See õpik on koostatud 2010.a. jõustunud riikliku õppekava alusel. Tänaseks on õppekava muutunud ning mehaanika materjal on jagunenud kahe gümnaasiumi kursuse vahel. Uuele õppekavale vastav õpik on siit keskkonnast ka leitav ning me soovitame edaspidi kasutada seda. Uuem õpik on käesoleval hetkel ka tehniliselt paremas seisus – tekstid on üle vaadatud, lisamaterjalid põhimaterjalist eraldatud, kontrollküsimused üle vaadatud jne jms. 

Impressum

Autor: Indrek Peil
Toimetaja: Kaido Reivelt
Arvutigraafika: Nils Austa
Kasse joonistab Urmas Nemvalts

Sissejuhatus

Moodsates lõbustusparkides võib leiduda küll palju põnevat, kuid see kõik kahvatub jalgrattatrikkide kõrval, mida sooritati tsirkustes aastatel 1900-1912. Üks kõigi aegade hulljulgemaid rattatrikke sooritati ilmselt Barnumi ja Bailey Tsirkuses Madison Square Gardenis 1905. aastal. Etteaste alguses seisis Ugo Ancillotti oma jalgrattaga ühe ja tema vend Ferdinand teise, vastas asuva kaldtee tipus. Märguande peale alustasid vennad laskumist. Kui Ugo jõudis oma kaldtee järsult ülespoole painutatud osale, visati ta sealt 14 meetri kaugusele järgmisele kaldteele, mis lõppes jällegi kõverdatud osaga. Sealt sooritas Ugo teise, 9 meetri pikkuse õhulennu. Samal ajal kihutas Ferdinand läbi oma kaldtee nõgusa alaosa, sooritas pea alaspidi õhulennu ja maandus teisele painutatud kaldteele. Triki muutis eriti närvekõditavaks asjaolu, et tagurpidi pööratud Ferdinand lendas kõigest meetri või paari kauguselt oma esimest õhulendu sooritava Ugo alt läbi.

1.1.1 Mehaanika põhiülesanne

Kes meist poleks näinud taevas sõudvaid pilvi, lillelt lillele lendlevat liblikat, mööda teed kihutavat autot, paberile tähti kirjutavat pliiatsiotsa... Kõigi nimetatud kehade ühine tunnus on see, et need liiguvad. Kui eemal lööb välku, jõuab valgussähvatus meieni pea kohe ning mürin veidi hiljem. Meie soontes voolab veri ja sarnane on elektrivool, mis kujutab endast elektronide suunatud liikumist juhtmes. Meie sees liiguvad aatomid ja aatomite sees liiguvad elektronid. Liikumine on kõikjal. Liikumine on looduse kõige üldisem nähtus.

Füüsika uurib loodust ja sealhulgas ka liikumist. Füüsika see haru, mis uurib liikumist ja selle muutumise põhjusi, kannab nime mehaanika. Mehaanika tekkis antiikajal, mil hakati rasket käsitsitööd kergemaks muutvaid masinaid ehitama. Et masinaid täiustada, tuli lähemalt tundma õppida eelkõige neid nähtusi, mis masinates aset leidsid. Tuli uurida liikumist ning liikumist mõjutavaid tegureid. Sõna „mehaanika“ ongi tulnud kreeka keelest (μηχανικη — masinatesse puutuv).

Tänapäeval ei piirdu mehaanika ainult masinate ehitamisega, vaid uurib liikumist üldisemalt. Vist igaüks meist on planeerinud mõnda retke ja arvutanud, millal kuhugi pärale jõuab. Sarnane, kuid märgatavalt keerulisem ülesanne on välja arvutada, kuhu jõuab planeetide mõju all olev kosmoseaparaat paari aasta pärast. See ongi mehaanika põhiülesanne — leida keha asukoht mis tahes ajahetkel.

1.1.2 Mehaanika harud

Mehaanika saab jaotada kolmeks haruks:

Kinemaatika (κινημα — kreeka k liigutus, liikumine) uurib ja kirjeldab kehade liikumist ruumis. Seejuures pole oluline, mis on liikumise põhjuseks. Näiteks saab kinemaatikaseaduste abil arvutada, kui kõrgele lendab otse üles visatud kivi.

Dünaamika (δυναμη — kreeka k jõud, vägi) uurib, kuidas liikumine tekib ning erinevate mõjude tagajärjel muutub. Näiteks saab arvutada, millise kiiruse saavutab vihmapiisk, mida kiirendab Maa külgetõmme ja pidurdab õhutakistus.

Staatika (στατικη — kreeka k püsiv, muutumatu)uurib, mis tingimustel liikumine ei muutu, st keha on tasakaalus. Staatika võimaldab näiteks välja arvutada, mitu inimest võib vaatetorni ronida, ilma et see ümber kukuks.

1.1.3 Liikumise mõiste ja suhtelisus

Mille järgi tunneme ära, et keha liigub? Algul käes olnud vaas asub pärast mahapillamist põrandal. Sadamast väljunud laev on tunni aja pärast mitu miili eemal. Kui kellaosuti on number kahe kohal, siis mõni aeg hiljem on see juba viie peal. Vaas, laev ja osuti on liikunud – nad on oma asukohta muutnud.

Kõikide liikumiste ühine tunnus on see, et keha asukoht muutub. Seejuures on vaja liikumise kindlakstegemiseks ja uurimiseks mõnda teist keha, mille suhtes me asukohta määrame. Liikumine toimub alati millegi suhtes, st liikumine on suhteline. Asukoha muutumine võtab aega. Pole võimalik, et puult kukkuv õun on mingil hetkel oksa küljes ja siis kohe juba mujal. Sel juhul oleks õun ju mitmes kohas korraga! Liikumine on alati seotud ajaga. Seega võime öelda, et liikumine on keha asukoha muutumine teiste kehade suhtes mingi aja jooksul.

Liikumise suhtelisus tähendab seda, et erinevate kehade suhtes võib liikumine väga erinev olla. Näiteks meile tundub, nagu Maa oleks paigal ja Päike tiirleks ümber meie. Samas teame, et Maa tegelikult pöörleb ümber oma telje ja tiirleb samas suure kiirusega (30 km/s) ümber Päikese.

1.1.4 Punktmass ja trajektoor

Kuna liikumine on asukoha muutumine, siis tuleb liikumise kirjeldamist alustada keha asukoha määramisest. Mida aga lugeda näiteks 20 meetri pikkuse veoauto asukohaks? Kas eesmise numbrimärgi, juhi ninaotsa, koorma keskpunkti või hoopis haagisekonksu asukohta? Tegelikult polegi ühest linnast teise liikumise kirjeldamisel auto mõõtmed ja kuju olulised. Suurt veokit võime kahe linna vahemaaga võrreldes ette kujutada lihtsalt ühe punktina. Seda punkti nimetatakse punktmassiks.

Kui me edaspidi räägime keha liikumisest, siis mõtleme selle all enamasti punktmassi liikumist. Sellist keha, mille mõõtmed võib antud liikumistingimustes arvestamata jätta nimetatakse punktmassiks. Kehaks võetakse punkt, mille mass on sama suur kui keha mass. Kuju ja mõõtmed jäetakse lihtsuse mõttes arvestamata. Tegemist on reaalse keha lihtsustuse ehk füüsikalise mudeliga.

Keha ei või siiski igas olukorras punktmassiks lugeda. Näiteks praamile sõitmisel on auto mõõtmed vägagi olulised.

Need punktid, mida liikuv keha (punktmass) läbib, moodustavad alati mingi pideva joone.Kujutletavat kontuuri, mida mööda keha liigub, nimetatakse trajektooriks. Liikumistrajektoori ei tohi samastada teega! Auto trajektoor on kujuteldav joon, maantee aga teetammist ja teekattest koosnev keha.

1.1.5 Liikumise liigid

Liikumisi saab liigitada trajektoori kuju järgi. Sirge trajektoori korral on liikumine sirgjooneline. Kui trajektoor pole sirge, siis on liikumine kõverjooneline.

Teiseks saab eristada ühtlast ja mitteühtlast liikumist. Ühtlane on selline liikumine, mille korral mistahes võrdsetes ajavahemikes muutub keha asukoht sama palju. Muul juhul on liikumine mitteühtlane. Näiteks laskub avatud langevarjuga parašütist enne maandumist ühtlaselt ja maapinnale jõudmisel pidurdudes mitteühtlaselt.

Sirgjooneline ja kõverjooneline liikumine	Kulgev ja pöörlev liikumine

Veel eristatakse kulgevat ja pöörlevat liikumist. Kulgev on näiteks õmblusmasinanõela üles-alla liikumine. Kogu liikumise kestel jääb nõel oma esialgsete asenditega paralleelseks. Kulgevalt liikuva keha kõikide punktide trajektoorid on sama kujuga. Kulgeva liikumise korral võib kehasid käsitleda punktmassidena. Pöörleva liikumise korral liiguvad keha erinevad punktid mööda erineva raadiusega ringjooni. Näiteks kellaosuti üks ots liigub mööda suurt ringjoont ja teine ots on hoopis paigal. Pöörlemise korral ei tohi keha punktmassiks lugeda, sest siin on kuju ja mõõtmed olulised.

1.2.1 Koordinaadid ja taustsüsteem

Kuna liikumine on suhteline, tuleb välja valida mingi keha, mille suhtes me liikumist jälgime. Keha, mille suhtes liikumist vaadeldakse, nimetatakse taustkehaks. Taustkehaks võib valida mistahes sobiva objekti: kilomeetriposti, mäetipu, raudteevaguni, Päikese jne. Tingimuseks on see, et liikumine taustkeha suhtes ikka toimuks ja poleks samas liiga keeruline.

Füüsika on täppisteadus, mis kirjeldab objekte ja nähtusi arvude abil. Arvude abil saab kirjeldada ka liikuva keha asukohta. Keha asukoha kirjeldamiseks kasutatavaid arve nimetatakse koordinaatideks. Koordinaatide määramiseks valitakse mingid kindlad suunad, milles asukohta taustkeha suhtes mõõdetakse. Samuti lepitakse kokku mõõtühikud. Kokkulepitud mõõtmissuunad, mõõtühikud ja asukoha mõõtmise eeskirjad moodustavad koordinaadistiku ehk koordinaatsüsteemi.

Matemaatikas ja füüsikas kasutatakse enamasti ristkoordinaadistikku. Samuti on kõigile tuttav maakaartidel kasutatav geograafiline koordinaadistik. Teatrisaalis istekoha leidmiseks loodud istmeridade ja kohanumbrite süsteem on samuti koordinaatsüsteem.

Peale asukoha määramise tuleb liikumise kirjeldamisel arvestada ka aega. Selleks tuleb kokku leppida aja mõõtmise alghetk ja mõõtühik. Taustkeha, sellega seotud koordinaadistik ja ajamõõtmise süsteem moodustavad taustsüsteemi.

1.2.2 Teepikkus ja nihe

Kui tahame liikumist kirjeldada, on vaja mõõta keha asukoha muutu. Selleks on erinevaid võimalusi.

Kui mõõdame alg- ja lõppasukoha vahekauguse täpselt piki trajektoori, saame teepikkuse. Teepikkust tähistatakse valemites tähega l (longitudo — ladina k pikkus).

Mõõtes kaugust aga mööda sirgjoont ehk linnulennul, saadakse nihe. Nihkeks nimetatakse keha algasukohast lõppasukohta suunatud sirglõiku.

Teepikkust mõõdetakse piki trajektoori	Teepikkus ja nihkepikkus pole tavaliselt võrdsed

Erinevalt teepikkusest, mida iseloomustab vaid arv, on nihkel peale pikkuse ka suund. Seega on nihe vektoriaalne suurus. Nihkevektori tähiseks valemites ja joonistel on $\overrightarrow{s}$  (shift — inglise k nihe).

Teepikkus l ja nihke pikkus s pole tavaliselt võrdsed. Näiteks kui õpilane jõuab pärast kooli koju, on vaatamata päeva kestel läbitud suurele teepikkusele tema nihe null. Teepikkus ja nihe on võrdsed vaid sirgoonelisel muutumatu suunaga liikumisel.

Nihet saab avaldada keha alg- ja lõppasukoha koordinaatide kaudu. Kui liikumine toimub piki x-telge ning keha alg- ja lõppasukoha koordinaatide tähisteks on vastavalt x₀ ja x, saame nihke pikkuseks

Sümboliga Δ (loe: delta) tähistatakse suuruse lõpp- ja algväärtuse vahet ehk muutu.

Teepikkuse ja nihke mõõtühikuks on rahvusvahelises mõõtühikute süsteemis 1 meeter. Pikkade või lühikeste teepikkuste ja nihete korral kasutatakse kümnendeesliideseid. Näiteks 1000 m = 1 km, 1/100 m = 1 cm.

1.2.3 Ühtlane sirgjooneline liikumine

Mehaanika põhiülesanne on keha asukoha määramine mis tahes ajahetkel.

Kõige lihtsam on asukohta arvutada lihtsaima liikumise korral, milleks on ühtlane sirgjooneline liikumine.

Ühtlaseks sirgjooneliseks liikumiseks nimetatakse sirgjoonelist liikumist, mille korral mis tahes võrdsetes ajavahemikes läbitakse võrdsed teepikkused.

Niisuguse liikumise suund ei muutu ja võrdsete teepikkuste läbimisel sooritatud nihked on võrdsed. Nihke kaudu defineerimisel nimetatakse ühtlaseks sirgjooneliseks liikumiseks sellist liikumist, mille korral mis tahes võrdsetes ajavahemikes sooritatakse võrdsed nihked. Trajektoori kuju pole sel juhul vaja eraldi mainida.

Millised on sellise liikumise näited? Ideaalselt ühtlast sirgjoonelist liikumist me looduses tegelikult ei leiagi. Enam-vähem saame selliseks lugeda näiteks rongisõidu sirgel teel, kuigi raudtee pole Maa kumeruse tõttu päris sirge ja ükski rong ei saa sõita igavesti peatumata.

Sellegipoolest võib paljudel juhtudel väikesed kõrvalekalded ideaalist arvestamata jätta ning liikumist siiski ühtlaseks sirgjooneliseks pidada. Lihtsustuste tegemine tähendab füüsikas mudeli kasutamist. Ühtlane sirgjooneline liikumine on lihtsaima liikumise mudel.

Nii võib sirgjoonelise liikumise mudeli abil kirjeldada sirgel maanteel kihutava auto, ujuva sportlase ja laskuva langevarjuri liikumist.

1.2.4 Kiirus

Liikumine on keha asukoha muutumine mingi aja jooksul. Muutumise aeg võib seejuures olla erinev. Näiteks jalgrattur jõuab ühest asulast teise varem kui samal ajal liikumist alustanud jalakäija. Sel puhul öeldakse, et jalgratturi kiirus on jalakäija omast suurem. Kiirus näitab, kui suure teepikkuse läbib keha ajaühiku jooksul. Valemites tähistatakse kiiruse arvväärtust tähega v (velocitas — ladina k kiirus). Ühtlasel sirgjoonelisel liikumisel on teepikkus võrdne nihke pikkusega ning sel juhul võime öelda, et kiirus on võrdne ajaühikus sooritatud nihkega. Kiiruse leidmiseks tuleb sooritatud nihe jagada liikumisajaga t:

Tähis $\overrightarrow{v}$ viitab sellele, et kiirus on suunaga ehk vektoriaalne suurus.

Kui suund pole liikumise kirjeldamisel oluline, võime sama valemit kasutada skalaarkujul:

Kiiruse mõõtühik SI-s on 1 m/s ehk 1 meeter sekundis.

Tuleb tähele panna, et valemites (1.2 ) ja (1.3 ) ei tähista t mitte ühte ajahetke, vaid liikumise kestust. Tegemist on lõpp- ja algpunktis paiknemise hetkede vahega, mida väljendatakse kreeka tähe delta (Δ) abil:

Siin tähistab t₀ alghetke ja t lõpphetke. Enamasti võetakse alghetk nulliks ja siis on liikumisaeg Δt = t. Seda aega t ongi kiiruse valemites (1.2 ) ja (1.3 ) silmas peetud.

Võttes nüüd ajavahemiku tähiseks Δt ja vastavalt valemile (1.1 ) nihke tähiseks Δx, saame kiiruse valemile veel ühe kuju:

1.3.1 Liikumise kirjeldamise analüütiline ja graafiline meetod

Liikumine on nähtus, milles keha asukoht aja jooksul muutub. Erinevatel ajahetkedel on asukoht erinev, st keha koordinaadid sõltuvad ajast. Ajast sõltuvad ka kogu liikumise kestel läbitud teepikkus ning sooritatud nihe. Muutuva liikumise korral võivad ajast sõltuda veel ka kiirus ja kiirendus. Liikumisnähtus on kirjeldatav seda iseloomustavate suuruste ajast sõltuvuste kaudu.

Sõltuvusi saab väljendada analüütiliselt ja graafiliselt. Analüütilise meetodi korral kirjeldatakse sõltuvust matemaatiliste avaldiste abil. Avaldiste kaudu esitatud sõltuvusi on võimalik matemaatiliselt lähemalt uurida ja seeläbi lisainfot saada. Graafiline meetod kasutab liikumise kirjeldamiseks - nagu nimigi ütleb - graafikuid. Graafikud ei võimalda küll liikumist iseloomustavaid suurusi neilt otse välja lugeda, kuid annavad sõltuvustest seevastu ülevaatlikuma pildi.

1.3.2 Liikumisvõrrand

Mehaanika põhiülesanne on määrata keha asukoht mis tahes ajahetkel, st leida keha koordinaatide sõltuvus ajast. Kui paneme selle sõltuvuse kirja matemaatilise avaldise abil, saame liikumisvõrrandi. Liikumisvõrrandiks nimetatakse matemaatilist avaldist, mis näitab keha koordinaatide sõltuvust ajast.

Inimese poolt tajutav ruum on kolmemõõtmeline — ruumil ja igal selles asetseval kehal on pikkus, laius ja kõrgus. Seepärast on keha asukoha määramiseks üldjuhul vaja kolme koordinaati. Juhul, kui keha liigub mööda kindlat pinda, piisab kahest koordinaadist. Merepinnal seilava laeva asukoha saab kirja panna kahe geograafilise koordinaadi — pikkus- ja laiuskraadi abil. Veduri asukoha annab kätte vaid üks arv, näiteks kaugus algjaamast, kuna ilmselt püsib vedur relssidel.

Sirgjoonelise liikumise kirjeldamiseks piisab ühest sirgest koordinaatteljest, mille suund on mõistlik valida piki liikumise trajektoori. Koordinaadi tähiseks võetakse tavaliselt x. Selle punkti koordinaati, kus keha asub ajamõõtmise alghetkel, nimetatakse algkoordinaadiks ja tähistatakse sümboliga x₀.

Kirjeldame näiteks auto sõitmist: alghetkel t = 0 on selle koordinaat x₀. Aja t jooksul nihkub auto edasi ning koordinaat muutub nihke pikkuse s võrra suuremaks (vt joonist). Koordinaadi uus väärtus x on seega

Teame, et aja t jooksul sooritatava nihke pikkus sõltub kiirusest. Ühtlase liikumise kiiruse valemist (1.3 ) saame nihke pikkuse avaldada kui s = vt. Paigutades selle nihke avaldise koordinaadi valemisse (1.6 ) tulemuseks seos, mis näitab auto koordinaadi sõltuvust ajast:

See ongi ühtlaselt sirgjooneliselt liikuva keha liikumisvõrrandi üldkuju.

Konkreetsete ülesannete puhul on x₀ ja v kohal võrrandis kindlad arvulised väärtused. Näiteks võrrand x = 10 + 2t väljendab liikumist keha jaoks, mille algkoordinaat on 10 m ning kiirus 2 m/s. Kui soovime teada, kus keha 5 sekundi pärast asub, võtame aja t väärtuseks 5 s ning arvutame, et x = 10 + 2•5 = 20 (m). Liikumisvõrrandi abil saab leida keha asukoha mis tahes ajahetkel. Suurused x₀ ja v võivad omada nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi. Negatiivne kiirus tähendab seda, et keha liigub koordinaattelje negatiivses suunas. Rõhutamaks seda, et sirgel trajektooril saab liikumine toimuda kahes suunas, kirjutatakse liikumisvõrrand mõnikord kujul

1.3.3 Liikumisgraafik

Ühe suuruse teisest sõltuvuse graafiku saamiseks tuleb joonestada kaks ristuvat telge, horisontaalsele teljele märkida muutuv suurus ning vertikaalsele suurus, mis muutujast sõltub. Matemaatikas oleme harjunud, et horisontaaltelje tähiseks võetakse x ja vertikaalse telje tähiseks y. Füüsikas kasutatakse teisi tähiseid.

Liikumisgraafikuks nimetatakse graafikut, mis näitab keha asukoha (koordinaadi x) sõltuvust ajast. Liikumisgraafiku horisontaalteljele kantakse aeg t ja püstteljele ajast sõltuv koordinaat x. Erinevat liiki ja erineva suunaga liikumiste graafikud on erineva kujuga.

Ühtlase liikumise korral muutub koordinaat iga sekundiga sama palju ning seepärast on graafikuks sirgjoon. Sirge saab välja joonestada kahe punkti järgi ja seega piisab ühtlase liikumise graafiku saamiseks, kui teame keha asukohta kahel erineval ajahetkel.

Võrdleme kahe ühtlaselt liikuva keha liikumisgraafikuid. Oletame, et hetkel t₁ = 4 s on nende koordinaadid 4 m ja 6 m ning hetkel t₂ = 10 s vastavalt 10 m ja 9 m. Kui graafikud välja joonestada (vt joonist), siis näeme, et need on erineva tõusuga. Ajavahemik kahe vaatlusaluse hetke vahel oli Δt = 10 – 4 = 6 sekundit. Järsema graafikuga keha koordinaat muutus selle ajaga Δx₁= 10 – 4 = 6 m võrra. Järelikult on kiirus 6 m/ 6 s = 1 m/s. Teise keha koordinaadi muuduks saame Δx₂= 9 – 6 = 3 m ja kiiruseks 3 m/ 6 s = 0,5 m/s.

Jõudsime olulise tulemuseni — liikumisgraafiku tõus näitab liikumise kiirust. Mida suurem kiirus, seda suurem on graafiku tõus. Kui graafik langeb ja tõus on negatiivne, siis on ka kiirus negatiivne, st liikumise suund on koordinaattelje positiivse suunaga vastupidine.

Teiseks saab liikumisgraafikult välja lugeda keha algkoordinaadi. Koordinaati näitav püstine graafikutelg asub just ajatelje nullkohal. Järelikult see punkt, kus graafiku joon püstist koordinaattelge lõikab, vastabki algkoordinaadile. Eespool toodud näites koostatud graafikutelt näeme, et kiiremini liikuva keha algkoordinaat on 0 ja aeglasema oma 4 m.

Liikumisgraafikult saab leida algkoordinaadi	Liikumisgraafik ja nihke graafik

Graafiku võib koostada ka nii, et püstteljele kantakse koordinaadi asemel keha poolt sooritatud nihke pikkus või teepikkus. Selline graafik on kujult liikumisgraafiku sarnane, kuid algab alati nihke või teepikkuse nullist — alghetkel pole ju keha veel jõudnud edasi nihkuda.

Kui liikumisgraafik pole sirge ja selle tõus muutub, siis järelikult muutub ka liikumise kiirus ja tegemist on muutuva liikumisega.

1.4.1 Muutuv liikumine

Nagu juba teame, saab liikumine olla kas ühtlane või mitteühtlane. Ühtlase liikumise korral sooritab keha mis tahes võrdsete ajavahemike kestel võrdsed nihked.

Sel juhul annab valem

kiiruse jaoks kogu aeg sama tulemuse ja kiirus on järelikult muutumatu. Pole oluline, kas kiiruse arvutamiseks mõõdetakse kogu tee või ainult mingi selle osa nihke pikkus ja läbimise aeg.

Mitteühtlasel liikumisel ei pruugi võrdsete ajavahemike kestel sooritatud nihked trajektoori erinevates paikades ühesugused olla ja järelikult kiirus muutub. Sellise muutuva liikumise iseloomustamiseks ei saa leida kiirust ühtlase liikumise valemi järgi, kuna tulemus sõltub nüüd mõõtmiseks valitud ajavahemikust ning teelõigust.

Seepärast kasutatakse muutuva liikumise iseloomustamiseks teistmoodi defineeritud kiirust. Selleks on kaks võimalust: keskmine kiirus ja hetkkiirus.

1.4.2 Keskmine kiirus

Kõik me oleme sõitnud liinibussiga ja teame, et suurema osa ajast liigub see üsna nobedasti, kuid auklikel teelõikudel aeglustab sõitu ning peatustes ja punase fooritule taga seisab hoopis paigal. Mõõtes kogu läbitud teepikkuse ja jagades selle kulunud ajaga, saame mingi kiiruse. Arvutatu pole aga kiirus, millega buss liinil tegelikult sõitis. Kiirus muutus suures vahemikus ega pruukinud nimetatud väärtust üldse omadagi. Ometi iseloomustab kogu teepikkuse ja liikumisaja kaudu arvutatud kiirus bussi sõitu ja lubab ligikaudselt välja arvutada, millal kuhugi peatusesse välja jõutakse.

Selliselt arvutatud kiirust nimetatakse keskmiseks kiiruseks. Keskmine kiirus on võrdne kogu läbitud teepikkuse ja selleks kulunud koguaja jagatisega. Keskmise kiiruse tähiseks on v_k ja mõõtühikuks 1 m/s.

Igasuguste sõidugraafikute ja matkaplaanide koostamisel, liiklusteede läbilaskevõime hindamisel ja muudel sarnastel juhtudel võetakse aluseks just liikumise keskmine kiirus.

Märkused

• Keskmise kiiruse leidmisel ei tohi lasta end eksitada mõiste kõlalisest sarnasusest sagedasti kasutatava aritmeetilise keskmisega. Keskmist kiirust ei saa leida aritmeetilise keskmisena, vaid seda tuleb teha ikka kogu teepikkuse ja koguaja kaudu!
• Keskmise kiiruse arvutamiseks ei kasutata mitte nihke pikkust vaid  ikka teepikkust. Kui alg- ja lõppasukohad langevad kokku ja nihe on seetõttu null, ei saa ju ometi väita, et terve päeva ringi sõitnud ja garaaži naasnud bussi keskmine kiirus oli null.
• Kasutusel on ka kiiruste statistilise keskmise mõiste. Sel juhul on uurimise all palju erinevate kiirustega liikuvaid kehi ja keskmist väärtust hinnatakse statistikaseadustele tuginedes. Nii leitakse näiteks elutoas ringisebivate õhumolekulide keskmine kiirus.

1.4.3 Hetkkiirus

Kõik me oleme näinud sõidukite liikumiskiirust reguleerivaid teemärke ja teame, et politseinikud mõõdavad teedel sagedasti kiirust. Ohtlikematele teelõikudele on isegi automaatselt töötavaid kiiruskaameraid üles seatud. Autojuhtidel aitab kiiruspiiranguid järgida armatuurlaual paiknev spidomeeter (speed [spi:d] — inglise k kiirus) ja sarnase kiirusemõõtja saab monteerida isegi jalgrattale.

Mis liiki kiirusega siin tegemist on? Vaevalt, et keskmisega, sest kuidas saaks liiklusmärgi ülespanija või politseinik arvestada sõidukijuhi juba asetleidnud ja veel vähem alles eel olevaid kihutamisi ja seisakuid! Pealegi ei oma juba toimunud ja tulevane liikumine konkreetse hetke liiklusolukorras mingit tähtsust. Oluline on ju see, kuidas liigutakse selles paigas just sellel ajahetkel. Siin kirjeldatud juhtudel kasutatav kiirus on hetkkiirus.

Hetkkiiruse nimetus viitab sellele, et mõeldud on kiirust mingil konkreetsel ajahetkel. Samas on hetke kestus null ja selle kestel läbitav teepikkus samuti null. Püüdes nüüd kiirust arvutada, jõuame välja võimatu tehteni, mida matemaatikud tunnevad kui 0/0 määramatust. Mis ikkagi hetkkiirus on ja kuidas seda mõõdetakse?

Jalgratta kiirusemõõtja kujutab endast pisikest kellaga arvutit, mille külge on ühendatud väike magnetvälja muutusi tajuv andur. Andur paikneb esiratta kõrval nii, et kodara külge kinnitatud magnet ratta iga täisringi järel andurile oma möödumisest teada annab. Arvuti kell mõõdab ratta täisringi tegemiseks kulunud aja ja lähtudes mälusse sisestatud ratta läbimõõdu väärtusest, leiab ühe rattaringi jooksul sooritatud nihke pikkuse ning arvutab välja selle lühikese teejupikese läbimise keskmise kiiruse.

Jalgratta kiirusemõõtja tööpõhimõte	Kõverjoonelise liikumise hetkkiiruse leidmine. Ka siin peab  t olema võimalikult väike

Hetkkiiruse all mõistetakse küll keha liikumiskiirust kindlal ajahetkel, aga selle väärtust saab hinnata siiski mitte hetke, vaid lühikese ajavahemiku kestel leitava keskmise kiirusena.

Hetkkiiruse tähistamiseks kasutatakse sarnaselt ühtlase liikumise kiirusega sümbolit v. Kui võtame lühikese ajavahemiku, mille kestel kiirus ei jõua oluliselt muutuda, tähiseks Δt ja selle aja jooksul sooritatud nihke pikkuse tähiseks Δs, saame hetkkiiruse arvutusvalemiks

Mida lühem on uuritav ajavahemik Δt, seda täpsemini saab hetkkiiruse teada, sest seda vähem jõuab kiirus selle ajaga muutuda. Mitteühtlase liikumise hetkkiirus on sarnaselt ühtlase liikumise kiirusega vektoriaalne ehk suunaga suurus. Kui liikumise kirjeldamisel on ka suund oluline, tuleb hetkkiiruse valemit kasutada vektorkujul.

1.5.1 Ühtlaselt muutuva sirgjoonelise liikumise mõiste

Muutuv liikumine võib olla väga erinev, sest kiirus saab muutuda mitmesugustel viisidel — pidevalt kasvada, olla vahepeal muutumatu, jälle kasvada, kuid aeglasemalt, ja siis hoopis kahaneda... Tihti kohtame aga sellist liikumist, mille kiirus kasvab või kahaneb mis tahes võrdsetes ajavahemikes ühepalju.

Sellist liikumist, mille kiirus muutub mistahes võrdsete ajavahemike jooksul ühesuguse väärtuse võrra, nimetatakse ühtlaselt muutuvaks liikumiseks. Näiteks kasvab õhutakistuseta kukkuva kivi kiirus iga sekundiga ligikaudu 10 m/s võrra. Käest lahti lastud kivi saavutab ühe sekundiga kiiruse 10 m/s, teise sekundi lõpuks 20 m/s, kolmanda lõpuks 30 m/s jne. Samas on vabalt kukkuva kivi trajektooriks sirgjoon ja seega on tegemist ühtlaselt muutuva sirgjoonelise liikumisega.

Kukkuva kivi kiirus ei kasva muutumatuna siiski lõputult, kuna langemise käigus ei jää endiseks ei liikumist mõjutav kaugus Maast ega ka õhutakistus. Tegelikult looduses me ideaalset ühtlaselt muutuvat sirgjoonelist liikumist ei kohtagi. Sellist liikumist saab vaid ette kujutada ja matemaatika meetoditega kirjeldada. Tegemist on teatud liikumise füüsikalise mudeliga. Kuigi puhast sellist liikumist olemas pole, saab nimetatud mudeli juures väljaselgitatud lihtsaid seaduspärasusi siiski suurepäraselt sarnaste reaalsete liikumiste uurimisel kasutada.

Näiteks võib teatud piirides ühtlaselt muutuvaks sirgjooneliseks liikumiseks pidada suusahüppaja laskumist hüppemäel, hokilitri libisemist jääl, kaubarongi liikumahakkamist ning otse üles visatud palli lendu.

1.5.2 Muutuva liikumise kiirendus

Kui jälgida foori taga ootavaid sõidukeid, siis võib tähele panna, et rohelise tule süttimisel ei hakka need kõik liikuma ühtmoodi. Sõiduautod võtavad paigalt ja saavutavad lubatud maksimumkiiruse üsna kärmesti, kuid pungil täis liinibussil kulub sellise kiiruse saavutamiseks märgatavalt rohkem aega. Ka aeglustumine võib olla erinev. Kui turvavarustuse katsetamisel peatub suurel kiirusel vastu müüri paiskuv auto peaaegu silmapilkselt, siis palju väiksema kiirusega sõitva kaubarongi peatamine kestab mitu minutit. Liikumise muutumine võib toimuda erineva kiirusega.

Ülaltoodud näited viitavad sellele, et muutuvat liikumist kirjeldab peale keskmise ja hetkkiiruse ka hetkkiiruse muutumise kiirus. Tegemist on liikumist iseloomustava omadusega, mida saab mõõta ja arvuliselt väljendada, seega on tegemist füüsikalise suurusega. Füüsikud on kokku leppinud, et seda kiiruse muutumise kiirust väljendavat suurust nimetatakse kiirenduseks.

Mis tahes suuruse muutumiskiirust saab määrata nii, et leitakse, kui palju see suurus ühe ajaühiku jooksul muutuda jõuab. Selleks tuleb muutuse suurus jagada muutumiseks kulunud ajaühikute arvuga ehk muutumise ajaga. Samamoodi tuleb toimida ka kiiruse muutumise kiiruse iseloomustamisel. Seega võime kiirenduseks nimetada liikumist iseloomustavat suurust, mis on võrdne kiiruse muudu ja selle muutumise aja jagatisega. See definitsioon on matemaatiline, kuna kasutab sõnastuses matemaatilisi tehteid. Samaväärselt võime kasutada ka füüsikalist definitsiooni: kiirenduseks nimetatakse füüsikalist suurust, mis on võrdne kiiruse muuduga ajaühikus.

Kiirenduse valemi kirjapanekuks peame kokku leppima sobivad tähistused. Tähistame alghetke (hetke, mil kiiruse muutumine algab) sümboliga t₀ = 0. Kui võtame muutumise lõpphetke tähiseks t, siis on muutumise kestus võrdne ajavahemikuga Δt = t - t₀ = t (sest t₀ =0). Nimetame kiiruse, mida keha omas muutumise alguses, algkiiruseks ja tähistame selle vektoriaalse suuruse sümboliga ${\overrightarrow{v}}_0$. Kiirus muutumise lõpus olgu lõppkiirus $\overrightarrow{v}$. Liikumiskiiruse muut on selliste tähistuste puhul $\Delta v=v-v_0$. Kiirenduse tähisena kasutatakse sümbolit $\overrightarrow{a}$ (acceleration — ingl k kiirendus). Nooleke tähe kohal näitab mäletatavasti seda, et tegu on suunaga suuruse ehk vektoriga. Kuna definitsiooni järgi on kiirendus võrdne kiiruse muudu ja kiiruse muutumise aja jagatisega, saame kiirenduse valemiks

Kiirenduse valemi saab esitada ka skalaarkujul:

Et kiiruse muudu mõõtühik on sarnaselt kiiruse ühikuga 1 m/s ja ajavahemiku ühik 1 s, saame kiirenduse mõõtühikuks nende jagatise $\frac{1m/s}{1s}=1\frac{m}{s^2}$, mida loetakse kui 1 meeter sekundi ruudu kohta.

1.5.3 Ühtlaselt muutuva liikumise kiiruse sõltuvus ajast

Kui on teada algkiirus ja kiirendus, on ühtlaselt muutuva liikumise korral lihtne leida keha kiirust mis tahes ajahetkel. Selleks tuleb kiirus avaldada kiirenduse definitsioonivalemitest (1.11 ) või (1.11' ):

või

Alghetkel, mil t = 0, annab valem kiiruseks v = v₀ ehk algkiiruse. Muudel momentidel on liidetav at sõltuvalt kiirenduse väärtusest kas positiivne või negatiivne ja kiirus võib kas kasvada või kahaneda. Kui kiirendus on algkiirusega võrreldes vastupidiselt suunatud, siis a < 0 ja võib juhtuda olukord, et ka kiirus muutub negatiivseks. See tähendab seda, et kiiruse suund on algkiirusega võrreldes vastupidine ja keha on hakanud kiirenevalt tagasi liikuma.

Nii juhtub näiteks ülesvisatud õunaga. Tõusul on liikumine aeglustuv, kuid langemisel muutub kiirenevaks. Langemisel on liikumise suund esialgsega vastupidine ja kiirendusega samasuunaline. Kui kiirendus on kiirusega samasuunaline, on liikumine kiirenev ning vastassuunalise kiirenduse korral aeglustuv:

1.6.1 Kiiruse graafik

Kui liikumisgraafik näitab keha koordinaadi sõltuvust ajast, siis kiiruse graafik kiiruse sõltuvust ajast. Kiiruse graafiku püstteljele kantakse kiiruse väärtused ja horisontaalteljele sarnaselt liikumisgraafikuga aeg. Kõige lihtsam kiiruse graafik on ühtlasel liikumisel. Kuna ühtlasel liikumisel kiirus ei muutu, on selle väärtus igal ajahetkel sama ja graafikuks on horisontaalne sirgjoon (vt joonist). Kiirema liikumise korral asub graafik teljestikus kõrgemal ja aeglasema korral madalamal positsioonil.

Kuigi kiiruse graafikul on näidatud vaid kiiruse sõltuvus ajast, saab selle abil ka sooritatud nihke pikkuse leida. Vaatame ühtlase liikumise graafikut. Kui märgime sellel ära ajavahemiku 0 kuni t, saame ristküliku, mille külgede pikkusteks püstsihis on kiirus v ja horisontaalsihis aeg t. Selle ristküliku pindala on võrdne külgede pikkuste korrutisega ehk v•t. Kiiruse ja liikumiskorrutise korrutis on aga võrdne sooritatud nihke pikkusega: s = vt. Jõudsime olulise tulemuseni: kiiruse graafiku alla jääv pindala on võrdne keha poolt sooritatud nihke pikkusega. See kehtib mitte ainult ühtlase, vaid ka muutuva liikumise korral.

Ühtlaselt muutuva liikumise korral muutub kiirus võrdsetes ajavahemikes sama palju ja kiiruse graafikuks on tõusev või langev sirge. Graafiku tõus või langus on seda suurem, mida kiiremini kiirus muutub ehk mida suurem on kiirendus. Tõusva graafiku korral liikumine kiireneb, langeva korral aeglustub. Kui graafik on ajateljest allpool, on kiirus negatiivne, liikumine toimub koordinaattelje negatiivses suunas ning langev graafik tähistab sel juhul kiiruse kasvamist. Graafiku lõikepunkt püstise kiiruse teljega annab kiiruse hetkel t = 0 ehk algkiiruse v₀. Kui graafik pole sirge, on tegemist mitteühtlaselt muutuva liikumisega.

1.6.2 Ühtlaselt muutuva liikumise nihe ja liikumisvõrrand

Selleks, et tuletada valem, mis näitaks ühtlaselt muutuva liikumise korral nihke sõltuvust ajast, saame kasutada teadmist, et nihke pikkus on võrdne kiiruse graafiku alla jääva pindalaga. Olgu keha kiirus alghetkel v₀ ja saavutagu aja t möödumisel väärtuse v. Kiiruse graafikuks on tõusev sirge, mille alla jääv kujund on trapets, mille alusteks on kiirused v₀ ja v ning kõrguseks aeg t.

Aja t jooksul keha poolt sooritatava nihke pikkus on võrdne selle trapetsi pindalaga, mille leidmiseks tuleb aluste poolsumma korrutada kõrgusega:

Teades seosest (1.12 ), et kiirus avaldub kiirenduse kaudu kujul v = v₀ + at, saame pärast asendamist

mille lihtsustamisel jõuamegi avaldiseni, mis näitab nihke sõltuvust ajast ühtlaselt muutuval liikumisel:

Näeme, et nihe sõltub ajast ruutfunktsiooni järgi. Mõne probleemi lahendamisel pole liikumise aeg teada, küll aga on teada lõppkiirus. Sel juhul leitakse aeg kiiruse valemist (1.12’ )

Selle  ajaga asendamisel omandab seos (1.13 ) kuju

ehk

Pärast lihtsustamist ruutude vahe valemi abil saame nihke arvutamiseks valemi:

Teades nihke sõltuvust ajast, on liikumisvõrrandit lihtne koostada. Näitab ju see võrrand keha koordinaadi sõltuvust ajast ja nagu ütleb seos (1.6 ), saame keha koordinaadi arvutada mis tahes ajahetke jaoks, liites algkoordinaadile selleks hetkeks sooritatud nihke pikkuse: x = x₀ + s. Lähtudes nihke avaldisest (1.15 ), näeme, et ühtlaselt muutuva liikumise liikumisvõrrandiks on

Tegemist on ruutfunktsiooniga, mille liikmed võivad olla sõltuvalt algkoordinaadi, algkiiruse ja kiirenduse märgist nii positiivsed kui ka negatiivsed. Liikme märk sõltub vastava suuruse suunast koordinaattelje suhtes. Märgi olulisuse rõhutamiseks kasutatakse võrrandi üldkujus + asemel mõnikord sümbolit ±. Sel juhul näeb liikumisvõrrand välja veidi teistsugusena:

Iga konkreetse liikumise korral on võrrandis x₀, v₀ ja a kohal vastavate suuruste arvväärtused.

1.6.3 Ühtlaselt muutuva liikumise graafik

Nüüd, mil teame, et ühtlaselt muutuva liikumise liikumisvõrrand (1.19 ) kujutab endast aja ruutfunktsiooni, mis on sarnane matemaatikast tuntud funktsiooniga y = ax²+ bx + c, pole raske konstrueerida ka selle liikumise graafikut.

Koordinaat x sõltub ajast t kui ruutfunktsioon. Ruutfunktsiooni graafik on teatavasti parabool ja nii ongi ühtlaselt muutuva liikumise graafik parabooli kujuga. Sõltuvalt ruutliikme kordaja (kiirenduse) märgist on parabooli harud suunatud kas üles (a > 0) või alla (a < 0).

1.7.1 Vaba langemine

Gravitatsioon (gravitas — ladina k raskus) on vastastikmõju, millele alluvad kõik kehad, nii kosmilised kui ka maapealsed. Meie poolt tajutav gravitatsioon on Maa külgetõmme. Kõik kehad tõmbuvad Maa keskpunkti poole ja omavad seepärast raskust. Kui keha lahti pääseb, kukub see alla. Selle üle, kuidas kehad Maa külgetõmbe tõttu kukuvad, juureldi juba tuhandeid aastaid tagasi. Kui kreeka mõttetark Aristoteles oli veendunud, et rasked kehad kukuvad kergematest kiiremini, siis 2000 aastat hiljem näitas itaalia teadlane Galileo Galilei, et kõik kehad liiguvad Maa külgetõmbe mõjul ühtmoodi.

Tegelikult oli õigus ka Aristotelesel. Kõik me oleme kogenud, et korraga käest lahti lastud metallraha ja paberileht ei maandu korraga. Paber kukub aeglasemalt, kuna langemist segab õhutakistus. Suhteliselt raskete esemete korral (metallkuulid, kivid) jääb õhutakistus raskusjõu kõrval aga väikeseks ja kehad maanduvad siis korraga.

Õhutakistuse puudumisel kukkumine on vaba langemine	Kuuli ja udusule katse maailma kõige suuremas vaakumkambris.

Sellist kehade kukkumist, kus õhutakistus puudub või on väike, nimetatakse vabaks langemiseks. Katsed näitavad, et vabalt langevatel kehadel kasvab kiirus ühtmoodi – see ei sõltu raskusest ja kujust. Torus, millest on õhk välja pumbatud, kukuvad tinahaavel ja udusulg kõrvuti.

Vaba langemine on ühtlaselt muutuv liikumine. Kõik kehad saavad sõltumata massist ja juba olemasoleva kiiruse suurusest ning suunast Maa külgetõmbe toimel ühesuguse kiirenduse. Seda nn vaba langemise kiirendust on mõõdetud Maa eri paigus ja erinevatel meetoditel ning tulemuseks on saadud alati ligikaudu 9,8 m/s². Vaba langemise kiirenduse tähis on g ja see on suunatud alati alla, Maa keskpunkti poole.

1.7.2 Vabalt langeva keha kiiruse ja kõrguse sõltuvus ajast

Vaba langemine on ühtlaselt muutuv liikumine ja selle käigus keha kõrgus muutub. Sellise liikumise korral on püstsuunaliseks koordinaadiks mõistlik võtta keha kõrgus. Telg on sel juhul suunatud alt üles ning koordinaadi ehk kõrguse tähiseks on tavaliselt h (height — inglise k kõrgus). Sageli kasutatakse püstkoordinaadina ka y.

Keha liikumist Maa külgetõmbe mõjul saab kirjeldada ühtlaselt muutuva liikumise mudeli abil. Lähtume kiiruse ajast sõltuvuse valemist (1.12’ ) ja liikumisvõrrandist (1.19 ):

Neis avaldistes tuleb kiirenduseks võtta vaba langemise kiirendus ning koordinaadiks kõrgus h.

Et kõrgus on suunatud alt üles ja vaba langemise kiirendus ülalt alla, on sellises koordinaatsüsteemis vaba langemise kiirendus negatiivne ja valemites tuleb võtta a = – g. Selliselt toimides saame vabalt langeva keha kiiruse ja kõrguse ajast sõltuvuse jaoks järgmised seosed:

Kui näiteks kivi üles visata, on valemites algkiirus v₀ positiivne, allaviskamisel negatiivne ja lihtsalt käest pillamisel null. Sümbol h₀ tähistab kõrgust aja alghetkel ehk algkõrgust. Kõrguse nullpunkt valitakse vastavalt olukorrale. Enamasti on selleks maapind. Vaba langemise kiirenduse väärtuseks võetakse 9,8 m/s², ent kui pole öeldud teisiti, võib kooliülesannete lahendamisel kasutada väärtust 10 m/s².

1.7.3 Horisondiga kaldu visatud keha liikumine

Kui kõrgushüppaja võitleb gravitatsiooniga, et tõusta kõrgele, siis kuulitõukaja peab kuuli lennutama võimalikult kaugele. Mismoodi toimida? Algkiirus peab olema võimalikult suur, kuid ka tõukesuund on oluline. Mida kõrgemale kuul tõuseb, seda kauem see õhus püsib. Samas ei saa kogu energiat kõrguse saavutamiseks kulutada, osa tuleb panustada edasiliikumisse.

Kaldu visatud keha liikumist saab vaadata kui kahte korraga toimuvat sõltumatut liikumist. Üks on suunatud üles-alla ja allub vaba langemise seadustele ning teine horisontaalsuunas ja on kõrvaliste mõjude puudumisel ühtlane sirgjooneline. Kaks erisihilist korraga toimuvat liikumist on teineteisest täiesti sõltumatud ja neid saab kirjeldada eraldi võrrandite abil.

Kaldu visatud keha liikumise kirjeldamiseks on vaja kahte koordinaattelge. Üles-alla toimuva muutuva liikumise jaoks kasutame püstist kõrguse telge h ja horisontaalsuunas ühtlaselt edasi liikumise jaoks telge x. Selleks et nende kahe koordinaattelje jaoks saaks liikumisvõrrandid kirja panna, on vaja ka algkiirus v₀ jagada kaheks komponendiks — püstsuunaliseks v_0h ja horisontaalsuunaliseks v_0x.

Jooniselt on näha, et kiiruse komponentide suurused saab täisnurksetest kolmnurkadest siinus- ja koosinusfunktsiooni abil (α on viskenurk horisontaalsihi suhtes):

Nende avaldistega tuleb vastavad suurused asendada liikumisvõrrandites (1.8 ) ja (1.21 ). Kuna nüüd on meil ühe liikumise asemel korraga kaks, siis peame selle kirjeldamiseks kasutama ühe liikumisvõrrandi asemel kahest võrrandist koosnevat süsteemi:

Sagedamini tulevad ette ülesanded, kus keha alustab liikumist maapinnalt. Sel juhul võetakse mõlemad algkoordinaadid h₀ ja x₀ nulliks. Liikumisvõrrandite süsteemi (1.24 ) abil saame leida horisondiga nurga α all visatud keha koordinaadid h ja x mis tahes ajahetkel t. Kui soovime leida lennukaugust ja –kõrgust, tuleb esmalt leida lennuaeg. Lennu lõpus kukub keha maha ning kõrgus h = 0. Seda väärtust kasutades saame esimesest võrrandist avaldada lennuaja. Teades lennuaega, leiame teisest võrrandist sellele vastava kauguse x. Lennukõrguse leidmiseks kasutame jälle esimest võrrandit, võttes ajaks seekord poole kogu lennuajast, kuna just lennu keskmomendil on keha oma trajektoori kõrgeimas punktis.

Dr John Stapp, New Mexicos asuva Hollomani Õhujõudude Baasi kolonel, kinnitati 1954. aasta detsembris rihmadega üheksa raketiga rakettkelgu istmele. Kui raketid süüdati, kiirendas see teda viie sekundi jooksul kiiruseni 632 miili ehk 1018 kilomeetrit tunnis. Tõsisem katsumus kolonel Stappi jaoks oli siiski pidurdamine vesipiduritega, milleks kulus vaid 1,4 sekundit. 1958. aasta mais saavutas Eli L. Beeding Jr sarnase kelguga kiiruse 72,5 miili (117 kilomeetrit) tunnis. Tema kiirus polnud küll märkimisväärne — see on maanteedel suhteliselt tavaline —, kuid märkimist väärib peatumiseks kulunud aeg, 0,04 sekundit, mis on sõna otseses mõttes vähem kui silmapilk.

Kolonel J. P. Stapp rakettkelgul, kui see saavutab suure kiiruse ...	... mida siis väga järsult pidurdatakse. (USA Õhujõudude foto)

Lugu sellest, kuidas Murphy seadused alguse said	Kass küsib, miks on Apollo missioon erakordne

Kokkuvõte

Kontrollküsimused

2.1.1 Vastastikmõju

Kui päästerõngas vee alla suruda, tõukab vesi selle pinnale tagasi. Tuul puhub purje pingule ning paneb jahi mööda veepinda liikuma. Riputatud koormise toimel venib vedru pikemaks. Tõstja sikutab raske kangi maast lahti. Udusulg hõljub õhus ega kuku maha. Pärast kammimist hakkab kamm juukseid ligi tõmbama. Sepavasara löök painutab kuuma raudlati kõveraks.

Selliseid näiteid võib tuua väga palju. Need on küll kõik väga erinevad, kuid ühes siiski sarnased — ühe kehaga juhtub midagi teise keha mõjul. Neid näiteid ühendab nähtus, mida nimetatakse vastastikmõjuks.

Vastastikmõjud on väga erinevad	Vastastikmõjud ahelmasinas

Mille järgi tunneme ära, et vastastikmõju on aset leidnud? Kui üks keha mõjutab teist, siis selle tagajärjel toimub mingi muutus. Siin on mitu võimalust — vastastikmõju tagajärjel võib muutuda keha kuju, ruumala või liikumise iseloom.

Kuju muutub näiteks õhupallil, kui me seda täis puhume, ja kristallvaasil, mis maha pillatakse. Alati ei pruugi me kujumuutust märgatagi. Kui me trepile astume, ei näi midagi erilist juhtuvat.

Liikumise juures saab vastastikmõju muuta kiiruse arvväärtust ja suunda. Kui tahame auto kiirust vähendada, kasutame kummide ja teekatte vahelist pidurdavat mõju. Kiiruse väärtus muutub Maa külgetõmbe tõttu näiteks ülesvisatud pallil. Algul see väheneb, siis pall peatub hetkeks ning allakukkumisel hakkab kiirus jälle kasvama. Viimases näites muutub ka palli liikumise suund.

Vastastikmõju tagajärjel muutub keha kuju	Vastastikmõjus osaleb vähemalt kaks keha

Kui auto suure kiirusega kurvi siseneb, siis libeda korral ei pruugi ta teel püsida. Kurvis püsimiseks peab rataste ja teekatte vahel olema piisava tugevusega vastastikmõju, et liikumise suund selle tagajärjel vajalikul hulgal muutuks.

Vastastikmõju tagajärjel muutub keha liikumise iseloom. Et liikumise muutumise põhjusi uurib mehaanika haru dünaamika, siis ongi vastastikmõju dünaamika jaoks üks olulisemaid nähtusi.

Ühegi keha liikumist ei saa muuta ilma teise keha mõjuta. Näiteks ei saa paati seisvas vees liikuma panna, kui pole tuult ega aere. Ka auto ei saaks paigalt sõita, kui puuduks teine keha, millelt end liikuma tõugata (teekate). Vastastikmõjus osaleb alati vähemalt kaks keha.

2.1.2 Jõud

Vastastikmõjud võivad olla erineva tugevusega. Seda näeme tagajärje suuruse järgi. Erinevad raskused venitavad sama vedru erineva pikkuse võrra ja tugevam mängija suudab pallile anda suurema hoo.

Et vastastikmõjusid omavahel võrrelda ja uurida, mil määral sõltuvad tagajärjed vastastikmõju tugevusest, on kasutusele võetud füüsikaline suurus jõud.

Jõud on vastastikmõju mõõduks ja selle arvväärtus iseloomustab vastastikmõju tugevust. Vastastikmõju põhjustab kas keha kuju või kiiruse muutuse. Kuna nii kujumuutusel kui ka kiiruse muutumisel (kiirendusel) on kindel suund, siis peab ka jõud olema suunaga. Järelikult on jõud vektoriaalne suurus.

Jõu tähiseks valemites ja joonistel on $\overrightarrow{F}$ (fortis — ladina k tugev, võimas). Jõu arvulise väärtuse väljendamisel, kui suund pole oluline, kasutatakse ilma vektorimärgita tähist F.

Jõu mõõtmiseks on kaks põhimõtteliselt erinevat võimalust. Võib mõõta vastastikmõju poolt tingitud kujumuutuse ehk deformatsiooni suurust. Näiteks meile tuttav dünamomeeter näitab jõu suurust vedru pikenemise kaudu.

Jõudu saab mõõta selle poolt tekitatud deformatsiooni ja kiirenduse kaudu	Jõud 1 N annab 1 kg massiga kehale kiirenduse 1 m/s2, kui hõõrdumist ei arvestata

Teiseks saab jõu suurust arvutada selle kaudu, kui palju vastastikmõju tuntud massiga keha kiirust muudab ehk siis mõju poolt antava kiirenduse kaudu.

Klassikalise mehaanika rajaja I. Newtoni auks on SI jõu mõõtühiku nimeks võetud njuuton (N). Üks njuuton on sellise suurusega jõud, mis annab kehale massiga 1 kg kiirenduse 1 m/s².

2.1.3 Jõudude liitmine

See, et vastastikmõjus osaleb vähemalt kaks keha, ei tähenda, et kehasid ei võiks rohkem olla. Tihti ongi just nii, et korraga mõjub mitu jõudu. Korraga kehale mõjuval mitmel jõul ei ole aga siiski mitut erinevat tagajärge. Näiteks kui vees ujuvale õngekorgile mõjuv raskusjõud on suunatud alla ja samal ajal vee üleslükkejõud üles, ei hakka kork ju korraga mõlemas suunas liikuma. Jõud liituvad ning nende mõjul on üks ühine tagajärg — kork püsib paigal. Samale kehale mõjuvate jõudude summat nimetatakse resultantjõuks.

Kuna jõud on suunaga suurused, ei saa neid liita niisama lihtsalt kui arve. Jõudude liitmisel tuleb järgida vektorite liitmise reegleid. Et jutt on samale kehale mõjuvate jõudude liitmisest, siis joonisele kandmisel peavad need algama kõik samast punktist. Kulgeva liikumise korral, mil pöörlemist ei toimu, kujutame keha ette punktmassina.

Kõige lihtsam on leida kahe samasuunalise jõu summat. Samasuunaliste jõudude arvväärtused liituvad ning resultantjõud on liidetavate jõududega samas suunas.

Vastassuunaliste jõudude liitmisel lahutatakse suurema väärtusest väiksem ning resultantjõud jääb suurema jõu suunaliseks.

Erisuunaliste jõudude liitmise lihtsaim viis on kasutada rööpküliku reeglit. Selle järgi tuleb liidetavatele jõuvektoritele üles ehitada rööpkülik ning viimase diagonaal ongi resultantjõuks.

Kui kehale mõjub suurem arv jõude, tuleb esmalt summeerida kaks jõudu ning tulemusele liita samm-sammult ülejäänud.

Sageli tuleb ette, et kehale mõjuvate jõudude resultant on null. Siis öeldakse, et jõud on tasakaalus ehk kompenseerivad üksteist. Näiteks laual seisvale õmblusmasinale mõjuvat Maa külgetõmmet tasakaalustab laua vastumõju, mis ei luba masinal sellest läbi kukkuda. Need kompenseerunud jõud liikumist ei mõjuta ja õmblusmasin püsib paigal.

Käru liigub vaid siis, kui seda lükata või vedada. Hakklihamasin ilma väntamiseta ringi ei käi. Miks aga jalgpall pärast löögi mõju lõppu ima kõrvalise abita ise edasi lendab? Mis põhjustel liikumine üldse toimub? Neile küsimustele otsib vastust dünaamika. Suure panuse dünaamika arengusse on andnud inglise füüsik Isaac Newton, kes oma uuringutele tuginedes sõnastas mehaanika kolm põhiseadust. Neid seadusi tuntakse tänapäeval Newtoni seaduste nime all.

2.2.1 Newtoni esimene seadus ehk inertsiseadus

Kõik meist on kogenud, et tool nihkub põrandal edasi vaid siis, kui seda lükata. Pärast lükkamise lõppu lakkab liikumine jalgade ja põranda vahelise hõõrdumise tõttu.

Kuidas liiguvad aga kehad siis, kui neid ümbritseva poolt ei segata, kui puudub vastastikmõju teiste kehadega?

Teame, et vastastikmõju üheks tagajärjeks on liikumise muutumine. Kui vastastikmõju pole, siis ei saa muutuda ei liikumise kiirus ega ka suund. Sel juhul on tegemist ühtlase sirgjoonelise liikumisega. Kui aga keha juhtub seisma, siis jääbki see muutumatult paigale.

Vastastikmõjude puudumisega on samaväärne olukord, kus jõud on kompenseerunud ja resultantjõud null.

Need tähelepanekud võtabki kokku Newtoni esimene seadus, mis kirjeldab keha liikumist jõudude puudumisel: kehale mõjuvate jõudude puudumisel või nende kompenseerumisel on keha kas paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt.

Nähtust, kus keha püüab oma liikumisseisundit säilitada, nimetatakse inertsiks. Seepärast nimetatakse Newtoni esimest seadust ka inertsiseaduseks.

Pabeririba saab veeklaasi alt ära tõmmata	Haamrilöök ei purusta klaasi, mille kaitseks on asetatud massiivne alasi.

Matemaatiliselt saab inertsiseadust väljendada järgmiselt:

2.2.2 Newtoni teine seadus ehk dünaamika põhiseadus

Kui kehale jõude ei mõju, jääb liikumine vastavalt inertsiseadusele muutumatuks. Kuidas muutub aga liikumine siis, kui kehale mõjub jõud?

On kindlaks tehtud, et kui kehale mõjub jõud siis keha kiirus muutub ehk keha liigub kiirendusega. Järelikult põhjustab jõud kiirenduse. Millest ja kuidas kiirendus sõltub, on kindlaks tehtud katsete abil.

Kui mõjutada erinevaid kehi sama suure jõuga, võivad saadud kiirendused olla erinevad. Mõne keha kiirus muutub aeglasemalt ja kiirendus on väiksem. Need kehad säilitavad oma liikumisseisundit teistega võrreldes paremini ja öeldakse, et nende inertsus on suurem. Inertsus on keha omadus, mis iseloomustab selle võimet liikumisolekut säilitada.

Suurema inertsusega keha kiirust on raskem muuta. Näiteks on rasket veoautot määratult raskem liikuma lükata kui mänguautot. Selles pole midagi kummalist – päris autol on mänguasjaga võrreldes ju palju suurem mass.

Mass on keha inertsuse mõõt. Selle tähiseks on m ja mõõtühikuks 1 kg.

Katsed näitavad, et jõu toimel tekkiv kiirendus on pöördvõrdeline keha massiga. Mida suurem mass, seda väiksema kiirenduse see jõud tekitab.

Veel näitavad katsed, et kiirendus on seda suurem, mida suurem jõud kehale mõjub. See on ka mõistetav — kui liikumise muutuse tingib vastastikmõju, siis mida tugevam on mõju, seda suurem peab olema ka selle põhjustatud muutus. Kiirendus on võrdeline jõuga.

Ülaltoodud tulemused võimaldasidki Newtonil jõuda oma mehaanika teise põhiseaduse sõnastamiseni.

Newtoni teine seadus ütleb: kui kehale mõjub jõud, siis liigub see kiirendusega, mis on võrdeline mõjuva jõuga ning pöördvõrdeline selle keha massiga. Matemaatiliselt väljendab Newtoni II seadust valem

Kuna sel seadusel on suur tähtsus mehaanika põhiülesande lahendamisel, nimetatakse Newtoni II seadust ka dünaamika põhiseaduseks.

Kui me teame keha algkoordinaati, algkiirust, massi ja mõjuvat jõudu, saame Newtoni II seadusest arvutada kiirenduse ning välja kirjutada keha liikumisvõrrandi. Liikumisvõrrand lubab keha asukoha välja arvutada mis tahes ajahetkel ning sellega ongi põhiülesanne lahendatud.

2.2.3 Newtoni kolmas seadus ehk mõju ja vastumõju seadus

Kui Newtoni I ja II seadus kirjeldavad, kuidas keha liigub välise mõju puudumisel või olemasolul, siis kolmas seadus käib vastastikmõju enda kohta. Newton ise nimetas seda seadust mõju ja vastumõju seaduseks.

Newtoni III seaduse jõud ei tasakaalusta teineteist	Newtoni kolmanda seaduse demonstratsioon kahe vastastikmõjus oleva dünamomeetriga.

Kogemused näitavad, et kehad mõjutavad teineteist alati vastastikku. Kui toetame redeli seinale, siis mõjub sein redelile vastu ja seda nii, et redel püsib paigal.

Kehad osalevad vastastikmõjus alati paarikaupa. Seejuures mõjuvad jõud mitte ainult ühele, vaid mõlemale kehale. Need kehadele mõjuvad jõud on suuruselt võrdsed ja suunalt vastupidised. Kui Maa tõmbab kukkuvat õuna jõuga 1 N, siis õun tõmbab maakera vastu täpselt sama suure jõuga.

Selles väljendubki mõju ja vastumõju ehk Newtoni kolmas seadus: kaks keha mõjutavad teineteist suuruselt võrdsete vastassuunaliste jõududega.

Kui eristada kahele vastastikmõjus osalevale kehale mõjuvaid jõude indeksitega 1 ja 2, saab Newtoni III seadust väljendada valemiga

Tuleb meeles pidada, et Newtoni III seaduse jõud mõjuvad eri kehadele ja seepärast ei saa need teineteist tasakaalustada, kuigi on võrdsed ja vastupidised.

2.3.1 Liikumishulk ehk impulss

Newtoni teine seadus näitab keha kiiruse muutumise sõltuvust keha massist ja sellele mõjuvast jõust. Kiiruse sama suure muutuse jaoks on suurema massi korral vaja kas suuremat jõudu või pikemat aega. Samas on mõju vastastikune — keha, mille kiirus muutub, mõjub teisele kehale sama aja jooksul sama jõuga vastu ja võib muuta selle liikumist või kuju. Näeme, et liikuval kehal on võime muuta teiste kehade liikumist.

Keha võime vastastikmõju korral teist keha mõjutada sõltub kehade kiirusest ja massist. Sellele teadmisele tuginedes on liikumise iseloomustamiseks võetud kasutusele suurus, mida nimetatakse keha liikumishulgaks ehk impulsiks. Impulsi tähiseks on $\overrightarrow{p}$ (pulsus — ladina k löök, impulss) ning see on defineeritud keha massi ja kiirusvektori $\overrightarrow{v}$ korrutisena:

Impulsi mõõtühikuks on 1 kg•m/s. Tegemist on vektoriaalse suurusega, mille suund ühtib kiirusvektori suunaga.

Impulsi füüsikalist tähendust võib mõista näiteks põrgete vaatlemisel. Põrke mõju on seda suurem, mida suurem on keha impulss. Seepärast tuleb sadamakai ehitada väga tugev, muidu purustaks selle ka väga aeglaselt liikuv, kuid suure massiga laev. Samamoodi võib väike püssikuul tekitada suuri purustusi oma suure kiiruse tõttu. Nii laeval kui ka kuulil on suur impulss, ühel oma suure massi ja teisel suure kiiruse tõttu, ning need võivad teisi kehi suure jõuga mõjutada.

Osutub, et impulss on jõuga otseselt seotud. Võtame Newtoni II seaduse (2.2) ja asendame selles kiirenduse selle definitsiooni avaldisega (1.11):

ehk

Kui korrutame saadud võrduse mõlemad pooled keha massiga läbi, saame

Et massi ja kiiruse korrutis kujutab endast keha impulssi, siis avaldis

 pole midagi muud kui impulsi muut. Seega võime kirjutada, et

Saime Newtoni II seadusele uue kuju, mis näitab, et impulsi muutumise kiirus on võrdne seda muutust põhjustava jõuga. Tegemist on väga olulise tulemusega, mida kasutatakse peale klassikalise dünaamika ka elementaarosakesi uurivas kvantmehhaanikas.

2.3.2 Liikumishulga ehk impulsi jäävuse seadus

Liikumishulgal ehk impulsil on füüsika jaoks väga oluline omadus — jäävus.

Uurime kahe keha vastastikmõju. Newtoni III seaduse järgi mõjutavad need kehad teineteist võrdsete ja vastassuunaliste jõududega:

Kehale mõjuv jõud on vastavalt seosele (2.7 ) võrdne keha impulsi muutumise kiirusega. Nii saame Newtoni III seadusele kuju:

Et kehad mõjutavad teineteist sama kaua, võime ajavahemikud Δt taandada ning avaldis lihtsustub:

ehk

Avaldis

kujutab endast mõlema keha impulsside muutude summat. Sisuliselt on tegemist kehade koguimpulsi

muuduga, mida võib tähistada kui

Seda tähistust kasutades saame seosele (2.9 ) kuju, mis väljendabki impulsi jäävuse seadust:

ehk

Näeme, et kui kaks keha teineteist mõjutavad, siis selle käigus nende koguimpulss ei muutu (muut = 0). Saab näidata, et impulsi jäävus kehtib ka kui tahes paljudest kehadest koosneva süsteemi jaoks. Ainsaks tingimuseks on see, et süsteemi mittekuuluvate kehade mõjud puuduvad.

Nii võimegi sõnastada impulsi jäävuse seaduse: väliste mõjude puudumisel on süsteemi koguimpulss sinna kuuluvate kehade igasugusel vastastikmõjul jääv.

Seaduse rakendamisel ei tohi unustada, et impulss on vektoriaalne ehk suunaga suurus.

Impulsi jäävuses võib igaüks ise veenduda, kui astub kinniköitmata paadist kaldale. Enne väljaastumist on paat koos inimesega paigal ja nende koguimpulss null. Astumisel hakkab inimene kalda poole liikuma ja omab teatud impulssi. Et koguimpulss ei muutu ja jääb nulliks, saab paat vastassuunalise impulsi ning eemaldub kaldast.

Kogu teaduse ajaloo vältel pole avastatud ühtegi nähtust, mis oleks impulsi jäävusega vastuolus. See seadus on universaalne ning kehtib ka väljaspool mehaanika uurimisvaldkondi.

2.3.3 Keskkonna takistusjõud

Kindlasti on kõik proovinud vees olles kõndida ja tähele pannud, et see nõuab üsna suurt pingutust. Vesi takistab liikumist tunduvalt rohkem kui õhk. Kuid ka õhk avaldab selles liikuvatele kehadele takistust. Ega muidu pöörata võidusõiduautode voolujoonelisemaks muutmisele nii suurt tähelepanu. Kui mõni suurem auto meist lähedalt möödub, tajume selle poolt liikuma pandud õhku tuulena.

Gaasilise ja vedela keskkonna liikumahakkamine on otseselt seotud neis liikuvatele kehadele avaldatava takistusjõuga. Erinevalt tahketest kehadest on gaasid ja vedelikud voolavad, sest nende aineosakesed pääsevad liikuma. Kui näiteks vees mingi keha liigub, siis sellega kokkupuutuvad veeosakesed liiguvad kehaga kaasa ja panevad kaasa liikuma ka oma kaugemal asuvad naaberosakesed. Keha liikumine kandub veele üle. Osa keha liikumishulgast ehk impulsist antakse mingi aja jooksul keskkonnale. Vastavalt jäävusseadusele peab selle võrra keha liikumishulk vähenema.

Kui keha impulss väheneb, siis vastavalt seosele (2.7 ) on selle vähenemise kiirus võrdne kehale mõjuva jõuga. Antud juhul on tegemist keskkonna takistusjõuga.

Keskkonna poolt selles liikuvale kehale mõjuv takistusjõud on võrdne liikumishulga ehk impulsi ülekandumise kiirusega.

2.4.1 Gravitatsiooniseadus

Aastal 1638 avaldas Galilei oma raamatus Discorsi uurimistulemused, mille järgi kukuvad kõik kehad Maa külgetõmbe tõttu ühesuguse kiirendusega. Kust aga pärineb see jõud, mis kõiki kukkuvaid kehi kiirendab? Selle ja muude liikumisega seotud küsimuste kallal juurdles üsna pikalt tolleks ajaks juba mitmete optikanähtuste selgitamisega tuntuks saanud Newton.

Legendi järgi kukkunud kord murul istunud Newtonile pähe õun. See pannud mehe juurdlema, miks õun alati maha kukub ja miks see üldse kukub. Kas tõmbab ainult Maa õuna või on ka õunal selline külgetõmbejõud?

Otse üles visatud õun kukub samasse kohta tagasi. Eemale visatud õun maandub seda kaugemal, mida kiiremini seda visatakse. Kas õun võiks teha terve tiiru ümber Maa, kui kiirus oleks piisavalt suur? Kas Kuu tiirlemine ümber Maa polegi just selline kukkumine?

Kas õun toona 23aastasele Newtonile ka tegelikult pähe kukkus, pole teada. Igal juhul on ta ise mitu korda jutustanud, et just kukkuv õun viis mõtted külgetõmbeprobleemidele. Lisaks oma uurimustele üldistas teadlane ka Galilei avastatud vaba langemise seadust ning Koperniku ja Kepleri astronoomiliste vaatluste andmeid. Pingsa mõttetöö ja omaleiutatud matemaatilise analüüsi meetodi rakendamise tulemusena avastaski Newton seaduse, millele kehadevaheline külgetõmbejõud allub: kaks punktmassi tõmbuvad teineteise poole jõuga, mis on võrdeline nende masside korrutisega ning pöördvõrdeline nendevahelise kauguse ruuduga.

Matemaatiliselt avaldub gravitatsiooniseadus valemina:

Valemis tähistab F mõlemale kehale (punktmassile) võrdselt mõjuvat gravitatsioonijõudu, m₁ ja m₂ kummagi keha massi ning r nendevahelist kaugust. Tähega G tähistatud kordajat nimetatakse gravitatsioonikonstandiks.

Tegemist on universaalse seadusega. Gravitatsioonijõud mõjub kõikidele kehadele ning ulatub valgusaastate kaugusele.

Kui valemis võtta mõlema keha massiks 1 kg ja vahekauguseks 1 m, saame valemist (2.11 )

Järelikult on gravitatsioonikonstant G arvuliselt võrdne jõuga, millega tõmbuvad kaks teineteisest 1 m kaugusel asuvat 1 kg massiga keha. Selle arvuline väärtus sõltub mõõtühikute valikust ning on määratav vaid eksperimentaalselt.

Maapealsete suhteliselt väikese massiga kehade vaheline tõmbumine on äärmiselt nõrk. See muudab gravitatsioonikonstandi mõõtmise keeruliseks. Esimest korda määras gravitatsioonikonstandi väärtuse täpsete väändkaalude abil 1798. aastal inglise füüsik Henry Cavendish. Ta sai tulemuseks 6,754•10⁻¹¹ N•m²/kg², mis on üsna lähedane tänapäeval tuntud väärtusele 6,67428•10⁻¹¹ N•m²/kg².

Gravitatsioonikonstandi mõõtmine väändkaalude abil	Henry Cavendish

Kooliülesannete lahendamisel võetakse G väärtuseks tavaliselt

2.4.2 Näiteid gravitatsioonijõu avaldumisest

Kõik me tajume Maa külgetõmmet. Gravitatsiooniline tõmbumine ulatub meieni aga ka Kuult ja Päikeselt, põhjustades maailmamere loodeid ehk tõuse ja mõõne.

Eriti tugevad looded esinevad siis, kui Päike ja Kuu paiknevad samal pool Maad viimasega ühel sirgel, st kuu loomise ajal. Korraga on Maal tõus nii sellel poolel, mis asub Kuu suunas, kui ka vastasküljel. Kuna vesi saab voolata, siis koguneb see rohkem Maa Kuu-poolsele küljele ja tõstab meretaset. Pöörlemisel tekivad inertsijõud, mis püüavad kõike pöörlemisteljest eemale paisata. Kuust kaugeimas punktis avaldub see kõige märgatavamalt, kuna seal on Maa kaaslase külgetõmme kõige nõrgem.

Gravitatsioon reguleerib taevakehade liikumist, hoiab koos väikeseid ja suuri tähesüsteeme ning on osaline tähtede arengus sünnist kustumiseni. See mõjub isegi valgusele ning moonutab kaugete objektide kujutisi teleskoobis. Ilma gravitatsioonijõuta poleks galaktikaid, musti auke, Päikest, Maad ega ka meid.

2.4.3 Raske ja inertne mass

Gravitatsioonijõud sõltub seaduse (2.11 ) põhjal keha massist. Massist sõltub Newtoni II seaduse (2.2 ) järgi ka kiirendus, mille keha vastastikmõju tagajärjel saab. Newton defineeris massi kui keha inertsuse mõõdu ja sellele tuginedes saab massi määrata jõu poolt kehale antava kiirenduse kaudu. Tavaliselt leitakse mass aga hoopis kaalumise ehk kehale mõjuva gravitatsioonijõu mõõtmise teel. Kas niiviisi kahel erineval viisil leitud massid on ikka samad? Kehadel on raskus ja seega mass ka siis, kui nende liikumine ei muutu. Gravitatsioon ja inerts pole omavahel ühelgi viisil seotud. Kas see tähendab, et kehadel ongi kaks põhimõtteliselt erinevat massi — raske ja inertne?

Raskuse ja inertsuse küsimuste kallal töötas omal ajal juba Galileo Galilei ning püüdis vastuseni jõuda mõtteliste eksperimentide teel. Ka Newton pidas kahe massi samaväärsuse küsimust väga oluliseks ning tegi mitmeid praktilisi mõõtmisi.

Tänapäevaks on füüsikud paljude katsete abil jõudnud arusaamisele, et inertse massi ja raske massi samaväärsus on klassikalises mehhaanikas mõõtmistele tuginev kogemuslik tõsiasi, millel puudub teoreetiline põhjendus. Oletus nende masside võrdsusest on Einsteini üldrelatiivsusteooria aluseks.

2.5.1 Raskusjõud

Meie jaoks on eriline muidugi see gravitatsioonijõud, millega Maa tõmbab kõiki seda ümbritsevaid kehi. Tänu sellele jõule kukuvad kõik kehad alla Maa keskpunkti poole ja on tõstmisel rasked. Tegemist on meile tuttava raskusjõuga. Raskusjõud pole iseloomulik mitte ainult Maale, vaid ilmneb tugevamalt või nõrgemalt kõikidel taevakehadel. Raskusjõuks nimetatakse gravitatsioonijõudu, millega Maa või mis tahes muu taevakeha tõmbab enda poole selle lähedal asuvaid kehi.

Raskusjõu saame leida gravitatsiooniseadusest (2.11 ). Võttes ühe keha massiks Maa massi M ning vahekauguseks Maa raadiuse R, tuleb maapinnal asuvale kehale massiga m mõjuvaks raskusjõuks

Kui suure kiirenduse see jõud kehale annab? Kasutame Newtoni II seadust (2.2 ):

ehk

Et Maa mass on 5,98•10²⁴ kg ja raadius 6370 km = 6,37•10⁶ m, annavad arvutused

See kiirenduse väärtus on meile tuttav kui vaba langemise kiirendus. Vaba langemise kiirendust nimetatakse veel raskus- ehk gravitatsiooni-kiirenduseks. Viimasest ongi tulnud tähis g.

Teades nüüd, et vabalt langeva keha kiirendus on $\overrightarrow{g}$, saame Newtoni II seadusest seda kiirendust tekitava jõu ehk raskusjõu arvutamiseks lihtsa valemi:

See raskusjõud on suunatud Maa keskpunkti ega ole seepärast Maakera kõigis punktides samasuunaline.

Kõrguse kasvades raskuskiirendus väheneb, sest valemis (2.15 ) tuleb Maa raadiusele liita ka kõrgus maapinnast h:

	Kuna Kuu mass on Maa massist palju väiksem, mõjub selle pinnal objektidele ka väiksem raskusjõud.

Kuna raskuskiirenduse vähenemine muutub märgatavaks alles 100 km kõrgusel, mida loetakse kokkuleppeliselt kosmose piiriks, siis on tavaelus mugavam kasutada nn lapiku Maa mudelit (midagi antiikaegse ettekujutuse sarnast). Selle mudeli puhul mõjub kõikidele Maa-lähedastele kehadele vertikaalselt alla suunatud raskusjõud, mis kõrgusest ei sõltu.

2.5.2 Kaal ja kaalutus. Toereaktsioon

Tänu gravitatsioonile mõjutab keha oma alust või riputusvahendit, mis takistab keha liikumist Maa keskpunkti poole. Seda jõudu, millega keha Maa külgetõmbe tõttu mõjub alusele, keskkonnale või riputusvahendile, nimetatakse keha kaaluks. Kaalu tähis käesolevas kursuses on $\overrightarrow{P}$ ning mõõtühik 1 N (mitte igapäevasele kõnepruugile vastavalt 1 kg, kuna tegemist pole massiga!).

Kui alus või riputusvahend on paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt, on keha kaal võrdne raskusjõuga. Kui alus liigub vertikaalsuunalise kiirendusega, siis kaal enam raskusjõuga võrdne pole.

Kui alus liigub kiirendusega üles, peab see kehale kiirenduse andmiseks rakendama lisajõudu. Kaal on sel juhul raskusjõust suurem ja öeldakse, et tegemist on ülekoormusega:

Kiirendusega alla liikumisel on vastupidi. Tegemist on alakoormusega:

Kaalu sõltuvust kiirendusest võime tajuda liftis. Tõusu alguses tunneme ülekoormust ja lõpus alakoormust.

Ülaltoodut arvestades saab kaalu seost kiirendusega väljendada ühe kokkuvõtva valemiga:

Kui aga alus või riputusvahend üldse eemaldada, siis kaob ka keha mõju sellele. Kui pole mõju alusele või riputusvahendile, ei saa olla ka kaalu ning tegemist on kaalutuse ehk kaaluta olekuga. Kõik vabalt langevad kehad on kaaluta olekus.

Kaalu ja raskusjõudu ei tohi samastada, sest need jõud mõjuvad eri kehadele. Keha kaal mõjub alusele või riputusvahendile ja on olemuselt elastsusjõud. Raskusjõud on olemuselt gravitatsioonijõud, mis mõjub kehale endale. Need on täiesti erinevad jõud.

2.5.3 Rõhumisjõud, rõhk ja toereaktsioon

Keha võib teisi kehi mõjutada lisaks kaalule veel muudki liiki jõududega. Arvuti taga istuv õpilane toetub seljatoele, õhupalli puhutav õhk paneb selle paisuma, press surub korgitüki õhemaks, magnet hoiab nõela ... Mõjutatava keha jaoks pole seejuures oluline, mis liiki need jõud on. Tähtis on vaid jõu ja sageli ka mõjupinna suurus.

Et kõiki selliseid mõjusid saaks kirjeldada ühtse mudeli abil, on võetud kasutusele rõhumisjõu mõiste. Rõhumisjõuks nimetatakse jõudu, millega üks keha mõjutab teist risti kokkupuutepinnaga. Rõhumisjõu tähisena kasutatakse jõu üldtähist $\overrightarrow{F}$. Rõhumisjõud mõjub alati pinnaga risti.

Vastavalt Newtoni III seadusele tekib keha mõjutamisel alati vastumõju ehk reaktsioon. Tegemist on jõuga, mida nimetatakse toereaktsiooniks. Rõhumisjõu toimel keha kuju muutub (keha deformeerub) ja see põhjustab vastassuunas mõjuva elastsusjõu, mis ongi toereaktsioon. Toereaktsiooniks nimetatakse rõhuvale kehale toetuspinnaga risti mõjuvat vastujõudu.

Kuna toereaktsioon on alati suunatud piki pinna ristsirget ehk normaali, on selle tähiseks käesolevas kursuses valitud $\overrightarrow{N}$. Rõhumisjõud ja toereaktsioon on alati võrdsed ja vastassuunalised:

Kui teineteist mõjutavaid kehi ei või ette kujutada punktmassidena, kuna nende kuju on oluline, mõjub rõhumisjõud mingile konkreetse suurusega pinnale. Rõhumisjõu tagajärg sõltub selle pinna suurusest. Kui pind on suur, hajub jõud üle selle laiali ning mõju kindla suurusega pinnatükile jääb väiksemaks. Arvestamaks rõhumisjõu jaotumist mõjupinnale kasutatakse rõhu mõistet. Rõhuks nimetatakse füüsikalist suurust, mis on võrdne rõhumisjõu F ja pindala S jagatisega. Rõhu tähiseks on p (pressûra — ladina k rõhk)

Rõhu mõõtühik on 1 paskal — 1 Pa = 1 N/m². Ühik on nime saanud prantsuse füüsiku Blaise Pascali järgi.

Erinevalt jõust ei ole rõhk vektoriaalne suurus. Põhjus on selles, et rõhu leidmisel arvestatakse vaid pinnaga risti olevat jõudu. Näiteks gaasides ja vedelikes ei saagi me suunast üldse rääkida, kuna rõhk antakse edasi kõikides suundades ühtemoodi.

2.6.1 Seisu- ja liugehõõrdumine

Oletame, et inimene suudab lükata jõuga 500 N ja Oletame et ta lükkab veoautot massiga 5000 kg. Selline jõud peaks veokile andma kiirenduse 0,1 m/s² ning 10 sekundiga läbiks see 5 m ja saavutaks kiiruse 5 m/s. Ometi ei jaksa ükski inimene viietonnist autot paigalt lükata. Miks?

Siin tuleb mängu uus jõuliik — hõõrdejõud. Hõõrdejõud on väga oluline, kuna mõjub maapealsetes tingimustes kõikidele liikuvatele kehadele. Iga liikuv keha jääb hõõrdejõu tõttu lõpuks seisma, kui mingi muu jõud hõõrdejõude ei kompenseeri. Hõõrdejõu vähendamise vajadusega on kokku puutunud kõik suusatajad, seevastu teemeistrid näevad vaeva, et talvistel teedel hõõrdumist suurendada. Hõõrdejõuga seonduva tundmine on eluliselt tähtis.

Hõõrdejõud mõjub mitte ainult liikuvatele vaid ka paigalseisvatele kehadele. Näiteks püsib veeklaas käes ja nael seinas just tänu hõõrdejõule.

Hõõrdejõuks nimetatakse jõudu, mis takistab keha liikumist või liikumahakkamist. Et jõud takistab liikumist, nimetatakse seda vahel ka takistusjõuks. Hõõrdejõud tekib alati kehade vahetul kokkupuutel, mõjub piki kokkupuutepinda ja on suunatud vastassuunas liikumisele. Seejuures on olemas mitmesuguseid võimalusi.

	Seisuhõõrdumine esineb ka liikuvatel kehadel, näiteks rihma ja ratta vahel, mis masinaid ringi ajavad.

Näiteks on olemas võimalus, et mingi jõud püüab keha liikuma panna, kuid hõõrdumise tõttu jääb keha paigale. Nähtust, kus hõõrdejõu tõttu püsib keha paigal, nimetatakse seisuhõõrdumiseks. Seisuhõõrdejõud on alati suuruselt võrdne ja vastassuunaline jõuga, mis püüab keha liikuma panna.

Kui inimene kõnnib, siis on edasiviivaks jõuks hõõrdejõud. Et tald teekatte suhtes ei liigu, on siin tegemist just seisuhõõrdumisega. Ka see jõud, mis annab rihmülekande korral liikumise ühelt rattalt teisele üle, on seisuhõõrdejõud rihmarataste ja rihma vahel.

On ka võimalik olukord, kus keha liigub ning libiseb mööda teise keha pinda. Nähtust, kus hõõrdumine takistab mööda teise keha pinda libiseva keha liikumist, nimetatakse liugehõõrdumiseks. Liugehõõrdumise korral on hõõrdejõud suunatud alati liikumisele vastassuunas.

Jõu suurus sõltub kokkupuutuvate pindade omadustest ning pindu kokku suruva jõu suurusest. Vastu mingit pinda surumisel mõjub kehale rõhumisjõuga võrdne vastassuunaline toereaktsioon N. Katsed näitavad, et liugehõõrdejõud on võrdeline kehale mõjuva toereaktsiooniga:

Võrdetegurit μ (kreeka täht müü) selles valemis nimetatakse hõõrdeteguriks. Sageli, kui keha libiseb mööda horisontaalset pinda, on toereaktsioon arvuliselt võrdne kehale mõjuva raskusjõuga ja sel juhul

2.6.2 Hõõrdetegur

Avaldame hõõrdejõu valemist (2.22 ) hõõrdeteguri:

Näeme, et hõõrdetegur on võrdne hõõrdejõu ja toereaktsiooni jagatisega.

Hõõrdetegur ei iseloomusta mitte keha, millele hõõrdejõud mõjub, vaid libisevaid pindu. See sõltub kokkupuutuvate kehade materjalist, pindade töötlusest ja puhtusest. Samas ei sõltu hõõrdetegur kokkupuutepinna suurusest ega libisemise kiirusest, kui surve ja kiirus pole väga suured.

Hõõrdeteguri suurust saab määrata katseliselt. Siledate pindade vahelised hõõrdetegurid mõne materjalide jaoks on esitatud järgnevas tabelis.

2.6.3 Hõõrdejõu muutmine

Hõõrdejõud võib olla nii kasulik kui ka kahjulik. Kui on vaja keha paigal hoida või pidurdada, peab hõõrdejõud olema võimalikult suur. Liikumist segavat hõõrdumist tuleb aga vähendada.

Et osata hõõrdumist muuta, on vaja teada, miks hõõrdumine üldse tekib. Hõõrdumisel on kaks peamist põhjust.

Esiteks põhjustab hõõrdumist pindade ebatasasus. Pinnakonarused jäävad üksteise taha kinni ja takistavad libisemist.

Teiseks põhjuseks on aineosakeste vahelised tõmbejõud. Väga siledad pinnad pääsevad teineteisele sedavõrd lähedale, et molekulidevahelised jõud kasvavad märgatavaks. Nii kleepuvad kokku kaks siledat plii- või klaasplaati.

Hõõrdejõu vähendamiseks kasutatakse määrimist. Määre tungib kokkupuutuvate pindade vahele ja surub need teineteisest eemale. Pinnakonarused ja molekulide tõmbejõud siis enam nii tugevasti mõjule ei pääse. Määrdena kasutatakse tavalisilt õlisid. Õlikihtide omavaheline liikumine tekitab küll teatavat takistust, kuid see on tavalisest hõõrdumisest tunduvalt väiksem.

Hõõrdumist saab suurendada pindade karestamise abil. Et tagada ohutut liiklemist, pinnatakse maanteed peene killustikuga ja liikluseeskiri nõuab piisavalt sügava mustriga autokummide kasutamist.

Suurema hõõrdumise saavutamiseks kasutatakse ka spetsiaalseid materjale, mis tagavad suurema hõõrdeteguri. Nii valmistatakse autode piduriklotsid vähekuluvast kuumakindlast ainest, mille hõõrdetegur kokkupuutel terasega ulatub väärtuseni 0,7.

2.7.1 Deformatsioon

Teame, et vastastikmõju üheks võimalikuks tagajärjeks on kuju muutumine. Keha kuju muutumist nimetatakse deformeerumiseks ning selle tagajärjel tekkivat kujumuutust deformatsiooniks (de- + fôrma — ladina k ära, vastupidi + kuju).

Deformeerumine võib olla kas pöörduv või pöördumatu protsess. Kui keha pärast deformeeriva mõju lõppemist taastab oma esialgse kuju kas täielikult või osaliselt, on tegemist elastse deformatsiooniga. Absoluutselt elastse deformatsiooni korral taastab endine kuju täielikult. Kui pärast surve lõppu säilub deformeerimisel saadud kuju, on tegemist plastse deformatsiooniga.

Keha elastsus või plastsus sõltub selle materjalist ja kujust. Väga elastsed on näiteks terasvedru ja kumminöör ning plastsed pehme savi ja plastiliin. Paljude kehade korral on väikene deformatsioon elastne, kuid suure kujumuutuse järel nende kuju enam ei taastu. Niimoodi käitub näiteks alumiinium- või vasktraat.

Kui keha aga juba väga väikese deformatsiooni tagajärjel puruneb, siis öeldakse, et see on habras.

Keha kuju võib muutuda mitmel viisil. Näiteks saame kummipaela venitada, puuoksa painutada ja švammi kokku suruda. Selle põhjal, kuidas kuju muutub, eristatakse viit liiki deformatsioone: tõmme, surve, paine, vääne ja nihe.

Sageli ei pane me kehade kuju muutumist tähele, sest deformatsioon on väike. Kui keegi ronib näiteks suure kivirahnu otsa, siis ei suuda selle lamedamaks vajumist keegi ka luubiga vaadates märgata.

2.7.2 Elastsusjõud

Kevadel on õunapuuoks täis õhkkergeid õisi. Siis hakkavad õitest õunad arenema ja viljad paisuvad ning muutuvad aina raskemaks. Kuidas need oksa küljes püsivad? Koos raskusjõu kasvamisega peab suurenema ka jõud, mis tasakaalustab raskusjõu. Kust on see jõud pärit ja milline on selle olemus?

Jälgides oksa juures toimunud muutusi, võib näha, et oks on paindunud. Oksa deformatsioon ongi uue jõu tekkimise põhjuseks. Jõudu, mis tekib keha kuju muutmisel ehk deformeerimisel, nimetatakse elastsusjõuks.

Elastsusjõud on deformatsiooniga alati vastassuunaline. Elastsusjõud püüab keha esialgset kuju taastada. Absoluutselt plastse deformatsiooni korral mingit kuju taastumist ei toimu ja järelikult puudub seda põhjustav jõud, st elastsusjõud on null.

Elastsusjõudude tekkepõhjuseks on aineosakeste vaheline vastastikmõju. Osakeste vahel esineb nii tõmbumine kui ka tõukumine, kusjuures mõlema tugevus sõltub vahekaugusest. Tavalises deformeerimata olekus on need jõud tasakaalus.

Kokkusurumisel osakeste vahekaugused vähenevad ning ülekaalu saavutavad tõukejõud, mis takistavad deformeerimist. Tõmbedeformatsioonil seevastu vahekaugused kasvavad ja ülekaalu jäävad venitamist takistavad tõmbejõud.

Elastsusjõudu võib kohata kõikjal ümberringi. Seda kasutatakse näiteks vibunoole lendulaskmisel, kellamehhanismis, juuste korrastamisel (juuksekumm), ukse sulguris, dokumentide kooshoidmisel (kirjaklamber) jm. Elastsusjõuga on seotud kõik põrked. Elastsel põrkel taastab elastsusjõud põrandaga kokkupuutel deformeerunud palli kuju ja tõukab sellega palli vastassuunas liikuma. Plastse põrke korral jäävad kehad kokku ja liikumine muutub vähem.

2.7.3 Hooke'i seadus

Mõõtmised näitavad, et suhteliselt väikeste deformatsioonide korral tekkiv elastsusjõud on võrdeline kujumuutuse ehk deformatsiooni suurusega. Kujumuutust on kõige lihtsam mõõta tõmbe ja surve korral. Siis iseloomustab deformatsiooni alg- ja lõpp-pikkuse vahe ehk pikenemine, mida järgnevas tähistame sümboliga Δl. Elastsusjõu sõltuvust pikenemisest kirjeldab valem:

Selle seaduspärasuse avastas 1660. aastal inglise füüsik ja loodusteadlane Robert Hooke. Tänapäeval tuntakse seda seost Hooke’i seaduse nime all. Miinusmärk viitab asjaolule, et elastsusjõud on suunatud alati deformatsiooni suunale vastupidiselt. Võrdetegurit k nimetatakse deformeeritud keha jäikusteguriks ehk lihtsalt jäikuseks. Jäikustegur sõltub keha materjalist, mõõtmetest ja kujust ning selle mõõtühik on 1 N/m.

Hooke’i seadus kehtib vaid keha mõõtmetega võrreldes väikeste kujumuutuste korral, mil deformatsioon jääb absoluutselt elastseks. Suuremad deformatsioonid põhjustavad keha sisemises ehituses pöördumatuid muutusi ja seetõttu muutub ka esialgset kuju taastav elastsusjõud.

2.8.1 Ringliikumine

Ringliikumine on kõverjoonelise liikumise erijuht, kus keha punktide trajektooriks on ringjoon või selle osa. Tegemist on lihtsaima kõverjoonelise liikumisega, mille seadusi tundes on võimalik kirjeldada ka keerulisemaid liikumisi. Saab ju erinevate ring- ja sirgjooneliste lõikude kombineerimisel kokku panna mis tahes kujuga trajektoore.

Ringliikumise puhul võime rääkida eraldi ringjoonelisest liikumisest ja pöörlemisest.

Kui turist sõidab vaaterattal, siis liiguvad kõik tema punktid mööda ühesuguseid ringjoonekujulisi trajektoore ja tegemist on ringjoonelise liikumisega. Ringjooneliseks liikumiseks nimetatakse keha liikumist mööda ringjoonekujulist trajektoori.

Ringjoonelist liikumist nimetatakse tihti ka tiirlemiseks. Ringjoonelisest liikumisest ehk tiirlemisest saame rääkida siis, kui keha mõõtmed ja kuju pole liikumise kirjeldamisel olulised ning me võime kasutada punktmassi mudelit.

Ringjooneliselt liiguvad näiteks autod kurvis, kellaosuti tipp, karussellil istuv laps ning ümber Maa tiirlev Kuu.

Ringjooneliselt liikuvate kehade trajektoorideks on erineva raadiusega ringjooned. Ringjoone raadius määrab ära trajektoori kõveruse ja on seega ringjoonelist liikumist iseloomustav suurus. Valemites ja joonistel tähistatakse trajektoori kõverusraadiust tähtedega r või R ja selle mõõtühikuks on 1 meeter.

Tihti tuleb ette aga ringliikumist, kus keha punktide trajektoorideks on erinevad ringjooned ning seepärast ei saa keha punktmassiks lugeda. Kui keha erinevad punktid tiirlevad sama keskpunkti ümber mööda erinevate raadiustega ringjooni, on tegemist pöördliikumise ehk pöörlemisega. Pöörlevalt liiguvad näiteks autoratas, grammofoniplaat, avatav uks, saltot sooritav akrobaat ja Maa ümber oma kujuteldava telje.

2.8.2 Teepikkus ja pöördenurk

Liikumisel toimuvat asukohamuutust iseloomustatakse nihke või teepikkuse abil. Ringliikumise kirjeldamiseks nihe ei sobi, kuna samu punkte läbitakse korduvalt. Küll aga saab kasutada läbitud teepikkust l. Ringjoonelisel liikumisel kujutab teepikkus l endast keha poolt läbitud ringjoone kaare pikkust.

Kui tegemist on pöörlemisega, liiguvad keha erinevad punktid mööda erineva raadiusega ringjooni ning nende jaoks on läbitavad teepikkused erinevad.

Igale ringjoone kaarele vastab alati kindel kesknurk. Just selle nurga võrra pöördub liikumise käigus raadius, mis ühendab trajektoori keskpunkti keha asukohaga. Nurka, mille võrra pöördub ringliikumisel keha asukohta ja trajektoori kõveruskeskpunkti ühendav raadius, nimetatakse pöördenurgaks. Pöördenurga tähiseks on kreeka täht φ (fii).

Pöördenurk	Pöördenurk on kõikidel punktidel sama

Kuigi pöörlemise korral läbivad pöörlemisteljest eri kaugusel asuvad punktid sama ajaga erinevad teepikkused, siis on pöördenurk nende punktide jaoks ikka ühesugune. Seepärast eelistataksegi ringliikumise kirjeldamisel teepikkusele pöördenurka.

Füüsikas mõõdetakse pöördenurka mitte kraadides vaid radiaanides. Üks radiaan (lüh. rad) on selline kesknurk, mis toetub kaarele, mille pikkus on võrdne selle ringjoone raadiusega. Ühele täisringile vastab pöördenurk 2π rad, seega 1 rad = 360º/2π ≈ 57º.

Kasutades selliselt defineeritud nurgaühikut, kehtib pöördenurga ja kaarepikkuse vahel lihtne seos:

Kui keha sooritab mis tahes võrdsetes ajavahemikes võrdsed pöördenurgad, on tegemist ühtlase ringliikumisega. Nii nagu ühtlane sirgjooneline liikumine, on ka ühtlane ringliikumine üks liikumise füüsikaline mudel. Looduses ideaalsel kujul sellist liikumist ei esine, kuid paljudel juhtudel saab seda mudelit rakendada suure täpsusega.

2.8.3 Periood ja sagedus

Ringliikumine on perioodiline liikumine, kuna keha asukoht kordub võrdsete ajavahemike möödumisel. Perioodilisi liikumisi saab iseloomustada perioodi ja sageduse abil.

Ringliikumise perioodiks nimetatakse ajavahemikku, mille jooksul läbitakse üks täisring. Kella minutiosuti tiirlemisperiood on üks tund, Maa tiirlemisperiood ümber Päikese aga üks aasta. Perioodi mõõdetakse alati ajaühikutes ja SI-s on mõõtühikuks seega 1 sekund. Perioodi tähiseks valime käesolevas kursuses T.

Kui tähistame tiirleva keha poolt aja t kestel sooritatud tiirude arvu tähega N, avaldub ühe tiiru sooritamise aeg ehk periood koguaja ja tiirude arvu jagatisena

Sageduseks nimetatakse ajaühikus tehtavate täisringide arvu. Sageduse tähiseks on f (frequçns — lad k sagedane, korduv). Sageduse leidmiseks tuleb ringide arv N jagada ajaühikute arvuga ehk ajaga t:

Võrreldes valemeid (2.26 ) ja (2.27 ), näeme, et ringliikumise sagedus ja periood on teineteise pöördväärtused:

Nii on ka sageduse mõõtühikuks sekundi pöördväärtus, mida nimetatakse hertsiks (Hz). 1Hz = 1/s.

2.9.1 Joonkiirus

Liikuval kehal on alati mingi kiirus. Ühtlase liikumise kiirus on võrdne teepikkuse ja selle läbimiseks kuluva aja jagatisega:

Ühtlasel ringjoonelisel liikumisel nimetatakse teepikkuse (läbitud joone pikkuse) ning aja jagatist mitte lihtsalt kiiruseks vaid joonkiiruseks. Nimetuse täpsustus on tingitud sellest, et ringliikumist saab lisaks joonkiirusele iseloomustada ka ajaühikus sooritatava pöördenurga kaudu.

Joonkiirus on suunatud piki trajektoori puutujat	Joonkiirus kirjeldab igasugust liikumist

Valem (2.29 ) võimaldab leida vaid kiiruse arvväärtuse. Joonkiirus on suunatud alati piki ringjoonelise trajektoori puutujat ja on igas punktis trajektoori kõverusraadiusega risti.

Joonkiirusega saab iseloomustada mitte ainult ringjoonelist, vaid ka mis tahes muu kujuga trajektoori mööda toimuvat kõverjoonelist liikumist.

2.9.2 Nurkkiirus

Kuna pöörlemise korral läbivad teljest eri kaugusel asuvad punktid sama ajaga erinevad teepikkused, siis on ka nende punktide joonkiirused erinevad. Mida suurem on punkti tiirlemisraadius, seda suurem on ka kiirus. Kuna aga kõikide punktide jaoks jääb pöördenurk alati samaks, on otstarbekas ringliikumise kirjeldamiseks defineeridagi kiirus just nurga kaudu.

Seepärast kasutataksegi ringliikumise iseloomustamiseks pöördenurga ja selle sooritamiseks kuluva ajavahemiku jagatist. Seda jagatist nimetatakse ringliikumise nurkkiiruseks. Nurkkiirus on võrdne ajaühikus sooritatava pöördenurgaga. Seda suurust tähistatakse kreeka tähega ω (omega) ja valemiks on:

Kui pöördenurka mõõdetakse radiaanides ja aega sekundites, on nurkkiiruse mõõtühikuks radiaan sekundis (1 rad/s).

Nurkkiirus on seotud joonkiirusega v. Paneme nurkkiiruse avaldisse (2.30 ) pöördenurga kohale selle väärtuse φ = l/r ning saame

Et aga l/t kujutab endast joonkiirust v, saame

See ongi seos nurkkiiruse ja joonkiiruse vahel.

Peale joonkiiruse on nurkkiirus seotud ka ringliikumise sageduse ja perioodiga. Definitsiooni järgi on sagedus võrdne ajaühikus sooritatavate täisringide arvuga:

Aja t jooksul sooritatud täisringide arv on siis N = ft. Et igale täisringile vastab pöördenurk 2π rad, siis saame, et

millest vastavalt nurkkiiruse definitsioonile ω = φ/t saame sagedusega seose valemiks

Näeme, et nurkkiirus on võrdeline sagedusega. Seepärast nimetatakse seda suurust mõnikord ka nurksageduseks või ringsageduseks.

Teades, et periood ja sagedus on teineteise pöördarvud, on lihtne näha, et nurkkiirus sõltub ringliikumise perioodist pöördvõrdeliselt:

2.9.3 Kesktõmbekiirendus

Sirgjoonelisel liikumisel on keha kiirus suunatud piki trajektoori. Seevastu ringliikumisel kiiruse suund muutub pidevalt. Kui trajektoor pole sirge, on kiirus trajektoori erinevates punktides suunatud erinevalt, kuid alati piki trajektoori puutujat (so. mööda sirget, mis on antud punktis raadiusega risti).

Ringliikumisel muutub liikumise suund pidevalt. Kui kiiruse suund muutub, siis muutub järelikult ka kiirusvektor (kiirus on vektoriaalne suurus). Kui aga kiirusvektor muutub, on olemas ka kiirendus. Kiirendus on ju kiirusvektori muudu ja muutuseks kulunud ajavahemiku jagatis:

Tuleb välja, et ringliikumisel esineb kiirendus ka siis, kui kiiruse arvväärtus ei muutu. Kiirendus on ka ühtlasel ringliikumisel, kuna liikumise suund muutub.

Kuhu on see kiirendus suunatud? Vaatame lühikest ajavahemikku, mille kestel sooritatud pöördenurk on väike. Et ringjoonelise liikumise joonkiirus on suunatud alati raadiusega risti, pöördub ka kiirusvektor sama nurga võrra. Joonisel tähistab kiirust enne pööret vektor $\overrightarrow{v_0}$ ja pärast pöörde sooritamist $\overrightarrow{v}$. Kuna kiiruse arvväärtus ei muutu, on ühtlasel ringliikumisel nende vektorite pikkused võrdsed.

Kiirenduse leidmiseks tuleb leida kiiruse muutus ehk kiirusvektorite vahe $\overrightarrow{v}-\overrightarrow{v_0}$. Vektori $\overrightarrow{v_0}$ lahutamine on samaväärne vastandvektori $-\overrightarrow{v_0}$ liitmisega. Jooniselt on näha, et väikese pöördenurga korral on kiiruse muut $\overrightarrow{v}-\overrightarrow{v_0}$ suunatud piki raadiust trajektoori kõveruskeskpunkti poole. Ringliikumise kiirendus kui kiiruse muutumise kiirus on suunatud samuti kõveruskeskpunkti.

Suunamuutusest tingitud kiirendus on suunatud alati keha trajektoori kõveruskeskpunkti poole ja on seega kiirusvektoriga risti. Seepärast nimetatakse seda kiirendust kesktõmbekiirenduseks.

Kesktõmbekiirenduse väärtus sõltub nii trajektoori kõverusraadiusest r kui ka joonkiirusest v. On ju loomulik, et mida kiiremini keha mööda ringjoont liigub, seda kiiremini muutub ka liikumissuund. Samuti muutub suund seda kiiremini, mida kõveram on trajektoor.

Kesktõmbekiirendus sõltub liikumise joonkiirusest ja trajektoori kõverusraadiusest järgmiselt:

Kasutades valemit (2.32 ) seoses nurk- ja joonkiiruse vahel, saame kesktõmbekiirenduse avaldada ka nurkkiiruse kaudu:

2.10.1 Jõud ühtlasel ringliikumisel

Ühtlasel ringliikumisel esineb alati kesktõmbekiirendus. Newtoni II seaduse järgi liigub keha kiirendusega vaid siis, kui sellele mõjub jõud. Ka kesktõmbekiirenduse tekitamiseks on vajalik jõud. See jõud peab mõjuma samas suunas kiirendusega ja on järelikult suunatud trajektoori kõveruskeskpunkti poole.

Kui sellist jõudu kehale ei mõju, ei saa olla ka ringliikumist. Newtoni I seaduse järgi liiguvad ju kõik kehad, millele jõudusid ei mõju, inertsi tõttu ühtlaselt ja sirgjooneliselt. Keha liigub mööda ringjoont vaid siis, kui seda otsesuunast pidevalt kõrvale kallutatakse. Ringliikumine toimub kesktõmbejõu ja inertsi koosmõju tagajärjena. Trajektoori kõveruskeskpunkti suunatud jõudu, mis põhjustab ringliikumist, nimetatakse kesktõmbejõuks ehk tsentripetaaljõuks (centrum + petere — ladina k kese + ründama).

Kesktõmbejõuks võib olla mis tahes liiki jõud. Autot hoiab ringteelt välja libisemast hõõrdejõud, sidesatelliiti hoiab ümber Maa tiirlemas gravitatsioonijõud, vasar liigub heitmiseelse hoovõtu ajal ringjooneliselt trossis tekkiva elastsusjõu mõjul.

Kesktõmbejõudu saab leida Newtoni II seadust kasutades kesktõmbekiirenduse kaudu:

Kõik, kes on sõitnud mööda ringjoont kiiresti pöörleval karussellil või järsult kurvi võtvas autos, on tundnud, et neid surutakse ringi keskmest väljapoole. Ringjooneliselt liikuvale kehale mõjuks nagu mingi keskpunktist eemale suunatud jõud. Sellele jõule on antud ka eraldi nimetus — tsentrifugaaljõud (centrum + fugiô — ladina k kese + põgenema). Tegemist on niinimetatud inertsijõuga, mida vaatleja tajub siis, kui ta liigub kiirendusega.

Kui me istume autos, siis oleme selle suhtes paigal. Sisenedes kurvi, hakkab auto kõrvale pöörama ja sunnib kaasa pöörama ka autosistujaid. Sõitjatele tundub, nagu lükataks neid väljapoole. Maa suhtes vaadeldes seda väljapoole mõjuvat jõudu ei eksisteeri. Inertsi tõttu püüavad auto ja autosistujad liikuda otse ehk ringliikumise keskmest eemale ja ainus jõud, mis neile tegelikult mõjub, on liikumist ringjooneliseks sundiv kesktõmbejõud.

2.10.2 Taevakehade liikumine

Kõik me teame, et planeedid tiirlevad ümber Päikese ning Kuu tiirleb ümber Maa. Trajektooriks on üsna täpselt ringjoon. Näiteks Maa kaugus Päikesest ei muutu tiirlemise käigus enam kui 3%.

Juba Newton oletas, et planeetide tiirlemine on tingitud gravitatsioonijõust. Tuginedes tänastele teadmistele gravitatsiooni ning ringliikumise kohta, võime väita, et just gravitatsioonijõud kesktõmbekiirenduse tekitajana kallutab planeedid sirgjoonelisest teest kõrvale ja on seega nende tiirlemise põhjuseks.

Oletame, et planeedil massiga M on kaaslane massiga m, mis tiirleb selle ümber ringorbiidil raadiusega r. Vastavalt gravitatsiooniseadusele tõmbab planeet kaaslast jõuga

See jõud ongi kaaslase tiirlemist põhjustavaks kesktõmbejõuks, mis on valemi (2.38 ) järgi seotud tiirlemise nurkkiirusega järgmiselt:

Siit saame avaldada nurkkiiruse ning sellest omakorda tiirlemisperioodi:

Viimane seos näitab, et tiirlemisel mööda ringorbiiti on perioodi ruut võrdeline tiirlemisraadiuse kuubiga. Selle seaduspärasuse avastas planeetide vaatlusandmeid analüüsides Saksa astronoom Johannes Kepler juba 1619. aastal.

Tiirlemise orbiidiks on ringjoon vaid siis, kui gravitatsioonijõud mõjub kogu aeg liikumisega risti. Paljude taevakehade puhul ei ole see aga alati nii. Kui gravitatsioonijõud pole kiirusega risti, mõjub see liikumisele kiirendavalt või aeglustavalt. Sel juhul on liikumine muutuv ning trajektooriks on ringjoone asemel väljavenitatud ellips või isegi mittekinnine joon nagu parabool või hüperbool.

2.10.3 Ringliikumine looduses ja tehnikas

Looduses võime ringliikumist kohata eelkõige taevakehade juures. Gravitatsiooni tõttu kõik maailmaruumi kehad tõmbuvad. Vaid tänu tiirlemisele ei kuku Kuu Maale ning planeedid Päikesele. Ka mitmesajast miljardist massiivsest tähest koosnev Linnutee galaktika ei tõmbu kokku, vaid säilitab oma 100 000 valgusaasta suuruse läbimõõdu tänu tähtede tiirlemisele.

Lisaks tiirlemisele võivad taevakehad ka pöörelda. Öö ja päev vahelduvad tänu maakera pöörlemisele ja pöörlemistelje kalde muutumatus tingib aastaaegade vaheldumise.

Looduslikku ringliikumist leidub ka maapealsetes mastaapides. Näiteks saaki otsiva kotka tiirlemine õhus või keeristormid. Looduslik ringliikumine on enamasti ühtlane. Tiirleva taevakeha kiirus muutub, kui trajektoor erineb ringjoonest. Pöörlemiskiirus võib muutuda mõne teise keha mõjul. Näiteks pole Maa pöörlemine absoluutselt ühtlane, kuna Kuu põhjustab maailmamere loodeid.

Õhumasside keerlemine tekitab keeristormi	Kiiresti pöörlev trummel eraldab koorelahutajas rasva piimast

Tehnikas on ringliikumise kohta palju näiteid. Autod sõidavad tänu pöörlevatele ratastele, informatsiooni salvestatakse pöörlevatele laserplaatidele ning magnetketastele, sidet peetakse ümber Maa tiirlevate tehiskaaslaste abil.

Ringliikumisega kaasnevat kesktõmbekiirendust võib kasutada kaalu muutmiseks. Astronaudid treenivad tiirlevatel trenažööridel vastupidavust ülekoormusele ning tsentrifuugi abil eraldatakse segust erineva tihedusega aineid.

Mehhikos on majad ümber	Veiniklaas puruneb, resonants

Aastal 1985 kukkusid maavärina tõttu Mexicos kokku paljud keskmise kõrgusega hooned. Kõrgemad ja madalamad hooned jäid püsti (vaata pilti). Inglismaal Manchesteri lähedal ületasid ratsaväelased 1831. aastal silda ning marssisid ilmselt samas taktis silla võnkumisega. Sild kukkus kokku pärast seda, kui üks silda toetanud polt purunes.

Londonis avati 2001.aastal uus üle Thamesi jõe ulatuv sild, mis ühendab Tate’i Moodsa Kunsti Galeriid St. Pauli kiriku ümbrusega ja mis pidi tähistama uue aastatuhande saabumist. Kui esimene jalakäijate voog hakkas Milleeniumisilla nime kandvat ehitist ületama, hakkas see nii tugevasti kõikuma, et mõned jalakäijad jäid vaid käsipuude abil püsti. Kas sarnased võnkumised võivad ilmneda tantsupõrandal või rokk-kontserdil? Kas hea laulja suudaks veiniklaasi või mõne muu klaasanuma lihtsalt lauldes purustada?

3.1.1 Võnkumise mõiste

Enamik looduses aset leiduvaid nähtusi toimub perioodiliselt. Teatud aja möödudes kordub kõik jälle uuesti. Nii vahelduvad öö ja päev ning aastaajad, kordub lindude ränne igal kevadel lõunamaalt koju pesitsema ja igal 1. septembril minnakse jälle kooli. Kõikjal igapäevases elus, looduses ja tehnikas võime kohata perioodiliselt korduvat liikumist — merelained loksuvad vastu kaldakive, puuoksad kõiguvad tuules, linnud lehvitavad tiibu, õmblusmasina nõel liigub üles-alla, praam sõidab edasi-tagasi Virtsu ja Kuivastu vahet. Seda tüüpi liikumiste tundmaõppimine ning ühiste joonte väljaselgitamine aitab meil ümbritsevat paremini mõista ja kogutud teadmisi enda kasuks rakendada.

Ühte osa perioodiliselt korduvatest liikumistest me juba õppisime lähemalt tundma. Selleks on ringliikumine. Teiseks suureks grupiks on võnkumine. Erinevalt teistest perioodilistest liikumistest kordub võnkumisel liikumine võrdsete ajavahemike tagant nii, et esialgsesse asendisse läheb keha tagasi sama teed mööda. Võnkumiseks nimetatakse perioodilist edasi-tagasi liikumist teatud tasakaaluasendist kord ühele, kord teisele poole. Nii on võnkumine mootorikolvi üles-alla liikumine, mitte aga väntvõlli pöörlemine. Viimasel juhul jõuab vändaots küll korduvalt esialgsesse seisu tagasi, kuid ikka mööda ringjoont tiireldes.

Kuna võnkumine kujutab endast muutuvat liikumist, on selle tekkimiseks vaja vastastikmõju. Kuna vastastikmõjus osaleb alati mitu keha, siis saab ka võnkumine toimuda mitte ühe keha, vaid kehade süsteemi korral. Näiteks ei saaks vedru otsa riputatud raskus võnkuda, kui puuduks maakera oma külgetõmbega. Iga sellist mitmest vastastikmõjus olevast kehast koosnevat süsteemi, milles võib tekkida võnkumine, nimetatakse võnkesüsteemiks.

3.1.2 Võnkumiste liigid

Kui võnkumine toimub vaid süsteemi kuuluvate kehade vaheliste mõjujõudude toimel, on tegemist vabavõnkumisega. Vabavõnkumiseks nimetatakse süsteemi sisejõudude mõjul toimuvat võnkumist. Näiteks võib vabalt võnkuda niidi otsas rippuv kivi, kui miski selle tasakaalust välja viib. Süsteemi moodustavad siin ülalt kinnitatud niit, kivi ja maakera. Süsteemisisesteks jõududeks on gravitatsioonijõud Maa ja kivi vahel ning niidi tõmbejõud. Mõnikord nimetatakse vabavõnkumist ka omavõnkumiseks.

Vabavõnkumine toimub süsteemi sisejõudude mõjul	Vabavõnkumise tekkimiseks peab olema püsiv tasakaal, inerts ja väline tõuge

Mehaanilise vabavõnkumise tekkimiseks peab süsteemis olema täidetud kolm tingimust. 

• Kõigepealt peab süsteemil olema püsiv tasakaaluolek. Püsiv tasakaal on selline, millest väljumisel tekkivad jõud viivad süsteemi tasakaaluolekusse tagasi.
• Teiseks peab süsteem omama inertsi. Kui keha liigub tasakaaluasendi poole suunatud jõu mõjul kiirenevalt, ei jää see kohale jõudes mitte silmapilkselt seisma, vaid liigub hooga edasi ning eemaldub tasakaaluasendist teisele poole.
• Kolmandaks peab süsteem saama võnkumise käivitamiseks (tasakaalust väljaviimiseks) välise tõuke.

Kuna igale kehale mõjub liikumist takistav hõõrdejõud, siis ei saa vabavõnkumine kesta ilma välise abita igavesti. Võnkumise kiirus ja ulatus hääbuvad aja jooksul nullini. Sellist võnkumist nimetatakse sumbuvaks. Looduses on vabavõnkumised alati sumbuvad. Sumbumatu võnkumise saamiseks tuleb hõõrdumist millegi välisega kompenseerida. Näiteks pommidega kellas annab spetsiaalse mehhanismi kaudu pendlile igal võnkel hoogu juurde pomme allapoole tõmbav raskusjõud.

Kui võnkumine toimub mingi välise perioodilise jõu mõjul, on tegemist sundvõnkumisega. Nii võngub õmblusmasina nõel üles-alla vaid seepärast, et käsi või mootor vänta ringi ajab. Kuna siin saab süsteem energiat välisest allikast, on sundvõnkumine alati sumbumatu. Sundvõnkumiseks on näiteks lõiketera liikumine höövelpingis, pintsli liikumine värvimisel ja klaasipuhastaja liikumine autoaknal.

3.1.3 Võnkumist iseloomustavad suurused

Nagu igat perioodilist liikumist, iseloomustab ka võnkumist ajavahemik, mille möödumisel liikumine uuesti kordub. Ühe täisvõnke sooritamiseks kuluvat aega nimetatakse võnkeperioodiks. Võnkeperioodi tähis ja mõõtühik on samasugused kui ringliikumise perioodil, seega T ja üks sekund.

Kui võnkeperiood on täpseks mõõtmiseks liiga lühike, saab täpsust tõsta, mõõtes mitte ühe, vaid suurema arvu võngete sooritamise koguaega t. Kui võngete arvu tähiseks võtta N, saame perioodi arvutada valemist

Ajaühikus sooritatavate täisvõngete arvu nimetatakse võnkesageduseks. Võnkesageduse tähis on sarnaselt ringliikumisega f ja mõõtühik herts (Hz). Analoogiliselt ringliikumise sagedusega on võnkesagedus võrdne võnkeperioodi pöördväärtusega:

Võnkumisel liigub keha tasakaaluasendist kord ühele, kord teisele poole. Võnkuva keha kaugust tasakaaluasendist nimetatakse keha hälbeks. Hälve on ajas muutuv suurus ja sõltuvalt sellest, kummal pool tasakaaluasendit keha asub, loetakse see kas positiivseks või negatiivseks. Kuna hälve kujutab endast tegelikult keha koordinaati, on selle tähiseks võetud x ja mõõtühikuks on pikkusühik meeter.

Hälve on keha kaugus tasakaaluasendist	Amplituud on suurim hälve

Maksimaalset hälvet ehk suurimat kaugust tasakaaluasendist nimetatakse võnkeamplituudiks. Amplituudi tähiseks on x₀. Kui sumbumatul võnkumisel amplituud ei muutu, siis sumbuval väheneb see aegamisi nullini.

3.2.1 Harmooniline võnkumine ja võnkumise võrrand

Võnkuvat liikumist esineb looduses kõikjal meie ümber. Kui soovime loodust uurida ja võimalikult täpselt arvude abil kirjeldada, peame oskama ka võnkumist matemaatiliste meetoditega väljendada. Selleks et jõuda võnkumise võrrandini, vaatleme veel kord ringliikumist.

Kujutame ette mingit tiirlevat eset, näiteks vinüülplaadimängija pöörleva ketta servale asetatud tikutoosi. Kui nüüd keha valgustada küljelt, piki tiirlemistasandit, liigub tikutoosi vari seinal mitte ringjooneliselt, vaid edasi-tagasi. Vari võngub, kusjuures selle võnkumise sagedus langeb kokku eseme tiirlemise sagedusega ning võnkeamplituud tiirlemise raadiusega. Niisugust varju edasi-tagasi liikumist pole raske matemaatiliselt kirja panna.

Vaatame kõrvalolevat joonist, millel on näidatud ese, selle tiirlemise trajektoor ning vari seinal. Koordinaattelg on suunatud piki varju liikumist nii, et nullpunkt asuks tiirlemiskeskme kohal. Tiirleva eseme asukohta kirjeldab pöördenurk φ ja varju hälvet (kaugust koordinaadi nullpunktist) x. Joonisel tekib täisnurkne kolmnurk, mille hüpotenuusiks on trajektoori kõverusraadius r ning nurga φ vastaskaatetiks varju hälve x. Matemaatikas õpitud siinusfunktsiooni definitsiooni järgi

Tiirlemise pöördenurga saame asendada valemis nurkkiiruse ja aja korrutisega:

Nii kehtib varju võnkumise hälbe jaoks seos

Kuna vari ei saa keskpunktist kaugemale minna kui tiirlemise raadius r, siis on selle väärtus ka võnkeamplituudiks x₀ = r. Pärast asendust saamegi hälbe arvutamiseks mis tahes ajahetkel valemi:

Saadud valem kirjeldab varju liikumist seinal, näidates selle koordinaadi sõltuvust ajast.

Kõiki selliseid võnkumisi, mida saab kirjeldada siinus- või koosinusfunktsiooni abil, nimetatakse harmoonilisteks võnkumisteks. Seos (3.6 ) on seega harmoonilise võnkumise võrrand.

Siinusfunktsiooni argumendiks olevat suurust

nimetatakse võnkumise faasiks. Faasi mõõtühikuks on radiaan (rad) ning seda saab avaldada võnkesageduse ja perioodi kaudu:

Suurust ω, mis tiirlemise jaoks on nurkkiirus, nimetatakse võnkumise korral ring- ehk nurksageduseks. Ringsageduse mõõtühik on 1 rad/s.

Paljud looduses esinevad võnkumised on harmoonilised või sellele lähedased. Seepärast omab harmoonilise võnkumise võrrand (3.6 ) suurt tähtsust. Võrrand võimaldab kirjeldada peaaegu kõiki võnkumisega seotud nähtusi.

3.2.2 Võnkumise graafik

Lisaks võrrandile saab võnkumisi kirjeldada ka graafiku abil. Võnkumise graafik näitab keha koordinaadi sõltuvust ajast. Püstteljele kantakse koordinaat ehk võnkumise hälve ja horisontaalteljele aeg. Reaalselt saab võnkumise graafikut joonistada näiteks vedrupendli raskuse külge kinnitatud viltpliiatsi abil, mis surub vastu ühtlase kiirusega nihutatavat pabeririba.

Harmoonilise võnkumise graafiku võib joonestada ka võnkumise võrrandi järgi erinevatele ajahetkedele vastavaid koordinaate välja arvutades ja teljestikku kandes. Nii talitades saame võnkumise graafikuks sujuva lainelise joone, mida nimetatakse sinusoidiks.

Sinusoid läbib kordamööda teljestiku positiivset ja negatiivset ala, jäädes samal ajal amplituudiga määratud horisontaaljoonte vahele. Sinusoid lõikab ajatelge iga poole perioodi tagant. Seda teades on graafikult võnkumise amplituudi ja perioodi lihtne välja lugeda.

Veel annab graafik informatsiooni võnkuva keha kiiruse muutumise kohta. Teatavasti näitab kiirust liikumisgraafiku tõus. Uurides sinusoidi, näeme, et suurima hälbega punktides graafiku puutuja mitte ei tõuse ega lange, vaid on horisontaalne. Seega on neil hetkedel keha paigal ja liikumise suund muutub vastupidiseks. Suurim tõus või langus toimub hetkedel, mil joon lõikub ajateljega. Järelikult liigub keha tasakaaluasendi poole kiirenevalt, maksimumkiirus saavutatakse tasakaaluasendis ja sellest eemaldumisel liikumine jälle aeglustub.

3.2.3 Võnkumise energia

Me teame, et keha muudab vastastikmõju teel teise keha liikumist või kuju, st muudab selle seisundit. Seisundi muutmise protsessi nimetatakse tööks ja töö tegemiseks peab keha omama energiat. Energiat omab keha tänu liikumisele (kineetiline energia) või sellele mõjuvatele jõududele (potentsiaalne energia). Kuna võnkumine on liikumine, mis toimub võnkesüsteemis mõjuvate jõudude toimel, siis omab selline süsteem energiat nii kineetilisel kui ka potentsiaalsel kujul. Seejuures võib kineetiline energia muunduda potentsiaalseks ning vastupidi nii, et nende summa jääb muutumatuks. 

Uurime võnkumise energia muundumist niidi otsa riputatud kivi võnkumise näitel. Kivile mõjub Maa külgetõmbejõud ehk raskusjõud. Kallutades pendlit tasakaaluasendist kõrvale, tehakse tööd ja kivi tõuseb kõrgemale, omandades potentsiaalse energia. Raskusjõust tingitud potentsiaalne energia on seda suurem, mida suurem on kõrgus.

Päästes kivi lahti, algab võnkumine. Kiirus ja sellega koos ka liikumis- ehk kineetiline energia kasvavad ning saavutavad maksimumväärtuse tasakaaluasendisse jõudmisel. Samal ajal kõrgus väheneb ja sellega väheneb ka potentsiaalne energia, jõudes tasakaaluasendis nulli. Kivi jätkab inertsi tõttu liikumist, mida raskusjõud nüüd aeglustab. Kiirus ja kineetiline energia kahanevad ning kõrgus ja potentsiaalne energia kasvavad, kuni pendel peatub teises äärmises asendis. Edasi kordub kõik vastupidises suunas ikka nii, et energia kogusumma jääb samaks. Seda muidugi takistava jõu puudumisel. Takistuse ületamine kulutab energiat ning amplituud ja maksimumkiirus vähenevad — võnkumine sumbub aegamööda.

3.3.1 Võnkumised meie ümber

Võnkumisi võib kohata nii elus ja eluta looduses kui ka inimese valmistatud objektide juures. Neid on vabu ja sunnitud, sumbuvaid ja sumbumatuid. Paljude puhul me isegi ei teadvusta endale, et tegemist on võnkumisega.

Looduses võib kohata mitmeid vabalt võnkuvaid kehi. Puud kõiguvad tuules, haavalehed värisevad ning vees ujuv puunott õõtsub üles-alla. Enamik sellistest võnkumistest ei täida mingit kindlat eesmärki, kuid mõned võivad siiski ka kasu tuua. Õite kõikumine äratab tolmeldavate putukate tähelepanu, kõikuvatest viljadest levivad seemned kaugemale ning peente ja lapikute rootsude otsas rippuvate haavalehtede värisemine aitab puul paremini valgust püüda ja vee aurumist reguleerida.

Sundvõnkumist kasutavad elusolendid liikumiseks. Me ise liigutame kõndimisel käsi ning jalgu edasi-tagasi. Paljud mikroorganismid liiguvad viburi võngutamise abil, linnud ja putukad lehvitavad tiibu, vee-elanikud liigutavad saba, uimi või loibi.

Sundvõnkumist kasutatakse edasiliikumiseks	Võnkuv pillikeel tekitab heli

Mitmesugused võnkumised on inimeste poolt rakendust leidnud. Kes meist poleks näiteks lapsepõlves kiikunud! Kiikumises korraldatakse isegi võistlusi. Veel üheks näiteks on heliallikad. Kõik kehad, mis võnguvad sagedusvahemikus 16 - 20 000 Hz, tekitavad kuuldavat heli. Heliallikaks võivad olla vabalt võnkuv pillikeel, kirikukell ja trumminahk. Ka akordionis ja saksofonis teeb häält võnkuv keel, kuid see on kitarrikeelega võrreldes hoopis teistsugune. Kõlaris tekitab heli muutuva elektrivoolu poolt võnkuma sunnitud valjuhääldi membraan.

Sundvõnkumist rakendatakse masinates, mis viivad korduvalt läbi üht ja sama operatsiooni. Siin võib näiteks tuua õmblusmasina, kolbpumba, aurumasina ja pudelikorkija.

3.3.2 Pendlid

Nagu nägime, võivad võnkuvad süsteemid olla väga erinevad. Ometigi saab neid sarnaste joonte põhjal grupeerida ning ühise lihtsustatud mudeli alla viia. Võnkuva süsteemi füüsikalist mudelit nimetatakse pendliks. Kõige sagedamini kasutatavateks mudeliteks on matemaatiline pendel, vedrupendel ja füüsikaline pendel. Kõiki pendleid iseloomustab isokroonsus ehk võime võnkeamplituudi muutumisel võnkeperioodi säilitada. See võimaldab pendleid kasutada kellade käigu regulaatorina.

Matemaatiliseks pendliks nimetatakse venimatu kaalutu niidi otsa riputatud punktmassi. Tasakaalust väljaviimisel liigub niidi otsa riputatud keha mööda ringjoone kaart, mille kõverusraadius on võrdne niidi pikkusega.

Matemaatilise pendli sarnaselt võngub mis tahes raske ese, mis on riputatud sellega võrreldes palju kergema ja pikema niidi või nööri otsa. Matemaatilise pendli võnkumist põhjustab raskusjõud koos niidis tekkiva tõmbejõuga. Väikese võnkeamplituudi korral sõltub periood ainult pendli pikkusest l ning vaba langemise kiirendusest g:

Matemaatilise pendli abil on lihtne määrata vaba langemise kiirendust. Asjaolu, et selline pendel säilitab oma võnketasandi, kasutas prantsuse füüsik Jean Foucault 1848. aastal maakera pöörlemise tõestuseks.

Vedrupendliks nimetatakse absoluutselt elastse vedru otsa riputatud punktmassi. Võnkumist põhjustab siin elastsusjõu ja raskusjõu resultant.

Vedrupendli võnkeperiood on määratud vedru jäikuse k ning keha massiga m:

Füüsikaliseks pendliks nimetatakse suvalise kujuga jäika keha, mis saab rippudes võnkuda liikumatu punkti ümber. Füüsikaliseks pendliks võib olla näiteks kiikuv pilt seinal või naela otsa riputatud mutrivõti. Füüsikalise pendli võnkeperiood sõltub keha kujust, massist, kinnituskoha ning raskuskeskme vahekaugusest ja vaba langemise kiirendusest.

Kuna keha kuju ja riputuspunkt võivad olla väga erinevad, pole siinkohal võimalik anda füüsikalise pendli võnkeperioodi üldist valemit. Näiteks ühest otsast üles riputatud ühtlase varda võnkeperiood sõltub varda pikkusest l järgmiselt:

3.3.3 Resonants