna hüppe pikkus (lähtepunkti suhtes) on $65 c m$ ja hüppeks kuluv aeg $0, 5 s$ . Millise vahemaa võrra lintide liikumise sihis on konn edasi liikunud maandumisel maapinnale pärast lintide ületamist? Eeldage, et konn alustab hüppamist vahetult esimese transportöörilindi servast, hüpete vahel aega ei kuluta ja maandumisel lindile ei libise.

Lahendus

Teades hüppe pikkust ja lintide laiusi, näeme, et konn ületab lindid $5$ hüppega. Neist esimesel stardib ta maapinnalt (lindisuunaline kiiruse komponent $v_{1} = 0$ ), teisel - esimeselt lindilt (lindisuunaline kiiruse komponent $v_{2} = 2 \frac{m}{s}$ ), kahel järgmisel - keskmiselt lindilt (lindisuunaline kiiruse komponent $v_{3} = 4 \frac{m}{s}$ ) ja viimasel hüppel - viimaselt lindilt (lindisuunaline kiiruse komponent $v_{2} = 2 \frac{m}{s}$ ). Tähistades hüppe kestvust $t$ , saame kõrvalekaldeks

x = v_{1} t + v_{2} t + v_{3} t + v_{3} t + v_{2} t = (0 + 2 + 4 + 4 + 2) \cdot 0, 5 = 6 m

45. Kuulid

Horisontaalses lauas on lohk ja samasuguse suurusega ning kujuga muhk. Üle laua veerevad kuulid. Kuul $A$ läheb läbi lohust, kuul $B$ läheb üle muhu. Kuulid on vaatluse alghetkel laua vasakpoolsest servast ühekaugusel (vt. joonis) ja liiguvad ühesuguse kiirusega. Kumb kuulidest jõuab laua teise ääreni kiiremini? Põhjendage vastust. Hõõrdumist ei arvestata.

Lahendus

Kuul $A$ jõuab laua teise servani väiksema ajaga kui kuul $B$ . Kuna kuulide kiirus $v$ on ühesugune, siis need jõuavad samaaegselt laua ebatasasuseni. Kuul $A$ laskub lohku ja kiirus suureneb $Δ v$ võrra. Kuul $B$ tõuseb muhule ja kiirus väheneb $Δ v$ võrra. Kuuli $A$ kiirus lohu põhjas on $v + Δ v$ .

Kuuli $B$ kiirus muhu harjal on $v - Δ v$ . Kuul $A$ jõuab lohu põhja väiksema ajaga kui kuul $B$ muhu harjale. Et kuul $A$ läbis sama teepikkuse väiksema ajaga kui kuul $B$ , siis on kuuli $A$ keskmine kiirus lohku laskumisel suurem kuuli $B$ keskmisest kiirusest muhu harjale tõusmisel.

Ka tõusmisel lohu põhjast laua horisontaalsele osale on kuuli $A$ keskmine kiirus suurem muhu harjalt laskuva kuuli $B$ keskmisest iirusest. Seega, kuul $A$ läbib lohu väiksema ajaga kui kuul $B$ muhu.

Ülejäänud tee liiguvad kuulid jälle võrdse kiirusega. Kuul $A$ jõuab laua servani lühema ajaga kui kuul $B$ . Öeldud on hea llustreerida joonisega, kuhu on kantud kuulide kiirused kolmes erinevas punktis. Alguses ja lõpus on kuulide kiirused võrdsed, lohu läbimisel aga kuuli $A$ kiirus on kogu aeg suurem, kui $v$ , muhu läbimisel kuuli $B$ kiirus on kogu aeg väiksem, kui $v$ .

Järelikult kuuli $B$ keskmine kiirus kogu tee jooksul on väiksem, kui kuulil $A$ .

46. Lennukid

Kaks lennukit lendavad samal kõrgusel kiirustega $v_{1} = 800 \frac{k m}{h}$ ja $v_{2} = 600 \frac{k m}{h}$ . Vaadeldaval hetkel on lennukite liikumise sihid omavahel risti ning kumbki lennuk paikeb sihtide ristumispunktist kaugusel $a = 20 k m$ . Leidke, milline on lennukite vähim vahekaugus järgneva liikumise jooksul, kui eeldada, et kumbki lennuk kurssi ei muuda.

Lahendus

Lahendus muutub lihtsaks, kui vaatleme ühe lennuki
suhtelist liikumist teise suhtes.

Nimelt, lähme mõtteliselt punase lennukiga $B$ kaasaliikuvasse taustsüsteemi. Sel juhul paistab lennuk $B$ paigal püsivat, kuid lennuk $A$ näib liikuvat kiirusega $\to v$ , mille komponendid on joonisel välja toodud. Kiiruse mooduli leiame Pythagorase teoreemist

v = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = 1000 \frac{k m}{h}

. Vähim kaugus kahe lennuki vahel kogu liikumise jooksul on mõistagi trajektoorini tõmmatud ristlõik

B X

, mille pikkuse järgnevalt leiamegi. Punkti

C

jõudes oli lennuk

A

ida-lääne sihis liikunud vahemaa

| A O | = a = 20 k m

ning põhja-lõuna sihis järelikult

| O C | = v_{2} \cdot \frac{a}{v_{1}} = 15 k m

. Järelikult

| B C | = a - | O C | = 5 k m

Kolmnurga $△ B C X$ ning
kiirusvektorite kolmikust moodustatud kolmnurga küljepikkuste võrdelisusest leiame meid huvitava pikkuse

| B X | = \frac{v_{1} \cdot | B C |}{v} = 4 k m

. Märkus: Võib arvutada ka pikkuse

| A C |

ning kasutada kolmnurkade

△ B C X

△ A C O

sarnasust.

47. Liikumine

Graafikul on kujutatud liikuva keha kiiruse sõltuvust ajast. Kui suur oli vaadeldava aja jooksul keha suurim kaugus algasendist? Kui kaugel oli keha algasendist vaadeldava ajavahemiku lõpus?

Lahendus

Ülevalpool ajatelge olev graafiku joon kirjeldab liikumist positiivses suunas, allpool ajatelge olev joon negatiivses suunas. Kuna liikumise iseloom igal etapil on erinev, tuleb arvutada iga etapi jooksul läbitud teepikkus arvestades ka liikumise suunda. Teepikkust võib arvutada graafiku joone ja ajatelje vahelise pindala kaudu. Kuna enamjaolt on tegemist ühtlaselt muutuva liikumisega, võib teepikkuse leida ka seosest

s = \frac{v + v_{0}}{2} t

Keha on algpunktist kõige kaugemal neljanda sekundi lõpus, s.o.

4 m

kaugusel. Keha lõpetab liikumise samas punktis, kus alustas.

48. Liikuv latt

Miku konstrueeris seadme, mis koosneb kahest teineteise suhtes liikuvast latist. Alumises latis on iga $30 c m$ tagant avaused, ülemise lati küljes ripuvad ühtlase vahemaa tagant elektromagnetite pooluste küljes raudkuulikesed, mille läbimõõt on veidi väiksem avause läbimõõdust. Latid asuvad vertikaalsuunas teineteisest $45 c m$ kaugusel (vt. joonis). Miku pani latid samas suunas liikuma ja vabastas kuulid järgemööda sobivatel hetkel, et need kukuksid läbi avauste alumise lati all olevasse kaussi. On teada, et alumine latt liigub ühtlaselt kiirusega $1 \frac{m}{s}$ ja ülemine latt ühtlaselt kiirusega $0, 5 \frac{m}{s}$ . Kukkumisel on kuulikese keskmine kiirus vertikaalsuunas $1, 5 \frac{m}{s}$ . Kui kaugel horisontaalsuunas peaks asuma kuulikese keskpunkt avause keskpunktist hetkel, kui kuulike vabastatakse elektromagneti küljest? Millise ajavahemiku tagant tuleks vabastada kuulikesed ja kui kaugel üksteisest peaksid ülemise lati küljes asuma kuulikesed, et seade töötaks?

Lahendus

Kuulikese kukkumise aeg

t = \frac{s}{v_{k}} = 0, 3 s

Alumine latt liigub

0, 5 \frac{m}{s}

kiiremini kui ülemine latt. Kujutades ülemist latti seisvana, saame kauguse, mille ulatuses peab kuul kukkumise hetkel eespool avaust olema

Δ s = 0, 5 \frac{m}{s} \cdot 0, 3 s = 0, 15 m = 15 c m

Kuulikeste vabastamine sõltub sellest, millal alumise lati auk jõuab kausi kohale. Kuna alumise lati kiirus on

1 \frac{m}{s}

ja avauste vahemik latis on

0, 3 m

, siis tuleb kuulikesi vabastada iga

t = \frac{0, 3 m}{1 \frac{m}{s}} = 0, 3 s

möödudes. Ülemine latt liigub

0, 3 s

jooksul

s = 0, 5 \frac{m}{s} \cdot 0, 3 s = 0, 15 m

. Järelikult, kuulikesed peavad ülemisele latile olema kinnitatud

15 c m

kaugusele.

49. Litter

Joonisel on kujutis, mille jättis pealtvaates pika säriajaga tehtud fotole lambike, mis oli kinnitatud jääl hõõrdevabalt libisevale ja pöörlevale kettakujulisele litrile. Lambi kinnituskoht asub $a = 4, 5 c m$ kaugusel litri püstteljest. Lamp põleb tuhmilt siniselt, kuid vilgatab iga $t = 0, 10 s$ järel heledamalt punaselt. Fotole on lisatud tundmatu sammuvahega ruudustik. Leidke litri edasiliikumiskiirus.

Lahendus

Esmalt paneme tähele, et trajektoori madalaima ja kõrgeima punkti vahe vertikaalsuunas peab olema $2 a$ , joonisel loeme selleks kuus ruutu, seega on ruudustiku sammuvahe $Δ = \frac{2 a}{6} = 1, 5 c m$ .

Teiseks paneme tähele, et iga pöörlemisperioodi järel kordub küll trajektoori kuju, kuid see nihkub horisontaalsuunas nelja ruudu võrra. Seega läbib litter pöörlemisperioodi jooksul vahemaa $s = 4 Δ = 6, 0 c m$ .

Kolmandaks märkame, et pöörlemisperioodi sisse mahub täpselt kolm punaste vilgatuste vahelist intervalli, seega on pöörlemisperioodi kestus $T = 3 t = 0, 30 s$ .

Neist andmeist saame litri edasiliikumiskiiruseks $v = \frac{s}{T} = 20 \frac{c m}{s}$ .

50. Paadid

Laial jõel sõidavad kaks paati, mõlema kiirused ja kiiruste suunad on konstantsed. Veevoolu kiirus on jões samuti kõikjal üks ja sama ning paralleelne kallastega. Juuresolev foto on tehtud õhust, otse ülevalt alla; paatide asukohad on tähistatud ruudu ja kolmnurgaga, paatidelt vette kukkunud praht aga tähekestega. üks paat alustas teekonda punktist $A$ ; on teada, et paadid kohtusid. Milisest jõekalda punktist alustas teekonda teine paat? Lahendus leidke geomeetrilise konstrueerimise teel.

Lahendus

Leiame paatide trajektoorid veega seotud taustsüsteemis - need on sinised jooned joonisel (kolmnurkne paat on kahe prügiga ühel joonel, seetõttu pidid need sellest paadist olema kukkunud).

Paadid kohtusid siniste joonte lõikepunktis. Kolmnurkse paadi trajektoor maaga seotud taustsüsteemis läheb läbi punkti $A$ (punane joon). Paatide kohtumispunkt maaga seotud taustsüsteemis peab olema samuti punasel joonel ning siniste joonte lõikepunktiga samal kõrgusel (lillal joonel).

Ühendades lilla ja punase joone lõikepunkti teise paadi asukohaga, leiame teise paadi trajektoori maaga seotud taustsüsteemis ning selle lähtepunkti $B$ .

51. Auto ja jalgrattur

Mööda teed sõidavad samas suunas jääva kiirusega auto ja jalgrattur. Auto liigub kiirusega $v = 25 \frac{m}{s}$ , jalgrattur kiirusega $u = 10 \frac{m}{s}$ . Mingil hetkel ületab auto esimese ristmiku, $t = 2 m i n$ hiljem ületab jalgrattur teise ristmiku. Auto möödub jalgratturist $s = 5 k m$ kaugusel teisest ristmikust. Kui suur on ristmike vaheline kaugus?

Lahendus

Auto ja jalgratta kiirused on vastavalt $v = 25 \frac{m}{s}$ ja $u = 10 \frac{m}{s}$ . Ajahetkel $t_{1} = 0$ ületab auto esimese ristmiku. Ajahetkel $t_{2} = 160 s$ ületab jalgratas teise ristmiku. Auto on ajahetkeks $t_{2}$ läbinud vahemaa

s_{1} = v t_{2} = 25 \frac{m}{s} \cdot 160 s = 4000 m = 4 k m

. Ajahetkel

t_{3}

on nii auto kui ka jalgratas

s_{2} = 5 k m

kaugusel teisest ristmikust. Jalgratas läbis vahemaa

s_{2}

ajavahemiku

t_{3} - t_{2} = \frac{s_{2}}{u} = \frac{5000 m}{10 \frac{m}{s}} = 500 s

jooksul. Auto oli sama ajavahemiku jooksul läbinud vahemaa

s_{3} = v \cdot (t_{3} - t_{2}) = 25 \frac{m}{s} \cdot 500 s = 12500 m = 12, 5 k m

Ristmike vahelise kauguse saab leida nii: kõigepealt leida vahemaa $s_{1} + s_{3}$ , mille auto läbis ajavahemiku $t_{3} - t_{1}$ jooksul, ja siis lahutada sellest vahemaa $s_{2}$ , mille jalgratas läbis ajavahemiku $t_{3} - t_{2}$ jooksul:

s = s_{1} + s_{3} - s_{2} = 3 k m + 12, 5 k m - 5 k m = 10, 5 k m

52. Pall

Avatud akna kaudu lendas tuppa väike pall. Palli ja lae vaheline kaugus vähenes kiirusega $v_{1} = 10 \frac{m}{s}$ , palli ja vastasseina vaheline kaugus - kiirusega $v_{2} = 20 \frac{m}{s}$ , palli ja kõrvalseina vaheline kaugus - kiirusega $v_{3} = 20 \frac{m}{s}$ . Pärast $t = 0, 1 s$ lendu sattus pall lae ja kõrvalseina vahelisse nurka. Toa kõrgus on $h = 2, 5 m$ , laius $d = 4 m$ ja pikkus $l = 4 m$ . Aken on mõõtmetega $a = 2 m$ ruut, mis asub seina keskel. Põrkumine toimub peegeldumisseaduse järgi ning põrkel kiiruse arvväärtus ei muutu. Palli liikumist lugeda sirgjooneliseks. Leida a) punkt akna tasapinnas, mida läbis pall tuppa sisenedes; b) punkt akna tasapinnas, mida läbib pall toast väljudes pärast mitme põrke sooritamist seintega.

Lahendus

a) Aja $t = 0, 1 s$ jooksul läbis pall vahemaa laeni $Δ h = v_{1} t = 10 \cdot 0, 1 = 1 m$ ja vahemaa kõrvalseinani $Δ d = v_{3} t = 20 \cdot 0, 1 = 2 m$ . Järelikult punkt $A$ akna tasapinnas, mida läbis pall tuppa sisenedes, asus kaugusel $1 m$ laest ja $2 m$ kõrvalseinast ehk $0, 75 c m$ akna ülemisest servast ja $1 m$ akna kõrvalservast (vt. joonis).

b) Pall saab väljuda toast kui ta jõuab tagasi akna tasapinnani, milleks ta peab läbima kauguse $2 l$ aknaga risti olevas sihis. Selleks kulub tal aeg $t_{1} = \frac{2 l}{v_{2}} = \frac{8 m}{20 \frac{m}{s}} = 0, 4 s$ . Selle aja jooksul läbib ta kõrvalseinaga risti olevas sihis kauguse $d_{1} = v_{3} t_{1} = 20 \frac{m}{s} \cdot 0, 4 s = 8 m$ ning laega risti olevas sihis kauguse $h_{1} = v_{1} t_{1} = 10 \frac{m}{s} \cdot 0, 4 s = 4 m$ .

Joonisel on näidatud palli põhimõtteline liikumisskeem seinte vahel (see ei vasta palli reaalsele trajektoorile, kuid õigesti näitab põrkumiste arvu ja trajektoori lõpp-punkti $B$ ). Järelikult punkt $B$ akna tasapinnas, mida läbis pall toast väljudes, asus kaugusel $Δ h_{1} = 0, 5 m$ põrandast ja $Δ d_{1} = 2 m$ kõrvalseinast ehk $0, 25 c m$ akna alumisest servast ja $1 m$ akna kõrvalservast (vt. joonis).

53. Rong

Auto sõidab sirgel teel jääva kiirusega $v_{A} = 72 \frac{k m}{h}$ . Paralleelselt autoteega kulgeb raudtee. Auto kaugus raudteest on $l = 35 m$ . Autojuht märkab sõitvat rongi auto küljepeeglis. Rongi kujutis liigub peeglis vasakult paremale, kusjuures iga rongi kujutise punkt jõuab peegli vasakust servast paremasse serva ajaga $t = 2, 4 s$ . Peegli laius on $d = 20 c m$ , autojuhi pea paikneb peegli suhtes nii, nagu joonisel näidatud. Millises suunas ja missuguse kiirusega sõidab rong?

Lahendus

Vaatleme situatsiooni liikuva auto suhtes. Asugu autojuht punktis $C$ . Peeglile vastab lõik KL. Jooniselt on tähistatud $C D = l$ , $K L = F G = d$ , $K F = L G = b$ , $G C = a$ , $F C = a + d$ . Autojuht näeb igal ajahetkel peegli vasakpoolses servas $K$ liikuva rongi punkti $A$ kujutist $A^{'}$ ja peegli parempoolses servas $L$ liikuva rongi punkti $B$ kujutist $B^{'}$ .

Kuna autojuht näeb peeglis rongi kujutise liikumist vasakult paremale, siis see vastab joonisel rongi punkti $A$ kujutise $A^{'}$ liikumisele joonisel üles ehk autoga samas suunas. Iga rongi punkti kujutis läbib lõigu $A^{'} B^{'}$ aja $t$ jooksul. Sarnastest kolmnurkadest $△ L G C$ ja $△ B^{'} D C$ leiame, et $B^{'} D = \frac{l b}{a} = 28 m$ , sarnastest kolmnurkadest $△ K F C$ ja $△ A^{'} D C$ leiame, et $A^{'} D = \frac{l b}{b + a} = 20 m$ , millest nüüd $s = A^{'} B^{'} = 8 m$ . Seega leiame, et rongi peegelduse kiirus on auto suhtes $v_{0} = \frac{s}{t} = 3, 33 \frac{m}{s} = 12 \frac{k m}{h}$ . Et rongi peegeldus liigub joonisel üles ehk autoga samas suunas, siis rong liigub auto suhtes kiirusega $v_{0}$ vastupidises suunas.

See tähendab, et rongi kogukiirus maapinna suhtes on $v_{R} = v_{A} - v_{0} = 60 \frac{k m}{h}$ ning rong sõidab autoga samas suunas.

54. Satelliit

Kerakujuline satelliit läbimõõduga $d = 10 m$ tiirleb orbiidil ümber Maa kõrgusel $h = 600 k m$ kiirusega $v = 8 \frac{k m}{s}$ . Kui suur on satelliidi nurkläbimõõt $φ$ (nurk, mille all satelliit paistab mapinnal asuvale vaatlejale)? Mingil ajahetkel fikseeriti Maa pealt tähe $A$ varjutuse algus satelliidi poolt (vt. joonis). Jooniselt on näha, et sellel hetkel on satelliidi keskpunkti $O$ näiva asukoha ja tähe vaheline nurkkaugus $\frac{φ}{2}$ (nurk vaatesuundade vahel tähele ja satelliidi keskpunktile). Kui suur on sellel hetkel satelliidi keskpunkti tegeliku asendi ja tähe vaheline nurkkaugus? Valguse kiirus on $c = 300000 \frac{k m}{s}$ .

Lahendus

Tähe ja satelliidi tsentri vaheline nurkkaugus vastavalt joonisele on

φ_{1} = \frac{d}{2 h}

Kuid selleks ajaks, kui Maa peal fikseeriti joonisel kujutatud hetk, oli satelliit liikunud edasi teepikkuse

s

võrra:

s = \frac{v h}{c}

Seega asub satelliidi tsenter tegelikult juba tähest paremal ning tähe ja satelliidi tsentri vaheline nurkkaugus on:

φ_{2} = \frac{\frac{v h}{c} - \frac{d}{2}}{h}

Ülaltoodud valemitest avalduvad nurgad

φ_{1}

φ_{2}

radiaanides. Kui me tahaksime avaldada need nurgad kraadides, siis peaksime korrutama tulemused avaldisega

\frac{180^{\circ}}{π}

55. Sprint

Poistest ja tüdrukutest moodustatud kooli võistkond jookseb $4 \times 400 m$ teatejooksu. Võistlejate kiiruse sõltuvus võistkonna poolt läbitud teepikkusest on toodud graafikul. Leidke võistkonna keskmine kiirus kogu distantsi läbimisel.

Lahendus

Keskmise kiiruse arvutame kogu teepikkuse ning selle läbimiseks kujunud aja kaudu. Tähistame ringi pikkuse $s$ . Jooksjate ringide ajad on vastavalt: $\frac{s}{v_{1}}$ , $\frac{s}{v_{2}}$ , $\frac{s}{v_{3}}$ ja $\frac{s}{v_{4}}$ . Summaarne aeg on mõistagi nende summa. Kogu distantsi pikkus on $4 s$ . Siit saame keskmiseks kiiruseks

v_{k e s k} = \frac{4}{\frac{1}{v_{1}} + \frac{1}{v_{2}} + \frac{1}{v_{3}} + \frac{1}{v_{4}}} = \frac{1680}{319} = 5, 3 \frac{m}{s}

56. Valguse kiirus

Esimese hinnangu valguse kiirusele andis Rømer 1675. a., uurides Jupiteri kaaslase Io liikumist. Io orbiit asetseb ligikaudu Maa orbiidi tasapinnas, nii et kaaslane kaob periooditi Jupiteri varju. Mõõtmised näitavad, et intervall kahe järjestikuse hetke vahel, kui Io ilmub nähtavale Jupiteri varjust, kõigub maksimaalselt $15 s$ ulatuses teatava keskväärtuse ( $\approx 42, 5 h$ ) ümber sõltuvalt Päikese, Maa ja Jupiteri vastastikusest asendist (vt. joonis). Teades, et Maa kaugus Päikesest on $1, 5 \cdot 10^{8} k m$ , hinda valguse kiirust. Eeldada, et Jupiteri orbitaalkiirus ümber Päikese on palju väiksem kui Maal.

Lahendus

Io tiirlemisperioodi jooksul muutub Maa ja Jupiteri vahekaugus. Kaugus muutub kõige kiiremini, kui Maad ja Jupiteri ühendav sirge on Maa orbiidile puutujaks. Aja jooksul, mis Iol kulub ühe tiiru tegemiseks, muutub Maa ja Jupiteri vahekaugus

2 π \cdot 1, 5 \cdot 10^{8} k m \cdot \frac{42, 5 h}{1 a} \approx 4, 6 \cdot 10^{6} k m

võrra. Selle täiendava vahemaa läbib valgus $15 s$ jooksul, seega valguse kiirus avaldub:

c = \frac{4, 6 \cdot 10^{6} k m}{15 s} \approx 3, 0 \cdot 10^{8} m / s

57. Veevool

Jaak otsustas katseliselt määrata veevoolu kiiruse jões. Selleks pani ta vette puutüki ja sõudis ise paadiga pärivoolu $10$ minutiga $500$ meetri kaugusel oleva märgi juurde ning pöördus sealt tagasi. Jõudnud puutükini pööras ta paadi uuesti ja $6$ minutit pärast puutükiga kohtumist jõudis ta jälle sama märgi juurde. Kui suur oli veevoolu kiirus jões ja paadi kiirus vee suhtes, kui eeldada, et puutükk liikus muutumatu kiirusega ja Jaak sõudis kogu aeg ühesuguselt? Paadi pööramiseks kulunud aega mitte arvestada.

Lahendus

Olgu $v$ - paadi kiirus ja $u$ - veevoolu kiirus. Pärivoolu sõites oli paadi kiirus kalda suhtes

v + u = \frac{500 m}{10 m i n} = 50 \frac{m}{m i n}

Kuna puutüki suhtes liigub paat nii päri- kui vastuvoolu sama kiirusega, siis pärast pööret kulus Jaagul puutükini jõudmiseks samuti

10

minutit. Seega liikus puutükk kohtumiseni paadiga

20

. Kuna pärast puutükiga kohtumist sõitis paat märgini veel

6

minutit, siis asus kohtumispaik märgist

50 \frac{m}{m i n} \cdot 6 m i n = 300 m

kaugusel. Paadi ja puutüki kohtumiskoht oli seega

500 m - 300 m = 200 m

allpool stardipaigast. Seega on veevoolu kiirus jões

u = \frac{200 m}{20 m i n} = 10 \frac{m}{m i n}

Paadi kiirus vee suhtes aga

v = 50 - 10 = 40 \frac{m}{m i n}

Teine lahendus: Seda ülesannet võib ka teistmoodi lahendada (vt. joonis). Olgu $A B = l$ - kaugus stardipunkti ja märgi vahel. Poiss ja puutükk stardivad üheaegselt punktist $A$ , kuid liiguvad erinevate kiirustega. Puutükk liigub kiirusega $u$ , poiss aga kiirusega $v + u$ . Aja $t_{1}$ möödumisel jõuab poiss punkti $B$ , läbides vahemaa $l = (v + u) t_{1}$ . Puutükk selleks ajaks läbis vahemaa $d_{1} = u t_{1}$ . Poiss pöörab tagasi ja nüüd liigub ta kiirusega $v - u$ . Kohtumishetkel puutükiga läbib ta veel vahemaa $l_{1} = (v - u) t_{2}$ , puutükk aga $d_{2} = u t_{2}$ . Nüüd pöörab poiss teist korda ja läbib veel kauguse $l_{1}$ aja $t_{3}$ jooksul kiirusega $v + u$ . Võime panna kirja järgmise võrrandisüsteemi:

t_{1} = \frac{l}{v + u}, t_{2} = \frac{l - u (t_{1} + t_{2})}{v - u}, t_{3} = \frac{l - u (t_{1} + t_{2})}{v + u}

Selles võrrandisüsteemis tuntud on

t_{1} = 10 m i n

t_{3} = 6 m i n

, tundmatud on

v

u

t_{2}

. Järelikult on see süsteem täielikult lahenduv. Avaldame

t_{2}

teisest võrrandist ja asendame

t_{1}

teises võrrandis selle avaldisega esimesest võrrandist:

v t_{2} - u t_{2} = l - u t_{1} - u t_{2}

t_{2} = \frac{l - u t_{1}}{v} = \frac{l - u l / (v + u)}{v} = \frac{v l + u l - u l}{v (v + u)} = \frac{l}{v + u} = t_{1}

Nüüd lihtsustub meie võrrandisüsteem kahe võrrandini:

t_{1} = \frac{l}{v + u}, t_{3} = \frac{l - 2 u t_{1}}{v + u}

Avaldades esimesest võrrandist

v + u

ja asendades see teises võrrandis, saame

t_{3} = \frac{l - 2 u t_{1}}{\frac{l}{t_{1}}} \Rightarrow u = \frac{l (t_{1} - t_{3})}{2 t_{1}^{2}} = 10 \frac{m}{m i n}

v = \frac{l}{t_{1}} - u = 40 \frac{m}{m i n}

58. Autod

Maanteel paiknevad valgusfoorid iga $l = 1 k m$ tagant. Iga valgusfoori punane tuli põleb $t = 30$ sekundit, siis süttib kohe roheline tuli ja põleb samuti $t = 30$ sekundit; seejärel tsükkel kordub. Kõik kiirusega $v = 40 \frac{k m}{h}$ liikuvad autod, mis mööduvad ühest valgusfoorist rohelise tulega, mööduvad ka kõigist teistest valgusfooridest rohelise tulega. Milliste teiste kiirustega võiksid autod liikuda, et möödudes ühest valgusfoorist rohelise tulega mööduksid nad ka kõikidest teistest fooridest rohelise tulega?

Lahendus

Joonistame auto liikumise graafiku. Tähistame graafikul fooride punase tule põlemise perioode pideva joonega ja rohelise tule perioode lüngaga. Kuna kiirusega $v = 40 \frac{k m}{h}$ liikuv auto läbib ühe kilomeetri $\frac{1}{40} h = 90 s e k u n d i$ jooksul, siis võivad fooride punased ja rohelised tuled jaotuda ainult nii, nagu joonisel näidatud.

Graafikult on näha, et autod suudavad läbida kõiki foore peatuseta, kui nad suudavad läbida ühe kilomeetri $30$ , $90$ , $150$ $\dots$ , $30 + 60 n$ sekundi jooksul, kus $n$ on täisarv. Seega sobiv kiirus võib omada väärtusi $V_{n} = \frac{1 k m}{(30 + 60 n) s} = \frac{120}{2 n + 1} \frac{k m}{h}$ , ehk $120 \frac{k m}{h}$ , $40 \frac{k m}{h}$ , $24 \frac{k m}{h}$ jne.

59. Autod

Punktist $A$ sõitis välja auto konstantse kiirusega $50 \frac{k m}{h}$ . $2$ tunni pärast väljus punktist $A$ samas suunas teine auto ka konstantse kiirusega. Teine auto jõudis esimesele järele punktis $B$ , mis asub punktist $A$ $200 k m$ kaugusel. Milline oli teise auto kiirus? Esitada a) teepikkuste graafikud; b) kiiruste graafikud.

Lahendus

Tähistused: $v_{1}$ - esimese auto kiirus; $v_{2}$ - teise auto kiirus; $t$ - aeg, mille pärast punktist $A$ väljus teine auto; $S$ - punktide $A$ ja $B$ vaheline kaugus.

Esimene auto sõitis aja $t_{1} = \frac{S}{v_{1}} = \frac{200}{50} = 4 h$ . Teine auto sõitis aja $t_{2} = t_{1} - t = 4 - 2 = 2 h$ . Teise auto kiirus on $v_{2} = \frac{S}{t_{2}} = \frac{200}{2} = 100 \frac{k m}{h}$ .

60. Bussiliin

Tartu-Tallinn bussiliini pikkus on $l = 185 k m$ . Buss sõidab läbi Põltsamaa ja Mäo. Tallinnast Mäoni on $l_{1} = 85 k m$ , Tartust Põltsamaani $l_{2} = 60 k m$ (vt. joonis). Tallinnast väljub Tartu poole buss kell $19.00$ ja sõidab Mäoni keskmise kiirusega $v_{1} = 75 \frac{k m}{h}$ . Mäos teeb buss $Δ t = 2 m i n$ pikkuse peatuse ja sõidab edasi Tartu poole keskmise kiirusega $v_{2} = 80 \frac{k m}{h}$ . Tartust väljub teine buss Tallinna poole kell $19.30$ . Buss sõidab Põltsamaale keskmise kiirusega $u_{1} = 80 \frac{k m}{h}$ . Seal teeb buss $Δ τ = 10 m i n$ pikkuse peatuse ja jätkab sõitu sama keskmise kiirusega Tallinna poole. Mis kell kohtuvad bussid ja kui kaugel on nende kohtumiskoht Tartust?

Lahendus

Mäost Põltsamaale on $l - l_{1} - l_{2} = 40 k m$ . Tallinna buss jõuab Mäosse $\frac{l_{1}}{v_{1}} = 1, 133 h$ pärast (kell $20.08$ ) ja väljub sealt kell $20.10$ . Tartu buss jõuab Põltsamaale $\frac{l_{2}}{u_{1}} = 45 m i n$ pärast (kell $20.15$ ) ja väljub sealt kell $20.25$ . Selleks hetkeks on Tallinna buss jõudnud Mäost juba $80 \frac{k m}{h} \cdot 0, 25 h = 20 k m$ kaugusele ja busside vahemaa on $40 k m - 20 k m = 20 k m$ . Bussid sõidavad teineteisele vastu suhtelise kiirusega $v_{2} + u_{1} = 160 \frac{k m}{h}$ . Nad kohtuvad

\frac{20 k m}{160 \frac{k m}{h}} = 0, 125 h = 7, 5 m i n

pärast ehk kell

20.32, 5

. Kohtumispunkt asub Tartust

60 k m + 0, 125 h \cdot 80 \frac{k m}{h} = 70 k m

kaugusel.

61. Golfilöök

Sarivõttega pildistati golfimängijat nii, et iga kahe pildi vahel oli ajavahemik $τ = 16 m s$ . Hinnake golfipalli algkiirust joonise abil. Pall liigub risti vaatesuunaga.

Lahendus

Lendu läinud golfipall on pildile jäädvustunud kolmes punktis. Paneme tähele, et heledaim valge täpp meile aga infot ei anna, sest see näitab vaid golfipalli algasendit enne seda, kui kepp teda lõi! Kahele järjestikkusele pildile on jäädvustunud heledast pallist paremale jäävad kaks tuhmimat valget palli kujutist. Nende ajaline vahe on $τ$ . Mõõdame pallide vahekauguse $L_{1}$ joonlauaga. Samuti mõõdame golfimängija pikkust märkivat skaalat või golfimängija pikkust $L_{2}$ . Teades, et skaalajoone pikkusele vastab $h = 1, 8 m$ saame, et golfipalli nihke pikkus kahe pildi vahel on

s = \frac{h L_{1}}{L_{2}} .

Selleks nihkeks kulunud aeg oli

τ

. Kuna golfipalli kiirus on suur, siis raskuskiirendusega me ei arvesta, loeme, et tegu on kulgliikumisega. Kiiruseks saame

v = \frac{s}{τ} = \frac{h L_{1}}{τ L_{2}} \approx 150 \frac{k m}{h}

62. Jalgratas

Graafikul (vt. joonis) on kujutatud jalgratturi kiiruse sõltuvus ajast. Millistel ajavahemikel liikus jalgrattur kiirenevalt? Milline oli jalgratturi poolt läbitud teepikkus graafikul kujutatud ajavahemiku jooksul?

Lahendus

Jalgratas liigub kiirenevalt seal, kus kiirus ei ole konstantne ja parasjagu ei vähene. Ehk ajavahemikel $2 - 3 s$ ja $4 - 5 s$ (vt. joonis). Kuna teepikkus $s = v t$ , siis jalgratturi poolt läbitud teepikkus meetrites on arvuliselt võrdne graafikul värvitud ruutude arvuga: $s = 29 m$ .

63. Jalgrattur

Joonisel on kujutatud jalgratturi liikumise graafik. Millisel teelõigul oli jalgratturi kiirus suurim? Leida selle kiiruse väärtus. Mitu peatust tegi jalgrattur? Kui kaua kestsid peatused? Kui suur oli jalgratturi keskmine kiirus tee läbimisel?

Lahendus

$a)$ Jalgratturi kiirus oli suurim lõigul $B C$ . Kiirus oli siis $v_{m a x} = \frac{s}{t} = \frac{100 m}{20 s} = 5 \frac{m}{s}$ .
$b)$ Jalgrattur tegi kaks peatust. Üks kestis $10$ ja teine $20$ sekundit.
$c)$ Jalgratturi keskmine kiirus oli $v_{k e s k} = \frac{s_{k o g u}}{t_{k o g u}} = 2, 2 \frac{m}{s}$ .

64. Kaks kuuli

Kaks kuuli (must ja valge) alustavad võrdsete kiirustega liikumist punktist $A$ mööda joonisel näidatud pindu (vt. joonis). Kummal kuulil on punkti B jõudes kiirus suurem, kas mustal või valgel? Kummal kulub kohalejõudmiseks rohkem aega? Hõõrdejõudu mitte arvestada.

Lahendus

Energia jäävuse seadusest tuleneb, et mõlema kuuli kiirused punktis $B$ on ühesugused ( $m g h = \frac{m v^{2}}{2} ⟹ v = \sqrt{2 g h}$ ).

Liikumisaja arvutamiseks paneme tähele, et kui valge ja must kuul on sooritanud võrdse kaldpinna suunalise nihke, siis valge kuul on mustast kõrgemal (kaldpinna normaali mööda ülespoole) ja energia jäävuses johtuvalt väiksema kiirusega. Valge kuuli kaldpinna-sihilise kiiruse leidmiseks tuleb niigi väiksem kiirusmoodul korrutada teatava nurga koosinusega, samal ajal kui must kuul liigub koguaeg kaldpinna sihis.

Niisiis on võrdsete kaldpinna-sihiliste nihete juures musta kuuli kiiruse kaldpinna-sihiline komponent alati suurem ning seepärast jõuab ta ka esimesena kohale.

65. Jõe ületamine

Paat sõitis üle jõe, mille laius oli $d = 120 m$ , nii, et paadi siht oli kogu aeg risti jõega. Kui suur pidi olema paadi keskmine kiirus jõevoolu suhtes, kui on teada, et paadi maabumiskoht teisel kaldal asetses $s = 12 m$ lähtekohast allavoolu? Vee voolukiirus jões oli $u = 0, 8 \frac{m}{s}$ ?

Lahendus

Paat võtab osa kahest liikumisest: sõidab risti jõge ning liigub allavoolu. Jõe laius
$d = 120 m$ ; allavoolu liikumine $s = 12 m$ .
Sõidu aeg $t = \frac{s}{u}$ .

Paadi kiirus $v_{p} = \frac{d}{t} = \frac{d u}{s}$ .

Pannes arvandmed asemele, saame

v_{p} = \frac{120 m \cdot 0, 8 \frac{m}{s}}{12 m} = 8 \frac{m}{s}

66. Püstolkuulipilduja

Korraldati katse, milles mõõdeti püstolkuulipilduja kuulide keskmist kiirust ja laskude arvu minutis. Selleks sõitsid kahel paralleelsel raudteel vastassuunas rongid. Rong, millest tulistati, sõitis katse ajal muutumatu kiirusega $72 \frac{k m}{h}$ ja rong, mis oli märklauaks, muutumatu kiirusega $36 \frac{k m}{h}$ . Rongide kaugus teineteisest oli $60 \frac{k m}{h}$ . Esimene lask tehti hetkel, kui rongiga risti oleva püstolkuulipilduja toru ots oli täpselt vastakuti teisele rongile joonistatud märgiga. Kuuliaukude asukohtade mõõtmisel täheldati, et esimene kuul oli tabanud rongi $2, 25 m$ märgist eemal ja kõikide teiste kuuliaukude kaugus üksteisest oli $2, 5 m$ . Kui suur on püstolkuulipilduja kuuli lennukiirus ja mitu lasku teeb püstolkuulipilduja minutis?

Lahendus

Kuuli lennuaeg võrdub kõrvalekalle märgist jagatud rongide suhtelise kiirusega.

t = \frac{2, 25 \frac{m}{s}}{20 \frac{m}{s} + 10 \frac{m}{s}} = 0, 075 s

Kuuli kiirus $v = \frac{60 m}{0, 075 s} = 800 \frac{m}{s}$ .

Kahe järgneva lasu vaheline aeg

T = \frac{2, 5 \frac{m}{s}}{20 \frac{m}{s} + 10 \frac{m}{s}} = 0, 0833 s

Laskude sagedus

n = \frac{60 \frac{s}{m i n}}{0, 0833 s} = 720 \frac{l a s k u}{m i n}

67. Ringrada

Juhan, Kalle ning Lauri sõidavad ringrajal jalgratastega võidu. Kõik kolm stardivad korraga ühest kohast ning iga rattur sõidab muutumatu kiirusega. On teada, et Kalle teeb Juhanile ringi sisse siis, kui Kalle on just lõpetanud viienda ringi. Lauri teeb Kallele ringi sisse siis, kui Lauri on just lõpetanud kuuenda ringi. Mitu ringi oli Juhan sõitnud, kui Lauri temast esimest korda ringiga möödus?

Lahendus

Kui Lauri lõpetas kuuenda ringi, pidi Kalle lõpetama viienda ringi ning seega Juhan neljanda. Näeme, et Lauri läbib kolm ringi selle ajaga, mis Juhanil kulub kahe läbimiseks, järelikult mööduti Juhanist esimest korda ringiga siis, kui ta oli lõpetanud oma teise ringi.

68. Liiklusummik

Autod seisavad punase fooritule taga tiheda kolonnina, kus kahe järjestikuse auto esiotste vaheline kaugus on keskmiselt $l_{0} = 6 m$ ning autode rivi pikkus $L_{0} = 150 m$ . Peale rohelise tule süttimist hakkavad autod järjest liikuma ning saavutavad kiiruse $v = 50 \frac{k m}{h}$ . Kiiruse $v$ saavutanud autode esiotste vaheline kaugus $l = 30 m$ . Lihtsuse mõttes jätke arvestamata autode kiirendamisele kuluv aeg. Kui kaua alates rohelise tule süttimisest peab viimane auto ootama, enne kui saab liikuma hakata? Kas ta jõuab üle ristmiku juba esimese rohelise tulega või peab uuesti punase tule taha ootama jääma? Rohelise tule kestus on $t = 1 m i n$ .

Lahendus

Selleks hetkeks, kui liikuma hakkab viimane auto, on autoderivi pikkuseks kujunenud ligikaudu $L = \frac{l}{l_{0}} L_{0}$ . Järelikult esimene auto pidi läbima selleks hetkeks vahemaa $s = L - L_{0} = L_{0} (\frac{l}{l_{0}} - 1)$ , milleks kulub aega

Δ t = \frac{s}{v} = \frac{L_{0}}{v} (\frac{l}{l_{0}} - 1) = 43, 2 s .

Viimane auto peab läbima vahemaa $L_{0}$ , et jõuda ristmikuni, milleks kulub tal aega $t_{s ˜ o it} = L_{0} / v = 10, 8 s$
Kogu aeg ristmikuni jõudmiseks on seega $Δ t + t_{s ˜ o it} = 54 s$ . Seega jõuab ka viimane auto rohelise tulega üle ristmiku.

69. Rong

Kaubarong läbis kahe jaama vahelise teelõigu keskmise kiirusega $36 \frac{k m}{h}$ . Kogu sõiduajast esimese $\frac{2}{3}$ vältel liikus rong ühtlaselt kiirenevalt ja saavutanud maksimaalse kiiruse, hakkas kohe pidurdama liikudes pidurdamise ajal ühtlaselt aeglustuvalt. Kui suur oli rongi maksimaalne kiirus kahe jaama vahelisel teel?

Lahendus

Idee asendada muutuvate kiirustega liikumine keskmiste kiirustega liikumistega. Kiireneva või aeglustuva liikumise korral alg- ja lõppkiiruse asendamine keskmise kiirusega $v = \frac{v_{0} + v_{m a x}}{2}$ .

Mõlemal juhul üks kiirustest on võrdne nulliga $v_{0} = 0 \frac{k m}{h}$ . Jaamadevahelise teepikkuse avaldamine lõikude ja kogu keskmiste kiiruste kaudu seosega $s = \frac{v_{m a x}}{2} \frac{2 t}{3} + \frac{v_{m a x}}{2} \frac{t}{3} = v_{k e s k m} t$ . Maksimaalse kiiruse avaldamine $v_{m a x} = 2 v_{k e s k m}$ ehk $72 \frac{k m}{h}$ .

70. Jõgi

Jõel vastuvoolu sõitev mootorpaat möödub kaldal olevast suurest kivist ja kohtab kivi juures allavoolu liikuvat parve. $10$ minutit pärast kohtumist hakkab mootorpaat sõitma pärivoolu ja jõuab parvele järele siis, kui see on kivist $500 m$ kaugusel. Kui suur on voolukiirus jões? Mootorpaat liigub üles- ja allavoolu vee suhtes sama kiirusega.

Lahendus

Lähme üle taustsüsteemi, kus vesi ei voola. Sel juhul kuluks mootorpaadil tagasisõiduks $10$ minutit ning kogu süiduaeg oleks $20 m i n$ . Seega ujub parv kivi juurest allajõge $20$ minutit ning siis möödub parvest mootorpaat. Jõevoolukiirus avaldub

v = \frac{s}{t} = \frac{\frac{1}{2} k m}{\frac{1}{3} h} = 1, 5 \frac{k m}{h}

71. Bussid

72. Kolksatused

Raudteerööbas on $25 m$ pikk. Kui pika aja vältel tuleks lugeda vaguni ühe telje rataste kolksatusi, et nende arv võrduks vaguni kiirusega kilomeetrites tunnis?

Lahendus

Vaguniratta kolksatus toimub ratta üleminekul ühelt rööpalt järgmisele rööpale. Teatud arvu kolksatuste jooksul läbib vagun vahemaa $n s$ , kus $n$ on kolksatuste arv ja $s$ rööpa pikkus.

Kuna $s = v t$ , saab panna kirja seose $n s = v t$ . Teisendades kiiruse $v = \frac{n \cdot 1000}{3600}$ , saab seose avaldada kujul $n \cdot 25 = \frac{n \cdot 1000}{3600} \cdot t$ , millest $t = 90 s$ .

73. Võidusõiduautod

Võidusõiduauto keskmine kiirus ringrajal peetud treeningu jooksul oli $v = 50 \frac{m}{s}$ . Kui arvutati peale esimese ja teise kõikide ülejäänud sõidetud ringide keskmine kiirus, leiti, et see oli täpselt sama, $50 \frac{m}{s}$ . Esimese ringi läbimiseks kulus aega $t_{1} = 107 s$ . Kui palju aega kulus teise ringi läbimiseks? Ühe ringi pikkus oli $l = 5150 m$ .

Lahendus

Paneme tähele, et võidusõiduauto keskmine kiirus esimese kahe ringi jooksul peab samuti olema $v = 50 \frac{m}{s}$ , ehk siis $v = \frac{2 l}{t_{1} + t_{2}}$ . Sellest saame, et $t_{2} = \frac{2 l}{v} - t_{1}$ , $t_{2} = 99 s$ .

74. Orav

Orav kasutab liikumiseks reisirongide katuseid. Istudes jaamas peatunud rongi katusel, märkab orav, et kõrvalteel liigub rong kiirusega $v = 36 \frac{k m}{h}$ . Kui rongid on kohakuti, hüppab orav mööduva rongi katusele, püüdes maanduda vaguni lähemast servast võimalikult kaugele. Teisest rongist üle hüpata ta siiski ei suuda. õhus on orav $t_{1} = 0, 5 s$ . Uues asukohas talle aga ei meeldi ja $t_{2} = 2 s$ pärast hüppab ta maandumiskohast samamoodi tagasi. Kui suur on orava endise ja uue asukoha vahekaugus esimese rongi katusel? Maandumisel orav ei libise.

Lahendus

Vaatleme orava liikumist seisva rongiga seotud taustsüsteemis piki raudteed suunatud koordinaattelje sihis ( $x$ -telg).

Jõudmaks maksimaalsele kaugusele vaguni servast, peab orav esimene hüpe toimuma risti valitud koordinaattelje sihiga, tema kiirus piki $x$ -telge on null ja $x$ -koordinaadi väärtus ei muutu. Teise rongi vaguni katusel liigub orav valitud (seisva rongiga seotud) taustsüsteemis kiirusega $v$ ja läbib vahemaa $v t_{1}$ .

Tagasihüppel, mis toimub nüüd risti $x$ -teljega aga teise rongiga seotud taustsüsteemis (see tagab jälle maandumiskoha maksimaalse kauguse vaguni servast) on orava kiirus seisva vaguniga seotud taustsüsteemis $v$ (teise rongi kiirus) ja ta läbib selles tausüsteemis piki $x$ -telge vahemaa $v t_{2}$ .

Seega on orava endise ja uue asukoha vahe seisva vaguni katusel $s = v (t_{1} + t_{2}) = 10 (2 + 0, 5) = 25 m$ .

75. Mootorpaat

Hetkel, mil sadamast möödus parv, alustas sealt pärivoolu mööda jõge liikumist mootorpaat, mis suundus allavoolu $s_{1} = 15 k m$ kaugusel olevasse asulasse. Paat jõudis asulani $t = 45$ minutiga ning pöördus kohe tagasiteele. Asulast $s_{2} = 9 k m$ ülesvoolu kohtas paat parve. Kui suur on voolu kiirus jões ja paadi kiirus seisvas vees?

Lahendus

Vaatleme paadi liikumist parvega seotud taustsüsteemis. Allavoolu sõites viib jõe vool mõlemat kaasa ning paat eemaldub parvest kauguse $Δ s = s_{1} - s_{2} = v_{p} t$ võrra. Kuivõrd ka paadi ülesvoolu sõites viib vool mõlemat võrdselt allavoolu, tuleb sama vahemaa paadil parvega seotud taustsüsteemis läbida ka tagasisõites. Seega kulub tagasisõidule parvega kohtumiseni samuti 45 minutit.
Parv läbib selle ajaga vahemaa $s = s_{1} - s_{2}$ , mis on $6 k m$ . Vee voolukiirus jões on seega

v_{j} = \frac{s_{1} - s_{2}}{2 t} = 4 \frac{k m}{h}

Paadi kiiruse saame arvutada seosest

s_{1} = (v_{p} + v_{j}) t

, millest

v_{p} = 16 \frac{k m}{h}

76. Trepp

Juku kõndis vanaema Juulaga trepist üles. Juku kõndis trepist üles kiirusega $v_{1}$ (korrust/minutis). Kui ta jõudis viiendale korrusele, siis hakkas ta alla tulema kiirusega $v_{2}$ . Juku ja vanaema kohtusid teisel korrusel. Mitmendale korrusele jõuaks Juku ajaga, mis vanaemal kulub viiendale korrusele minekuks? Juku liigub trepist alla kaks korda kiiremini kui üles. Maja esimene korrus asus maapinnal.

Lahendus

Kui esimene korrus asub maapinnal, siis teisele korrusle jõudmiseks tuleb tõusta ühe korruse võrra ja viiendale korrusele jõudmiseks on vaja tõusta $4$ korrust. Olgu Juula kiirus $v_{3}$ . Juulal ja Jukul kulus teise korruseni jõudmiseks sama aeg:

\frac{4}{v_{1}} + \frac{3}{2 v_{1}} = \frac{1}{v_{3}}

kust leiame

v_{1} = 5, 5 v_{3}

Kui Juula jõuab viiendale korrusele, siis oleks Juku tõusnud $\frac{4}{v_{3}} \cdot 5, 5 v_{3} = 22$ korrust, seega jõuaks ta $23.$ korrusele.

77. Liiklushuligaan

Liiklushuligaan sõidab Tartust Tallinnasse ja tagasi. Tavaliselt sõidab ta teel kiirusega $v_{1} = 120 \frac{k m}{h}$ , kuid $s = 1 k m$ enne kiiruskaamerat sõidab ta kiirusega $v_{2} = 80 \frac{k m}{h}$ . Teel Tallinnast Tartusse on kaks kiiruskaamerat rohkem kui vastassuunas. Mitu minutit sõidab liiklushuligaan Tallinnast Tartusse kauem kui vastassuunas? Eeldage, et kiiruskaamerate vahemaad linnadest ja omavahel on suuremad kui $s = 1 k m$ .

Lahendus

Liiklushuligaan sõidab Tallinnast Tartusse kauem, sest sel sõidusuunal on kaks kiiruskaamerat rohkem kui vastassuunas.

Teel Tallinnast Tartusse sõitis liiklushuligaan kiirusega $v_{1} = 80 \frac{k m}{h}$ kaks kilomeetrit rohkem kui vastassuunas.

Vastassuunas sõites läbis liiklushuligaan need kaks kilomeetrit kiirusega $v_{2} = 120 \frac{k m}{h}$ . Leiame, kui palju erinevad vahemaa $2 s = 2 k m$ läbimiseks kulunud ajad, sõites kiirusega $v_{1}$ ja sõites kiirusega $v_{2}$ :

t = \frac{2 s}{v_{1}} - \frac{2 s}{v_{2}}

kust

t = 0, 5 m i n

Seega sõitis liiklushuligaan Tallinnast Tartusse $0, 5$ minutit kauem kui Tartust Tallinnasse.

1.3 Jõud

1.3.1 Mida peab nende ülesannete lahendamiseks teadma ja oskama

Kehade liikumine

Teab, et igal kehal on massikese ja et kehade takistuseta liikumisel see liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt, sõltumata keha kujust.

Jõud. Jõudude liitmine. Vektorid.

Ülesannetes esinevad jõud: veojõud, hõõrdejõud, toeraektsioon. üleslükkejõud (Archimedese seadus).
Reaktiivjõud selles kontekstis on ...
Jõudude liitmine ühel teljel.
Koostab ülesannete lahendamisel jooniseid, kuhu on märgitud jõud, samuti nende vertikaal- ja horisontaalprojektsioonid.
Arusaamine, et jõudusid, mis mõjuvad erinevates suundades, ei saa aritmeetiliselt kokku liita, isegi kui arvestada nende suundi. Kui jõud mõjuvad erinevates suundades, siis tuleb see jagada komponentideks nii, et ühes sihis mõjuvaid komponente on võimalik liita ja lahutada.

Matemaatiline analüüs. Algebralised teisendused.

Arvu ruut ja ruutjuur kui pöördtehted.
Võib esineda ülesandeid, kus lahenduseks on vajalik võrrandisüsteemi koostamine.

Kangi seadus. Jõumoment

Oskab kasutada kangi tasakaalu tingimust F1l1=F2l2 kangi ülesannete lahendamisel.
Teab, et Fl on jõumoment.
Oskab taandada suvaliste kujudega kehade ja jõudude ülesandeid kangi ülesanneteks, kui need sisaldavad endas kehade pöördliikumist ümber mingi telje. Kujutab neid suvalisi kehasid joonisel kui kange.
Teab, et kangi tasakaalu tingimust saab rakendada ka kangi korral, mis ei ole tasakaalus, st millele mõjuvad jõud ei ole risti kangi õlgadega.
Saab aru, et kui kang (üldistatud) ei ole tasakaalus, siis tekib pöördliikumine. Pöördliikumise kiiruse kohta me ei oska ega saa midagi öelda.

Ülesanded

1. Aerosaan

Aerosaan veab kahte võrdse massiga kelku (vt. joonis). Kelgu mass võrdub aerosaani massiga. Kelkude ja aerosaani suuskade ehitused ja hõõrdeomadused on ühesugused. Mingil kiirusel $v_{1}$ näitab kahe kelgu vahele rakendatud dünamomeeter jõudu $F$ . Kui suurt veojõudu $T$ peab avaldama aerosaani propeller kiirusel $v_{2} = 2 v_{1}$ , kui $m g = 4000 N$ ( $g$ väärtus on $10 m / s^{2}$ ). Suuruse $χ = \frac{F}{m g}$ sõltuvus kiirusest on esitatud graafikul.

Lahendus

Tuleb taibata, et propelleri tõmme $T$ ei võrdu aerosaani poolt kelkudele avaldatud tõmbega. Tõmme $T$ jaguneb kolme sarnaste hõõrdeomadustega keha vahel, seega alati

F = \frac{T}{3}

Leiame jõu $F$ kiiruse $v_{2}$ jaoks graafikult - see on:

F_{v_{2}} = 0, 35 \cdot 4000 N = 1400 N

Seega propelleri tõmbejõud avaldub:

T = 3 \cdot 1400 N = 4200 N

Kitsa põhjaga anumas on vesi (vt joonis). Anuma külgedest ühekaugusel ujub puidust keha. Kas anum läheb ümber, kui keha sujuvalt nihutada anuma ääre suunas? Vastust põhjendada.

Lahendus

Anum ei lähe ümber. Archimedese seaduse põhjal keha ujumisel on klotsile mõjuvad jõud tasakaalus, ükskõik kas ta asetseb vedeliku keskel või ääres.

Väike Joosep nägi vanas teadusajakirjas juhendit munakoorest aurulaeva ehitamiseks. Munasse tuleb torgata väike auk, sisu välja imeda ja asemele panna veidi vett. Küünla kohal kuumutades läheb vesi keema ning august väljuv aurujuga panebki laeva liikuma.

Joosepi vanem vend Juhan oli aga koolis juba füüsikat õppinud ning otsustas eksperimentaalselt mõõta niisuguse seadme reaktiivjõudu. Muna mudelina kasutas ta õhukeste, kuid tugevate seintega hermeetilist, tundmatu massiga kuubikut, mille vertikaalse külje sisse puuris augu. Kuubiku ühendas ülemistest tippudest $L = 2 m$ pikkuste vertikaalsete nööridega lae külge rippuma (et takistada kuubiku pöörlemahakkamist ning ühtlasi tagada kuubi külgede horisontaalsus/vertikaalsus kõrvalekaldumisel tasakaaluasendist). Kuubikusse pani $m_{v e s i} = 75 g$ vett ning hakkas kuubiku põhja piirituslambi ühtlase leegiga kuumutama (hoides leeki kogu eksperimendi kestel kuubiku põhja all).

Alates vee keema hakkamisest registreeris Juhan ühtlaste intervallidega kuubiku horisontaalsihilise kõrvalekalde $x$ algasendist. Graafiku viimane punkt vastab ligikaudu hetkele, mil kogu vesi oli ära keenud. Leidke reaktiivjõud $F$ , mida avaldab väljuv aurujuga kuubikule.

Lahendus

Joonistame välja kuubile mõjuvad jõud. Võrdelistest täisnurksetest kolmnurkadest saame tingimuse

\frac{F}{M g} = \frac{x}{\sqrt{L^{2} - x^{2}}},

kus liikme

\sqrt{L^{2} - x^{2}}

võime lihtsuse mõttes asendada konstantse väärtusega

L

, kuna eksperimendis registreeritud suurima kõrvalekalde korral oleks sel juhul tehtav suhteline viga vaid

1 - \frac{2000}{\sqrt{2000^{2} - 35^{2}}} \approx 0, 01 %

Niisiis lähtume ülesande lahendamisel seosest

\frac{x}{L} \approx \frac{F}{M g} ⟹ x \approx \frac{F L}{M g}

Ilmselt aja jooksul mass väheneb ning kõrvalekaldenurk suureneb. Graafikult hindame, et keema hakkamise hetkel on nihe

x_{a l g} \approx 8 m m

, millele vastab kogumass

M_{a l g} = m_{k u u p} + m_{v e s i}

. Lõpphetkel aga

x_{l ˜ o p p} \approx 34 m m

ning kuna nüüdseks on kogu vesi aurustunud, tuleb arvesse vaid kuubi enda mass

M_{l ˜ o p p} = m_{k u u p}

. Lugedes jõu

F

protsessi vältel konstantseks, saame võrrandi:

\frac{x_{l ~ o p p}}{x_{a l g}} = \frac{\frac{F L}{g M_{l ~ o p p}}}{\frac{F L}{g M_{a l g}}} = \frac{M_{a l g}}{M_{l ~ o p p}} = \frac{m_{k u u p} + m_{v e s i}}{m_{k u u p}} = 1 + \frac{m_{v e s i}}{m_{k u u p}}; \frac{m_{v e s i}}{m_{k u u p}} = \frac{34}{8} - 1 \approx 3, 2

mistõttu

m_{k u u p} \approx 23 g

ning reaktiivjõuks saame

F = \frac{g x_{l ~ o p p} m_{k u u p}}{L} \approx 3, 9 m N .

Üksteise kohale on seinale liigenditega kinnitatud kaks horisontaalset varrast, mõlemad pikkusega 2 $l$ . Ülemisel on liigend keskel, alumisel aga vasakpoolsest otsast kaugusel $a$ , kusjuures $a > l$ . Varraste kohakuti paiknevaid otsi ühendavad venimatud nöörid. Ülemise varda vasakpoolse otsa peale kinnitatakse raske muna massiga $m$ . Leidke nööride tõmbejõud - vasakpoolsel $T_{1}$ ja parempoolsel $T_{2}$ . Varraste masse mitte arvestada.

Lahendus

Käsitleme vardaid kangidena ja kirjutame neile mõjuvate jõumomentide tasakaalud vastavate liigendite suhtes (ehk kangide harilikud tasakaalutingimused).

(m g + T_{1}) l = T_{2} l \Rightarrow T_{2} = T_{1} + m g = ⇑ m g (\frac{2 l - a}{2 (a - l)} + 1) = \frac{m g a}{2 (a - l)} T_{1} a = T_{2} (2 l - a) \Rightarrow T_{1} ⇓ = \frac{m g}{\frac{a}{2 l - a} - 1} = \frac{m g (2 l - a)}{2 (a - l)}

Joonisel toodud kangi tumedam pool on tehtud materjalist tihedusega $ρ_{2} = 4, 5 g / c m^{3}$ , heledam pool aga materjalist tihedusega $ρ_{1} = 2, 5 g / c m^{3}$ . Alguses on kang tasakaalus. Siis asetatakse punkti $C$ keha massiga $M = 60 g$ . Leidke, millise massiga keha tuleks asetada punkti $A$ , et kang jääks tasakaalu.

Lahendus

Leiame kangi toetuspunkti asukoha. Kuna alguses oli kang tasakaalus, siis asub toetuspunkt seal, kus kangi massikesegi. Olgu kangi pikkus $l$ . Tema poolte massikeskmed asuvad kaugusel $\frac{1}{4} l$ ja $\frac{3}{4} l$ punktist $A$ . Kuna varda mõlemad pooled on sama ruumalaga, siis võime kangi enda massikeskme leidmisel asendada massi tihedusega, kuna ruumalad taanduksid välja. Mass ja tihedus on seotud:

ρ = \frac{m}{V}

Punktist

A

asub siis kangi enda massikese kaugusel

l_{A} = \frac{\frac{l ρ_{1}}{4} + \frac{3 l ρ_{2}}{4}}{ρ_{1} + ρ_{2}} = \frac{ρ_{1} + 3 ρ_{2}}{ρ_{1} + ρ_{2}} \frac{l}{4}

Punktist

C

asub see siis kaugusel

l_{C} = \frac{3 ρ_{1} + ρ_{2}}{ρ_{1} + ρ_{2}} \frac{l}{4} ⟹ \frac{l_{C}}{l_{A}} = \frac{3 ρ_{1} + ρ_{2}}{ρ_{1} + 3 ρ_{2}}

Kui me asetame kaks keha kangi otsadele, siis on nende tekitatud jõumomendid võrdsed. Kuna keha massiga

M

asetati kangi tumedamale otsale, siis kehtib võrdus

m l_{A} = M l_{C}

, kus

m

on teise keha mass. Siit

m = \frac{l_{C}}{l_{A}} M = 45 g

Alumiiniumvarda ühte otsa on riputatud koormis massiga $m_{1} = 100 g$ ja sellest $d = 20 c m$ kaugusele koormis massiga $m_{2} = 200 g$ (vt. joonis). Kust tuleks toetada varrast, et see oleks tasakaalus, kui varda pikkus on $l = 1 m$ , varda ristlõikepindala $S = 1 c m^{2}$ ja alumiiniumi tihedus on $ρ = 2700 \frac{k g}{m^{3}}$ ? Tehke joonis.

Lahendus

Leiame varda massi:

M = V ρ = l \cdot S \cdot ρ = 1 m \cdot 0, 0001 m^{2} \cdot 2700 k g / m^{3} = 0, 27 k g

Me võime lugeda vardale mõjuva raskusjõu koondunuks tema masskeskmesse, mis asub varda koormatud otsast kaugusel

l / 2

. Olgu tasakaalustamiseks vajaliku toetuspunkti kaugus varda koormatud otsast

L

. Summaarne jõumoment, millega varrast sel juhul ümber toetuspunkti pööratakse, peab võrduma nulliga:

m_{1} g (L - 0) + m_{2} g (L - d) + M g (L - l / 2) = 0

Siit saame avaldada

L = \frac{m_{2} d + M l / 2}{m_{1} + m_{2} + M} = 0, 30 m

Ühtlase kangi pikkus $l = 2 m$ ja mass $m = 10 k g$ . Tema parempoolsele otsale mõjub jõud $F_{1} = 50 N$ (vt. joonis). Kui suurt ja mis suunas mõjuvat jõudu $F$ tuleb rakendada kangi vasakpoolsele otsale, et kang oleks tasakaalus?

Lahendus

Kangi $l = 2 m$ parempoolse osa pikkus ja mass avalduvad:

l_{1} = 1, 2 m

m_{1} = 10 \cdot \frac{1, 2}{2} = 6 k g

Kangi vasakpoolse osa pikkus ja mass avalduvad:

l_{2} = l - l_{1} = 2 - 1, 2 = 0, 8 m

m_{2} = 10 - m_{1} = 4 k g

Kangi paremale ja vasakule osale mõjuvad raskusjõud:

P_{1} = m_{1} g = 6 \cdot 10 = 60 N

P_{2} = m_{2} g = 4 \cdot 10 = 40 N

Raskusjõu rakenduspunkt on massikeskme asukohas, ehk mõlemale kangi poolele mõjuva raskusjõu õlg on pool pikkusest. Kang on tasakaalus kui tema otsdele mõjuvad jõumomendid on võrdsed. Kangi tasakaaluvõrrand avaldub:

F_{1} \cdot l_{1} - P_{1} \cdot \frac{l_{1}}{2} = F \cdot l_{2} - P_{2} \cdot \frac{l_{2}}{2}

50 \cdot 1, 2 - 60 \cdot 0, 6 = F \cdot 0, 8 - 40 \cdot 0, 4 \Rightarrow 60 - 36 = F \cdot 0, 8 - 16

F = \frac{60 - 36 + 16}{0, 8} = 50 N

Kangi paremale ja vasakule osale mõjuvate raskusjõudude

P_{1}

P_{2}

asemel võib võtta kogu kangi raskusjõu

P

, mis mõjub kangi raskuskeskmele kaugusel

l_{k} = 1 m

kangi mõlemast servast. Sel juhul on raskusjõu õlg

l_{P} = 0, 2 m

ja kangi tasakaalu võrrand on selline:

F_{1} \cdot l_{1} - P \cdot l_{P} = F \cdot l_{2}

50 \cdot 1, 2 - 100 \cdot 0, 2 = F \cdot 0, 8 \Rightarrow 60 - 20 = F \cdot 0, 8

F = \frac{60 - 20}{0, 8} = 50 N

Poiss veab enda järel köit, mille pikkus on $L = 8 m$ . Mööda maad lohiseva osa pikkus on $l = 6 m$ , köie kogumass on $m = 2 k g$ . Millise jõuga peab poiss köit tirima? Hõõrdetegur köie ja maapinna vahel $μ = 0, 6$ . Hõõrdeteguriks nimetatakse hõõrdejõu ja raskusjõu suhet.

Lahendus

Kiirenduseta liikumise puhul on jõud tasakaalus ning seetõttu peab poiss tõmbama jõuga $\to F =_{h} + \frac{L - l}{L} m \to g$ , kus maapinna toereaktsioon $\to N = - \frac{m l \to g}{L}$ ja horisontaalse hõõrdejõu $_{h}$ moodul $F_{h} = μ N$ . Kui suunata $x$ -telg poisi liikumise suunas ja $y$ telg üles, siis on $\to F$ projektsioon horisontaalteljele $F_{x} = - \frac{μ m g l}{L}$ ning vertikaalteljele $F_{y} = \frac{m g (L - l)}{L}$ . Mooduli leiame Pythagorase teoreemist:

F = m g \sqrt{{(1 - \frac{l}{L})}^{2} + {(μ \frac{l}{L})}^{2}} \approx 10 N

Milline horisontaalsuunaline jõud $F$ on vaja rakendada homogeensele rullile punktis $A$ , et veeretada ta üle klotsi kõrgusega $h$ ? Rulli mass on $m$ .

Lahendus

$F$ - rullile rakendatud väline jõud;

$R$ - rulli raadius;

$h$ - klotsi kõrgus;

$L$ - välise jõu õlg punkti $B$ suhtes;

$d$ - raskusjõu õlg punkti $B$ suhtes;

$m$ - rulli mass;

$g$ - vabalangemise kiirendus.

Jõumoment paneb keha pöörlema. Rull hakkab pöörlema, kui välise jõu tõttu tekkinud jõumoment saab suuremaks kui raskusjõu tõttu tekkinud jõumoment. Jõud on alati risti jõuõlaga. Kuna on vaja saada üle klotsi parema tipu (joonisel punkt $B$ ), siis jõuõlgu vaadataksegi punkti $B$ suhtes.

L = 2 R - h, d = \sqrt{R^{2} - (R - h)^{2}} = \sqrt{2 R h - h^{2}} = \sqrt{h \cdot (2 R - h)}

F L = m g d \Rightarrow F \cdot (2 R - h) = m g \cdot \sqrt{h \cdot (2 R - h)} \Rightarrow F = m g \cdot \sqrt{\frac{h}{2 R - h}}

Sõudja tõmbab aerusid 20 korda minutis. Ühe tõmbe jooksul liigub paat edasi $1, 5 m$ , kusjuures sõudja rakendab kummagi käega jõudu $250 N$ . Aeru pikkus tullidest (aeru kinnituskoht) labani on $1, 5 m$ ja tullidest kinnihoidmiskohani on $0, 5 m$ . Arvuta sõudja keskmine võimsus. Tõmbe ajal on aerulaba vee suhtes paigal.

Sõudja tõmbab aerusid 20 korda minutis. Ühe tõmbe jooksul liigub paat edasi $1, 5 m$ , kusjuures sõudja rakendab kummagi käega jõudu $250 N$ . Aeru pikkus tullidest (aeru kinnituskoht) labani on $1, 5 m$ ja tullidest kinnihoidmiskohani on $0, 5 m$ . Arvuta sõudja keskmine võimsus. Tõmbe ajal on aerulaba vee suhtes paigal.

Lahendus

$n = 20$ - aerutõmmete arv aja $t$ jooksul;

$t = 1 m i n$ - vaatlusalune ajavahemik;

$s_{1}$ = ühe tõmbe jooksul aeru kinnihoidmiskoha poolt läbitud kaugus;

$s_{2} = 1, 5 m$ - ühe tõmbe jooksul aeru laba poolt läbitud kaugus;

$L_{1} = 0, 5 m$ - kaugus aeru kinnihoidmiskohast tullideni;

$L_{2} = 1, 5 m$ - kaugus tullidest labani;

$k = 2$ - aerude arv.

Kaks kolmnurka joonisel on sarnased, järelikult $s_{1} = s_{2} \cdot L_{1} / L_{2}$ . Inimese poolt aja $t$ jooksul tehtav töö on

A = k F s_{1} n = \frac{k F n s_{2} L_{1}}{L_{2}}

Inimese poolt arendatav võimsus on

N = \frac{A}{t} = \frac{k F n s_{2} L_{1}}{L_{2} t} \approx 83 W

Kuidas tuleks joonisel näidatud kolm tellist nihutada, et kõige peal asuva tellise horisontaalne nihe kõige alumise tellise suhtes oleks maksimaalne? Kui suur see nihe on? Põhjendage vastust.

Lahendus

Vaatleme kõiki alumisele telliskivile asetatud telliskive kui ühte tervikut ning uurime saadud süsteemi masskeskme vertikaalprojektsiooni horisontaalsele pinnale. Süsteem on tasakaalus kui see projektsioon ei ületa alumise telliskivi serva.

Kuna tegemist on ühtlase tihedusega telliskividega, siis ühe telliskivi massikese asub täpselt tellise keskel ehk kõige ülemist kivi saab keskmise suhtes nihutada $\frac{1}{2} l$ võrra. Nüüd tuleb leida kahe ülemise kivi ühine massikese nõnda, et kõige ülemine kivi on keskmise suhtes $\frac{1}{2} l$ võrra nihkunud ehk nende kahe kivi kokkupuutepind on ka $\frac{1}{2} l$ . Nii ülemisel kui ka alumisel telliskivil on kokkupuutepinnast kummalgil pool võrdne osa massi.Seega kahe kivi massikese asub kokkupuutuva pinna keskel ehk keskmise kivi paremast servast kaugusel $\frac{1}{4} l$ .

Homogeenne telliskivi pikkusega $L$ on asetatud horisontaalsele pinnale. Selle telliskivi peale pannakse samasuguseid telliskive nii, et iga järgmise telliskivi serv on nihutatud eelmise suhtes $\frac{L}{4}$ võrra. Mitu telliskivi võib niiviisi paigutada, et konstruktsioon jääks püsivaks?

Lahendus

Olgu alumise telliskivi järjekorranumber 0, järgmise - 1 jne. Vaatleme kõiki alumisele telliskivile asetatud telliskive kui ühte tervikut ning uurime saadud süsteemi masskese vertikaalprojektsiooni horisontaalsele pinnale. Süsteem on tasakaalus kui see projektsioon ei ületa alumise telliskivi serva. Kui me suuname $x$ -telje horisontaalselt ning nullpunktiks valime alumise telliskivi keskpunkti koordninaadi $x_{0}$ , siis peab ülejäänud telliskivide masskeskme projektsioon $x$ -teljele olema väiksem kui $\frac{L}{2}$ . Tehtud eelduste puhul on esimese telliskivi masskeskme koordinat $x_{1} = \frac{L}{4}$ , teise - $x_{2} = 2 \frac{L}{4}$ , kolmanda - $x_{3} = 3 \frac{L}{4}$ , neljanda - $x_{4} = 4 \frac{L}{4}$ jne.
Kahe esimese telliskivi summaarne masskese asub punktis

x_{12} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{\frac{L}{4} + 2 \frac{L}{4}}{2} = 3 \frac{L}{8}

Kuna

3 \frac{L}{8} < \frac{L}{2}

, siis kahest telliskivist koosnev süsteem püsib alumisel telliskivil. Kolmest telliskivist koosneva süsteemi masskeskme koordinaat on

x_{123} = \frac{\frac{L}{4} + 2 \frac{L}{4} + 3 \frac{L}{4}}{3} = 6 \frac{L}{12} = \frac{L}{2}

Näeme, et saadud arv võrdub eelnevalt arvutatud kriitilise väärtusega ja järelikult 3 ongi maksimaalne telliskivide arv, mida saab asetada alumisele telliskivile. Koos alumise telliskiviga annab see kokku

N = 4

$2 m$ kõrge ja $1 m$ lai uks püsib uksehingedel, mis on $10 c m$ kaugusel ukse ülemisest ja alumisest äärest. Ukse mass on $36 k g$ . Kui suure jõuga tõmbab uks ülemist hinge horisontaalsuunas?

Lahendus

Uks on kui kang, mis saab pöörelda ukse tasandis, mille paneb pöörlema jõumoment. Kuna tahame leida ülemisele uksehingele mõjuvat jõudu, siis kujutame ette, et uks tahab hakata pöörlema ümber alumise uksehinge. Kuna uks on stabiilselt paigal ehk ta ei pöörle, siis peab raskusjõu poolt tekitatud jõumoment võrduma ülemise uksehinge poolt tekitatud jõumomendiga. Raskusjõud on rakendatud ukse keskpunkti ja tema jõuõlg on seega $l_{1} = \frac{1}{2} m$ . Ülemine uksehing takistab pöörlemist ja mõjub uksele vastassuunalise jõuga, tema jõuõlg on kaugus alumise kinnituskohani ehk $l_{2} = 2 - 0.2 = 1.8 m$ .

Kangi reeglist
$F_{1} l_{1} = F_{2} l_{2}$ , kus $F_{1} = m g = 360 N$ . Siit $F_{2} = F_{1} \frac{l_{1}}{l_{2}} = 100 N$ .

Sirge ühtlane varras on ühest otsast jäigalt kinnitatud. Kui varda vabale otsale rakendatakse risti vardaga jõud $F_{0}$ , murdub varras kinnituskohast. Nüüd asetatakse kaks korda pikema varda mõlemad otsad tugedele ning varda keskkohale hakatakse risti vardaga jõudu rakendama. Millise jõu $F$ korral ja kustkohast murdub varras seekord?

Lahendus

Paneme tähele, et sümmeetria tõttu on uues olukorras kumbki varda pool eraldi võetuna justkui esimeses situatsioonis: üks ots (varda keskkoht) jäigalt kinnitatud, teisele otsale (varda otspunkt) mõjub jõud $\frac{F}{2}$ . Seega murdub varras seekord keskelt. Murdumiseks vajalik jõud $\frac{F}{2} = F_{0}$ , seega $F = 2 F_{0}$ .

1.4 Vedelikud ja jõud

1. Õhupall

Õhupall, mille ruumala on $V = 2 m^{3}$ , täideti $m = 200 g$ heeliumiga. Õhupalli kesta mass on $M = 180 g$ . Kui kõrgele tõuseb õhupall? Õhu tiheduse sõltuvus kõrgusest maapinnalt $ρ = ρ (h)$ on toodud graafikul ja lihtsuse mõttes loeme palli ruumala konstantseks.

Lahendus

Gaasis (antud juhul õhus) asuvale kehale (õhupallile) mõjub üleslükkejõud. Õhupall tõuseb maapinnast kõrgusele, kus raskusjõud parajasti tasakaalustab üleslükkejõu. Pallile mõjuv raskusjõud avaldub

F_{r} = (m + M) g = (0, 2 k g + 0, 18 k g) \cdot 9, 8 N / k g \approx 3, 72 N

Õhu üleslükkejõud avaldub

F_{¨ u} = ρ_{˜ o hk} V g

. Tingimusest

F_{r} = F_{¨ u}

saame, et õhupall peatub kõrgusel, kus õhu tihedus on võrdne

ρ_{˜ o hk} = \frac{F_{r}}{V g} = \frac{3, 72 N}{2 m^{3} \cdot 9, 8 N / k g} \approx 0, 19 k g / m^{3}

Graafikult saame, et selline on õhu tihedus kõrgusel

15, 1 k m

2. Allveelaev

Allveelaeva mass on $m$ ja selle ruumala on $V$ . Allveelaeva mootorid ei tööta ja allveelaev vajub muutumatu kiirusega $v$ . Kui palju tuleb vähendada allveelaeva massi, et allveelaev hakkaks tõusma pinnale sama suure kiirusega $v$ ? Allveelaeva vaadelda silindrina, mille telg on horisontaalne. Vee takistus allveelaevale on võrdeline kiirusega. Vee tihedus on $ρ$ .

Lahendus

Allveelaeva vajumisel kiirusega $v$ kehtib seos

m g = ρ V g + F_{T}

, kus

ρ

on merevee tihedus ja

F_{T}

takistusjõud.

Allveelaeva tõusmisel kiirusega $v$ kehtib seos

ρ V g = (m - m_{1}) g + F_{T}

kus

m_{1}

on väljavisatud koormise mass.

Avaldades mõlemast seosest $F_{T}$ ja võrdsustades tulemused, saame

m g - ρ V g = ρ V g - (m - m_{1}) g

, millest väljavisatud koormise mass

m_{1}

on:

m_{1} = 2 (m - ρ V)

3. Kaal

Kangkaalu vasakpoolsele kaalukausile oli asetatud rauast, parempoolsele kaalukausile alumiiniumist keha, kumbki massiga $1 k g$ . Kangkaal sukeldatakse vette, mille tulemusena ei ole kaal enam tasakaalus. Kas kaalu tasakaalustamiseks tuleks lisaraskus asetada vasak- või parempoolsele kaalukausile? Kummast ainest lisaraskus oleks väiksema massiga? Alumiiniumi tihedus on raua tihedusest väiksem.

Lahendus

Kangkaalu tasakaalustmiseks on vaja lisaraskust, sest vees mõjub kehale üleslükkejõud $F_{¨ u} = ρ_{v} g V$ , kus $ρ_{v}$ on vee tihedus. Keha ruumala $V = \frac{m}{ρ}$ . Kaaluvihile mõjub vees jõud

F = m g - F_{¨ u} = m g - \frac{ρ_{v} m g}{ρ} = m g (1 - \frac{ρ_{v}}{ρ})

Kuna

ρ_{A l} < ρ_{F e}

, siis rauast kaaluvihile mõjub suurem jõud, sest

m g (1 - \frac{ρ_{v}}{ρ_{A l}}) < m g (1 - \frac{ρ_{v}}{ρ_{F e}}) \Rightarrow F_{A l} < F_{F e}

Vajalik lisaraskus tuleb asetada alumiiniumist kaaluvihiga samale kaalukausile ehk parempoolsele kaalukausile. Vajalik lisajõud kangkaalu tasakaalustamiseks vees on

F_{l} = F_{F e} - F_{A l} = m_{l} g (1 - \frac{ρ_{v}}{ρ_{l}})

kus indeksiga

l

oleme tähistanud kõik lisaraskuse kohta käivad suurused. Vajaliku lisaraskuse hulk ehk mass ei sõltu jõu

F_{l}

suurusest ehk siis

F_{l} = m_{l} g (1 - \frac{ρ_{v}}{ρ_{l}}) = const.

m_{l}

on minimaalne, kui avaldis sulgudes on suurima võimaliku väärtusega. Arvestades, et

ρ_{v e s i} < ρ_{A l} < ρ_{F e}

, saame

1 - \frac{ρ_{v}}{ρ_{A l}} < 1 - \frac{ρ_{v}}{ρ_{F e}}

Seega raust lisaraskuse mass on väiksem.

4. Tünn

Vees ujuva tühja plekktünni ruumalast on $1 / 10$ vee sees. Pärast tünni täitmist tundmatu vedelikuga jääb tünn vee peale ujuma, kuid nüüd on vee sees $9 / 10$ tünni ruumalast. Kui suur on tünni valatud vedeliku tihedus? Vee tihedus on $1000 k g / m^{3}$ .

Lahendus

Tühja tünni korral kehtib seos $m g = \frac{ρ_{v} V g}{10}$ .
Vedelikku täis tünni korral kehtib seos $(m + ρ V) g = \frac{9 ρ_{v} V g}{10}$ .
Taandades ruumala $V$ ja $g$ saame $\frac{ρ_{v}}{10} + ρ = \frac{9 ρ_{v}}{10}$ ,
millest $ρ = \frac{8}{10} ρ_{v}$
Vastus: $ρ = 800 k g / m^{3}$ .

5. Küünal purgis

Mari näitas trikki. Ta vajutas küünla vastu silindrilise klaasi põhja ning valas sinna $V_{v} = 150 m l$ vett. Kuigi küünla tihedus $ρ_{k} = 0, 90 g / c m^{3}$ on väiksem kui vee tihedus $ρ_{v} = 1, 0 g / c m^{3}$ , jäi küünal anuma põhja. Juku oli katsest üllatunud. Ta liigutas klaasi ning küünal tõusis pinnale ujuma. "Rikkusid katse!" ütles Mari, "Arvuta nüüd, kui palju muutus rõhk põhjale küünla algses asukohas!". Aita Jukut! Klaasi läbimõõt on $d = 6, 0 c m$ . Küünla ruumala on $V_{k} = 21 c m^{3}$ ja kõrgus $h = 3, 0 c m$ .

Lahendus

1. Arvutame rõhu anuma põhjale küünla all.
Leiame vedelikusamba kõrguse, mille määravad vedeliku ja küünla ruumalad.

V = V_{v e d e l i k} + V_{k ¨ u ¨ u nal} = 150 c m^{3} + 21 c m^{3} = 171 c m^{3}

Põhja pindala:

S = \frac{π d^{2}}{4} = \frac{3, 14 \cdot 6^{2} c m^{2}}{4} = 28, 3 c m^{2}

Veetaseme kõrgus:

h = \frac{V}{S} = \frac{171 c m^{3}}{28, 3 c m^{2}} = 6, 0 c m

Veesamba kõrgus küünla kohal:

h_{v e s i} = h - h_{k ¨ u ¨ u nal} = 6 c m - 3 c m = 3 c m

Rõhk põhjale küünla all ja teisendused ning rõhu väärtus:

p_{1} = ρ_{k ¨ u ¨ u nal} g h_{k ¨ u ¨ u nal} + ρ_{v e s i} g h_{v e s i}

p_{1} = 900 \frac{k g}{m^{3}} \cdot 10 \frac{N}{k g} \cdot 0, 03 m + 1000 \frac{k g}{m^{3}} \cdot 10 \frac{N}{k g} \cdot 0, 03 m = 570 P a

2. Arvutame rõhu põhjale kui küünal ujub $p_{2} = \frac{F}{S} = \frac{m_{v e s i} g + m_{k ¨ u ¨ u nal} g}{S}$ .
Küünla massi saame seosest

ρ = m \Rightarrow m = ρ V = 0, 9 \frac{g}{c m^{3}} \cdot 21 c m^{3} = 19 g

Teisendame ühikud ja arvutame rõhu põhjale

p_{2} = \frac{(0, 15 k g + 0, 019 k g) \cdot 10 \frac{N}{k g}}{28, 3 \cdot 10^{- 4} m^{2}} = 597 P a

3. Arvutame rõhu muutuse $Δ p = p_{2} - p_{1} = 597 P a - 570 P a = 27 P a$ .
Vastus: Kui küünal oli põhjas oli küünla all rõhk põhjale $27 P a$ väiksem kui siis, kui küünal ujus.

6. Allveelaev

Esimene allveelaev "Torpeedo'' (ehitatud 1780 aastal) oli kujult külili asetatud tünn, milles istusid kapten ja tüürimees ning lisaks neile 6 meest, kes ajasid ringi väntvõlli. Kui palju vett on vaja hoida laevas, et laev saaks vee all heljuda? Meeste keskmine mass oli $80 k g$ ning tünni välisläbimõõt $d = 1 m$ ja pikkus $l = 6, 40 m$ ning laeva tühimass $m_{l} = 3000 k g$ .

Lahendus

Allveelaev hulbib veepinnal siis kui tema keskmine tihedus on väiksem vee tihedusest, $ρ_{l a e v} < ρ_{v e s i}$ .On teada, et laeva keskmise tiheduse saab arvutada:

ρ_{l a e v} = \frac{m_{k o g u} + m_{p a a k}}{V_{l a e v}}

kus

m_{k o g u} = 3000 + 8 \cdot 80 = 3640 k g

on laeva kere mass ja inimeste mass kokku,

m_{p a a k}

on vee mass laevas ja

V_{l a e v} = \frac{π d^{2} l}{4} = 5, 02 m^{3}

on laeva ruumala. Lubatud veehulga

V_{p a a k} = \frac{m_{p a a k}}{ρ_{v e s i}}

leidmiseks lähtume eelnimetatud võrratusest, mis annab

V_{p a a k} = \frac{V_{l a e v} - m_{k o g u}}{ρ_{v e s i}} = 1, 38 m^{3}

Õige on ka vastus massiühikutes.

7. Anum vees

Ühes vedelikus ujub anum massiga $M = 100 g$ (vt. joonis). Anum sisaldab teist vedelikku, mille taseme kõrgus on $h = 15 c m$ . Anuma põhi asetseb $H = 20 c m$ sügavusel. Anumasse pandi ujuma keha massiga $m = 30 g$ . Selle tulemusel vajus anum veel $Δ H = 3 c m$ võrra sügavamale esimesse vedelikku. Kui palju tõusis teise vedeliku tase anumas?

Lahendus

Olgu $S$ anuma aluse pindala, $ρ_{1}$ ja $ρ_{2}$ vastavalt esimese ja teise vedeliku tihedused. Algolekus anuma ning teise vedeliku raskusjõud tasakaalustavad anumale mõjuvat esimese vedeliku ülestõukejõudu: $M g + ρ_{2} S h g = ρ_{1} S H g$ . Keha lisamisel toimub mõlema vedeliku väljatõrjumine massi $m$ poolt . Saame tingimuse $m = ρ_{2} S Δ h = ρ_{1} S Δ H$ . Avaldame siit $ρ_{2} S$ ja $ρ_{1} S$ :

ρ_{2} S = \frac{m}{Δ h}, ρ_{1} S = \frac{m}{Δ H}

ning asendame esimesse võrrandisse:

M g + \frac{m g h}{Δ h} = \frac{m g H}{Δ H} \Rightarrow Δ h = \frac{m h Δ H}{m H - M Δ H} = 4, 5 c m

Alternatiivlahendus:

Anumale mõjuva Archimedese jõu suhteline muutus on võrdne anuma bruto-massi suhtelise muuduga: $\frac{M + m_{v}}{m} = \frac{H}{Δ H}$ , kus $m_{v}$ tähistab vedeliku massi anumas. Rõhu suhteline muutus anuma põhjas on võrdne anuma sisu massi suhtelise muuduga: $\frac{m_{v}}{m} = \frac{h}{Δ h}$ . Asnedades teise võrrandi esimesse leiame

\frac{M}{m} = \frac{H}{Δ H} - \frac{h}{Δ h} \Rightarrow Δ h = \frac{h}{\frac{H}{Δ H} - \frac{h}{Δ h}} = 4, 5 c m

8. Homogeenne keha

Homogeenne keha riputatakse dünamomeetri külge. Kui keha sukeldatakse vedelikku tihedusega $ρ_{1}$ , on dünamomeetri näit $P_{1}$ , kui aga vedelikku tihedusega $ρ_{2}$ , on dünamomeetri näit $P_{2}$ . Määrake keha tihedus.

Lahendus

Dünamomeetri näit vees on

P_{1} = P - F_{1}

kus

P

on dünamomeetri näit õhus ja

F_{1}

üleslükkejõud vees.

Et $P = m g = ρ V g$ , $F_{1} = ρ_{1} V g$ ja $F_{2} = ρ_{2} V g$ , kus $ρ$ ja $V$ on vastavalt keha tihedus ja ruumala, siis

P_{1} = ρ V g - ρ_{1} V g = (ρ - ρ_{1}) \cdot V g

P_{2} = ρ V g - ρ_{2} V g = (ρ - ρ_{2}) \cdot V g

Avaldame mõlemast valemist ruumala:

V = \frac{P_{1}}{(ρ - ρ_{1}) \cdot g}, V = \frac{P_{2}}{(ρ - ρ_{2}) \cdot g} \Rightarrow ρ = \frac{ρ_{1} P_{2} - ρ_{2} P_{1}}{P_{2} - P_{1}}

9. Jää ja liiv

Silindrilises anumas on vesi; vee horisontaallõike pindala $S = 200 c m^{2}$ . Anumasse visatakse jäätükke, millesse on külmunud teatud hulk liiva. Alguses ükski jäätükk põhja ei vaju ning vee pind kerkib $h_{1} = 10 c m$ võrra. Tasapisi sulab ära kogu jää, liiv vajub põhja ning veepind langeb vahepealse (kõrgeima) taseme suhtes $h_{2} = 0, 5 c m$ võrra allapoole. Kui suur oli vette visatud jää ja liiva mass? Liivaterade materjali tihedus $ρ_{l} = 2500 k g / m^{3}$ ja vee tihedus $ρ_{v} = 1000 k g / m^{3}$ .

Lahendus

Liiva ja jää kogumass on leitav välja tõrjutud vee massina

m_{t o t} = ρ_{v} S h_{1} = 2 k g

kus

ρ_{v}

on vee tihedus.

Kui liiv sadeneb põhja, siis mõjutab mannergu põhi liivateri jõuga

V_{l} (ρ_{l} - ρ_{v}) g

kus

V_{l}

on liivaterade koguruumala.

Kui jaotada leitud jõud üle mannergu põhja, saame sellele vastava keskmise rõhu

p_{l} = V_{l} (ρ_{l} - ρ_{v}) g / S

mis peab olema võrdne veetaseme langusest tingitud rõhu muutusega (süsteemi ``vesi+liiv'' kaal ju ei muutu). Seega

V_{l} (ρ_{l} - ρ_{v}) g / S = ρ_{v} g h_{2}

ning järelikult

m_{l} = V_{l} ρ_{l} = \frac{ρ_{l} ρ_{v} h_{2} S}{ρ_{l} - ρ_{v}} \approx 170 g

Jää mass oli niisiis $m_{j} = m_{t o t} - m_{l} \approx 1830 g$ .

10. Jääkaru

Keset merd jääpangal triiviv jääkaru (massiga $M = 700 k g$ ) tapab käpalöögiga tema lähedal meres ujunud hülge (mass $m = 70 k g$ ). Hüljest söömiseks pangale tirides avastab jääkaru, et jääpank kipub hülge peale vinnamisel viimasel hetkel vee alla vajuma. Teades, et enne hülgepüüki oli $99 %$ jääpangast vee all, hinnake jää tihedust. Vee tihedus olgu $ρ_{v} = 1 g / c m^{3}$ .

Lahendus

Olgu panga ruumala $V$ ja jää tihedus $ρ_{j}$ . Raskusjõu ja üleslükkejõu tasakaalust (ujumise tingimusest) saame

0, 99 ρ_{v} V = V ρ_{j} + M

Hülge massi lisamisel vajub kogu pank vee alla. Siit saame tingimuse:

V ρ_{v} = V ρ_{j} + M + m

Lahendades võrrandid

ρ_{j}

suhtes, saame

ρ_{j} = ρ_{v} (0, 99 - (1 - 0, 99) \frac{M}{m}) \approx 0, 9 g / c m^{3}

11. Kaalud

Ühele kaalukausile on asetatud veega ääreni täidetud pang. Teisele kaalukausile asetatakse samasugune ääreni veega täidetud pang, milles ujub puutükk. Millise asendi võtavad kaalud? Põhjenda vastust.

Lahendus

Kaalud on tasakaalus. Kuna puutükk ujub, siis tõrjub see enda alt välja vee koguse, mille mass võrdub puutüki massiga. Kui pang oli enne katset vett täis, siis puutüki asetamisel pange voolas väljatõrjutud vesi üle panga serva maha koguses, mille mass on võrdne puutüki massiga, järelikult pange mass ei ole muutunud.

12. Kang

Kraana trossi külge on kinnitatud kang, mille kummaski otsas on sama ruumalaga koormis (vt. joonis). Kang on tasakaalus. Kraana laseb koormised vette nii, et kang ise vette ei lähe. Selle tulemusel kangi tasakaal kaob. Kangi ülestõusnud otsale ronib töömees ja kang läheb uuesti tasakaalu. Leidke koormiste ruumala. Töömehe mass on $80 k g$ ja vee tihedus on $1000 k g / m^{3}$ . Kas kangi massi arvestamine mõjutab vastust?

Lahendus

Õhus kehtib seos: $m_{1} g l = m g l + m_{2} g \cdot 3 l$ , millest $m_{1} = m + 3 m_{2}$ .

Vees mõjub koormistele üleslükkejõud. Kangi vasakule pöörav jõumoment on: $(m_{1} g - ρ_{v} g V) l$ .

Kangi paremale pöörav jõumoment on: $m g l + (m_{2} g - ρ_{v} g V) \cdot 3 l$ Asendades $m_{1}$ seosega $m_{1} = m + 3 m_{2}$ ja võrreldes jõumomente selgub, et koormiste vette sukeldamise korral tõuseb üles kangi parempoolne ots.

Seega kang on vettesukeldatud koormiste korral tasakaalus siis, kui paremale otsale ronib mees massiga $Δ m$ . Pärast teisendust saame

V = \frac{3 Δ m}{2 ρ_{v}} = 0, 12 m^{3}

13. Kangkaal

Kangkaalu kaussidele asetatakse kaks ühesugust klaasi. Üks klaasidest on ääreni täidetud veega, teine samuti, kui selles ujub puitklots. Kas kaal jääb tasakaalu?

Lahendus

Jääb küll, sest klotsi ujumise korral klotsi poolt anumast välja tõrjutud vee mass võrdub klotsi massiga.

14. Klapp

Vett täis anumas asub vetikaalselt õhukeste seintega toru, mille sisemine läbimõõt on $d = 2 c m$ . Toru alumine ots on $70 c m$ sügavusel vees ja selle vastu on surutud tihedalt õhukene ruudukujuline plaat küljepikkusega $a = 3 c m$ . Plaadi pindtihedus (massi ja pindala suhe) $δ = 4, 5 k g / m^{2}$ . Torusse valatakse õli tihedusega $ρ = 900 k g / m^{3}$ . Kui kõrge õlisamba võib torusse valada, enne kui plaat eraldub toru otsast? Plaadi ja toru paksust ei ole vaja arvestada. Vee tihedus $ρ = 1000 k g / m^{3}$ .

Lahendus

Plaadile mõjub alt üles vee rõhumisjõud, ülevalt alla vee rõhumisjõud ja õlisamba rõhumisjõud. Kuna väljaspool toru mõjuvad vee rõhumisjõud kompenseerivad üksteist, arvestame arvutustes ainult seda plaadi osa, mis on vahetult toru otsa all. Alt üles mõjub jõud

F_{¨ u les} = p S = ρ_{v e s i} g h_{v e s i} \frac{π d^{2}}{4}

ülevalt alla mõjub plaadile raskusjõud

F_{a l l a} = m g = δ \frac{π d^{2}}{4} g

ja õlisamba rõhumisjõud

F_{a l l a} = ρ_{˜ o li} g h ˜ o li \frac{π d^{2}}{4}

õlisammas on kõrgeim siis, kui alt üles ja ülevalt alla mõjuvad jõud on võrdsed

δ S g + ρ_{˜ o li} g h_{˜ o li} S = ρ_{v e s i} g h_{v e s i} S

millest

h_{˜ o li} = \frac{ρ_{v e s i} h_{v e s i} - δ}{ρ_{˜ o li}} = 77, 3 c m

15. Kolmnurk

Võrdkülgse kolmnurga $A B C$ tippudes $A$ , $B$ ja $C$ asuvad võrdse ruumalaga kerad tihedustega vastavalt $0, 5$ , $1$ ja $1, 2 g / c m^{3}$ , mis on omavahel ühendatud kaalutute jäikade varrastega. Missuguse nurga moodustab külg $A B$ veepinnaga, kui konstruktsioon visata sügavasse veevanni?

Lahendus

Kolmnurga keskmine tihedus on väiksem kui $1 g$ milliliitri kohta ja seega konstruktsioon tervikuna asub veepinnal. Tipus $B$ asuvale kerale mõjuv resultantjõud on 0 (sest ta tihedus on võrdne vee tihedusega) ja seega võib seda kera vaadelda kui kangi pöörlemiskeskpunkti.

Kehale $C$ mõjuv resultantjõud on võrdne ja vastassuunaline kerale $A$ mõjuva resultantjõuga.

Uurides nüüd kolmnurga pöörlemist ümber tipu $B$ on näha, et jõud kerale $A$ ja kerale $C$ mõjuvad mooda ühte ja sama sirget, kui külg $A C$ on risti veepinnaga. See vastab tasakaalulisele olukorrale, sest nihkel sellest asendist hakkab üks kera pöörlemispunktile lähenema ja teine kaugenema ja pöördemomendid pole sellel juhul enam võrdsed.

Lihtsast geomeetriast on näha, et külje $A B$ nurk veepinnaga on tasakaaluasendis $30$ kraadi.

16. Konteiner

Kraanaga tõsteti laevalt kaile tühja risttahukakujulist kaubakonteinerit, mille kesta (seinamaterjali) ruumala on $V_{k}$ . Kraana tross katkes ja konteiner kukkus vette. Vahetult pärast vettekukkumist oli konteineri vee all oleva osa ruumala $V_{1}$ . Kuna konteiner polnud täielikult hermeetiline, pääses õhk konteinerist välja ja vesi voolas sisse. Kui konteineri ülemine tahk oli vajunud veekogu tasapinnani, oli konteineri ülemisse ossa moodustunud õhupadi. Avaldage selle õhupadja ruumala $V\widetilde{o}$ .

Lahendus

Olgu konteineri materjali tihedus $ρ_{k}$ ja vee tihedus $ρ$ . Vahetult vette kukkumise järel mõjus konteinerile üleslükkejõud $F\ddot{u}=ρV1g$ ja raskusjõud $F_{g} = m g = ρ_{k} V_{k} g$ . Kuna konteiner ujus, siis $ρ V_{1} g = ρ_{k} V_{k} g$ .

Olgu äsja vee alla vajunud konteineris õhupadja ruumala $V\widetilde{o}$ . Konteineri sisemuse ruumala oli $V_{s} = V - V_{k}$ ja konteineris oleva vee ruumala oli $Vv=V−Vk−V\widetilde{o}$ . Konteinerile mõjub raskusjõud $F_{g 1} = ρ_{k} V_{k} g$ ja konteineris olevale veele mõjub raskujõud $Fg2=Vvρg=(V−Vk−V\widetilde{o})ρg$ . Konteinerile ja selles olevale veele mõjub summaarne üleslükkejõud $F\ddot{u}2=Vρg$ .

Kuna keha heljub, siis konteineri ja selles oleva vee raskusjõudude summa võrdub üleslükkejõuga.

F_{g 1} + F_{g 2} = F_{¨ u 2} \Rightarrow ρ_{k} V_{k} g + (V - V_{k} - V_{˜ o}) ρ g = V ρ g

Asendame sellesse valemisse konteineri raskusjõu:

ρ V_{1} g + (V - V_{k} - V_{˜ o}) ρ g = V ρ g

Avame sulud, taandame ja koondame:

ρ V_{1} g + V ρ g - V_{k} ρ g - V_{˜ o} ρ g = V ρ g \Rightarrow V_{1} + V - V_{k} - V_{˜ o} = V \Rightarrow V_{˜ o} = V_{1} - V_{k}

17. Koormis vees

Kaalu peal on anum veega. Selle kohal on vedrukaal, mille külge on riputatud koormis massiga $m$ . Kaaalude näidud on võrdsed. Kui palju erinevad kaalude näidud, kui koormis lastakse üleni vette? Koormis ei puutu anuma põhja. Vee tihedus on $ρ_{V}$ ja koormise tihedus on $ρ_{K}$ .

Lahendus

Olgu kaalude näidud algselt $F$ . Kui koormis lasti vette, hakkas koormisele mõjuma üleslükkejõud $F_{y}$ . Seega koormise kaal vähenes.

Sama palju aga anuma kaal suurenes. Koormise kaal on nüüd $F_{1} = F - F_{y}$ ja anuma kaal on $F_{2} = F + F_{y}$ .

Kaalude näidud erinevad $Δ F = F_{2} - F_{1} = 2 F$ võrra. Koormisele mõjuv üleslükkejõud on $F = ρ V g$ , kus koormise ruumala

V = \frac{m}{ρ_{K}}

. Seega

Δ F = 2 ρ V g = 2 m g \frac{ρ_{V}}{ρ_{K}}

18. Korgitükk

Korgitükk massiga $1, 2 g$ on seotud tüki raua külge, mille mass on $4, 4 g$ . Kui panna need seotud kehad vette, siis nad heljuvad seal (ei tõuse pinnale ega vaju põhja). Millega võrdub korgi tihedus, kui raua tihedus on $7, 8 g / c m^{3}$ ?

Lahendus

Heljuvate kehade keskmine tihedus on võrdne vee tihedusega. Kui korgi tihedus ja mass on vastavalt $ρ_{k}$ ja $m_{k}$ , rauatüki tihedus ja mass - $ρ_{r}$ ja $m_{r}$ , vee tihedus - $ρ_{v}$ , siis

\frac{m_{k} + m_{r}}{V_{k} + V_{r}} = ρ_{v}

kus

V_{k}

V_{r}

on korgitüki ja rauatüki ruumalad. Võrdusest leiame kasutades asendust

V = m / ρ

ρ_{k} = \frac{ρ_{v} m_{k}}{m_{k} + m_{r} + ρ_{v} m_{r} / ρ_{r}} =\approx 0, 24 g / c m^{3}

19. Õhupallid

Pikkusega $d_{1} = 49, 4 c m$ peenikese varda keskpunkt on kinnitatud vertikaalselt rippuva niidi otsa nii, et tasakaaluasendis on varras horisontaalne. Varda otsa kinnitatakse hapnikuga täidetud õhupall. Millisel kaugusel selle õhupalli kinnituspunktist tuleb kinnitada teine sama ruumalaga, kuid heeliumiga täidetud õhupall, et varras jääks horisontaalasendisse? Hapniku ja heeliumi tihedused on vastavalt $ρ_{1} = 1, 54 k g / m^{3}$ ja $ρ_{2} = 0, 19 k g / m^{3}$ , õhu tihedus $ρ_{0} = 1, 16 k g / m^{3}$ . Õhupallide materjali massi lugeda tühiseks.

Lahendus

Mõlemale õhupallile mõjub raskusjõud ja üleslükkejõud. Hapnikuga täidetud pallile mõjub summaarne jõud

F_{1} = m_{1} g - ρ_{0} g V = (ρ_{1} - ρ_{0}) g V

mis on suunatud allapoole. Heeliumiga täidetud pallile mõjub aga jõud

F_{2} = ρ_{0} g V - m_{2} g = (ρ_{0} - ρ_{2}) g V

mis on suunatud ülespoole. Järelikult tasakaalu hoidmiseks tuleb hapnikuga ja heeliumiga pall kinnitada samale poole niidi kinnituspunktist vardaga. Olgu hapnikuga täidetud palli kinnituspunkti kaugus niidi kinnituspunktist

d_{2}

. Kirjutame välja kangi reegli:

F_{1} l_{1} = F_{2} l_{2}

kus

l_{1} = \frac{d_{1}}{2}

l_{2} = d_{2}

on jõuõlad (niidi kinnituspunkti suhtes). Asendades jõu väärtused, saame

\frac{(ρ_{1} - ρ_{0}) g V d_{1}}{2} = (ρ_{0} - ρ_{2}) g V d_{2}

\frac{(ρ_{1} - ρ_{0}) d_{1}}{2} = (ρ_{0} - ρ_{2}) d_{2}

Nüüd saame avaldada

d_{2}

d_{2} = \frac{ρ_{1} - ρ_{0}}{ρ_{0} - ρ_{2}} \cdot \frac{d_{1}}{2} = 9, 7 c m

Järelikult tuleb heeliumiga täidetud õhupall kinnitada

\frac{d_{1}}{2} - d_{2} = 15, 0 c m

kaugusele hapnikuga täidetud õhupallist.

20. Part

Part laskus veetünni. Selle tulemusel tõusis veepind $12 m m$ võrra. Seejärel sukeldus ta tünni põhjas siputava ussikese järele. Nüüd tõusis veepind veel $10 m m$ võrra. Vaba vee pindala tünnis oli $0, 80 m^{2}$ . Kui suur on pardi tihedus ja mass?

Lahendus

Pardi laskumisel vette osa pardist jääb vee alla, kusjuures Archimedese seaduse järgi on pardi poolt välja tõrjutud vee mass võrdne pardi massiga, seega on pardi mass $m = ρ S d_{1}$ ,

M = 1000 \frac{k g}{m^{3}} \cdot 0, 8 m^{2} \cdot 0, 012 m = 0, 96 k g

Pardi sukeldumisel tõrjub ta välja vett vastavalt oma ruumalale, järelikult on pardi ruumala

V = S \cdot (d_{1} + d_{2})

. Seega on pardi tihedus

ρ_{P} = \frac{m}{V} = \frac{0, 96 k g}{0, 8 m^{2} \cdot 0, 022 m} \approx 550 k g / m^{3}

Rõhutame, et see on pardi tihedus koos sulgedevahelise õhuga.

21. Parv

Milline peab olema $d = 40 c m$ paksuse puitparve pindala, et ta suudaks vee peal hoida koormust, mille kaal on $P = 400 N$ ? Parv võib vette vajuda $h = 38 c m$ sügavusele. Puidu tihedus on $ρ_{p} = 0, 9 g / c m^{3}$ , vee tihedus on $ρ_{v} = 1 g / c m^{3}$ .

Lahendus

Arvutame kui sügavale vajub tühi parv. Olgu parve vee all asuv osa $d_{1}$ ja parve ristlõikepindala $S$ . Siis peab kehtima võrdus: $ρ_{p} d S = ρ_{v} d_{1} S$ , mis tähendab, et parve poolt välja tõrjutud vee mass on võrdne parve massiga. Sellest võrdusest saame, et $d_{1} = ρ_{p} d / ρ_{v} = 0, 9 \cdot 40 / 1 = 36 c m$ . Kuna on öeldud, et parv saab vajuda vee alla vaid $h = 38 c m$ võrra, siis tähendab see, et parve peal asuv koormus võib parve vee alla suruda vaid $h - d_{1} = 2 c m$ võrra. Järelikult võib panna kirja teise võrduse

\frac{P}{g} = ρ_{v} S (h - d_{1}) \Rightarrow S = \frac{P}{ρ_{v} g (h - d_{1})} = 2 m^{2}

22. Plekkkuubid

Õhukesest plekist valmistatakse kaks kaaneta kuupi (st üks tahk on kummalgi puudu), kusjuures nende mahud erinevad 8 korda. Kuubid ujuvad vees ja mõlemasse hakatakse aeglaselt vett lisama. Üks kuup läheb põhja, kui $90 %$ tema ruumalast on veel veest tühi. Mitu protsenti teisest kuubist on tühi tema uppuma hakkamise hetkel?

Lahendus

Olgu selle kuubi, mis upub, kui temast $α = 90 %$ on tühi, seinte mass $m$ ja ruumala $V$ . Archimedese seaduse põhjal hakkab objekt uppuma, kui ta tihedus saab suuremaks vee tihedusest $ρ_{v}$ (piirjuhul võrdseks):

\frac{m + ρ_{v} (1 - α) V}{V} = ρ_{v} \Rightarrow \frac{m}{V} = α ρ_{v} (*)

Teine kuup võiks olla nii väiksem kui suurem. Oletame algul, et ta on väiksem. Siis on selle kuubi ruumala

\frac{1}{8} V

. Kuubi seinte mass on võrdeline nende pindalaga, mis on omakorda võrdeline küljepikkuse ruuduga. Et teise kuubi küljepikkus on esimese omast

\sqrt[3]{8} = 2

korda väiksem, on ta pindala

2^{2} = 4

korda väiksem ning seinte mass seega

\frac{1}{4} m

. Kirjutame analoogiliselt uppumahakkamise tingimuse, kus

β

tähistagu otsitavat õhu osa teises kuubis.

\frac{\frac{1}{4} m + ρ_{v} (1 - β) \frac{1}{8} V}{\frac{1}{8} V} = ρ_{v} \Rightarrow \frac{2 m}{V} = β ρ_{v}

Võrrandist

(*)

ρ_{v} = \frac{m}{α V}

, seega

β = 2 α = 180 % > 100 %

, mis on võimatu. Järelikult upuks teine kuup väiksemana juba ilma vett lisamatagi, vastuolus öelduga, et kuubid ujuvad.

Oletame nüüd, et teine kuup on suurem, ruumalaga $8 V$ ja massiga $4 m$ . Uppumahakkamise tingimus on siis

\frac{4 m + ρ_{v} (1 - β) 8 V}{8 V} = ρ_{v} \Rightarrow \frac{m}{2 V} = β ρ_{v}

Siit

β = \frac{1}{2} α = 45 %

, mis jääbki ainsaks, üheseks vastuseks.

23. Praam

Praami pikkus on $15 m$ ja laius $4 m$ . Kui sügavale vajub praam, kui sellele sõidab $3$ tonni raskune auto? Praam on risttahuka kujuline.

Lahendus

Vastavalt Archimedese seadusele auto poolt välja tõrjutud vee mass peab võrduma auto massiga. Järelikult välja tõrjutud vee mass on $3000 k g$ . Selle vee ruumala on

Δ V = M / ρ = \frac{3000 k g}{1000 k g / m^{3}} = 3 m^{3} .

Praami ristlõikepindala on

S = 15 m \cdot 4 m = 60 m^{2}

. Järelikult vajub praam

Δ h = \frac{Δ V}{S} = \frac{3 m^{3}}{60 m^{2}} = 0, 05 m = 5 c m

võrra sügavamale.

On võimalik ka teine, veidi erinev, lahenduskäik. Tühja praami kaalu $P$ tasakaalustab Archimedese jõud $F_{A 1} = ρ g L d h = P$ , kus $ρ = 1000 k g / m^{3}$ on vee tihedus, $L = 15 m$ ja $d = 4 m$ on praami mõõtmed, ning $h$ on praami veealuse osa esialgne kõrgus. Praami koos autoga tasakaalustab Archimedese jõud

F_{A 2} = ρ g L d \cdot (h + Δ h) = P + M g,

kus

M

on auto mass. Lahutades teisest võrrandist esimese, saame

ρ g L d Δ h = M g

, kust

Δ h = \frac{M}{ρ L d} = \frac{3000}{1000 \cdot 15 \cdot 4} = 0, 05 m

24. Teraskera

Seest tühi teraskera ujub veepinnal nii, et täpselt pool sellest on vees. Kui suure osa kera ruumalast moodustab kera sees oleva õõnsuse ruumala? Terase tihedus on $7800 k g / m^{3}$ ja vee tihedus $1000 k g / m^{3}$ . Kera õõnsuses oleva õhu massi võib arvutustes jätta arvestamata.

Lahendus

See, et täpselt pool ujuvast teraskerast on vees, tähendab, et teraskera tihedus on täpselt kaks korda vee tihedusest väiksem ehk $ρ_{k} = ρ_{v} / 2$ .

Tähistades kera massi $m$ , kera ruumala $V_{k}$ ning terase ruumala $V_{t}$ , saame panna kirja kaks seost: ühelt poolt $m = ρ_{k} V_{k}$ , teisest küljest $m = ρ_{t} V_{t}$ , kust avaldame $V_{t} / V_{k} = ρ / ρ_{t} = ρ_{v} / 2 ρ_{t} \approx 0, 06 = 6 %$ .

Järelikult moodustab õõnsus $94 %$ teraskera ruumalast.

25. Ujuk

Anumas olevas vees tihedusega $ρ_{v} = 1, 0 k g / d m^{3}$ ujub kuubikujuline ujuk, mille alumine pool on jääst tihedusega $ρ_{j} = 0, 9 k g / d m^{3}$ ja ülemine pool vahtplastist tihedusega $ρ_{p} = 0, 3 k g / d m^{3}$ . Kuubi serva pikkus $a = 4 c m$ . Ujuki jääst osa sulab. Kui palju muutub ujuki ülemise tahu kaugus veepinnast?

Lahendus

Ujuki kummagi osa ruumala $V = 32 c m^{3}$ . Ujuki jäätüki mass $m_{j} = V \cdot 0, 9 ρ_{v}$ ja ujuki vahtplasti mass $m_{p} = V \cdot 0, 3 ρ_{v}$ . Ujuki kogumass $m_{j} + m_{p} = 1, 2 V ρ_{v}$ .

Teame, et

m g = ρ_{v} g V_{v}

millest ujuki veealuse osa ruumala

V_{v} = V \cdot \frac{1, 2 ρ_{v}}{ρ_{v}} = 38, 4 c m^{3}

Vees oleva osa kõrgus $h = 2, 4 c m$ ja veepealse osa kõrgus $1, 6 c m$ . Pärast jää sulamist on ujuki veealuse osa ruumala on

V_{v 1} = V \cdot \frac{0, 3 ρ_{v}}{ρ_{v}} = 9, 6 c m^{3}

Nüüd on vees oleva osa kõrgus

h_{1} = 0, 6 c m

ja veepealse osa kõrgus

1, 4 c m

Seega ujuk vajub allapoole võrreldes esisalgse olukorraga $h - h_{1} = 0, 2 c m$

26. Ujumine

Millise oma keha suhtes mahult väikseima puitklotsi peaksite võtma, et hoides sellest kinni võiksite hoida ennast veepinnal nii, et pea ja õlad (1/8 teie ruumalast) oleks veest väljas? Puidu tihedus on $0, 6 g / c m^{3}$ , inimese tiheduseks võtke $1, 075 g / c m^{3}$ .

Lahendus

Olgu $V_{1}$ - klotsi ruumala, $V_{2}$ - inimese ruumala, $ρ_{1}$ - puidu tihedus, $ρ_{2}$ - inimese tihedus, $ρ$ - vee tihedus, $g$ - raskuskiirendus.

(ρ_{1} V_{1} + ρ_{2} V_{2}) g = ρ g (V_{1} + (7 / 8) V_{2}) \Rightarrow 0, 4 V_{1} = 0, 2 V_{2} \Rightarrow V_{1} = 0, 5 V_{2}

ehk klotsi ruumala peaks olema pool inimese ruumalast.

27. Ujuv anum

Risttahukakujulisse anumasse põhja pindalaga $S_{1}$ asetatakse ujuma väiksem risttahukakujuline anum põhjapindalaga $S_{2}$ . Selle tulemusel tõusis veetase suures anumas kõrguse $Δ h$ võrra. Siis hakati väiksemasse anumasse vett valama. Milline on minimaalne kaugus väiksemas anumas oleva vee pinna ja väikese anuma ääre vahel nii, et see veel ei upuks?

Lahendus

Anuma jaoks ilma veeta: $m g = ρ g V$ , kus $m$ on anuma mass, $ρ$ on vee tihedus ja $V$ on anuma vee alla jääva osa ruumala. Kuna vesi on kokkusurumatu, siis selle sama ruumala võrra surutakse vett ka välja:

V = Δ h (S_{1} - S_{2})

Avaldame anuma massi:

m = ρ Δ h (S_{1} - S_{2})

. Väiksem anum upub, kui ta vajub piisavalt sügavale, et vesi saaks hakata sisse voolama. Tasakaalutingimuse saab kirja panna nii:

m g + ρ V_{s} g = ρ V g

, kus

V_{s}

on anumas oleva vee ruumala ja

V

on kogu anuma ruumala. Piirjuhul on meil

V_{s} = S_{2} h

V = S_{2} H

, kus

h

on veetaseme kõrgus anumas ja

H

on anuma kõgus. otsitav minimaalne kaugus avaldub:

Δ l = H - h

. Eelnevat arvesse võttes saame:

ρ (V - V_{s}) = m

H - h = \frac{m}{ρ S_{2}}

Δ l = \frac{(S 1 - S 2)}{S_{2}} Δ h

28. Uppuv klots

Vees ujub vahtrapuust kuup servapikkusega $a = 10 c m$ tihedusega $ρ_{v a h e r} = 700 k g / m^{3}$ . Kuubi sees on silindriline õõnsus läbimõõduga $b = 4, 5 c m$ (vt joonist). Õõnsus on alt suletud õhukese korgiga. $a)$ Arvutage, kas kuup upub, kui õõnsus täita liivaga? Liiva tihedus on $ρ_{l i i v} = 2700 k g / m^{3}$ ja vee tihedus on $ρ_{v e s i} = 1000 k g / m^{3}$ . $b)$ Kui korgile mõjuv summaarne jõud on suurem kui $1, 8 N$ , läheb kork katki. Mis on maksimaalne liiva kõrgus, mida saab õõnsusesse valada?

Lahendus

$a)$ Leiame maksimaalse raskusjõu ja üleslükkejõu ning vaatame kas üleslükkejõud on väiksem kui raskusjõud.

F_{r} = F_{k l o t s} + F_{l i i v} = (ρ_{v a h e r} (a^{3} - \frac{π b^{2} a}{4}) + \frac{ρ_{l i i v} π b^{2} a}{4}) g = 9, 975 N

F_{y} = ρ_{v e s i} g a^{3} = 9, 8 N

Seega klots on võimalik ära uputada.

$b)$ Korgile mõjub liiva raskusjõud ning altpoolt surub seda vesi. Kork kannatab nende jõudude vahet.

1, 8 N = ρ_{l i i v} S h g - ρ_{v e s i} g A S

kus

S = π b^{2} / 4

- augu põhja pindala,

h

- liivasamba kõrgus,

A

- klotsi vee alla ulatuva osa kõrgus. Teise seose saame panna kirja klotsi ujumise tingimustest

F_{r} = F_{y}

(ρ_{v a h e r} (a^{3} - S a) + ρ_{l i i v} S h) g = ρ_{v e s i} g a^{2} A

Lahendades need võrrandid, saame, et

A = 0, 092 m = 9, 2 c m

ning

h = 0, 0768 m = 7, 68 c m

. Ehk kork eemaldub enne kuubiku uppumist ja seega ei saa kuubikut sellel viisil uputada.

29. Äpardus plokiga

Silindrilises anumas põhjapindalaga $S$ on vesi tihedusega $ρ$ . Anuma põhjas on plokk ja üle hõõrdevabalt pöörleva plokiratta on tõmmatud nöör. Nööri otste külge on kinnitatud kaks veest väiksema tihedusega keha. Plokk takistab nende kehade veepinnale kerkimist (vt joonis). Kummagi keha ruumala on $V$ . ühe keha tihedus on $ρ_{1}$ ja teise keha tihedus $ρ_{2}$ , kusjuures $ρ_{1} < ρ_{2} < ρ$ . Plokinöör on nii pikk, et kumbki kehadest ei puuduta plokki ning nii lühike, et üks keha on tõmmatud üleni vee alla. Kui palju muutub anumas oleva vee tase kui plokinöör katkeb ja mõlemad kehad kerkivad vee pinnale?

Lahendus

Arvutame anuma põhja poolt süsteemile ``vesi pluss kehad'' mõjuva jõu muutuse: \vspace{-5pt}

Δ F = - 2 T = S ρ g Δ h,

\vspace{-25pt} kus

T

on nööri pinge. Tõepoolest, nimetatud jõud tasakaalustab kõikide ülejäänud jõudude resultandi, milleks on raskusjõudude summa (ei muutu) pluss nööri poolt mõjuv jõud. Et nööri pinge hoiab teist keha vee all, siis

T = (ρ - ρ_{2}) g V

, millest

Δ h = - \frac{2 (ρ - ρ_{2}) V}{S ρ} .

1.5 Plokid

1. Kannatanu päästmine

Alpinismis kasutatakse kannatanu tõstmiseks joonisel toodud polüspasti. Põhiköiele lisatakse köiejupid mille ühes otsas on rullik ja teises haarav sõlm. a) Kui mitu korda annab selline süsteem võitu jõus? b) Kui suur on tõmbejõud igas polüspasti osas kui tõstetakse massi $m$ ? Kõrvalekaldeid vertikaalsihist, polüspasti massi ja hõõrdumist mitte arvestada.

Lahendus

Võttes tõmbejõu $F$ -ks saab leida polüspasti ülekandeteguri. Rullikul mõlemad põhiköieosad on sama tõmbejõuga, rullikut hoidev köis aga topelt tõmbejõuga.

Haaravates sõlmedes on alla ja ülespoole suunatud jõudude summa tasakaalus. Jõus saavutatakse kolmekordne võit.

Massi $m$ tõstmisel on tõmbejõud $F = \frac{m g}{3}$ ning leitav iga osa kohta vastavalt joonisele.

2. Plokid

Liikuva ploki abil on võimalik saavutada jõus kahekordne võit (vt joonis). Joonistage sellised plokkide süsteemid, mille kasutamisel koorma tõstmiseks on jõu võit: $a)$ 5-kordne; $b)$ $2, 5$ -kordne.

Lahendus

Lahendused on ära toodud joonistel.


Lahendus joonis

3. Plokid

Liitplokk koosneb seitsmest plokist (vt. joonist). Liikuvate plokkide külge on riputatud koormised massiga $m$ . Missuguse massiga $m_{x}$ peavad olema nööri otstesse riputatud äärmised koormised, et süsteem oleks tasakaalus? Plokkide ja nööri mass jätta arvestamata ning nöör lugeda venimatuks.

Lahendus

Vaatleme jõudude tasakaalu koormiste jaoks. Ühe äärmise klotsi puhul peab raskusjõud tasakaalustama nööri tõmbejõu: $m_{x} g = T$ .

Igale vahelmisele koormisele mõjuv raskusjõud peab tasakaalustama nööri kahekordse tõmbejõu:

m g = 2 T

Siit järeldub, et

m_{x} = \frac{m}{2}

4. Plokk

Kui suure jõuga peab tüdruk nöörist tõmbama, et hoida üleval lauda, millel ta ise seisab (vt. joonist)? Tüdruku mass on $m = 60 k g$ ; laua, plokkide ja nööri massi mitte arvestada.

Lahendus

Tasakaalutingimusest laua jaoks

2 F + F = m g - F

saame, et

F = \frac{m g}{4} = 150 N

1.6 Rõhk

1. Rehvid

Kui palju vajub sõiduauto madalamale oma kaalu tõttu? Sõiduauto mass $m = 1, 5 t$ , rehvide laius $d = 18 c m$ , õhu rõhk rehvides $p = 3, 0 p_{0}$ , kus $p_{0} = 10^{5} P a$ on atmosfäärirõhk, rehvide välisraadius $R = 25 c m$ . Vedrustuse tõttu tekkivat vajumist mitte arvestada.

Lahendus

2. Redel

Redelile on pandud pikk laud. Laua vasakpoolses otsas ripub koormis massiga $m$ . Laua parempoolses otsas on varras, mis ulatub laeni ja hoiab lauda ümber kukkumast. Kui rõhk vardas on suurem kui $p$ , siis varras puruneb. Varda ristlõikepindala on $S$ . Redelist vasakul oleva laua osa pikkus on $l_{1}$ . Kui kaugele toetuspunktist tuleb varras panna, et rõhk vardas oleks $p$ ? Kas varras puruneb siis, kui varras on kriitilisest kaugusest lähemal või kaugemal? Laua massi mitte arvestada.

Lahendus

Kasutame kangi reeglit: $m g l_{1} = p S l_{2}$ . Siit avaldame kauguse $l_{2}$ :

l_{2} = \frac{m g l_{1}}{S p}

Varras puruneb, kui varras asetada redelile lähemale kui kaugus

l_{2}

3. Risttahukad

Olgu meil kaks mõõtmetelt identset, kuid eri tihedusega ja eri värvi risttahukat. Kui must risttahukas asetati tahule "A'', siis tema rõhk alusele oli $p_{m} = 100 k P a$ (arvestamata õhurõhku). Kui mõlemad kehad pandi vett täis basseini põhja nii, et must risttahukas toetus tahule "A'' ja valge risttahukas asetati musta peale, siis nende kehade poolt põhjale avaldatav rõhk oli $p = 110 k P a$ (ilma vee- ja õhu rõhku arvestamata). Leida valge risttahuka tihedus $ρ_{v}$ , kui on teada, et musta keha tihedus $ρ_{m} = 2 ρ_{v}$ . Vee tihedus $ρ = 1 g / c m^{3}$ .

Lahendus

Et tegemist on kahe identse risttahukaga, siis on ka nende ruumalad võrdsed. Tähistame seda $V$ . Musta risttahuka rõhk:

p_{m} = \frac{F_{m}}{S} = \frac{ρ_{m} V g}{S}

Kehade süsteem avaldab vee all rõhku:

p = \frac{F_{v} + F_{m} - F_{¨ u}}{S} = \frac{(ρ_{v} + ρ_{m} - 2 ρ) V g}{S}

Avaldades

V

mõlemast valemist, saame:

\frac{p_{m} S}{ρ_{m} g} = \frac{p S}{(ρ_{v} + ρ_{m} - 2 ρ) g} \Rightarrow \frac{p_{m}}{ρ_{m}} = \frac{p}{ρ_{v} + ρ_{m} - 2 ρ}

Kuna

ρ_{m} = 2 ρ_{v}

, saame:

\frac{p_{m}}{2 ρ_{v}} = \frac{p}{ρ_{v} + 2 ρ_{v} - 2 ρ} = \frac{p}{3 ρ_{v} - 2 ρ}

2 ρ_{v} p = p_{m} (3 ρ_{v} - 2 ρ) = 3 ρ_{v} p_{m} - 2 ρ p_{m}

ρ_{v} = \frac{2 ρ p_{m}}{3 p_{m} - 2 p} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 100}{3 \cdot 100 - 2 \cdot 110} = \frac{200}{80} = 2, 5 g / c m^{3}

1.7 Vedelikud ja rõhk

1. U-toru

U-toru ühe haru ristlõikepindala on $S_{1} = 5 c m^{2}$ , teise haru ristlõikepindala $S_{2} = 2 c m^{2}$ . U-torus on vesi. Mitu grammi bensiini valati U-toru jämedamasse harusse, kui selle tulemusena tõusis vee nivoo peenemas torus $h_{2} = 25 c m$ võrra? Vee tihedus on $ρ_{v} = 1000 k g / m^{3}$ ja bensiini tihedus $ρ_{b} = 710 k g / m^{3}$ .

Lahendus

Peenikesse torusse tuli vesi jämedast torust. Kuna peenikeses torus vesi tõusis, siis jämedas torus langes veetase seose $h_{1} S_{1} = h_{2} S_{2}$ kohaselt, sest U-torus vee ruumala on jääv. Veetaseme langus jämedas torus on

h_{1} = \frac{h_{2} S_{2}}{S_{1}} = 10 c m

Bensiinisamba rõhu jämedas torus tasakaalustab

h_{v} = 10 c m + 25 c m = 35 c m

kõrguse veesamba rõhk peenikeses torus, seega kehtib seos

ρ_{b} g h_{b} = ρ_{v} g h_{v}

. Leiame bensiinisamba kõrguse.

h_{b} = \frac{h_{v} ρ_{v}}{ρ_{b}} = 49, 3 c m

Bensiini ruumala on seega

V = h_{b} S_{1} = 246, 5 c m^{3}

. Bensiini mass on leitav seosest

ρ = \frac{m}{V}

, kust

m = 175 g

2. U-toru

Kolmeosalises U-torus (vt. joonis) on vesi. Kui palju tõuseb veenivoo keskmises torus, kui parempoolsesse torusse valada $h_{˜ o} = 10 cm$ kõrgune õlisammas ja vasakpoolsesse torusse $h_{b} = 20 c m$ kõrgune bensiinisammas? Õli tihedus on $ρ_{˜ o} = 840 k g / m^{3}$ , bensiini tihedus $ρ_{b} = 720 k g / m^{3}$ ja vee tihedus $ρ_{v} = 1000 k g / m^{3}$ . Torude läbimõõdud on võrdsed.

Lahendus

Vedelikud on tasakaalus, kui kõikides torudes vedelike rõhud on uuele nivoole võrdsed. Eelneva hinnangu kohaselt on parempoolses torus lisaks õlile ka veesammas.

Veesamba keskmises torus saame seosest

ρ_{b} g h_{b} = ρ_{v} g h_{v 2}

Veesamba kõrgus keskmises torus on

h_{v 2} = \frac{ρ_{b} g h_{b}}{ρ_{v} g} = 14, 4 c m

Parempoolses torus on õli ja vesi, seega

ρ_{b} g h_{b} = ρ_{˜ o} g h_{˜ o} + ρ_{v} g h_{v 3}

Seosest saame, et kolmandas torus on lisaks õlile üle uue nivoo veesammas

h_{v 3} = \frac{ρ_{b} g h_{b} - ρ_{˜ o} g h_{˜ o}}{ρ_{v} g} = 6 c m

Uue nivoo veesammas keskmises ja parempoolses torus kogupikkusega

20, 4 c m

. Enne valamist jaotus see sammas kolme toru vahel, seega

6, 8 c m

igasse torusse.

Järelikult vee nivoo tõus keskmises torus on

14, 4 c m - 6, 8 c m = 7, 6 c m

3. Tamm

Paisjärve üheks küljeks on risttahukakujuline tamm pikkusega $l = 50 m$ . Kui suure kogujõuga surub vesi tammi, kui vee sügavus tammi juures $h = 10 m$ ? Vee tihedus $ρ = 1000 k g / m^{3}$ .

Lahendus

Sügavusel $x$ veepinnast on veesamba põhjustatud rõhk $p = ρ g x$ . Kitsale tammiribale väga väikese kõrgusega $Δ x$ ja pikkusega $l$ mõjub jõud

Δ F = p l Δ x = ρ l g x Δ x

. Näeme, et see jõud

Δ F

on võrdeline sügavusega, olles 0 kui

x = 0

ρ l g h Δ x

kui

x = h

, keskmine on

\frac{1}{2} ρ l g h Δ x

. Kogujõud on summa kõikidest

Δ F

-idest, seega kokku

F = \frac{1}{2} ρ l g h^{2} = 2, 45 \cdot 10^{7} N

4. Vedelikud

Kaks ühesugust silindrilist anumat on põhja lähedalt ühendatud peenikese horisontaalse toru abil ristlõikepindalaga $S = 1 c m^{2}$ . Esimeses anumas on vedelik tihedusega $ρ_{1} = 0, 9 g / c m^{3}$ , teises $ρ_{2} = 1, 1 g / c m^{3}$ . Ühendavas torus eraldab vedelikke vabalt liikuv kolb, mis asub algselt paigal toru keskel. Üheaegselt tehakse lahti kraanid, nii et esimesse anumasse voolab juurde esimest vedelikku ning teisse anumasse teist vedelikku, kumbagi kiirusega $v_{0} = 50 c m^{3} / s$ . Mis suunas ja millise kiirusega hakkab liikuma kolb?

Lahendus

Kuna kolb seisab algul paigal, tähendab, et talle mõjuvad jõud on võrdsed ehk rõhud, mida vedelikud talle mõlemalt poolt avaldavad, peavad olema võrdsed.

F_{1} = p_{1} S_{k o l b} = F_{2} = p_{2} S_{k o l b} ⟹ p_{1} = p_{2}

Vedelikusamba rõhk avaldub valemiga:

p = ρ g h,

kus

ρ

on vedeliku tihedus,

g

on raskuskiirendus Maal ja

h

on vedelikusamba kõrgus.
Algselt on vedelikusammaste kõrgused ühendatud anumas vastavad:

ρ_{1} g h_{1} = ρ_{2} g h_{2} ⟹ ρ_{1} h_{1} = ρ_{2} h_{2}

Et kolb püsiks paigal ehk, et rõhud kolvi mõlemal pool oleksid võrdsed, peab kehtima seos:

h_{1} = \frac{ρ_{2}}{ρ_{1}} h_{2}

Kuna mõlemasse silindrilisse anumasse hakkab võrdses koguses erinevate tihedustega vedelikku juurde tulema, muutub

h_{1}

h_{2}

suhe ning kolb hakkab liikuma anuma poole, milles oleva vedeliku tihedus on väiksem.

Olgu $S_{0}$ anumate aluse pindala ning $v$ vaheseina liikumise kiirus. Aja $t$ jooksul tõuseb esimeses anumas vedeliku nivoo kõrgus

Δ h_{1} = \frac{Δ t v_{0}}{S_{0}} + \frac{Δ t v S}{S_{0}}

võrra, teises anumas aga

Δ h_{2} = \frac{Δ t v_{0}}{S_{0}} - \frac{Δ t v S}{S_{0}}

võrra. Kuna hüdrostaatiline rõhk nii algselt kui ka pärast peab olema mõlemas anumas toru kõrgusel ühesugune, siis kehtib võrdus

ρ_{1} g Δ h_{1} = ρ_{2} g Δ h_{2}

. Seega

ρ_{1} (\frac{Δ t v_{0}}{S_{0}} + \frac{Δ t v S}{S_{0}}) = ρ_{2} (\frac{Δ t v_{0}}{S_{0}} - \frac{Δ t v S}{S_{0}})

ρ_{1} (v_{0} + v S) = ρ_{2} (v_{0} - v S)

kust kolb hakkab liikuma kiirusega

v = \frac{v_{0} (ρ_{2} - ρ_{1})}{S (ρ_{2} + ρ_{1})} = 5 c m / s

esimese anuma suunas.

5. U-toru

Ühesuguste harudega U-torusse on valatud vesi. U-toru ühte harusse valatakse õli, nii et tekib

10 c m

kõrgune õlisammas. U-toru teise harusse valatakse petrooleumi, nii et mõlemas harus on lõpuks vedelike ülemine nivoo samal kõrgusel. Petrooleum ja õli ei segune veega. Kui kõrge on U-torusse valatud petrooleumi sammas? Vee tihedus on

1000 k g / m^{3}

, õli tihedus on

900 k g / m^{3}

ja petrooleumi tihedus on

800 k g / m^{3}

Lahendus

Lähtume tasakaalutingimusest: õlisammas kõrgusega $h_{˜ o} = 10 cm$ peab avaldama sama rõhku, kui petrooliumi sammas kõrgusega $h_{p}$ pluss veesammas kõrgusega $h_{v} = h_{˜ o} - h_{p}$ . See viib meid võrrandisüsteemini:

ρ_{˜ o} g h_{˜ o} = ρ_{v} g h_{v} + ρ_{p} g h_{p}

h_{˜ o} = h_{v} + h_{p}

kust saame avaldada petrooliumi samba kõrguse:

h_{p} = \frac{ρ_{v} - ρ_{˜ o}}{ρ_{v} - ρ_{p}} h_{˜ o} = 5 c m

6. Koonilised anumad

Kaks pealt lahtist koonilist anumat on omavahel ühendatud ja osaliselt veega täidetud (vt. joonis). a) Kas ja millises suunas voolab vesi voolikus, kui soojendada vett anumas A? b) Kas ja millises suunas voolab vesi voolikus, kui soojendada vett anumas B? Märkus: Anumate soojuspaisumisega pole vaja arvestada.

Lahendus

Mõlemas koonilises anumas on tegemist sama vedelikuga. Kui soojendada neid võrdselt, siis nende ruumala suureneb sama palju soojuspaisumise tõttu. Kui rõhud, mida vedelikusambad tekitavad ühendustoru juures kooniliste anumate põhjas, on võrdsed, siis vedelik kahe koonilise anuma vahel ei hakka voolama, kui aga ei ole, siis hakkab vedelik voolama anuma suunas, kus vedelikusamba rõhk on väiksem.
Vedelikusamba rõhk avaldub:

p = ρ g h,

kus

ρ

on vedeliku tihedus,

g

on raskuskiirendus Maal ning

h

on vedelikusamba kõrgus, mida mõõdame meie ülesandes ühendustoru keskpaigast, kuni vedeliku pinnani vertikaalselt.

a) Kui soojendada anumat $A$ , siis vedeliku tihedus väheneb ja vedeliku kõrgus anumas kasvab ruumala suurenemise tõttu. Kuid kuna kogu ruumala suurenemine ei jää kohakuti ühendustoruga (õhu ja vee piirpind on suurem kui ühendustoru pindala), siis kokkuvõttes vedelikusamba rõhk väheneb, ning vedelik hakkab voolama anuma $A$ poole.

b)Kui soojendada anumat $B$ , siis vedeliku tihedus väheneb ja vedeliku kõrgus anumas kasvab ruumala suurenemise tõttu. Kuid kuna seekord on õhu ja vee piirpind väiksem ühendustoru omast, siis kokkuvõttes anuma $B$ poolt põhjustatud vedelikusambarõhk suureneb, ning vedelik hakkab voolama anuma $A$ suunas.

7. Kuup

Kuubikujuline anum, mille serva pikkus on $a = 36 c m$ , on täidetud ääreni vee ja petrooleumiga. Vedelike massid on võrdsed. Määrake vedelike kogurõhk anuma põhjale. Anuma seinte paksust mitte arvestada. Vee tihedus on $1000 k g / m^{3}$ , petrooleumil $800 k g / m^{3}$ .

Lahendus

Et $m_{1} = m_{2}$ , siis rõhud on samuti võrdsed $p_{1} = p_{2}$ , kus $p_{1} = ρ_{1} g h_{1}$ on petrooleumi rõhk ja $p_{2} = ρ_{2} g h_{2}$ on vee rõhk, ning $h_{1}$ ja $h_{2}$ on vastavalt petrooleumi- ja veekihi kõrgused:

h_{1} + h_{2} = a, h_{2} = \frac{ρ_{1} a}{ρ_{1} + ρ_{2}} = 0, 16 m

Kogu rõhk on

p = p_{1} + p_{2} = 2 p_{2} = 2 ρ_{2} g h_{2} \approx 3100 P a = 3, 1 k P a

8. Anumad

Kaks ühesugust silindrilist anumat põhjapindalaga $S_{0} = 30 c m^{2}$ on ühendatud toru abil, mille pikkus on $l = 50 c m$ ja ristlõikepindala $S_{1} = 4 c m^{2}$ (vt. joonis). Toru telg asub kõrgusel $h_{0} = 10 c m$ anumate põhjast. Anumatesse on valatud võrdse kõrguseni $h = 30 c m$ erinevad vedelikud. Joonisel vasakpoolses anumas oleva vedeliku tihedus on $ρ_{1} = 900 k g / m^{3}$ ja parempoolsemas anumas oleva vedeliku tihedus on $ρ_{2} = 1100 k g / m^{3}$ . Täpselt toru keskel asub õhukevahesein, mis ei lase vedelikel üksteisega seguneda. Alghetkel on vahesein fikseeritud asendis. Millise kauguse võrra ja millises suunas nihkub vahesein, kui see vabaks lasta?

Lahendus

Kui vahesein on vabastatud, peavad vedelikusammaste rõhud anumates olema ühendustoru telje kõrgusel $h_{0}$ ühesugused. Tähistades vedelikusamba kõrguse vasakpoolses anumas (ühendustoru teljest alates) $h_{1}$ ja vedelikusamba kõrguse parempoolses anumas $h_{2}$ , saame võrrandi: $ρ_{1} h_{1} = ρ_{2} h_{2}$ . Kahe vedeliku koguruumala ei muutu, mistõttu vedelikusammaste kõrguste summa anumates jääb samaks:

h_{0} + h_{1} + h_{0} + h_{2} = 2 h

Avaldades neist kahest võrrandist suuruse $h_{2}$ ja võrdsustades pooled:

\frac{ρ_{1} h_{1}}{ρ_{2}} = 2 (h - h_{0}) - h_{1} \Rightarrow h_{1} = 2 ρ_{2} \frac{h - h_{0}}{ρ_{1} + ρ_{2}} = 22 c m

Veesamba kõrgus vasakpoolses anumas muutub

Δ h = h_{1} - (h - h_{0}) = 2 c m

võrra, mille tõttu vedeliku ruumala selles anumas suureneb

Δ V = Δ h S_{0}

võrra. Selle ruumala võrra väheneb esimese vedeliku ruumala ühendustorus, seega vahesein nihkub vasakule pikkuse

Δ l

võrra:

Δ l = \frac{Δ h S_{0}}{S_{1}} = 15 c m

9. Pudel

Pudelis on vesi. Pudel on hermeetiliselt suletud korgiga, millest on läbi pandud toru. Loetleda võimalusi vee pudelist kättesaamiseks pudelit laualt kergitamata. Põhjendada vastust teoreetiliselt.

Lahendus

Ülesande tegijad nuputasid välja kolm võimalust vee kättesaamiseks:
a) Imeda. Vesi tuleb välja rõhkude vahe toimel.
b) Puhuda. Puhudes pudelisse sisse välisrõhust suurema rõhu, tuleb samuti vesi rõhkude vahe tõttu välja.
c) Soojendada vett. Veeaur surub alguses osa vett välja. Keema ajamisel ülejäänud osa veest aurustub ja lahkub anumast auruna.

10. Klaastoru

Klaastoru, mille alumine ots on veekindlalt plaadiga suletud, hoitakse vertikaalselt vees. Vees oleva toru osa pikkus on $h = 0, 36 m$ . Torru valatakse petrooleumi, mille tihedus $ρ_{p} = 800 k g / m^{3}$ . Kui kõrge petrooleumisamba korral eraldub plaat toru otsast? Plaadi massi mitte arvesada, vee tihedus $ρ_{v} = 1000 k g / m^{3}$ .

Lahendus

Plaat eraldub torust siis, kui petrooleumisamba rõhk saab võrdseks veesamba rõhuga.

ρ_{v} g h = ρ_{p} g h_{p}

kus

h_{p}

on otsitav petrooleumisamba kõrgus.

h_{p} = ρ_{v} h / ρ_{p} = 45 c m

11. Rõhu valem

Vedeliku rõhku anuma põhjale saab arvutada valemiga $p = ρ g h$ , kus $ρ$ on vedeliku tihedus, $g$ raskuskiirendus ja $h$ vedelikusamba kõrgus. Kas seda valemit võib kasutada alati ka tahke keha poolt alusele avaldatava rõhu arvutamiseks, võttes vedeliku tiheduse asemel tahke aine tiheduse ja vedelikusamba kõrguse asemel keha kõrguse? Põhjendada vastust.

Lahendus

Vedeliku rõhu valemit ei või alati kasutada tahke keha rõhu määramisel. Vedelik annab rõhku edasi igas suunas ühteviisi ja sellepärast pole oluline vedelikusamba kuju. Tahke keha avaldab rõhku ainult vertikaalsihis ja tulemus oleneb toetuspinna suurusest. Seega: vedeliku rõhk ei sõltu anuma kujust, vaid vedelikusamba kõrgusest. Tahke keha puhul oleneb keha rõhk alusele sellest, missugune on keha põhjapindala $S$ .Vedeliku puhul

p_{1} = p_{2} = ρ g h

kuid tahke keha puhul

p_{1} < p_{2} = \frac{m g}{S}

(vt. joonis).

12. Ühendatud anumad

Ühendatud anumatesse diameetritega $d_{1}$ ja $d_{2}$ on valatud vedelik tihedusega $ρ$ . Kui palju tõuseb vedelik anumates, kui ühte anumasse panna keha massiga $m$ , mille materjali tihedus on vedeliku tihedusest väiksem?

Lahendus

Ujuv keha tõrjub välja vedeliku koguse $Δ V$ , mille mass on võrdne ujuva keha massiga. Seega väljatõrjutud ruumala avaldub:

Δ V = \frac{m}{ρ}

Kahe anuma summaarne põhjapindala on:

S = \frac{π d_{1}^{2}}{4} + \frac{π d_{2}^{2}}{4} = \frac{π (d_{1}^{2} + d_{2}^{2})}{4}

Järelikult tõuseb veetase anumates kõrguse $Δ h$ võrra:

Δ h = \frac{Δ V}{S} = \frac{4 m}{π ρ \cdot (d_{1}^{2} + d_{2}^{2})}

1.8 Energia

1.8.1 Mida peab nende ülesannete lahendamiseks teadma ja oskama

Õppekava teemad mehaanilise energia jäävuse seadus, kineetiline ja potentsiaalne energia, koguenergia.
Saab aru, et liikumisel võivad esineda energia kaod. Kui esinevad kaod, siis mehaanilise energia jäävuse seadus ei kehti, osa energiat läheb takistavate jõudude ületamiseks. Käsitleb idealiseeritud olukorda, kui ülesande tekst ütleb, et üht või teist reaalselt kehale mõjuvat jõudu ei arvestata.
Oskab taandada korrapärase kujuga kehade liikumise nende massikeskme liikumiseks.
Oskab hinnata vedelikes kehadele mõjuva üleslükkejõu potentsiaalset energiat.
Kasutab mehaanilise töö ja võimsuse definitsiooni nende kahe füüsikalise suuruse üksteise kaudu arvutamiseks.
Saab aru, et mingi mehaanilise töö tegemiseks kuluv minimaalne energia vastab olukorrale, kus energia kadudega ei pea arvestama.
Oskab kasutada keha kineetilise energia arvutamise valemit $E = \frac{m v^{2}}{2}$ .

Ülesanded

1. Bensiinikulu

Leidke kiirusel $v = 90 km/h$ sõitva auto bensiinikulu liitrites $s = 100 km$ kohta, kui mootoris kütuse põlemisel eralduv võimsus on sellel kiirusel $P = 58 kW$ . Bensiini põlemisel eralduv soojushulk ruumalaühiku kohta on $ρ = 35 MJ/l$ .

Lahendus

Autol kulub $s = 100 k m$ läbimiseks aeg $t = s / v$ . Selle ajaga kulutab mootor energiat $Q = P t$ . Vastava energia saamiseks kulub $V = Q / ρ$ bensiini. Siit saab nüüd leida kütusekulu $100 k m$ kohta.

V = \frac{P s}{v ρ} = \frac{58 k W \cdot 100 k m}{90 k m / h \cdot 35 M J / l} \approx 6, 6 l

2. Lauatennisepall

Lauatennisepall läbimõõduga $d = 30 mm$ ja massiga $m = 5 g$ suruti vette sügavusele $H = 30 cm$ . Kui pall sel sügavusel lahti lasti, hüppas see veest välja kõrgusele $h = 10 cm$ . Kui palju energiat muundus siseenergiaks palli ja vee hõõrdumise tõttu? Hõõrdumist õhuga lugeda tühiseks, vee tihedus $ρ_{v} = 1000 k g / m^{3}$ .

Lahendus

Vees mõjub pallile jõud $F = ρ_{v} g V - m g$ , mis on suunatud üles. Kui veepind on nullnivoo, siis vee alla surutud palli potentsiaalne energia on

E_{1} = F H = (ρ_{v} g \frac{π d^{3}}{6} - m g) H = 0, 027 J

Vee kohal on palli potentsiaalne energia

E_{2} = m g h = 0, 005 J

Töö takistusjõudude ületamiseks vees on seega

A = E_{1} - E_{2} = 0, 022 J

3. Tiik

Tiigist on vett vaja pumbata paaki ruumalaga $V = 200 l$ . Vett pumbatakse vertikaalse toru kaudu, mille ristlõikepindala on $S = 0,005 m^{2}$ . Vesi suunatakse paaki üle serva, mis asub veepinnast kõrgusel $h = 5 m$ . Enne pumpamise algust on paak ja toru veest tühjad. Kui suur töö on vaja teha paagi täitmiseks?

Lahendus

Tööd on vaja teha selleks, et tõsta $200 k g$ vett $5 m$ kõrgusele ja tõsta torusse jäävat vett. Torus olev vesi, mille mass on

0, 005 m^{2} \cdot 5 m \cdot 1000 k g / m^{3} = 25 k g

tõstetakse keskmiselt

2, 5 m

kõrgusele. Raskusjõu töö avaldub valemiga

A = F s = m g h

seega

A = (200 k g \cdot 5 m + 25 k g \cdot 2, 5 m) \cdot 9, 8 N / k g \approx 10, 4 k J

4. Pump

Ristkülikukujulise ristlõikega süvend sügavusega

H

on pooleni täidetud veega. Pump pumpab vee üles süvendi servale läbi toru raadiusega

R

. Kui suure töö

A

peab tegema pump, et pumbata süvendist välja kogu vee aja

t

jooksul? Süvendi põhja pindala on

S

. Juhtnöör: Keha kineetiline energia arvutatakse valemiga

E = \frac{m v^{2}}{2}

Lahendus

Vee esialgne potentsiaalne energia süvendis on $W_{1} = m g h$ , kus $h$ on vee masskeskme kõrgus. Masskese sümmeetrilise ja ühtlase keha puhul asub selle geomeetrilises keskpunktis. Kuna veetaseme kõrgus süvendis on $H / 2$ , siis järelikult asub vee masskese kõrgusel $H / 4$ ehk süvendi põhja ja veepinna vahemaa keskel. Järelikult $W_{1} = m g H / 4$ .
Vesi pumbatakse kõrgusele $H$ , kus on tema potentsiaalne energia $W_{2} = m g H$ . Lisaks potentsiaalse energiale omab vesi pärast välja pumpamist ka kineetilist energiat, sest ta väljub pumbast teatud kiirusega $v$ . Selle kiiruse leiame me järgmisest kaalutlusest: kogu süvendis asuv vesi ruumalaga $S H / 2$ peab toru ristlõiget $π R^{2}$ läbima aja $t$ jooksul. Järelikult $π R^{2} v t = S H / 2$ , kust

v = \frac{S H}{2 π R^{2} t}

Energia jäävusest leiame otsitava pumba töö

A = Δ W + E = \frac{3 m g H}{4} + \frac{m}{2} {(\frac{S H}{2 π R^{2} t})}^{2}

Arvestades, et vee mass on

m = ρ S H / 2

, saame

A = \frac{ρ S H}{2} (\frac{3 g H}{4} + \frac{1}{2} {(\frac{S H}{2 π R^{2} t})}^{2})

5. Sukeldumine

Millisele sügavusele $h$ sukeldub keha, mis langeb vette kõrguselt $H$ , kui keha tihedus $ρ_{k}$ on vee tihedusest $ρ_{v}$ väiksem? Keskkonna takistust vees ja õhus mitte arvestada.

Lahendus

Olgu keha mass $m$ , keha poolt välja tõrjutud vee mass $m_{v}$ ja keha ruumala $V$ . Kehale vees mõjub Archimedese jõud $F_{A} = m_{v} g = ρ_{v} g V$ , kehale mõjuv raskusjõud $P = m g = ρ g V$ . Keha kineetiline energia vee pinnal võrdub vee pinnalt kõrgusele $H$ tõstetud keha potentsiaalse energiaga $m g H$ . Töö keha sukeldumisel sügavusele $h$ on

A = (F_{A} - P) \cdot h

Energia jäävuse seaduse põhjal

m g H = (F_{A} - P) \cdot h

ρ g V H = (ρ_{v} g V - ρ g V) \cdot h

kust

h = \frac{ρ H}{ρ_{v} - ρ}

6. Autod

Auto, mille mootori võimsus on $30 k W$ , arendab täisvõimsusel kiirust $15 m / s$ . Teine auto, mootori võimsusega $20 k W$ , arendab samadel tingimustel kiirust $10 m / s$ . Millise kiirusega liiguvad trossiga omavahel ühendatud autod? Eeldada, et mõlema auto mootorid töötavad täisvõimsusega ja veavad samas suunas, ning et takistusjõud ei sõltu kiirusest.

Lahendus

Võimsuse definitsioonist $N = A / t$ saame ühtlase liikumise puhul

N = F s / t = F v

Trossiga ühendatud autode mootorite koguvõimsus on

N = (F_{1} + F_{2}) \cdot v

kus

F_{1}

F_{2}

on autodele mõjuvad takistusjõud ja nende summa on trossiga ühendatud autodele mõjuv kogutakistusjõud,

v

on trossiga ühendatud autode liikumiskiirus. Kuna

N_{1} = F_{1} v_{1}

N_{2} = F_{2} v_{2}

, kus

v_{1}

v_{2}

on vastavalt esimese ja teise auto sõltumatud kiirused, siis

N = (\frac{N_{1}}{v_{1}} + \frac{N_{2}}{v_{2}}) v \Rightarrow v = \frac{(N_{1} + N_{2}) v_{1} v_{2}}{N_{1} v_{1} + N_{2} v_{2}} = 12, 5 m / s

7. Lennuk

Kui palju bensiini kulutab lennuk lennates $500 k m$ keskmise kiirusega $250 k m / h$ , kui mootorite keskmine kasulik võimsus on $2000 k W$ . Ühe kilogrammi bensiini põlemisel eraldub soojushulk $4, 6 \cdot 10^{7} J$ , millest $25 %$ muundub kasulikuks tööks.

Lahendus

Andmed
$s = 500 k m$ - lennuki poolt läbitud kaugus;
$v = 250 k m / h$ - lennuki kiirus;
$N = 2000 k W$ - lennuki mootorite võimsus;
$η = 25 % = 0, 25$ - lennuki mootori kasutegur;
$r = 4, 6 \cdot 10^{7} J / k g$ - bensiini kütteväärtus;
$A_{k o g u}$ - kogu bensiini põlemisest eraldunud soojushulk;
$A_{k a s u}$ - kasulikuks tööks muundunud soojushulk.

Arvutused:

A_{k o g u} = r m, η = \frac{A_{k a s u}}{A_{k o g u}}, < b r > A_{k a s u} = N t, t = \frac{s}{v}

m = \frac{A_{k o g u}}{r}, A_{k o g u} = \frac{A_{k a s u}}{η}, A_{k a s u} = \frac{N s}{v}

m = \frac{N s}{η r v} = \frac{2 \cdot 10^{6} \cdot 1 \cdot 5 \cdot 10^{5} \cdot 3600}{0, 25 \cdot 4, 6 \cdot 10^{7} \cdot 250 \cdot 10^{3}} = 252 k g

Vastus. Selleks, et läbida $500 k m$ pidi lennuk kulutama $1252 k g$ bensiini.

Kui suur on minimaalne töö, mida tuleb teha, et kaevata $6 m$ pikkune, $2 m$ sügavane ja $0, 5 m$ laiune kraav? Pinnase keskmine tihedus on $2000 k g / m^{3}$ .

Kui suur on minimaalne töö, mida tuleb teha, et kaevata

6 m

pikkune,

2 m

sügavane ja

0, 5 m

laiune kraav? Pinnase keskmine tihedus on

2000 k g / m^{3}

Lahendus

Minimaalne töö tähendab, et muld tõstetakse ühtlaselt kraavist maapinnale. Labida liigutamiseks tehtud tööd ei arvestata. Kuna mulla tõstmise kõrgus muutub, siis tuleb arvesse võtta mulla tõstmise keskmine kõrgus. Keskmine mulla tõstmine kõrgus võrdub poolega kraavi sügavusest, sest kraav on riskülikukujuline.

A = F h, h = \frac{b}{2}, F = m g, m = ρ V, V = a b c

A = \frac{F b}{2} = \frac{m g b}{2} = \frac{ρ V g b}{2} = \frac{ρ g a b^{2} c}{2} = 1, 2 \cdot 10^{5} J

Vastus: Minimaalne töö kraavi kaevamiseks on $1, 2 \cdot 10^{5} J .$

9. Kiirus

$6 m$ kõrgusel maapinnast on keha kiirus $5 m / s$ . Teatud kõrgusel on selle keha kiirus $10, 2 m / s$ ja potentsiaalne energia $58, 8 J$ . Milline on keha mass. Kineetilise energia valem $E_{k} = \frac{m v^{2}}{2}$ .

Lahendus

Vastavalt ülesande tingimustele: $6$ meetri kõrgusel on keha potensiaalne energia $E_{p 1} = m g h = 6 g m$ ja kineetiline energia $E_{k 1} = \frac{m v^{2}}{2} = 12, 5 m$

Mingil tundmatul kõrgusel, aga on keha potensiaalne energia $E_{p 2} = 58, 8$ ja kineetiline energia $E_{k 2} = \frac{m v^{2}}{2} = 52, 02 m$

Vastavalt energia jäävuse seadusele:

E_{p 1} + E_{k 1} = E_{p 2} + E_{k 2}

Siit avaldame massi:

6 \cdot 9, 8 m + 12, 5 m = 58, 8 + 52, 02 m \Rightarrow m = \frac{58, 8}{6 \cdot 9, 8 + 12, 5 - 52, 02} \approx 3 k g

10. Teivashüpe

Kirjeldage energia muundumisi teivashüppel alates hoojooksust ja lõpetades matilt maha ronimisega.

Lahendus

Loeme algushetkel, kui hüppaja seisab paigal, potentsiaalse energia nulliks. Siis on algushetkel koguenergia null. Edaspidises arutluskäigus loeme teiba massi ja hüppaja mõõtmed tühiseks.

Hoojooksu ajal saab hüppaja kineetilise energia. Alates sellest hetkest, kui hüppaja teiba otsa maha toetab kuni õhkutõusmiseni muutub osa hüppaja kineetilist energiat teiba elastse deformatsiooni potentsiaalseks energiaks.

Peale õhkutõusmist hakkab teiba potentsiaalne energia ja järele jäänud kineetiline energia muutuma hüppaja potensiaalseks energiaks. Peale selle lisab hüppaja käte ja kõhulihaste abil veelgi energiat juurde ja kerkib sedasi latini.

Lati ületamisel on kogu energia potentsiaalne. Kukkudes muutub energia kineetiliseks ja edaspidi muutub hüppaja ja teiba energia soojuseks.

1.9 Elekter, vooluring

1. 55

Läheneva 55. Eesti füüsikaolümpiaadi lõppvooru eel muretses Juku endale 55 voltmeetrit takistusega $R_{1} = 5 k Ω$ ja 55 voltmeetrit takistusega $R_{2} = 55 k Ω$ . Ta tahab ühendada kõik voltmeetrid vooluvõrku ( $U = 220 V$ ) nii, et iga voltmeetri näit oleks täpselt $55 V$ . Aita Jukul üks sobiv skeem välja mõelda!

Lahendus

Skeem on esitatud joonisel. Numbriga 1 on märgitud voltmeetrid takistusega $R_{1} = 5 k Ω$ , numbriga 2 voltmeetrid takistusega $R_{2} = 55 k Ω$ .

Omavahel on ühendatud rööbiti kokku 13 plokki jadamisi ühendatuid voltmeetreid takistusega $R_{1}$ , 11 plokki jadamisi ühendatuid voltmeetreid takistusega $R_{2}$ ja veel üks plokk, milles on jadamisi ühendatud 3 voltmeetrit takisrusega $R_{1}$ ja 11 rööpühenduses voltmeetrit takistusega $R_{2}$ .

2. Elektriskeem

Joonisel kujutatud elektriskeemis on kaks ampermeetrit ja kaks ühesugust voltmeetrit. Ampermeeter $A_{1}$ näitab voolutugevust $I_{1} = 200 μ A$ , voltmeetrid näitavad pinget vastavalt $U_{1} = 100 V$ ja $U_{2} = 2 V$ . Kui suur on ampermeetri $A_{2}$ näit?

Lahendus

Kuna voltmeeter

V_{1}

on ampermeetriga

A_{1}

ühendatud jadamisi, on voolutugevus voltmeetris

A_{1} = 200 μ A

nagu ampermeetriski. Voltmeetri takistus on seega

R_{V} = \frac{U_{1}}{I_{1}}

Kuivõrd voltmeetrid on ühesugused, on ka nende takistused võrdsed. Seega voolutugevuse voltmeetris

V_{2}

saame arvutada seosest

I_{V 2} = \frac{U_{2}}{R_{V}} = \frac{U_{2} I_{1}}{U_{1}}

Voltmeeter

V_{2}

ja ampermeeter

A_{2}

on vooluringis rööbiti. Järelikult voolutugevuse ampermeetris

A_{2}

saame arvutada seosest

I_{2} = I_{1} - I_{V 2} = I_{1} - \frac{U_{2} I_{1}}{U_{1}}

Seega

I_{2} = 200 μ A (1 - \frac{2 V}{100 V}) = 196 μ A

3. Elektriskeem

Mitu korda erineb süsteemi maksimaalne ja minimaalne takistus sõltuvalt lülitite asendist? Esimene lüliti saab olla kas asendis A või B ning teine lüliti asendites C või D Kõikide takistite väärtused on $R = 1$ .

Lahendus

Asendites AC (Esimene lüliti asendis A ning teine asendis C) on süsteemi takistus R. Asendites BD on süsteemi takistus $0, 5 R$ .

Asendid AD ning BC on samaväärsed (vt joonis) omades kogutakistust $1 \frac{3}{8} R$

Seega erineb süsteemi maksimaalne ja minimaalne takistus

\frac{1 \frac{3}{8} R}{0, 5 R} = 2, 75 k o r d a

4. Kaitsmed

Rööbiti on lülitatud kaks sulavkaitset voolule $I_{M m a x} = 1 A$ ja $I_{N m a x} = 1,2 A$ takistustega vastavalt $R_{M} = 1 Ω$ ja $R_{N} = 2 Ω$ . Milline maksimaalne vool võib taolist süsteemi läbida? Milline oleks maksimaalne vool kui $I_{N m a x} = 1,7 A$ ?

Lahendus

Kuna ülesande tingimuste kohaselt vool läbi kaitsme $M$ on alati suurem kui vool läbi kaitsme $N$ (kui kumbki kaitsmetest ei ole veel läbi põlenud), siis koguvoolu kasvades põleb esmalt läbi kaitse $M$ . Koguvoolu väärtus on siis

(1 + \frac{R_{M}}{R_{N}}) I_{M m a x} = 1, 5 A

Pärast kaitsme

M

läbipõlemist läbib kogu vool kaitset

N

ja võib omandada maksimaalse väärtuse

1, 2 A

. Kuna see väärtus on väiksem kui

1, 5 A

, on maksimaalne võimalik voolu väärtus

1, 5 A

(või matemaatiliselt täpne olles - sellele väärtusele kuitahes lähedane väiksem väärtus). Juhul, kui

I_{N m a x} = 1, 7 A

saavutab vool oma maksimaalväärtuse

1, 7 A

alles pärast kaitsme läbipõlemist.

5. Lambipirnid

Kaheksa ühesugust taskulambipirni (nimipinge $4,0 V$ , nimivool $0,25 A$ ) on ühendatud joonisel näidatud viisil elektrivõrku, mille pinge on $220 V$ . Takisti tagab lampidel nimipinge. Kas lampide koguvõimsus kasvab või kahaneb, kui üks lampidest põleb läbi? Põhjendage vastust. Lampide takistuse sõltuvust hõõgniidi temperatuurist mitte arvestada.

Lahendus

Väide: Reostaadi takistus on taskulambipirnide takistusest palju kordi suurem.

Arvutused: Valime näiteks taskulambipirni nimipingega $4, 0 V$ ja nimivooluga $0, 25 A$ . Sellise pirni takistus tööolukorras on $R = U / I = 16 Ω$ . Iga lambi nimivõimsus on $1 W$ , kaheksa lambi koguvõimsus $8 W$ . Kaheksa rööpühenduses pirni kogutakistus $R^{'} = 2, 0 Ω$ . Voolutugevus vooluringis on $2, 0 A$ . Vooluringi kogutakistus on $R_{k o g u} = 110 Ω$ , millest reostaadi takistus $R = 108 Ω$ , mis on tõepoolest palju kordi suurem lampide kogutakistusest.

Väide: Kui üks lamp läbi põleb, siis muutub vooluringi kogutakistus väga vähe.

Arvutused: Postuleerime, et lambi takistus ei sõltu temperatuurist. Seitsme lambi kogutakistus on $R^{''} = 2, 29 Ω$ (ümardada pole otstarbekas). Vooluringi kogutakistus nüüd $R_{k o g u}^{'} = 110, 29 Ω$ .

Väide: Voolutugevus vooluringis muutub samuti väga vähe.

Arvutused:

I_{1} = \frac{220 V}{110, 29 Ω} = 1, 99 A

Väide: Kuna lampide kogutakistus suureneb, siis ka lampide võimsus suureneb.

Arvutused: Seitsme lambi koguvõimsus $N_{1} = 9, 1 W$ .

Väide: Kuna lampide koguvõimsus suureneb, siis muutub ka ruum valgemaks.

Arvutused: $N = I^{2} R$ Seitsme lambi koguvõimsus ( $N_{1} = 9, 1 W$ ) on suurem kaheksa lambi koguvõimsusest ( $N = 8 W$ ).

6. LI

Juku valmistas 51. koolinoorte füüsikaolümpiaadi auks LI kujulise elektrikaunistuse. Ta tegi selle valmis kahekümnest ühesugusest elektripirnist. Paraku ei teadnud Juku pirni takistust. Selle kindlakstegemiseks ühendas ta kaunistusega kaks ühesugust voltmeetrit, ampermeetri ning vooluallika (vt. joonist). Voltmeetrid näitasid pinget U₁ = 30V ja U₂ = 20V, ampermeeter näitas voolutugevust I = 75mA. Mõlemal voltmeetril on ühesugune takistus R, mille suurus pole teada. Ampermeetri takistuse loeme võrdseks nulliga. Kui suur on ühe pirni takistus ja kaunistuse poolt tarbitav võimsus?

Lahendus

Olgu ühe lambi takistus $R$ ja voltmeetri takistus $r$ . Jadamisi ühendatud kõrvalolevaid lampe saame asendada kogutakistusega. Skeemi võime ümber joonistada nii nagu joonisel näidatud.

Paneme tähele, et $I_{1} = I_{A B} = I_{C D}$ . Et

\frac{1}{R_{A} B} = \frac{1}{r} + \frac{1}{8 R} ja \frac{1}{R_{C} D} = \frac{1}{r} + \frac{1}{4 R}

siis

I_{A B} = \frac{U A B}{R_{A B}} = U_{A B} \cdot \frac{8 R + r}{8 R r} ja I_{C D} = \frac{U_{C D}}{R_{C D}} = U_{C D} \cdot \frac{4 R + r}{4 R r}

Et voolutugevused on võrdsed, saame võrduse

U_{A B} (8 R + r) = 2 U_{C D} (4 R + r)

Asendades $U_{A} B$ ja $U_{C} D$ väärtused, leiame et $r = 8 R$ . Voolutugevuse $I_{A} B$ jaoks saame nüüd

I_{A B} = U_{A B} \cdot \frac{8 R + 8 R}{8 R \cdot 8 R} ⟹ R = \frac{U_{A B}}{4 I} = 100 Ω

Leiame nüüd lampide koguvõimsuse skeemil. See on

P = 2 I_{1}^{2} \cdot 4 R + \frac{U_{1}^{2}}{8 R} + \frac{U_{2}^{2}}{4 R} = 6, 625 W

7. Lühis

Kahejuhtmelise elektri ülekandeliini ühte otsa on ühendatud alalispingeallikas, teise otsa tarviti, mille takistus on $R$ . Liini isolatsiooni vigastuse tagajärjel kasvas voolutugevus pingeallikas 2 korda, voolutugevus tarvitis kahanes 8 korda. Leidke lühise kohas kahe juhtme vahel moodustunud juhtiva sillakese takistus, kui kummagi juhtme pikkus on $l$ ja juhtme ühikulise pikkuse takistus on $ρ$ .

Lahendus

Tähistame juhtme pikkuse tarbijast kus tekkis
lühis $x$ -iga ja lühise takustuse, mida otsime $R_{l}$ -ga. Saame joonisel oleva skeemi.

Et voolutugevus läbi vooluallika suurenes 2 korda siis, oomi seadusest saame, et lühisega ahela takistus peab olema 2 korda väiksem kui lühiseta oma. Saame võrrandi:

2 ρ l + R = 2 (2 ρ (l - x) + \frac{R_{l} (2 ρ x + R)}{R_{l} + 2 ρ x + R)}

Koormisest läheb läbi $\frac{1}{8}$ esialgsest voolust ja kuna koguvool kasvas 2 korda siis läheb lühisest läbi $2 - \frac{1}{8}$ esialgsest voolust. Koormis juhtmetega lühiseni on rööbiti lühisega seega on pinged võrdsed ja oomi seadusest

U = I R = \frac{1}{8} I_{0} (R + 2 ρ x) = (2 - \frac{1}{8}) I_{0} R_{l}

Avaldame sealt

2 ρ x = 15 R_{l} - R

Asendame selle esimesse võrrandisse:

2 ρ l + R = 2 (2 ρ l + R - 15 R_{l} + \frac{16 R_{l}^{2}}{16 R_{l}})

Lihtsustame, eeldusel et $R_{l} \neq 0$ , sest muidu tuleks $2 ρ x$ negatiivne.

0 = 2 ρ l + R + (\frac{30}{16} - 30) R_{l}

R_{l} = \frac{16 (2 ρ l + R)}{16 \cdot 30 - 30}

R_{l} = \frac{8}{255} (2 ρ l + R)

8. Lüliti

Juku tahab ehitada seadet, mis elektrimootori jõul kardinaid akna ette või eest ära tõmbaks. Selleks võttis ta elektrimootori, lüliti ja suure patarei. Kasutatud lüliti võib olla kolmes asendis ja sellel on 6 klemmi. Lambi ja patareiga katsetades sai Juku teada, et erinevates asendites ( $A$ , $B$ või $C$ ) ühendab lüliti klemme kokku joonisel kujutatud viisil. Mootor muudab suunda, kui temaga ühendatud patarei klemmid ära vahetada. Kuidas peaks ühendama lüliti, patarei ja mootori, et lüliti erinevate asendite korral pöörleks mootor ühtepidi, teistpidi või oleks paigal? Joonistage kaks elektriskeemi, kus on lülitit erinevalt kasutatud.

Lahendus

Võimalikud ühendamisviisid on toodud joonisel.

9. Mõõteriistad

Vooluringis on ampermeeter ja voltmeeter ühendatud jadamisi. Klemmidele on rakendatud pinge $9 V$ . Kui voltmeetriga ühendada rööbiti takisti $R$ , väheneb voltmeetri näit kaks korda, ampermeetri näit aga suureneb kaks korda. Kui suurt pinget näitas voltmeeter enne ja pärast takisti ühendamist?

Lahendus

Olgu alguses pinge ampermeetril $U_{A}$ ja pinge voltmeetril $U_{V}$ . Jadaühenduse korral kehtib $U_{A} + U_{V} = 9$ .

Peale takisti lisamist suurenes ampermeetri näit 2 korda, seega teda läbiv voolutugevys suurene 2 korda, järelikult ka pinge ampermeetril suurenes kaks korda ja oli $2 U_{A}$ . Pinge voltmeetril aga vähenes kaks korda ja oli $0, 5 U_{V}$ . Et voltmeeter ja takisti olid ühendatud rööbiti, siis kogupinge nelles vooluringi osas on samuti $0, 5 U_{V}$ ning kogu vooluringi jaoks saame

2 U_{A} + 0, 5 U_{V} = 9 V

Lahendades kahest võrrandist koosneva võrrandisüsteemi, saame

U_{A} = 3 V

U_{V} = 6 V

. Seega alguses oli pinge voltmeetril

6 V

, lõpus aga kaks korda väiksem ehk

3 V

10. Must kast

Kui joonisel näidatud musta kasti klemmide A ja B külge ühendada patarei pingega $U$ ja klemmide C ja D külge voltmeeter, on voltmeetri näit $U$ . Kui ühendada sama patarei klemmide C ja D külge ning voltmeeter klemmide A ja B külge, on voltmeetri näit $\frac{U}{2}$ . Teades, et mustas kastis on ainult identsed takistid, joonistage musta kasti skeem!

Lahendus

Võimalik sobiv skeem on näidatud joonisel.

Kui klemmide $A$ ja $B$ külge ühendada patarei ja klemmide $C$ ja $D$ külge voltmeeter, siis läbi takisti $R_{2}$ vool ei lähe; kogu pinge on voltmeetril, mis näitab $U$ .

Kui aga patarei ühendada klemmide $C$ ja $D$ külge ja voltmeeter klemmide $A$ ja $B$ külge, jaotub pinge $U$ võrdselt takistite $R_{1}$ ja $R_{2}$ vahel. Voltmeeter näitab $\frac{U}{2}$ .
.

11. Skeem

Leidke joonisel toodud mõõteriistade näidud. Vooluallika pinge on $U$ , kõikide takistite takistused on $R$ ning mõõteriistad on ideaalsed.

Lahendus

Kirjutades skeemi teisiti on näha, et voltmeetriga jadamisi olevad takistid ei mõjuta tulemust, seega vooluringi kogutakistus on $4 R$ . Ampermeetri näit on seega $I = \frac{U}{4 R}$ .

Voltmeeter mõõdab pinget kahel takistil kokku, seega voltmeetri näit on $U = \frac{U}{4 R} \cdot 2 R = \frac{U}{2}$ .

12. Skeem

Joonisel näidatud skeemi sisendile on rakendatud pinge U. Kõigi takistite takistus on võrdselt R. Kui suur on voltmeetri näit U_V , kui: a) voltmeeter on ideaalne (selle takistus on lõpmata suur); b) voltmeetri takistus on R_V ?

Lahendus

Takisti $R_{1}$ võime mõlemal juhul skeemist välja jätta, kuna pinge temast vahetult paremal, mis on ka $U$ , on samaväärselt loetav algandmete hulka.

a) Ideaalset voltmeetrit vool ei läbi. Seega on takisteis $R_{4}$ ja $R_{5}$ voolutugevus 0. Ohmi seaduse järgi on null neil ka pinge. Nad on samaväärsed juhtiva traadijupiga ning voltmeeter näitab pingelt takistil $R_{3}$ . $R_{2}$ ja $R_{3}$ on jadaühenduses, niisiis läbib takistit $R_{3}$ voolutugevusega $I_{3} = \frac{U}{R_{2} + R_{3}} = \frac{U}{2 R}$ ja temal on pinge $U_{V} \equiv U_{3} = I_{3} R_{3} = \frac{U}{2}$ .

b) Pinge $R_{3}$ -l ( $U_{3}$ ), langeb ka $R_{4}$ , voltmeetri ( $R_{V}$ ) ja $R_{5}$ jadaühendusele, mida läbigu vool $I_{4}$ . Voolutugevus $R_{3}$ -s,

I_{3} = \frac{U_{3}}{R_{3}} = \frac{I_{4} (R_{4} + R_{V} + R_{5})}{R_{3}} = \frac{I_{4} (2_{R} + R_{V})}{R}

Et sõlmpunktidesse laengut ei koguneks, peab $R_{2}$ läbima sama vool mis $R_{3}$ ja $R_{4}$ kokku. $U$ on $R_{2}$ -l ja $R_{3}$ -l mõõdetavate pingete summa.

U = (I_{3} + I_{4}) R_{2} + I_{3} R_{3} = I_{3} (R_{2} + R_{3}) + I_{4} R_{2} =

= I_{4} [2 (2_{R} + R_{V}) + R] = I_{4} (5 R + 2 R_{V})

Seesama $I_{4}$ läbib ka voltmeetrit; voltmeetri näiduks on pinge tema väljaviikudel ehk

U_{V} = I_{4} R_{V} = \frac{U R_{V}}{5 R + 2 R_{V}}

.
.

13. Takistid

Leidke minimaalne takistusega $r = 10 Ω$ takistite arv, millest saab moodustada ahelat kogutakistusega $R = 34 Ω$ . Joonistage vastav ahela skeem.

Lahendus

Kui me ühendame jadamisi 2, 3, 4, ... takisteid, saame me ahela kogutakistusega vastavalt $20 Ω$ , $30 Ω$ , $40 Ω$ , ... . Seega otsitav ühendus ei saa olla ainult takistite jadaühendus.

Kui me ühendame omavahel rööbiti 2, 3, 4, 5, ... takisteid, saame me ahela kogutakistusega vastavalt $5 Ω, 3, 0 (3) Ω, 2, 5 Ω, 2 Ω$ , ... . Järelikult on võimalik ehitada otsitav ahel kolmest jadamisi ühendatud takistist ja kahest nendega jadamisi ühendatud viieharulisest rööpühendusest takistusega $2 Ω$ igaüks. See annaks takistite arvuks $3 + 2 \cdot 5 = 13$ . Aga kuna küsitud on minimaalset takistite arvu, siis peame uurima, kas ei saa otsitud kogutakistust saavutada ka väiksema takistite hulgaga.

On selge, et ahel peab sisaldama selliseid rööpühendusi, kus vähemalt ühes harus on rohkem kui üks takisti. Seega peab meie ahel koosnema kas kolmest jadamisi ühendatud takistist ja ühest segaühendusest kogutakistusega $4 Ω$ või kahest jadamisi ühendatud takistist ja ühest segaühendusest kogutakistusega $14 Ω$ . Esimesel juhul saame jooniselt nähtava vastuse ehk siis 7-st takistist koosneva ahela. Tõepoolest, selle ahela takistus on

R = r + r + r + \frac{(r / 2) \cdot 2 r}{r / 2 + 2 r} = 30 + \frac{100}{25} = 34 Ω

Kontrollides, leiame, et 5 takistiga $14 Ω$ -se kogutakistusega segaühendust ehitada ei saa, seega vastuseks jääb esimene variant ja 7 takistit.

14. Takistite ühendused

Antud on kolm takistit väärtustega $R_{1} = 1 Ω$ , $R_{2} = 2 Ω$ ja $R_{3} = 3 Ω$ . Milliseid erinevaid kogutakistuse väärtusi võib saada neid omavahel kahe- või kolmekaupa kõikvõimalikel viisidel ühendades?

Lahendus

Võimalikud ühendused ja vastavad takistused ( $\times$ tähistab jadaühendust, $∥$ - rööpühendust):

R_{1} \times R_{2} = 3 Ω, R_{1} \times R_{3} = 4 Ω, R_{2} \times R_{3} = 5 Ω, R_{1} \times R_{2} \times R_{3} = 6 Ω

R_{1} ∥ R_{2} = \frac{2}{3} Ω, R_{1} ∥ R_{3} = \frac{3}{4} Ω, R_{2} ∥ R_{3} = \frac{6}{5} Ω, R_{1} ∥ R_{2} ∥ R_{3} = \frac{6}{11} Ω

(R_{1} ∥ R_{2}) \times R_{3} = \frac{11}{3} Ω, (_{R} 1 ∥ R_{3}) \times R_{2} = \frac{11}{4} Ω, (R_{2} ∥ R_{3}) \times R_{1} = \frac{11}{5} Ω

(R_{1} \times R_{2}) ∥ R_{3} = \frac{3}{2} Ω, (R_{2} \times R_{3}) ∥ R_{1} = \frac{5}{6} Ω, (R_{1} \times R_{3}) ∥ R_{2} = \frac{4}{3} Ω

15. Traadijupp

Traadijupp lõigati viieks tükiks ja tükid ühendati omavahel rööbiti. Mitu korda muutus traadi takistus?

Lahendus

Takistuse definitsioonist $R = ρ l / S$ , kus $ρ$ on juhtme eritakistus, $l$ on juhtme pikkus ja $S$ on juhtme ristlõike pindala. Kuna traadijupp sai lõigatud viieks võrdseks tükiks, siis iga tüki pikkus on $l_{1} = l / 5$ .

Kuna traadijupi ristlõike pindala ja eritakistus tükkideks lõikamise käigus ei muutunud, siis on iga tüki takistus $R_{1} = R / 5$ . Teame, et takistite rööpühendamisel avaldub süsteemi summaarne takistus valemina

1 / R_{S} = 1 / R_{1} + \dots + 1 / R_{n}

Meie ülesande puhul on kõik takistid võrdse takistusega, seega

1 / R_{S} = 5 / R_{1} = 25 / R

kust

R_{S} / R = 1 / 25

Järelikult kogu süsteemi takistus vähenes 25 korda.

16. Traat

Nikeliintraat pikkusega $16 m$ ja ristlõikepindalaga $0,8 m m^{2}$ tükeldati võrdseteks osadeks ja ühendati need rööbiti. Mitmeks tükiks traat lõigati, kui rööpühenduse takistus oli $0,5, Ω$ ? Nikeliini eritakistus on $0,40 Ω \cdot m m^{2} / m$ .

Lahendus

Tähistused: $L = 16 m$ - nikeliintraadi pikkus; $S = 0, 8 m m^{2}$ - nikeliintraadi ristlõikepindala; $n$ - juhtmeosade arv; $L_{1}$ - ühe juhtmeosa pikkus; $R = 0, 5 Ω$ - ahela kogutakistus; $ρ = 0, 40 Ω \cdot m m^{2} / m$ - nikeliini eritakistus.

Lahendus: Rööpühenduse korral

\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \dots + \frac{1}{R_{n}}

Kui

R_{1} = R_{2} = \dots = R_{n}

, siis omandab valem kuju

R = R_{1} / n

. Ühe juhtmeosa pikkuse saab leida valemist

R = ρ \frac{L}{S} \Rightarrow L_{1} = \frac{R_{1} S}{ρ}

Arvestades, et

R_{1} = n R

L_{1} = L / 2

, saame

\frac{L}{n} = \frac{n R S}{ρ}, n^{2} = \frac{L ρ}{R S} = 16 \Rightarrow n = 4

Vastus: traat tükeldati neljaks osaks.

17. Traatraam

Arvutada joonisel kujutatud traatraamistiku takistus punktide $A$ ja $B$ vahel, kui $10 c m$ pikkuse traaditüki takistus on $1 Ω$ ja ringi raadius on $10 c m$ .

Lahendus

Tähistused: $R_{1}$ - traadilõigu takistus punktide $A$ ja $C$ vahel mööda ringjoont; $R_{2}$ - traadilõigu takistus punktide $A$ ja $C$ vahel mööda diameetrit; $R_{3}$ - traadilõigu takistus punktide $C$ ja $B$ vahel mööda ringjoont; $R_{4}$ - traadilõigu takistus punktide $A$ ja $B$ vahel mööda ringjoont; $δ$ - traadi joontakistus.

Antud: $R_{0} = 1 Ω$ - $10 c m$ pikkusega traadilõigu takistus; $r = 10 c m$ - traatraami raadius.

Lahendus: Ülesande lahendamiseks joonistame traatraami ekvivalentse elektriskeemi, kus traatraami küljed on asendatud takistitega . Leiame traadi joontakistuse:

δ = \frac{R_{0}}{L} = \frac{1}{10} = 0, 1 Ω / c m

Arvutame nüüd takistite takistused:

R_{1} = δ π r = 0, 1 \cdot 3, 14 \cdot 10 = 3, 14 Ω

R_{2} = δ \cdot 2 r = 0, 1 \cdot 2 \cdot 10 = 2 Ω

R_{3} = R_{4} = R_{1} / 2 = 3, 14 / 2 = 1, 57 Ω

Takistus punktide

A

C

vahel on

R_{A C} = \frac{R_{1} \cdot R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = 1, 22 Ω

Kogutakistus punktide

A

B

vahel on

R = \frac{(R_{A C} + R_{3}) \cdot R_{4}}{R_{A C} + R_{3} + R_{4}} \approx 1 Ω

18. Vaskrõngas

Vasktraadist rõngas ühendatakse vooluringi punktide $A$ ja $B$ kaudu. Rõnga ümbermõõt $l = 60 cm$ , traadi läbimõõt $d = 0,1 mm$ ja eritakistus $ρ = 0, 017 Ω \cdot m m^{2} / m$ . Kui suur on punktide $A$ ja $B$ vaheline pinge, kui rõnga lühema kaare pikkus on $1 / 3$ rõnga ümbermõõdust ja voolutugevus rõngast vooluallikaga ühendavates juhtmetes $I = 0,2 A$ ?

Lahendus

Rõnga takistus $R_{\circ} = ρ \frac{l}{S}$ . Traadi ristlõikepindala on $S = \frac{π d^{2}}{4}$ . Seega

R_{\circ} = \frac{4 ρ l}{π d^{2}}

mis teeb rõnga takistuseks

R_{\circ} = 1, 30 Ω

Rõnga osade takistused on vastavalt 2/3 ja 1/3 sellest takistusest ehk $R_{1} = 0, 87 Ω$ ja $R_{2} = 0, 43 Ω$ . Kuna rõnga kaared kui takistid on elektriliselt ühendatud rööbiti, siis vooluringi kogutakistus

R = \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}}

Arvuliselt $R = 0, 29 Ω$ . Lähtudes Ohmi seadusest saame pinge rõnga punktide $A$ ja $B$ vahel $U = I R$ ehk $U = 0, 06 V$ .

19. Vasktraat

Vasktraat, mille ristlõikepindala on $0, 5 m m^{2}$ , jagati 7 võrdse pikkusega tükiks. Ühendades saadud tükid rööbiti, saadi $1 Ω$ suurune takisti. Milline oli traadi kogupikkus? Vase eritakistus on $0, 017 Ω \cdot m m^{2} / m$ .

Lahendus

Olgu traadi esialgne pikkus $L$ . Jagades traati $n$ võrdseks tükiks, saame iga traaditüki takistuseks

r = ρ L / n S

Kui ühendada rööbiti

n

takistit võrdse takistusega

r

, siis on saadud ahela kogutakistus

R = r / n = ρ L / n^{2} S

Siit avaldame traadi pikkuse:

L = \frac{n^{2} S R}{ρ} = \frac{7^{2} \cdot 0, 5 \cdot 1}{0, 017} \approx 1440 m

20. Voltmeeter

Vooluallikaga on jadamisi ühendatud voltmeeter ja reostaat. Kui reostaadi takistust vähendada kolm korda, suureneb voltmeetri näit kaks korda. Mitu korda suureneb voltmeetri näit, kui reostaadi takistus vähendada nullini?

Lahendus

Olgu

U

vooluallika pinge,

R

reostaadi pinge ja

R_{V}

voltmeetri takistus. Jadaühendusel takistused liituvad ning voolutugevus vooluringis on

I = \frac{U}{R_{v} + R}

. Voltmeetri näit

U_{0} = I R_{V} = \frac{U R_{V}}{R_{V} + R}

. Kui reostaadi takistust vähendada kolm korda, siis on voltmeetri nait

U_{1} = \frac{U R_{v}}{R_{v} + \frac{R}{3}}

Leiame seosest

\frac{U_{1}}{U_{0}} = \frac{\frac{U R_{v}}{R_{v} + \frac{R}{3}}}{\frac{U R_{v}}{R_{v}} + R} = \frac{R_{v} + R}{R_{v} + \frac{R}{3}} = 2

voltmeetri takistuse, mis on

R_{V} = \frac{1}{3} R

. Reostaadi takistuse vähendamisel nullini on voltmeetri näit

U_{2} = \frac{U R_{V}}{R_{v}} = U

. Asendades seosesse voltmeetri takistuse ja võttes pingete suhte, saame voltmeetri näidu, kui reostaadi takistus on null:

\frac{U_{2}}{U_{0}} = \frac{U}{\frac{U R_{v}}{R_{v} + R}} = \frac{\frac{4}{3} R}{\frac{1}{3} R} = 4

Kui reostaadi takistus on null, näitab voltmeeter neli korda suuremat pinget.

21. Vooluring

Joonisel on toodud vooluring, milles on kaks voltmeetrit takistustega vastavalt $R_{1} = 6000 Ω$ ja $R_{2} = 4000 Ω$ , ning reostaat takistusega $R_{0} = 10000 Ω$ . Kui suurt pinget näitab kumbki voltmeeter, kui reostaadi liugkontakt jaotab reostaadi mähise pooleks, lüliti on suletud ning pinge reostaadi otstel $U = 100 V$ ?

Lahendus

Tähistused: voltmeetrite $V_{1}$ ja $V_{2}$ takistused vastavalt $R_{1}$ ja $R_{2}$ ning reostaadi takistus $R_{0}$ . Vooluringi võib kujutada järgmise skeemiga: Voltmeeter $V_{1}$ näitab pinget suurusega $U_{A B} = I \cdot R_{A B}$ ja voltmeeter $V_{2}$ näitab pinget $U_{B C} = I \cdot R_{B C}$ .

Voolutugevuse $I$ saab leida, kui jagada pinge reostaadi otstel ( $U$ ) vooluahela kogutakistusega ( $R_{A C} = R_{A B} + R_{B C}$ ):

I = \frac{U}{R_{A C}} = \frac{U}{R_{A B} + R_{B C}}

Kuna takistid

R_{1}

0, 5 R_{0}

R_{2}

0, 5 R_{0}

paiknevad paaridena rööpühenduses, siis saab takistite paaride kogutakistused

R_{A B}

R_{B C}

arvutada välja järgmiste valemitega:

\frac{1}{R_{A B}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{2}{R_{0}}

R_{A B} = \frac{R_{0} R_{1}}{R_{0} + 2 R_{1}} = \frac{30000}{11} Ω

\frac{1}{R_{B C}} = \frac{1}{R_{2}} + \frac{2}{R_{0}}

R_{A B} = \frac{R_{0} R_{2}}{R_{0} + 2 R_{2}} = \frac{20000}{9} Ω

Seega vooluahela kogutakistus

R_{A C}

R_{A C} = R_{A B} + R_{B C} = \frac{490000}{99} Ω

Voolutugevus

I

I = \frac{U}{R_{A C}} = \frac{99}{4900} A

Voltmeeter

V_{1}

näitab pinget

U_{A B} = I R_{A B} \approx 55 V

ja voltmeeter

V_{2}

näitab pinget

U_{B C} = I R_{B C} \approx 45 V

22. Vooluring

On antud vooluallikas, kolm lampi, kaks lülitit ja ühendusjuhtmed. Koostage vooluring, et kui mõlemad lülitid on suletud, põlevad kõik lambid, kui üks lüliti avada, siis ühe lambi heledus suureneb ja ühe lambi heledus väheneb.

Lahendus

Meie poolt väljapakutav skeem on toodud joonisel. Selle skeemi kohaselt, kui mõlemad lülitid on suletud, siis kõik lambid põlevad, kusjuures parempoolsed lambid neli korda nõrgema võimsusega (nõrgemalt) kui vasakpoolne, kuna neid läbib vaid pool sellest voolust, mis läbib vasakpoolset lampi. Seega on ülesande esimene tingimus täidetud.

Kui alumine lüliti välja lülitada, siis parempoolne ülemine lamp kustub. Paneme tähele, et ülesande tekstis ei ole ühe lambi käitumise kohta mingeid lisanduvaid nõudeid esitatud peale selle, et ta mõlema lüliti suletuse korral põleb.

Alumise lüliti väljalülitamisel ülemine parempoolne lamp kustub ja alumised kaks lampi jäävad põlema ühetugevuselt, kuna eeldatavasti kõik lambid on omadustelt võrdsed, on vool neil sama ja seega ka pingelangud võrdsed. Kuna aga koguvooluringi takistus eelpool kirjeldatud väljalülitamise käigus kasvas, siis vasakpoolse alumise lambi heledus vähenes seetõttu, et vool vähenes ja parempoolse alumise lambi heledus kasvas, kuna teda läbib peale lüliti väljalülitamist tugevam vool.

23. Vooluring

Joonisel kujutatud skeemis asub seadeldis, mis muudab takistust punktide $A$ ja $B$ vahel selliseks, et ampermeetri näit oleks null. Leidke pinge takistil $R 3$ . On teada, et $U = 5 V$ , $R_{1} = 10 Ω$ , $R_{2} = 1 k Ω$ , $R_{3} = 100 k Ω$ , $R_{4} = 4, 99 k Ω$ .

Lahendus

Ampermeeter ühendab takistid $R_{1}$ ja $R_{2}$ paralleelselt kokku, järelikult on neil alati sama pinge. Ohmi seaduse kohaselt $I_{1} R_{1} = I_{2} R_{2}$ , kus $I_{1}$ ja $I_{2}$ on voolutugevused vastavalt $R_{1}$ -s ja $R_{2}$ -s.

Kui ampermeetri näit on null, ei läbi teda vool, mistõttu on kõik voolud ja pinged ülejäänud skeemis sellised, nagu ampermeetrit ei olekski. See tähendab, et võime ampermeetri skeemist lahti ühendada ilma ühtki voolu ega pinget muutmata. Saadavas skeemis on takistid $R_{1}$ ja $R_{4}$ lihtsas jadaühenduses:

I_{1} = \frac{U}{R_{1} + R_{4}}

Samuti on uues skeemis jadaühenduses

R_{2}

R_{3}

, neis on võrdne voolutugevus,

I_{2} = I_{3}

. Otsitav pinge takistil

R_{3}

avaldub siis Ohmi seadusest.

U_{3} = I_{3} R_{3} = I_{2} R_{3} = \frac{I_{1} R_{1}}{R_{2}} R_{3} = \frac{U R_{1} R_{3}}{(R_{1} + R_{4}) R_{2}} = 1 V

24. Vooluring

On antud vooluallikas, kaks ampermeetrit, kolm lampi, lüliti ja ühendusjuhtmed. Koostage vooluringi skeem, nii et lüliti avamisel ei katkeks vooluringis vool, kuid väheneks ühe ampermeetri näit ja suureneks teise ampermeetri näit.

Lahendus

Üks võimalik lahendus.

25. Voolutugevused

Kui suur on voolutugevuste suhe joonisel näidatud takistites, kui pinge vooluallika B klemmidel on kaks korda suurem kui pinge vooluallika A klemmidel? Takistite takistused on $R_{2} = 2 R_{1}$ .

Lahendus

Voolugingi kummagi osa võib vaadelda iseseisvana. Seega on voolutugevus mõlemas takistis sama väärtusega.

1.10 Elekter, võimsus

1. Küttekeha

Juku tahab endale ehitada võimalikult võimsat veekeetjat. Selleks on tal küttekeha alusplaat, millele saab ühendada takisteid nagu näidatud joonisel, ja 4 takistit, mille takistused on $30 Ω, 20 Ω, 15 Ω$ ja $10 Ω$ . Kuidas peaks ta takistid plaadil olevatesse pesadesse paigutama, et saavutada maksimaalne võimsus, kui seadet toidetakse pingega $230 V$ , ja pinge rakendatakse kontaktide $A$ ja $B$ vahele? Kui suur on see maksimaalne võimsus?

Lahendus

Võimsus konstantse pingeallika korral on $P = U I = \frac{U^{2}}{R}$ . Seega tuleb maksimaalse võimsuse jaoks takistus minimeerida. Ahela takistus on leitav kui:

R = R_{1} + \frac{1}{\frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3} + R_{4}}}

Parim kombinatsioon on: $R_{1} = 10 Ω, R_{2} = 15 Ω, R_{3} = 20 Ω$ ja $R_{4} = 30 Ω$ .

Selle korral on takistuseks $R \approx 21, 5 Ω$ ja võimsus $P \approx 2, 46 k W$ .

2. Pirnid

Urmol oli neli pirni, neist kolm ühesugused. Kui Urmo ühendas pirnid joonisel kujutatud viisil tundmatu pingeallikaga, põlesid nad kõik sama võimsusega. Pirnil 1 oli kirjas “10 W”. Mis oli kirjas pirnidel 2, kui on teada, et kõik pirnid on sama nimipingega? Lambi takistuse sõltuvusega temperatuurist mitte arvestada.

Lahendus

Olgu pirni 1 takistus $R_{1}$ , pirni 2 takistus $R_{2}$ ja pingeallika pinge $U$ . Siis pirni 1 pinge on $U$ ja pirnidel 2 igaühel pinge $\frac{U}{3}$ . Teades, et

P = \frac{U^{2}}{R_{1}} = \frac{{(\frac{U}{3})}^{2}}{R_{2}}

saame, et $R_{1} = 9 R_{2}$ . Võrdse nimipinge korral on nimivõimsused takistusega pöördvõrdelised, järelikult $P_{2} = 9 P_{1} = 90 W$ .

3. Traadist rõngas

Traadist rõngas on ühendatud vooluringi nii, et ühenduskohad jaotavad rõnga osadeks 1:2. Seejuures eraldub rõngal elektriline võimsus $P = 100 W$ . Kui suur elektriline võimsus eraldub rõngal siis, kui rõngas ühendada vooluringi nii, et ühenduskohad jaotaksid rõnga kaheks võrdseks osaks ja pinge ühenduskohtade vahel oleks sama, mis esimeses katses?

Lahendus

Olgu rõnga pikkus $l$ .
(1) Esimesel juhul jaotavad ühenduskohad rõnga osadeks 1:2, ehk $l_{1} = \frac{l}{3}$ ja $l_{2} = 2 \frac{l}{3}$ . Rõnga osade $l_{1}$ ja $l_{2}$ elektritakistuste arvutamiseks kasutatakse valemit: $R = ρ \frac{l}{S}$ . Siis $R_{1} = ρ \frac{l_{1}}{S} = ρ \frac{l}{3 S}$ ja $R_{2} = ρ \frac{l_{2}}{S} = 2 ρ \frac{l}{3 S}$ . Rõnga osad $l_{1}$ ja $l_{2}$ paiknevad vooluringis rööbiti, seega tuleb rõnga kogutakistus R arvutada valemist:

\frac{1}{R_{(1)}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} = \frac{9 S}{2 ρ l} ⟹ R_{(1)} = \frac{2 ρ l}{9 S}

(2) Arvutame rõnga takistuse teisel juhul, kui ühenduskohad jaotavad rõnga kaheks võrdseks osaks $l_{1} = l_{2} = \frac{l}{2}$ , siis $R_{1} = R_{2} = ρ \frac{l}{2 S}$ . Traatrõnga kogutakistus:

\frac{1}{R_{(2)}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} = \frac{2}{R_{1}} = \frac{4 S}{ρ l} ⟹ R_{(2)} = \frac{ρ l}{4 S}

Elektriline võimsus: $P = \frac{U^{2}}{R}$ . Kuna on teada, et pinge $U$ rõnga ühenduskohtade vahel on mõlemal juhul samasugune, võib kirjutada: $P_{(1)} R_{(1)} = P_{(2)} R_{(2)}$ . Järelikult

P_{(2)} = \frac{P_{(1)} R_{(1)}}{R_{(2)}} = \frac{100 \cdot 8 ρ l S}{9 ρ l S} = \frac{800}{9} \approx 90 W

4. Takistite võimsused

Vooluallikaga muutumatu pingega $U$ ühendati kaks takistit. Kui takistid olid ühendatud jadamisi, oli voolu võimsus vooluringis $2 W$ . Kui takistid olid ühendatud rööbiti, oli voolu võimsus vooluringis $9 W$ . Arvuta voolu võimsus nendel kahel juhul, kui sama vooluallikaga on ühendatud ainult üks või teine takisti.

Lahendus

Voolu võimsus $N = \frac{U^{2}}{R}$
Kogutakistus jadaühendusel $R = R_{1} + R_{2}$
Kogutakistus rööpühendusel $R = \frac{R_{1} \cdot R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$
Võimsus jadaühendusel $N_{j} = \frac{U^{2}}{R_{1} + R_{2}} = 2 W$
Võimsus rööpühendusel $N_{r} = \frac{U^{2} (R_{1} + R_{2})}{R_{1} \cdot R_{2}} = 9 W$
Leiame seostest kummagi takistuse väärtused $R_{1} = \frac{U^{2}}{3} Ω$ ja $R_{1} = \frac{U^{2}}{6} Ω$
Siit voolu võimsused, kui on vooluringi ühendatud ainult üks takisti $N_{1} = \frac{U^{2}}{R_{1}} = 3 W$ ja $N_{1} = \frac{U^{2}}{R_{2}} = 6 W$ .

5. Elektriküünlad

Miku ehtis jõulude ajal kuuse elektriküünaldega, milles jadamisi oli ühendatud $20$ lampi nimepingega $12 V$ ja nimivõimsusega $15 W$ . Paari päeva pärast põles üks lampidest läbi. Kuna Mikul samasugust lampi ei olnud, asendas ta läbipõlenud lambi ema ömblusmasina lambiga, mille nimivöimsus oli samuti $15 W$ , kuid nimipinge $220 V$ . Mitu korda muutus lambi vahetuse tõttu elektrivoolu võimsus teistes lampides ning millise eredusega põlesid pärast lambi vahetust teised lambid? Pinge elektriküünalde pistiku otstel oli $220 V$ . Eeldada, et lambi takistus ei sõltu temperatuurist ja pingest.

Lahendus

Esialgu on tegelik pinge iga lambi klemmidel $U_{t} = \frac{U}{n} = \frac{220 V}{20} = 11 V$ .
Kuna pinge lambil on väiksem nimipingest, on voolu võimsus lambis väiksem lambi nimivõimsusest. Lähtudes seosest $N = \frac{U^{2}}{R}$ leiame voolu võimsuse töötavates elektriküünalde lampides.

\frac{N_{t 1}}{N_{1}} = \frac{U_{t 1}^{2} R}{R U_{1}^{2}} \Rightarrow N_{t 1} = \frac{N_{1} U_{t 1}^{2}}{U_{1}^{2}} = 12, 6 W

.
Leiame

12 V

220 V

lampide takistused:

R = \frac{U^{2}}{N}; R_{1} = \frac{12^{2} V^{2}}{15 W} = 9, 6 Ω R_{2} = \frac{220^{2} V^{2}}{15 W} = 3227 Ω

Pärast ühe lambi vahetust on jadamisi ühendatud lampide kogutakistus

R = n R_{1} + R_{2}, R = 19 \cdot 9, 6 Ω + 3227 Ω = 3410 Ω

Voolutugevus lampides on

I = \frac{U}{R} = \frac{220 V}{3410 Ω} = 0, 065 Ω

Voolu võimsus $12 V$ nimipingega lambis on sel juhul $N_{t 1} = I^{2} R_{1}, N_{t 2} = (0, 065 A)^{2} \cdot 9, 6 Ω = 0, 04 W$ .
Voolu võimsus lampides vähenes seega

\frac{N_{t 1}}{N_{t 2}} = \frac{12, 6 W}{0, 04 W} = 315 korda .

Kuna $12 V$ nimipingega lampides vähenes voolu võimsus $315$ korda ja on $15 W$ asemel ainult $0, 04 W$ , siis ilmselt lampide hõõgniidid isegi ei hõõgu ning põleb ainult $220 V$ nimipingega lamp, kuna selles on voolu võimsus.

N^{'} = 0, 065^{2} \cdot 3227 = 13, 6 W

6. Takistid

On kaks takistit. Kui ühendada alalispinge-allikaga eraldi esimene takisti, siis sellel eraldub võimsus $P_{1} = 10 W$ . Kui ühendada eraldi teine takisti, siis takistil eraldub võimsus $P_{2} = 15 W$ . Kui suur summaarne võimsus eraldub pingeallikaga ühendatud takistitel, kui nad ühendada omavahel: $a)$ rööbiti; $b)$ jadamisi?

Lahendus

Olgu vooluallika pinge $U$ , takistite takistused $R_{1}$ ja $R_{2}$ . Vastavalt ülesande tingimustele

P_{1} = \frac{U^{2}}{R_{1}} ja P_{2} = \frac{U^{2}}{R_{2}}

a)

Rööpühenduse korral on mõlemal takistil pinge

U

, seega takistitel eraldub võimsus vastavalt

\frac{U^{2}}{R_{1}} = P_{1} ja \frac{U^{2}}{R_{2}} = P_{2}

kokku saame

P = P_{1} + P_{2} = 25 W

b)

Avaldame takistused võimsuste kaudu

R_{1} = \frac{U^{2}}{P_{1}}, R_{2} = \frac{U^{2}}{P_{2}}

Jadaühenduses on kogutakistus

R = R_{1} + R_{2}

ning koguvõimsus seega

P = \frac{U^{2}}{R} = \frac{U^{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{U^{2}}{\frac{U^{2}}{P_{1}} + \frac{U^{2}}{P_{2}}} = \frac{1}{\frac{1}{P_{1}} + \frac{1}{P_{2}}} = 6 W

7. Elektripirn

Elektripirn nominaalvõimsusega $N = 3 W$ ühendatakse patareiga, mille pinge on $U_{1} = 1, 5 V$ . On teada, et kui voolutugevus põlevas elektripirnis ületab $I = 5, 8 A$ , siis pirn põleb läbi. Kert tahab lambi põlema panna, kuid paraku on tal olemas ainult patarei pingega $U_{2} = 4, 5 V$ ning peale selle veel vasktraadi tükk ristlõikepindalaga $S = 0, 9 m m^{2}$ . Kui pikk vähemalt peab olema traat, et pirn ei põleks läbi? Kuidas peab ta traaditükki kasutama pirni läbipõlemise vältimiseks? Vase eritakistus on $ρ = 0, 018 \frac{Ω \cdot m m^{2}}{m}$ .

Lahendus

Lähtudes võimsuse valemist

P = \frac{U^{2}}{R}

leiame, et pirni takistus on

R = \frac{U_{1}^{2}}{P} = 0, 75 Ω

Ühendame pirni ja traati jadamisi. Kui nüüd pirni läbib maksimaalne vool

I = 5, 8 A

, siis pirnil tekib pinge

U_{P} = I R = 4, 35 V

. Seega traadil peab tekkima pinge

U_{T} = U_{2} - U_{P} = 0, 15 V

See vastab takistusele

R_{T} = \frac{U T}{I} = 0, 026 Ω

Valemist $R = ρ \frac{l}{S}$ leiame, et

l = \frac{S R}{ρ} = 1, 3 m

8. Elektrikamin

Elektrikamin võimsusega $6 k W$ hoidis toas temperatuuri $16^{\circ} C$ . Kui pandi tööle ka radiaator võimsusega $1 k W$ , tõusis temperatuur $22^{\circ} C$ -ni. Milline on õhutemperatuur õues? Eeldada, et ajaühikus ülekantav soojushulk on võrdeline temperatuuride vahega.

Lahendus

$N_{1} = k (t_{1} - t_{˜ o}$ ), kus $k$ on tundmatu võrdetegur, $N_{1}$ on kaminalt eralduv soojus, $N_{2}$ on radiaatorilt eralduv soojus.

N_{1} + N_{2} = k (t_{2} - t_{˜ o})

Idee võrdetegurist

k

vabanemiseks:

\frac{N_{1}}{N_{1} + N_{2}} = \frac{t_{1} - t_{˜ o}}{t_{2} - t_{˜ o}}

Võrrandist

t_{˜ o}

avaldamine:

t_{˜ o} = - 20^{\circ} C

9. Maamaja

Maamaja on elektrijaotuspunktiga ühendatud $2$ kilomeetri pikkuse alumiiniumtraadist elektriliiniga. Traadi ristlõikepindala on $S = 20 m m^{2}$ . Pinge elektrijaotuspunktis elektriliini otstes on $U = 220 V$ . Majas lülitati tööle elektripliidi küttekeha, mille võimsus $220 V$ pinge korral on $P = 1000 W$ . Pliit töötas $t = 45 m i n$ . Kui palju tuleb maksta elektrienergia kasutamise eest, kui elektrienergia tariif on $γ = 1, 05 \frac{E E K}{k W h}$ ? Küttekeha takistuse sõltuvust temperatuurist pole vaja arvestada. Alumiiniumi eritakistus on $ρ = 0, 028 \frac{Ω \cdot m m^{2}}{m}$ .

Lahendus

Pliidi küttekeha takistus

R_{1} = \frac{U^{2}}{P} = 48, 4 Ω

Elektriliini traadi kogupikkus on

l = 2 \cdot 2000 m = 4000 m

ja kogutakistus

R_{2} = ρ \frac{l}{S} = 5, 6 Ω

Voolutugevus

I = \frac{U}{R_{1} + R_{2}} = 4, 1 A

Küttekehal soojusena eralduv elektriline võimsus

P_{1} = I^{2} R_{1} = 814 W

Tarbitud elektrienergia kogus on

0, 814 k W \cdot 0, 75 h = 0, 611 k W h

mille eest tuleb maksta

0, 611 k W h \cdot 1, 05 \frac{E E K}{k W h} = 64 senti

10. Elektripirn

Elektripirn võimsusega $N = 100 W$ on valmistatud $U_{1} = 110 V$ pinge jaoks. Kui suure takistusega takisti ja kuidas peab lülitama vooluringi, et see pirn töötaks $U = 220 V$ vooluvõrgus sama heledusega?

Lahendus

Takisti võib lambiga lülitada jadamisi või rööbiti. Kui lülitame takisti rööbiti, siis saavad nii lamp kui takisti võrdse pinge $U = 220 V$ , mis on lambi puhul lubamatu. Järelikult võib lisatakisti ühendada lambiga ainult jadamisi.

Selleks, et elektripirn põleks sama heledusega, peab lambis eralduv võimsus jääma samaks. Üks valemitest, millega avaldub võimsus, on

N = \frac{U^{2}}{R}

kus

U

on pinge lambil ja

R

- lambi takistus. Järelikult on sama võimsuse säilitamine võimalik ainult juhul, kui pinge lambil jääb endiseks ehk siis meie juhul

U_{1} = 110 V

(me eeldame, et lambi takistus ei sõltu pinge suurusest). See tähendab, et pinge lisatakistil peab olema

U - U_{1} = 220 - 110 = 110 V

ehk teiste sõnadega peab pinge jaotuma võrdselt takisti ja lambi vahel. Kuna ka voolutugevused lambis ja takistis on võrdsed (jadaühendus), siis on võrdsed ka võimsused, mis eralduvad takistis ja lambis(kuna

N = U I

). Siit saame lisatakisti takistuse suuruse:

R = \frac{U_{1}^{2}}{N} = \frac{110^{2}}{100} = 121 Ω

11. Patarei

Patarei pinge on $4, 5 V$ ja lühiühenduse korral suudab ta välja anda voolu $0, 5 A$ . Milline peab olema lühistatud patarei jahutusvõimsus, et patarei temperatuur ei muutuks?

Lahendus

Lühise korral välisahelas energiat ei eraldu. Patareilt tuleb võtta ajaühikus samapalju soojust, kui ta eraldab, siis patarei temperatuur ei muutu. Seega on jahutusvõimsus võrdne tööga, mida teeb patarei (kogu patarei töö läheb enese soojendamiseks).

P = U I = 4, 5 V \cdot 0, 5 A = 2, 25 W

12. Lambid

On antud kaks lampi, mille võimsused pingel $127 V$ on vastavalt $60 W$ ja $80 W$ . Lambid ühendatakse jadamisi elektrivõrku pingega $220 V$ . Kumb lamp põleb heledamini ja miks? Võrrelda lampide heledusi omavahel ja iseendaga mõlemas olukorras.

Lahendus

Kuna $R = \frac{U^{2}}{N}$ , siis pingel $127 V$ võimsusega $60 W$ põleva lambi takistus on $R_{1} = \frac{127^{2}}{60} = 269 Ω$ , võimsusega $80 W$ põleva lambi takistus aga $R_{2} = \frac{127^{2}}{80} = 202 Ω$ .
Jadaühendamisel on neil kogutakistus

R_{k} = R_{1} + R_{2} = 471 Ω

Ahelat läbib vool tugevusega

I = \frac{U}{R_{k}} = \frac{220}{471} = 0, 47 A

Kuna võimsus jadaühendusel on $N = I^{2} R$ , siis esimese lambi võimsus jadaühendusel on on $N_{1} = I^{2} R_{1} \approx 59 W$ ja teisel lambil

N_{2} = I^{2} R_{2} \approx 44 W

Teise lambi võimsus väheneb tööolukorra muutumisel tunduvalt, esimesel väga vähe.

13. Elektriküünlad

Andrus ehtis jõulude ajal õues kasvava kuuse elektriküünaldega, milles jadamisi oli ühendatud $N = 20 lampi$ nimipingega $U_{1} = 12 V$ ja nimivõimsusega $P = 15 W$ . Üks lampidest põles läbi. Kuna Andrusel samasugust lampi ei olnud, asendas ta läbipõlenud lambi ema õmblusmasina lambiga, mille nimivõimsus oli samuti $P = 15 W$ , kuid nimipinge $U_{2} = 220 V$ . Kirjeldada, millise eredusega põlesid seejärel elektriküünalde lambid ja mitu korda muutus lambi vahetamise tõttu elektrivoolu võimsus teistes lampides? Pinge elektriküünalde pistiku otstel oli $U_{0} = 220 V$

Lahendus

\frac{N_{t 1}}{N_{1}} = \frac{U_{t 1}^{2} R}{R U_{1}^{2}} \Rightarrow N_{t 1} = \frac{N_{1} U_{t 1}^{2}}{U_{1}^{2}} = 12, 6 W

.
Leiame

12 V

220 V

lampide takistused:

R = \frac{U^{2}}{N}; R_{1} = \frac{12^{2} V^{2}}{15 W} = 9, 6 Ω R_{2} = \frac{220^{2} V^{2}}{15 W} = 3227 Ω

Pärast ühe lambi vahetust on jadamisi ühendatud lampide kogutakistus

R = n R_{1} + R_{2}, R = 19 \cdot 9, 6 Ω + 3227 Ω = 3410 Ω

Voolutugevus lampides on

I = \frac{U}{R} = \frac{220 V}{3410 Ω} = 0, 065 Ω

Voolu võimsus $12 V$ nimipingega lambis on sel juhul $N_{t 1} = I^{2} R_{1}, N_{t 2} = (0, 065 A)^{2} \cdot 9, 6 Ω = 0, 04 W$ .
Voolu võimsus lampides vähenes seega

\frac{N_{t 1}}{N_{t 2}} = \frac{12, 6 W}{0, 04 W} = 315 korda .

N^{'} = 0, 065^{2} \cdot 3227 = 13, 6 W

1.11 Elekter ja töö

1. Mobiililaadija

Leiutajad on pakkunud välja toreda seadme matkainimestele oma telefoni laadimiseks. Ühe saapa talla sisse pannakse mehhanism, mis toimib amortisaatorina. Iga kord kui kannale toetutakse, muundatakse mehaaniline töö väikese elektrigeneraatori abil elektrienergiaks. Oletame, et matkaja mass

m = 60 kg

ja Ühe sammu ajal vajub tald kokku

h = 5 mm

võrra. Antud seadme kasutegur

η = 0, 2

. Matkaja keskmiseks sammupaari pikkuseks ehk kahe järjestikuse samale kannale astumise vahemaaks võtame

d = 1.5 m

. Nüüd tuleb vaid ühendada telefon juhtmega saapa külge ja aku laadimine võib alata. Ülesande lahendamisel arvestage, et tüüpilises nutitelefonis on liitium-polümeer aku, mis töötab pingel

U = 3.7 V

. Samuti arvestage, et kui telefon töötaks keskmisel voolutugevusel

I_{k} = 130 mA

, suudaks aku vastu pidada

t = 10

tundi. Arvutage, kui pika maa peab matkaja maha kõndima, et tühi telefoni aku uuesti täis laadida.

Lahendus

Leiame ühel sammul saadava energia, arvestades, et kannale toetub jõud $F = m g$ .

Vajudes kõrguse $h$ võrra, tehakse tööd $A_{1} = m g h$ , millest aku laadimiseks saadav elektrienergia on $W_{1} = η A_{1}$ .

Aku täislaadimiseks vajaliku energia leiame keskmise võimsuse $P = U I_{k}$ ja aja $T$ korrutisena $W = U I_{k} T$

Selle kogumiseks vajalik sammude arv on

N = \frac{W}{W_{1}} = \frac{3.7 \cdot 0.13 \cdot 10 \cdot 3600}{0.2 \cdot 60 \cdot 9.8 \cdot 0.005} = 2940

Laadimiseks vajaliku jalutuskäigu pikkuseks saame

s = N d = 4.4 k m

2. Veekeetja

Ümberlülitiga veekeetja on kahe küttekehaga. Kui lüliti on asendis "1", on sisse lülitatud üks küttekeha ja teatud koguse teatud algtemperatuuriga vee keema ajamiseks kulub üks minut. Kui lüliti on asendis "2", on sisse lülitatud teine küttekeha ja sama koguse sama algtemperatuuriga vee keema ajamiseks kulub 30 sekundit. Kui palju aega kuluks selle vee keema ajamiseks, kui spiraalid ühendada a) jadamisi b) rööbiti? Soojuskadudega mitte arvestada.

Lahendus

Uurime jadamisi lülitust. Esimese ja teise küttekeha takistused tähistame vastavalt $R_{1}$ ja $R_{2}$ ning antud veekoguse keema ajamiseks kuluvad ajad $t_{1}$ ja $t_{2}$ .

Jadalülituse korral küttekehade kogutakistus $R_{j} = R_{1} + R_{2}$ . Keedukannus eralduv soojushulk:

Q = \frac{U^{2}}{R_{j}} t = \frac{U^{2}}{R_{1} + R_{2}}

kus

R_{1} = \frac{U^{2} t_{1}}{Q}

R_{2} = \frac{U^{2} t_{2}}{Q}

millest saame, et

t = t_{1} + t_{2} = 90 s

Rööbiti ühendatud küttekehade korral küttekehade kogutakistus

\frac{1}{R_{r}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}

ning keedukannus eralduv soojushulk:

Q = U^{2} \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}} t

millest saame:

t = \frac{t_{1} t_{2}}{t_{1} + t_{2}} = 20 s

1.12 Elekter, varia

1. Eritakistus

Joonisel on kujutatud graaﬁk, mis näitab pinget kolmel jadamisi ühendatud ühesuguse ristlõikepindalaga juhil. Milline on nende juhtide eritakistuste suhe?

Lahendus

Ülesande lahendamiseks on vaja graaﬁkult lugeda pingelangud traadijuppidel ja traadijuppide pikkused.

On selge, et ühtlase ristlõikepindalaga homogeense traadi takistus kasvab lineaarselt traadi pikkusega. Seega Ohmi seaduse alusel traadil järjenumbriga $n = 1, 2, 3$ tekib pingelang $Δ U_{n} = R_{n} I_{n}$ , kus $R_{n}$ on traadi takistus ja $I_{n}$ on traati läbiv vool. Kuna takistid on selles ülesandes ühendatud jadamisi, siis on vool läbi kõigi takistite sama. Tähistame selle sümboliga $I$ .

On teada valem, kuidas traadi takistus avaldub traadi eritakistuse kaudu: $R_{n} = ρ_{n} \frac{l_{n}}{S_{n}}$ , kus $ρ_{n}$ on traadi eritakistus, $l_{n}$ on traadi pikkus ja $S_{n}$ on traadi ristlõikepindala. Ülesande tingimuste kohaselt on kõigi traadijuppide ristlõikepindalad võrdsed. Seega tähistame selle ristlõikepindala $S = S_{n}$ . Nii saame

ρ_{n} = \frac{R_{n} S}{l_{n}} = \frac{Δ U_{n} S}{l_{n} I}

Avaldame nüüd ülesandes küsitud suhted

\frac{ρ_{1}}{ρ_{2}} = \frac{Δ U_{1} l_{2}}{Δ U_{2} l_{1}}, \frac{ρ_{1}}{ρ_{3}} = \frac{Δ U_{1} l_{3}}{Δ U_{3} l_{1}}, \frac{ρ_{2}}{ρ_{3}} = \frac{Δ U_{2} l_{3}}{Δ U_{3} l_{2}}

milles liikmed

I

S

taandusid jagamisel.

Võtame nüüd graaﬁkult vajaminevad väärtused: $Δ U_{1} = 1 V, Δ U_{2} = 2 V$ ja $Δ U_{3} = 4 V$ . Vastavad traadi pikkused $l_{1} = 3 c m, l_{2} = 3 c m$ ja $l_{3} = 4 c m$ . Pannes need väärtused eelpool esitatud suhete avaldistesse saame:

\frac{ρ_{1}}{ρ_{2}} = \frac{1}{2}, \frac{ρ_{1}}{ρ_{3}} = \frac{1}{3}, \frac{ρ_{2}}{ρ_{3}} = \frac{2}{3}

2. Traat

Traati, mille algpikkus oli $l = 10 m$ ja ristlõikepindala $S_{0} = 1 m m^{2}$ venitati nii, et ta pikenes $Δ l = 3 m$ võrra. Hilisem traadi uurimine näitas, et traadil esines $10 m$ pikkune osa, mille ristlõikepindala vähenes mingi arv korda (vt. joonis). Väljaspool seda osa aga säilis traadi esialgne ristlõikepindala. Leidke, mitu korda suurenes või vähenes pärast venitamist kogu traadi elektritakistus võrreldes esialgsega. Arvestada, et venimisel jäi traadi ruumala muutumatuks.

Lahendus

Arvestades, et traadi venitamisel traadi ruumala ei muutunud, avaldame traadi venitatud osa ristlõikepindala $S$ :

S l + S_{0} Δ l = S_{0} l ⟹ S = S_{0} \frac{l - Δ l}{l} = 0, 7 S_{0}

Tähistame traadi veninud osa elektritakistuse tähisega $R_{1}$ ja traadi ülejäänud osa takistuse tähisega $R_{2}$ . Lähtudes vooluringi kogutakistuse valemist jadalülituse korral $R_{k} = R_{1} + R_{2}$ ja juhi takistuse valemist $R = ρ \frac{l}{S}$ , leiame traadi kogutakistuse pärast venimist:

R_{k} = ρ (\frac{l}{S} + \frac{Δ l}{S_{0}}) = ρ (\frac{l}{0, 7 S_{0}} + \frac{Δ l}{S_{0}}) \approx 17, 3 \frac{ρ}{S_{0}}

Kui traadi algtakistus on

R = ρ \frac{l}{S_{0}} = 10 \frac{ρ}{S_{0}}

siis saame, et

R_{k} = 1, 73 R

. Järelikult venitatud traadi kogutakistus suurenes 1,73 korda.

3. Traat

Mikk tahtis teada, kui pikk on pooliks keritud üliõhukese isolatsioonikihiga kaetud raudtraat. Kuna Mikk oli lõpetamas põhikooli, otsustas ta traadi pikkuse määramiseks kasutada oma füüsikateadmisi. Ta võttis traatpooli kooli kaasa ja pärast tunde tegi füüsikakabinetis vajalikud mõõtmised. Selgus, et traadi mass $m = 400 g$ . Pinge $U = 4 V$ rakendamisel traadi otstele tekkis traadis vool tugevusega $I = 0, 2 A$ . Ta leidis füüsikaliste suuruste tabelitest, et raua tihedus $d = 7850 \frac{k g}{m^{3}}$ ja raua eritakistus $ρ = 0, 098 \cdot 10^{- 6} Ω \cdot m$ . Arvutage traadi pikkus.

Lahendus

Traadi takistus on $R = \frac{U}{I} = 20 Ω$ . Takistuse valem on $R = ρ \frac{l}{S}$
Massi, tiheduse ja ruumala seosest $m = d \cdot V = d \cdot l \cdot S$ . Teisendame neid seoseid:

S = \frac{ρ l}{R}, S = \frac{m}{d l}

Seega

\frac{ρ l}{R} = \frac{m}{d l} ⟹ l = \sqrt{\frac{R m}{ρ d}} \approx 102 m

4. Vaskjuhe

Vaskjuhtme tükis pikkusega $10 c m$ ja ristlõikepindalaga $1 m m^{2}$ kulgeb vool tugevusega $1 A$ . Millise aja jooksul asenduvad kõik juhtmetükis sisalduvad juhtivuselektronid uutega? Ühe mooli vase mass on $63, 5 g$ ja vase tihedus $8, 9 \frac{g}{c m^{3}}$ , Avogadro arv $N_{A} = 6, 02 \cdot 10^{23} m o l^{- 1}$ . Eeldada, et iga vase aatomi kohta tuleb üks juhtivuselektron. Elektroni laeng $e = 1, 6 \cdot 10^{- 19} C$ .

Lahendus

Kõik juhtivuselektronid asenduvad aja $t$ jooksul, mis keskmiselt kulub elektronil juhtme ühest otsast teise jõudmiseks. Kui juhtivuselektronide arv juhtmetükis on $N$ ja tüki ruumala $V = S \cdot l$ , siis nende suuruste suhte (elektronide arvu ruumalaühikus) saab leida, jagades vase aatomite (ja seega ka juhtivuselektronide) arvu ühes moolis (Avogadro arvu $N_{A}$ ) mooli ruumalaga $V_{M}$ . See omakorda on leitav molaarmassi $M$ ning tiheduse $ρ$ suhtena. Juhtivuselektronide kogulaeng $q = N \cdot e = I \cdot t$ , kus $t$ on otsitav aeg ja $e$ elementaarlaeng. Järelikult

\frac{N}{S l} = \frac{N_{A}}{V_{M}} = \frac{N_{A}}{M} \cdot ρ

ning

q = N \cdot e = N_{A} \frac{S \cdot l \cdot ρ}{M} \cdot e = I \cdot t

millest

t = N_{A} \cdot \frac{S \cdot l \cdot ρ}{M \cdot I} \cdot e

arvuliselt

t = 1352 s

ehk

22 m i n 32 s

5. Traadid

Kaks traati - alumiiniumtraat ristlõikega $S_{a} = 2 m m^{2}$ ja vasktraat ristlõikega $S_{v} = 1 m m^{2}$ - kaaluvad ühepalju. Millise traadi elektritakistus on suurem? Alumiiniumi ja vase eritakistused on vastavalt $ρ_{a} = 0, 000028 Ω \cdot m m$ ja $ρ_{v} = 0, 000017 Ω \cdot m m$ , tihedused vastavalt $d_{a} = 2, 7 \frac{g}{c m^{3}}$ ja $d_{v} = 8, 9 \frac{g}{c m^{3}}$ .

Lahendus

Leiame traatide pikkuste suhte $\frac{l_{a}}{l_{v}}$ eeldades, et traate võib käsitleda kui pikke silindreid. Traatide massid on võrdsed, järelikult $d_{a} S_{a} l_{a} = d_{v} S_{v} l_{v}$ , kust $\frac{l_{a}}{l_{v}} = \frac{d_{v} S_{v}}{d_{a} S_{a}}$ . Traatide takistused arvutatakse valemiga $R = ρ \frac{l}{S}$ . Traatide takistuste suhe on

\frac{R_{a}}{R_{v}} = \frac{ρ_{a} \frac{l_{a}}{S_{a}}}{ρ_{v} \frac{l_{v}}{S_{v}}} = \frac{ρ_{a} d_{v} S_{v}^{2}}{ρ_{v} d_{a} S_{a}^{2}} \approx 1, 36

mis tähendab, et alumiiniumtraadi takistus on suurem.

6. Rõngad

Kaks kontsentrilist vasksilindrit (rõngast) kõrgusega $5 c m$ paiknevad vannis, millesse on valatud kraanivesi eritakistusega $20 Ω \cdot m$ . Veetase ulatub täpselt rõngaste ülemiste äärteni. Sisemise rõnga välisläbimõõt on $19 c m$ ja välimise rõnga siseläbimõõt $21 c m$ . Kui suur on rõngastevaheline elektritakistus?

Lahendus

Takistuse valemis $R = ρ \frac{l}{S}$ on juhi pikkuseks $l$ rõngaste vahekaugus

l = \frac{21 - 19}{2} = 1 c m = 0, 01 m

Kuna see on väike võrreldes raadiustega, siis võib juhi ristlõikepindala leidmisel kasutada keskmist raadiust

r = \frac{21 + 19}{4} = 10 c m = 0, 1 m

Ristlõikepindala

S = 2 π r h = 0, 0314 m^{2}

, kus

h

on silindrite ühine kõrgus (veekihi paksus). Takistus

R = \frac{ρ l}{S} = \frac{20 \cdot 0, 01}{0, 0314} = 6, 37 Ω

1.13 Optika, peegel

1. Auto peeglis

Toa vastasseintel asuvad maast laeni ulatuvad tasapeeglid. Kristi veeretab põrandal mänguautot peeglitega risti. Äkitselt märkab ta, et peeglites on palju liikuvaid autosid. Milline on auto teise kujutise kiirus esimese kujutise suhtes kummaski peeglis, kui Kristi lükkab autot ühe peegli poole kiirusega $v = 0, 5 \frac{m}{s}$ ?

Lahendus

Olgu see peegel, millele auto läheneb kiirusega $v$ , esimene, ning see, millelt auto sama kiirusega kaugeneb, teine. Esimeses peeglis läheneb esimene auto kujutis mõlemale peeglile kiirusega $v$ ja teises peeglis kaugeneb esimene kujutis mõlemast peeglist kiirusega $v$ .

Esimene kujutis esimeses peeglis tekitab teise kujutise teises peeglis ja vastupidi. Kuna esimene kujutis esimeses peeglis läheneb peeglile kiirusega $v$ , siis läheneb ka teine kujutis teises peeglis kiirusega $v$ . Analoogselt: kuna esimene kujutis teises peeglis kaugeneb peeglist kiirusega $v$ , siis ka teine kujutis esimeses peeglis kaugeneb kiirusega $v$ .

Kokkuvõttes saame, et esimeses peeglis esimene kujutis läheneb Kristile ja teine kujutis kaugeneb temast. Järelikult esimeses peeglis eemaldub teine kujutis esimesest kiirusega $2 v = 1 \frac{m}{s}$ , teises peeglis aga esimene kujutis kaugeneb Kristist ja teine kujutis läheneb talle. Järelikult teises peeglis läheneb teine kujutis esimesele kiirusega $2 v = 1 \frac{m}{s}$ .

Märkus: Näitlikustavatel joonistel on kujutatud olukord hetkel, mil toa laius on $4 m$ ning auto asub alghetkel toa keskel (ülemine joonis). Alumisel joonisel on kujutatud olukord $1$ sekundi möödumisel liikumise algusest.

2. Kaev

Sügava kaevupõhja valgustamiseks päikesekiirtega kasutati tasapeeglit, mis oli vertikaalsuuna suhtes $25^{\circ}$ nurga all paigutatud. Kui suure nurga all maapinnast asus Päike?

Lahendus

Selleks, et valgustada sügava kaevu põhja, peab peeglilt peegeldunud kiir levima vertikaalselt alla (vt. joonis).

Joonistame kiirte käiku peeglis. Peegli ja vertikaaltasandi vahelise nurga tähistame $α$ -ga. Jooniselt leiame, et peegeldumisnurk on $γ = 90^{\circ} - α$ . Järelikult päikesekiire ja horisontaali vaheline nurk $δ = 2 γ - 90^{\circ} = 2 \cdot (90^{\circ} - α) - 90^{\circ} = 90^{\circ} - 2 α = 40^{\circ}$ .

3. Kaks peeglit

Kaks peeglit asuvad teineteise suhtes

45^{\circ}

nurga all, peegelpinnad vastakuti. Peeglite vahel asub põlev küünal. Mitut leegi kujutist võib peeglitest näha?

Lahendus

Joonisel on kujutatud kõigi peegelkujutiste asukohad.

Kujutised $S_{1}$ ja $S_{2}$ on leegi $S$ peegelkujutised vastavalt peeglitest $P_{1}$ ja $P_{2}$ .

$P_{2}^{'}$ on peegli $P_{2}$ kujutis peeglis $P_{1}$ . $P_{1}^{'}$ on peegli $P_{1}$ kujutis peeglis $P_{2}$ . $S_{3}$ on kujutise $S_{1}$ peegelkujutis peegli kujutises $P_{2}^{'}$ ning $S_{4}$ on kujutise $S_{2}$ peegelkujutis peegli kujutises $P_{1}^{'}$ .

$S_{5}$ on kujutise $S_{3}$ peegelkujutis peegli kujutises $P_{1}^{''}$ ning $S_{6}$ on kujutise $S_{4}$ peegelkujutis peegli kujutises $P_{2}^{''}$ . $S_{7}$ on kujutise $S_{5}$ peegelkujutis peegli kujutises $P_{2}^{'''}$ ja kujutise $S_{6}$ peegelkujutis peegli kujutises $P_{1}^{'''}$ .

Seega võib kokku näha $7$ -t leegi kujutist.

4. Kujutis

Joonista valguskiirte edasine käik, leia valgusallika $S$ kujutis peeglis. Millise kiirusega ja mis suunas liigub punkti $S$ kujutis peegli suhtes, kui punkt $S$ liigub peegli suunas sellega risti kiirusega $1 \frac{m}{s}$ ?

Lahendus

Kiirte edasise käigu leiame peegeldumisseadusest: tasapeeglile langenud kiir peegeldub langemisnurgaga võrdse nurga all. Valgusallika $S$ kujutise peeglis ja selle liikumise saame leida kahel erineval viisil:

Kasutame kujutise ja eseme sümmeetrilisust peegli pinna suhtes. Kuna see ei sõltu eseme ja peegli vahelisest kaugusest, on selge, et kujutis peeglis liigub sama kiirusega nagu ese, ent vastassuunas: $v = - v$ .
Joonistame peegeldunud kiirte jätkud peeglist teisele poole; nende lõikepunkt annab meile punkti $S$ kujutise. Kujutise $S^{'}$ liikumist uurime, kui leiame selle mitme punkti $S$ asukohad ja veendume, et see nihkub alati sama kauguse võrra kuid $S$ , lihtsalt vastassuunas.

5. Küünal

Küünal ja selle kahes peeglis tekkinud kaks kujutist asuvad võrdkülgse kolmnurga tippudes. Näidake joonisel, kuidas asetsevad peeglid küünla suhtes ja leidke peeglite vaheline nurk.

Lahendus

Kuna kujutis on alati esemega peegli suhtes sümmeetriline, peavad peeglid läbima kolmnurga vastavate külgede keskpunkte, kusjuures peeglid asuvad risti külgedega (vt. joonis).

Kolmurgast $△ A K O$ leiame, et $α = 90^{\circ} - γ$ , kust saame peeglite vahelise nurga $2 α = 180^{\circ} - 2 γ = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ .

6. Kärbes peeglis

Kahe tasapeegi vaheline nurk on $120^{\circ}$ (vt joonist). Punktis $A$ asub vaatleja ning mööda sirget $s$ lendab edasi-tagasi kärbes. Kärbse teatud asukohtade korral näeb vaatleja peeglites kahte kärbse kujutist. Tähistage sirgel $s$ see piirkond, kus tekib kaks kujutist.

Lahendus

7. Nõguspeegel

Teame esemelt peegeldunud ühe kiire käiku nõguspeeglis. Konstrueerige selle eseme kujutis.

Lahendus

Kujutise konstrueerimisel lähtuda järgmistest põhimõtetest:

Kujutis tekib peegeldunud kiirte lõikumiskohas. Seega on vaja kujutise konstrueerimiseks veel ühte kiirt.

Teise kiire konstrueermisel on üheks võimaluseks arvestada peegeldumisseadust. Peegli keskkohta langeva kiire langemisnurk peab olema peegeldumisnurgaga (peegli optilise telje suhtes) võrdne.

Saadud kujutis on tõeline (lõikuvad kiired ise, mitte nende pikendused), suurendatud ja ümberpööratud (noole ots on teises suunas).

8. Nõguspeegel

On antud sfäärilise nõguspeegli peatelg, punktvalgusallika $A$ ja selle kujutise $A_{1}$ asukohad. Kus asub peegli fookus?

Lahendus

Kuna allikas ja kujutis asuvad teine teisel pool telge, siis saab olla tegemist vaid nõguspeegliga.

Leiame kõveruskeskme asukoha. Kiir, mis langeb allikast peeglile nii, et selle pikendus läbib kõveruskeset, peegeldub sama teed tagasi ja peab läbima ka kujutist. Seega $A$ ja $A_{1}$ ühendussirge lõikepunkt optilise teljega määrab ära kõveruskeskme $C$ .

Peegli ja telje lõikepunkti langeva kiire korral on langemisnurk peegeldumisnurgaga võrdne. Selle punkti leidmiseks leian $A_{1}$ sümmeetrilise punkti teisel pool telge ja tõmban sealt sirge läbi $A$ .

Teljega lõikumise punktis asub peegli lagipunkt. Selle punkti ja kõveruskeskme vahelise kauguse poolel maal asub fookus.

9. Nurkpeegel

Joonisel on kujutatud nurkpeegel, mille kaks haara on omavahel risti. Konstrueeri kujutis, mida näeb vaatleja punktist $P$ . Mille poolest erineb sellises peeglis nähtav kujutis tavalises tasapeeglis nähtavast kujutisest?

Lahendus

Lahendus on toodud joonisel.

Tasub tähele panna, et peeglist on näha need esemed, mis jäävad peegli servasid ja vaatleja asukohta ühendavate sirgete poolt piiratud ala sisse. Sellises peeglis ei ole erinevalt tavalisest peeglist vasak ja parem pool ära vahetatud. Vaatleja näeb ennast sellisest peeglist nii, nagu ta seisaks enda vastas.

10. Pariis

Peeter külastas Pariisis oma sõpra, kelle rõdult avaneb vaade Eiffeli tornile. Peeter vaatas torni taskupeeglist, mille kõrgus on $h = 5 c m$ . Kui ta hoidis peeglit näost $40 c m$ kaugusel, oli torni kujutis täpselt peegli „kõrgune''. Kui kaugel elab Peetri sõber Eiffeli tornist, kui torni kõrgus $H = 312 m$ ?

Lahendus

$A B$ on Eiffeli torn ja $A^{'} B^{'}$ vastavalt selle peegeldus. Punktis $D$ asub Peetri silm. Kuna $A C = C A^{'} = B C^{'} = C^{'} B^{'}$ . Lõik $C E$ on peeglis oleva torni kujutise pikkus, $C D$ peegli kaugus silmast. Sarnastest kolmnurkadest saame

\frac{A^{'} B^{'}}{C E} = \frac{D A^{'}}{D C} ⟹ D A^{'} = \frac{A^{'} B^{'} \cdot D C}{C E}

Kuna

D C ≪ D A^{'} \to D C ≪ C A^{'} \to D C ≪ A C

, siis võib võtta

D A^{'} = A C

A^{'} B^{'} = A B

, seega on Eiffeli torni kaugus korterist

A C = \frac{A B \cdot D C}{C E} \approx 2500 m

11. Peegel

Suure ruumi seinal asub $2, 0 m$ laiune peegel. Peegli kõrval, $0, 5 m$ kaugusel peeglist ja $1, 0 m$ kaugusel seinast seisab inimene. Mööda peegli keskjoont liigub peegli poole seisja tuttav. Kui kaugel peeglist on peeglile lähenev inimene hetkel, mil tuttavad teineteist peeglis märkavad?

Lahendus

Joonisel on toodud ülesandest illustreeriv ülevaade. Sealt nähavate kolmnurkade sarnasust ära kasutades saab leida läheneva inimese kauguse. Maksimaalne on kaugus siis, kui seisev inimene märkab oma tuttavat peegli parempoolsest servast.

12. Peegel

Toa seinal on $1, m$ laiune peegel (vt. joonis). Miku seisab toas näoga seina poole, $3 m$ kaugusel seinast ja $2 m$ kaugusel peegli keskristsirgest. Äkitselt näeb Miku peegli servas peeglist eemale lendava kärbse kujutist. Kärbes lendab piki peegli pinna keskristsirget peeglist eemale kiirusega $0, 5 \frac{m}{s}$ ? Kui kiiresti peaks Miku peegliga seinast taganema, et näha kogu oma liikumise aja jooksul kärbse kujutist peegli servas?

Lahendus

Kasutame peegeldumisseadust, kolmnurkade $△ B A^{'} C$ ja $△ C D E$ sarnasust ja kolmnurkade $△ B A^{'} C$ ja $△ B A C$ võrdsust.

Selgub, et Miku, kes on seinast $3 m$ kaugusel ja peegli servast $1, 5 m$ kaugusel, näeb kärbse kujutist siis, kui kärbes asub peeglist

B A = \frac{0, 5 m}{1, 5 m} \cdot 3 m = 1 m

kaugusel. Arvestades kärbse kiirust, leiame Miku kauguse seinast näiteks

1 s

pärast. Kärbes on jõudnud selle ajaga läbida

0, 5 m

ja on seega seinast

1, 5 m

kaugusel.

Et Mikk näeks jätkuvalt kärbest, peaks ta nüüd olema sarnaste kolmnurkade $△ C D G j a △ B C F$ põhjal seinast

D G = \frac{1, 5 m}{0, 5 m} \cdot 1, 5 = 4, 5 m

kaugusel. Miku liikumise kiirus on seega:

\frac{4, 5 m - 3 m}{1 s} = 1, 5 \frac{m}{s}

13. Peegeldused

Juku näeb peeglist hõõglambi kujutist (suunas $A$ ). Sama lambi kujutist märkab ta ka peegli ees olevalt peegeldavalt lauapinnalt (suunas $B$ ). Konstrueerige lambi asukoht joonisel.

Lahendus

Ülesande lahendamisel tuleb lähtuda peegeldumisseadusest, mille kohaselt kiire langemisnurk on peegeldumisnurgaga võrdne.

14. Peeglid

Kaks paralleelset tasapeeglit on paigutatud vastamisi vahekaugusega $d = 3 m$ . Peeglite vahel seisev inimene näeb endast mitut kujutist, millest osa paikneb tema poole seljaga ja osa näoga. Kui kaugel paiknevad teineteisest kaks samas suunas vaatavat järjestikust kujutist?

Lahendus

Joonisel on vaatleja ja reaalsed peeglid kujutatud tumedamalt. Kõik peeglite kujutised asuvad üksteisest kaugusel $d$ .

Kui vaatleja asub enda ees seisvast peeglist kaugusel $x$ , on tema esimese kujutise kaugus sellest peeglist samuti $x$ .

Teise samas suunas vaatava kujutise kaugus sellest peeglist on $2 d + x$ . Seetõttu on kujutiste omavaheline kaugus

2 d + x - x = 2 d = 6 m

15. Peeglid

Nõguspeegli fookuses asub punktvalgusallikas. Kuidas tuleks paigutada tasapeegel, et süsteem tekitaks ainult ühe näiva kujutise ja ainult ühe tõelise kujutise, kusjuures viimane langeks kokku punktvalgusallikaga? Tee selgitav joonis, kuhu kannad kiirte käigu ja näiva kujutise asukoha.

Lahendus

Paigutame tasapeegli risti optilise peateljega $P O$ , nõguspeeglist kaugusele $1, 5$ fookuskaugust (ehk nõguspeegli fookuse $F$ ja keskpunkti $O$ vahelise lõigu keskele).

Punktist $F$ asuvast valgusallikast punkti $A$ poole lähtuv kiir peegeldub punktis $A^{'}$ tagasi. Punkti $B$ poole lähtuv kiir peegeldub aga tagasi punktis $B^{'}$ , sest kiire $B B^{'}$ pikendus läbib peegli keskpunkti.

Kokkuvõttes tekib punktis $F$ tõeline kujutis ja punktis $O$ näiv kujutis.

16. Peeglid

Kaks tasapeeglit asetsevad teineteise suhtes

90^{\circ}

nurga all (vt joonis). Konstrueeri valgusallika

S

kõik kujutised nendes peeglites.

Lahendus

Kujutise konstrueerimiseks võib kasutada sümmeetriat: kujutis on esemega peegli suhtes sümmeetriline. Valgusallikas $S$ peegeldub peeglis $1$ ja peeglis $2$ . Mõlemas tekib üks valgusallika kujutis $S_{1}^{'}$ ja $S_{2}^{'}$ . Need kujutised omakorda peegelduvad. $S_{2}^{'}$ kujutis peeglis $1$ on $S^{''}$ . See saadakse peegli $1$ pikendamisel.

Peegli $2$ pikendamisel saadakse $S_{1}^{'}$ kujutis ka $S^{''}$ , sest peeglitevaheline nurk on $90^{\circ}$ .

17. Päikeseelektrijaam

Päikeseelektrijaamades kasutatakse valguskiirguse võimendamiseks tasapeeglite süsteemi. Olgu peeglid asetatud maapinnale ümber torni, mille tipus asub aurukatel. Leia nurk maa ja selle peegli vahel, mis asub katla tornist $100 m$ kaugusel, kui katel on $4 m$ kõrgusel maapinnast ning Päike asub antud hetkel seniidis. Tee joonis.

Lahendus

$h$ - katla kõrgus maapinnast; $R$ - peegli kaugus katlast; $α$ - peegli ja maa vaheline nurk; $β$ - peegeldunud kiire ja maa vaheline nurk.

β = 90^{\circ} - 2 α = arctan (\frac{h}{R})

, seega

α = \frac{90^{\circ} - arctan (\frac{h}{R})}{2} = 43^{\circ} 51^{'}

Seega on peegli ja maa vaheline nurk $43^{\circ} 51^{'}$ .

18. Silinder

Veega täidetud anumas asub õhukesest klaasist seintega õõnes silinder. Visanda joonisel toodud kiire käik läbi silindri.

Lahendus

Kiire konstrueerimisel tuleb lähtuda järgmistest põhimõtetest:

Ringi keskpunkti ja ringjoont ühendav sirge (ringi raadius) on alati risti ringjoonega puutepunktis ja seepärast saab ringi raadiust kiirte konstrueerimisel pinnanormaalina kasutada.
Tihedamast keskkonnast hõredamasse liikudes on murdumisnurk langemisnurgast suurem.

Nii saame konstrueerida kiired, mis tekkivat olukorda piisavalt täpselt kirjeldavad.

19. Tasapeeglid

Kaks vertikaalset tasapeeglit asuvad teineteise kõrval, küljed koos, peegelpinnad

150^{\circ}

nurga all. Ühele peeglile langeb peegelpinna suhtes

20^{\circ}

nurga all peenike horisontaalne valgusvihk. Valgus peegeldub mõlemalt peeglilt. Mitme kraadi võrra erineb teiselt peeglilt peegeldunud valgusvihu suund esimesele peeglile langenud valgusvihu suunast?

Lahendus

Vaatleme kolmnurka $△ A B C$ . Tipu $C$ juures on nurk $150^{\circ}$ . Tipu $A$ juures on peegeldumisseaduse järgi nurk $20^{\circ}$ . Seega on tipu $B$ juures nurk $180^{\circ} - (20^{\circ} + 150^{\circ}) = 10^{\circ}$ .

Vaatleme kolmnurka $△ A B D$ . $∠ C A D$ on tipunurgana $20^{\circ}$ . Seega on kolmnurga tipu $A$ juures nurk $20^{\circ} +$