Mõõtmise täpsuspiirid ja mõõtemääramatus

Mõõtmine on teatavasti mingi füüsikalise suuruse konkreetse väärtuse võrdlemine sama suuruse teise, mõõtühikuks võetud väärtusega (p.2.1.3). Võrdlemise protseduur toimub aga alati olukorras, kus mõjuvad erinevad välised tegurid. Mõned neist välistest mõjuteguritest võivad olla juhusliku iseloomuga ja mõned süstemaatilised ehk mõõteväärtust kindlas suunas mõjutavad. Kui me näiteks soovime mõõta, kui kõrgele üles põrkab tagasi mingilt kindlalt kõrguselt vertikaalselt kukkuma lastud lauatennisepall, siis sõltub mõõtetulemus kindlasti sellest, millise osaga pall vastu horisontaalset jäika aluspinda põrkab. Pingpongipallid valmistatakse enamasti kahe pallipoole kokkusulatamise teel, Pallikesta omadused liitekohas ja väljaspool seda on erinevad. Me ei suuda prognoosida palli asendit põrkehetkel, mistõttu see asend on mõõteväärtuse juhuslik mõjur. 

Miks see mõõtmine ei ole eriti täpne?	Nii tekib parallaktiline mõõteviga.

Vertikaalselt mõõtjoonlaualt palli kõige ülemise asendi kõrgust lugev katsetaja peab lugemi fikseerimisel vaatama joonlauda horisontaalselt ehk risti joonlaua endaga. Selleks peab lugemit võttev katsetaja kas kummardudes või mingile täiendavale alusele ronides muutma oma pea asukohta. Kui ta seda ei tee ning vaatab joonlauda kogu aeg näiteks kõrgemalt kui vaja, siis ta fikseerib tõusu kõrguse lugemi, mis on tegelikust väärtusest süstemaatiliselt veidi väiksem. Kasutades veidi etteruttavalt mõõtevea mõistet (vt allpool) olgu märgitud, et mõõteviga, mis tekib juhul, kui mõõtja vaatesuund ei ole risti kasutatava skaalaga, nimetatakse parallaktiliseks mõõteveaks.

Üks mõõtmiste täpsust piirav tegur on mõõtühiku enda pikkus. Kui me kasutame lauatennisepalli tagasipõrke kõrguse määramisel mõõtjoonlauda, millele on kantud kriipsud iga sentimeetri tagant, siis on mõõtühikuks 1 cm. Sentimeetri murdosi me mõõteväärtuses enam usaldusväärselt kajastada ei suuda – seda enam, et palli ülemist asendit saame me ju vaadelda vaid hetkeliselt. Me peame otsustama, milline täisarv sentimeetreid on konkreetsel juhul kõige tõenäolisem mõõtarv. Võib küll üritada kasutada väiksemaid mõõtühikuid, aga meil pole ikkagi pääsu mõõtühiku lõplikust pikkusest. Lisaks võivad paljud mõõtmiste täpsust piiravad tegurid olla meile ka täiesti tundmatud. 

Kõik seda arvestades oleme sunnitud nentima, et absoluutselt täpne mõõtmine pole põhimõtteliselt võimalik. Erandiks on siin vaid juhud, kui mõõtmine seisneb mingi täisarvu määramises. See võib olla näiteks pendli võngete arv või mingisse kindlasse vahemikku langevate mõõtmistulemuste arv. Järelikult on üldjuhul väga oluline lisaks mõõteväärtuse saamisele hinnata ka mõõtmise täpsust. Tuletagem meelde eespool (p.2.2.1) toodud näidet, kus koolilaua pikkuseks saadi viis ja pool õpiku pikkust ning sellise tulemuse lugejal tekkisid küsimused: Kas viis ja pool tähendab täpselt 5,5? Või on see mingi väärtus 5,4 ja 5,6 vahel? Või hoopis 5 ja 6 vahel? Korrektne mõõtetulemus peaks sisaldama endas juba vastust neile küsimustele. 

Tähistame mingi konkreetse suuruse (näiteks koolilaua pikkuse) mõõtmisel saadud mõõteväärtuse tähega x. Kuna absoluutselt täpne mõõtmine pole põhimõtteliselt võimalik, siis see väärtus üpris kindlasti erineb mõõtesuuruse tõelisest väärtusest x₀. Mõõteväärtuse ja suuruse tõelise väärtuse vahet nimetatakse mõõteveaks. Suuruse x mõõteviga tähistatakse enamasti sümboliga δx (loe: väike delta x): 

Mida väiksem on mõõteviga, seda täpsema mõõtmisega on tegemist. Paraku me ei tea ega saagi kunagi teada mõõdetava suuruse tõelist väärtust x₀. Seetõttu ei saa me ka kunagi teada konkreetsel mõõtmisel tehtavat mõõteviga δx. 

Mõõteviga on vähemasti osaliselt juhuslik suurus. Iga järgmise mõõtmise tulemus võib eelmisest veidi erineda. Seega kaasneb mõõtmisega alati teatav teadmatus ehk määramatus. Mõõtesuuruse tõeline väärtus ja konkreetne mõõteviga jäävad meile küll teadmatuks, kuid me saame mingi tõenäosusega hinnata, milline on kõige suurem võimalik mõõteviga. Me saame anda tõenäosusliku hinnangu väärtuste vahemiku kohta, milles mõõtesuuruse tõeline väärtus asub. Seda mõõtesuuruse väärtuste vahemikku, millesse suuruse tõeline väärtus piisavalt suure tõenäosusega jääb, kirjeldab mõõtemääramatus. 

Suuruse x mõõtemääramatus u(x) (ingl uncertainty) on suurus, mis kuulub mõõtetulemuse juurde ja iseloomustab tõenäosuslikult mõõtesuuruse võimalike väärtuste vahemikku. Mõõtemääramatusel on mitmeid tähistusviise. Neist kahel: u(x) ja U(x) – on väga kindlad tähendused, millest tuleb juttu allpool. Kui räägitakse mõõtemääramatusest kõige üldisemas tähenduses, siis kasutatakse enamasti tähist Δx (loe: delta x). Niisiis, mõõtemääramatus Δx on mõõtevea δx suurim lubatav väärtus. Mõõtetulemus x ei tohiks mõõtesuuruse tõelisest väärtusest x₀ erineda rohkem kui mõõtemäära­matuse Δx võrra. See tähendab, et suuruse tõeline väärtus x₀ jääb väärtuste x - Δx ja x + Δx vahele. Matemaatiliselt väljendab seda võrratus

Paraku pidime eelmises lõigus kasutama tingivat kõneviisi (ei tohiks). Nimelt ei ole mitte ükski tõenäosuslik väide ju kunagi sajaprotsendiliselt kindel. Tõenäosust selleks, et mitte ükski mõõteviga ei ületa konkreetset mõõtemääramatuse väärtust, nimetatakse mõõtemääramatuse usaldatavuseks või ka usaldusnivooks. Kui me soovime, et mõõtemääramatusega antav suurima mõõtevea hinnang oleks kindlasti tõene (et usaldatavus oleks 100%), siis peame kasutama väga suurt Δx väärtust. Siis aga muutuks mõõtetulemus ise üpris mõttetuks. Näiteks pole ju kuigi palju kasu teadmisest, et konkreetse koolilaua pikkus jääb ühe ja üheksa õpiku-pikkuse vahele. On ilmne, et mõõtjal tuleb leida mõistlik kompromiss kahe vastandliku soovi vahel: tõsta usaldatavust ja vähendada mõõtemääramatust.

Kaalud mõõdavad erineva täpsusega. Kas AA tüüpi patarei kaalub 24 g, 23,8 g, 24,4 g või 24,006 g? Seda me ei tea. Küll aga saab nende näitude põhjal öelda patarei keskmise kaalu.	Selline mõõtemääramatus on arvatavasti väga suure usaldatavusega, aga kas ka väga väärtuslik?

Mõõtemääramatus esitatakse tavaliselt usaldatavusega kas 68% või 95%. Eeldades usaldatavust 95%, pannakse mõõtetulemus tavaliselt kirja koos mõõtemääramatusega kujul (x ± Δx) × mõõtühik, kusjuures mõõteväärtuse x ja mõõtemääramatuse Δx mõõtarvud esitatakse sama arvu kümnendkohtadega peale koma. Näiteks on korrektne pliiatsi pikkuse l mõõtmise tulemus esitatav kujul 

See tähendab, et konkreetse pliiatsi tõeline pikkus jääb 139 mm ja 143 mm vahele tõenäosusega (usaldatavusega) 95%. Kui tegemist on mingi muu usaldatavusega, siis peab selle mõõtetulemuse taga eraldi ära märkima. Pikkuse väärtust 141 mm nimetame antud kontekstis pliiatsi pikkuse tõenäoseimaks väärtuseks, andes endale aru, et pikkuse tõenäoseim väärtus ja tõeline väärtus pole kunagi täpselt võrdsed. 

Tuleb arvestada, et mõõtesuuruse tõeline väärtus on puhtalt meie kujutlusvõime looming või abikujutlus mõõtemääramatuse mõttekujundi tekitamiseks. Kogu reaalset infot, mida me omame mõõdetava konkreetse füüsikalise suuruse (nt pliiatsi pikkuse) kohta, sisaldavad mõõteväärtus, mõõtemääramatus ja usaldatavus. Nad kirjeldavad kolmekesi täielikult looduses tõepoolest eksisteerivat, katselist kinnitust leidvat osa meie kui vaatlejate kujutlusest nimega selle konkreetse pliiatsi pikkus. 

Rõhutame veel, et mõõtemääramatus on kahe mistahes aktsepteeritava mõõteväärtuse võimaliku erinevuse kirjeldaja. Kahekordse mõõtemääramatusega võrduvat laiust omav mõõtesuuruse väärtuste piirkond tõenäoseima väärtuse ümber on piirkond, mille sees iga väärtus on vastuvõetav kui mõõteväärtus, sest „täpsemalt me ju ei tea“. Pliiatsi näites oli see piirkond 139 mm kuni 143 mm, laiusega 4 mm, tõenäoseima väärtuse 141 mm ümber. Mõõtemääramatus on hinnang olemasoleva info alusel. Kui me saame uut infot, siis võib muutuda ka mõõtemääramatus. Mõõtemääramatus iseloomustab mõõtetulemust, mitte mõõtevahendit. 

Selleks, et ehitada raamaturiiulit, pole vaja teada riiulilaua pikkust mikromeetri (10-6 m) täpsusega. Piisab, kui mõõdulindil on millimeeterjaotis. Seevastu tuleks vältida erinevate mõõdulintide kasutamist. Siis võid olla kindel, et mõõtmise juhuslik viga on väiksem.	Isegi kui mõlemas anumas oleks täpselt 70 ml vett, ei saaks me mõõtetulemustes kindlad olla - anumad ei pruugi olla sama massiga, rääkimata asjaolust, et on kasutatud kaht erinevat kaalu.

Tasub märkida, et eesti keeles juurdunud sõna mõõtemääramatus on mitte kõige parem tõlge vastavast venekeelsest terminist ’neopredelennost’. Selle sõna põhjal kipub jääma mulje, nagu me ei teaks üldse midagi mõistlikku mõõtesuuruse kohta („kõik on määramatu“). Hoopis parem oleks tõlkida ingliskeelne termin uncertainty eesti keelde kui ebakindlus. Mõõtmine ei saa kunagi olla absoluutselt täpne. Ta on pigem olemuslikult ebatäpne või ebakindel (uncertain). Just seda me ju tahame rõhutada, kasutades terminit mõõtemääramatus. 

Niisiis kaasneb iga füüsikalise pidevsuuruse mõõtmisega alati mõõtemääramatus. Olgu märgitud, et pidevaks füüsikaliseks suuruseks nimetame suurust, mille mistahes kahe väärtuse vahel võime kujutleda veel ühte väärtust. Sellest tuleb lähemalt juttu punktis 3.1.3. Kui me ei tea, kui suur on mõõtemääramatus, siis ei ole pidevsuuruse mõõtetulemusega õigupoolest mitte midagi mõistlikku peale hakata. Oletagem näiteks, et me kontrollime katseliselt hüpoteesi, mille kohaselt kaks tundmatut vedelikku on ühesuguse tihedusega. Meil on kasutada kindla ruumalaga mõõduklaas ja kaalud. Me määrame kaalumise teel kummagi vedeliku kindla ruumalaga koguse massi ja arvutame tihedused, jagades massi vastava ruumalaga. Me saame nii kaks tiheduse mõõteväärtust, näiteks 0,84 g/cm³ ja 0,89 g/cm³, mis küll palju ei erine, kuid mis siiski täpselt kokku ei lange. Kasutamata mõõtemääramatust, peaksime nüüd tunnistama hüpoteesi vääraks. Kui me aga oleme leidnud kummagi vedeliku tiheduse mõõtemääramatused ning kirjutame nüüd korrektsed mõõtetulemused välja kujul (0,84 ± 0,7) g/cm³ ja (0,89 ± 0,7) g/cm³, siis näeme, et esimese vedeliku tiheduse ülempiir 0,91 g/cm³ on suurem, kui teise vedeliku tiheduse alampiir 0,82 g/cm³. Teisisõnu kummagi vedeliku tiheduse võimalikud väärtused omavad vahemikus 0,82 g/cm³ kuni 0,91 g/cm³ ulatuslikku ühisosa. Seega võivad kummagi vedeliku tiheduse tõelised väärtused selles vahemikus paikneda ja kokku langeda. Hüpotees tuleb tunnistada katseliselt tõestatuks. Põhimõtteliselt võib koguni olla tegemist ühe ja sama vedelikuga. 

Mõõtemääramatuse mõiste üldtutvustuse lõpetame, rõhutades et mõõtemääramatuse täiesti korrektne hindamine on keeruline protseduur, mille teostamise oskust ei saagi keskmiselt gümnasistilt nõuda ning mille ammendav kirjeldus sisaldub veebiõpikus. Iga mõõtja peaks küll alati oskama põhjendatult otsustada, milline on tema poolt teostatud mõõtmisel mõõtemääramatuse suurusjärk (näiteks kas see on 0,3%, 3% või 30% mõõteväärtusest). Ülaltoodud näites on pliiatsi pikkuse mõõtemääramatus (2/141)⋅100 ≈ 1,4% mõõteväärtusest. Seega on mõõte­määramatuse suurusjärk mõni protsent mõõteväärtusest (ülaltoodud valikus kõige mõistlikum hinnang 3%).